2024-2025學(xué)年廣西大學(xué)附中九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含詳解）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣西大學(xué)附中九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A.x2+y=3 B.3x+y?5=0 C.x+12.下列垃圾分類的標(biāo)志圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.3.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C=125°，則∠A的度數(shù)為(

)A.25°

B.30°

C.50°

D.55°4.若二次函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(?2,4)，則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)(

)A.(2,4) B.(?2,?4) C.(?4,2) D.(4,?2)5.若x1，x2是方程x2?6x?7=0A.x1+x2=6 B.x16.將拋物線y=(x?1)2+2向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度，得到的拋物線為A.y=(x?1)2+4 B.y=(x?4)2+47.據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的《2022年國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元.設(shè)2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為(

)A.3.2(1?x)2=3.7 B.3.2(1+x)2=3.78.如圖，在△ABC中，∠B=80°，∠C=65°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′.當(dāng)AB′落在AC上時，∠BAC′的度數(shù)為(

)A.65°B.70°

C.80°D.85°9.關(guān)于x的一元二次方程x2+4x?k=0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為(

)A.?4 B.4 C.0 D.1610.已知A(?1,y1)，B(2,y2)，C(4,y3)是二次函數(shù)y=?xA.y1<y2<y3 B.11.數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點(diǎn)A，B，連接AB，作AB的垂直平分線CD交AB于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)C，測出AB=40cm，CD=10cm，則圓形工件的半徑為(

)A.50cm

B.35cm

C.25cm

D.20cm12.如圖，拋物線m：y=ax2+b(a<0,b>0)與x軸于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.將拋物線m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線n，它的頂點(diǎn)為C1，與x軸的另一個交點(diǎn)為A1.若四邊形AC1A.ab=?2 B.ab=?3 C.ab=?4 D.ab=?5二、填空題：本題共6小題，每小題2分，共12分。13.拋物線y=(x?2)2+514.一元二次方程2x2=9x+515.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示，其與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(?3,0)，對稱軸為直線x=?1，拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為______．16.一元二次方程4x(x?2)=x?2的解為______．17.點(diǎn)F是正五邊形ABCDE邊DE的中點(diǎn)，連接BF并延長與CD延長線交于點(diǎn)G，則∠BGC的度數(shù)為

．18.《九章算術(shù)》中記載：“今有勾六步，股八步.問勾中容圓徑幾何？”譯文：今有一個直角三角形，勾(短直角邊)長為6步，股(長直角邊)長為8步，則該直角三角形內(nèi)切圓的直徑是等于______步.三、計算題：本大題共1小題，共6分。19.解一元二次方程：x2?4x+3=0四、解答題：本題共7小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。20.(本小題6分)

計算：?12+(21.(本小題10分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)．

(1)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；

(2)將△ABC繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△22.(本小題10分)

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E．

(1)求證：BE=CE；

(2)若AB=6，∠BAC=54°，求AD的長．

23.(本小題10分)

一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線.當(dāng)球飛行的水平距離為6m時，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時球離地面3m.已知球門高OB為2.44m，現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計算判斷球能否射進(jìn)球門(忽略其他因素)；

(2)對本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25m處？

24.(本小題10分)

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E在⊙O上，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，AE⊥CD，垂足為點(diǎn)D，DC的延長線交AB的延長線于點(diǎn)F．

(1)求證：CD是⊙O的切線；

(2)若CD=3，∠ABC=60°，求線段AF25.(本小題10分)

課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+2ax+a?3的最值問題展開探究．

【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法．

(1)老師給出a=?4，求二次函數(shù)y=x2+2ax+a?3的最小值．

①請你寫出對應(yīng)的函數(shù)解析式；

②求當(dāng)x取何值時，函數(shù)y有最小值，并寫出此時的y值；

【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對應(yīng)的函數(shù)在xa…?4?2024…x…?20?2?4…y的最小值…??9?3?5?15…注：?為②的計算結(jié)果．

【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請同學(xué)們結(jié)合學(xué)過的函數(shù)知識，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn).”

甲同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取x=?a，就能得到y(tǒng)的最小值.”

乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當(dāng)a由小變大時，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值”

(2)請結(jié)合函數(shù)解析式y(tǒng)=x2+2ax+a?3，解釋甲同學(xué)的說法是否合理？

26.(本小題10分)

如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D為△ABC內(nèi)部的一動點(diǎn)(不在邊上)，連接BD，將線段BD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)F的位置；將線段AB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E的位置，連接AD，CD，AE，AF，BF，EF．

(1)求證：△BDA≌△BFE；

(2)當(dāng)CD+DF+FE取得最小值時，求證：AD//BF；

(3)如圖2，M，N，P分別是DF，AF，AE的中點(diǎn)，連接MP，NP，在點(diǎn)D運(yùn)動的過程中，請判斷∠MPN的大小是否為定值．若是，求出其度數(shù)；若不是，請說明理由．

