2024-2025學(xué)年湖南省益陽市沅江市共華中學(xué)八年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含詳解）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省益陽市沅江市共華中學(xué)八年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若分式2x?1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是(

)A.x≠1 B.x≠0 C.x≠?1 D.x>12.下列各式正確的是(

)A.ba=b2a2 B.a3.已知