答案解析1.D

【解析】解：A、選項中有兩個未知數(shù)，所以不是一元二次方程；

B、選項中有兩個未知數(shù)，所以不是一元二次方程；

C、選項中未知數(shù)出現(xiàn)在分母里，不是整式方程，所以不是一元二次方程；

D、選項中未知數(shù)只有一個并且未知數(shù)的次數(shù)最高為2次，所以是一元二次方程；

故選：D．

根據(jù)一元二次方程的概念進(jìn)行判斷即可．

本題主要考查一元二次方程的概念，熟練掌握一元二次方程的概念是解決本題的關(guān)鍵．2.B

【解析】解：A、該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

B、該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

C、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

D、該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意．

故選：B．

中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重臺，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．根據(jù)定義依次對各個選項進(jìn)行判斷即可．

本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．正確掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形定義是解題關(guān)鍵．3.D

【解析】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，

∴∠C+∠A=180°，

∵∠C=125°，

∴∠A=55°，

故選：D．

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)計算即可．

本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．4.A

【解析】解：∵二次函數(shù)y=ax2的對稱軸為y軸，

∴若圖象經(jīng)過點(diǎn)P(?2,4)，

則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)(2,4)．

故選：5.A

【解析】解：∵x1，x2是方程x2?6x?7=0的兩個根，

∴x1+x2=?6.B

【解析】解：將拋物線y=(x?1)2+2向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后所得拋物線解析式為y=(x?1?3)2+2+2，即y=(x?4)2+47.B

【解析】解：由題意得：3.2(1+x)2=3.7，

故選：B．

根據(jù)2020年的人均可支配收入×(1+年平均增長率)8.B

【解析】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出∠B′AC′=∠BAC，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴∠BAC=180°?80°?65°=35°，

∴∠B′AC′=∠BAC=35°，

∴∠BAC′=∠BAC+∠B′AC′=70°，

故選：B．

由三角形內(nèi)角和定理可得出∠B′AC′=∠BAC=35°，最后根據(jù)角的和差關(guān)系即可得出答案．

本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定理，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠B′AC′=∠BAC是解題的關(guān)鍵．9.A

【解析】解；∵關(guān)于x的一元二次方程x2+4x?k=0有兩個相等的實數(shù)根，

∴Δ=42+4k=0，

∴k=?4，

故選：A．

根據(jù)一元二次方程根的判別式解答即可．

本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟知對于一元二次方程ax210.D

【解析】解：因為二次函數(shù)解析式為y=?x2+2x+c，

所以拋物線的對稱軸為直線x=1，且開口向下，

則拋物線上的點(diǎn)，離對稱軸越遠(yuǎn)，其函數(shù)值越?。?/p>

因為1?(?1)=2，2?1=1，4?1=3，且3>2>1，

所以y3<y1<y2．

故選：D．11.C

【解析】解：設(shè)圓心為O，連接OB，如圖所示，

∵CD垂直平分AB，AB=40cm，

∴BD=20cm，

∵CD=10cm，OC=OB，

∴OD=OB?10，

∵∠ODB=90°，

∴OD2+BD2=OB2，

∴(OB?10)2+202=OB2，

解得OB=2512.B

【解析】解：令x=0，得：y=b.∴C(0,b)．

令y=0，得：ax2+b=0，∴x=±?ba，∴A(??ba,0)，B(?ba,0)，

∴AB=2?ba，BC=OC2+OB2=b213.(2,5)

【解析】解：∵拋物線y=(x?2)2+5，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(2,5)．

故答案為：(2,5)．

由于拋物線y=a(x??)214.?9

【解析】解：2x2=9x+5，

∴2x2?9x?5=0，

∴一次項的系數(shù)為?9；

故答案為：?9．

根據(jù)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，其中a為二次項系數(shù)，b15.(1,0)

【解析】解：∵拋物線與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(?3,0)，對稱軸為直線x=?1，

∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，

故答案為：(1,0)．

根據(jù)拋物線的對稱性解答即可．

本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，正確理解拋物線的對稱性是解題的關(guān)鍵．16.x1=2，【解析】解：4x(x?2)=x?2

4x(x?2)?(x?2)=0

(x?2)(4x?1)=0

x?2=0或4x?1=0

解得x1=2，x2=14．

故答案為：x1=2，17.18°

【解析】解：由正五邊形的性質(zhì)可知，BG是正五邊形ABCDE的對稱軸，

∴∠DFG=90°，

∵∠FDG是正五邊形ABCDE的外角，

∴∠FDG=360°5=72°，

∴∠BGC=90°?72°=18°，

故答案為：18°．

由正五邊形的對稱性得出BG是正五邊形ABCDE的對稱軸，進(jìn)而得到BG⊥DE18.4

【解析】解：連接OD、OE，如下圖：

由題意可得AC、AB、BC與⊙O相切，AC=8步，BC=6步，

∴∠C=∠OED=∠ODC=90°，BD=BF，CD=CE，AF=AE，

∴四邊形ODCE為矩形，AB=AC2+BC2=82+62=10(步)，

又∵OD=OE，

∴矩形ODCE為正方形，

設(shè)半徑為r，則CD=OD=CE=r步，

∴AF=AE=(8?r)步，BF=BD=(6?r)步，

∴8?r+6?r=10，

解得r=2，

19.解：(x?3)(x?1)=0，

x?3=0或x?1=0，

所以x1=3，x【解析】利用因式分解法解方程．

本題考查了解一元二次方程?因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．20.解：?12+(3?π)0【解析】先根據(jù)乘方、零次冪、負(fù)整數(shù)次冪、立方根化簡，然后再進(jìn)行計算即可．

本題主要考查了實數(shù)的混合運(yùn)算、零次冪、負(fù)整數(shù)次冪、立方根等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算法則成為解題的關(guān)鍵．21.解：(1)如圖：△A1B1C1即為所求；點(diǎn)C1的坐標(biāo)(?3,?5)．

(2)如圖：△【解析】(1)先根據(jù)中心對稱的定義得到A、B、C的對稱點(diǎn)A1、B1、C1，然后順次連接即可完成作圖；最后再確定點(diǎn)C1的坐標(biāo)即可；

(2)先根據(jù)中心對稱的定義得到A、B、C的對稱點(diǎn)A2、B2、22.(1)證明：如圖，連接AE．

∵AB是圓O的直徑，

∴∠AEB=90°，

即AE⊥BC．

又∵AB=AC，

∴AE是邊BC上的中線，

∴BE=CE；

(2)解：∵AB=6，

∴OA=3．

又∵OA=OD，∠BAC=54°，

∴∠AOD=180°?2×54°=72°，

∴AD的長為：72×π×3180=【解析】本題考查了圓周角定理、弧長的計算以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．通過作輔助線，利用圓周角定理(或圓半徑相等)的性質(zhì)求得相關(guān)角的度數(shù)是解題的難點(diǎn)．

(1)如圖，連接AE，利用圓周角定理推知AE是等腰△ABC的垂線，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)證得結(jié)論；

(2)如圖，連接OD，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可以求得圓心角∠AOD的度數(shù)，然后利用弧長公式進(jìn)行解答．23.解：(1)∵8?6=2，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)，

設(shè)拋物線為y=a(x?2)2+3，

把點(diǎn)A(8,0)代入得：36a+3=0，

解得a=?112，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?112(x?2)2+3；

當(dāng)x=0時，y=?112×4+3=83>2.44，

∴球不能射進(jìn)球門．

(2)設(shè)小明帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線為y=?112(x?2?m)2+3，

【解析】(1)求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)，設(shè)拋物線為y=a(x?2)2+3，用待定系數(shù)法可得y=?112(x?2)2+3；當(dāng)x=0時，y=?112×4+3=83>2.44，知球不能射進(jìn)球門．

(2)設(shè)小明帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線為y=?11224.(1)證明：連接OC，

∵點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，

∴BC=CE，

∴∠BAC=∠CAE，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠OCA=∠CAD，

∴OC//AD，

∵AE⊥CD，

∴OC⊥DF，

∵OC是⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線；

(2)解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠ABC=60°，

∴∠BAC=30°，

∴∠CAD=∠BAC=30°，

∵∠D=90°，CD=3，

∴AD=3CD=3，【解析】(1)連接OC，由點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，得到BC=CE，根據(jù)圓周角定理得到∠BAC=∠CAE，求得∠OCA=∠CAD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OC⊥DF，根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；

(2)根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，求得∠BAC=30°，得到AD=25.解：(1)①a=?4，y=x2+2ax+a?3=x2?8x?7；

②當(dāng)x=?b2a=4時，y取得最小值為：16?32?7=?23；

(2)合理，理由：

∵1>0，故函數(shù)有最小值，

當(dāng)x=?b2a=?a時，y取得最小值，

故甲同學(xué)的說法合理；

(3)正確，理由：

當(dāng)x=?a時，y=x2+2ax+a?3=?【解析】(1)①a=?4，y=x2+2ax+a?3=x2?8x?7；

②當(dāng)x=?b2a=4時，y取得最小值，即可求解；

(2)1>0，故函數(shù)有最小值，即可求解

(3)當(dāng)x=?a26.解：(1)證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DB=DF，∠BDF=60°，AB=EB，∠ABE=60°，

∴△BDF是等邊三角形，BD=BF，

∴∠DBF=∠ABE=60°，

∴∠DBF?∠ABF=∠ABE?∠ABF，

∴∠ABD=∠EBF，

在△BDA與△BFE中，

{BD=BF∠ABD=∠EBF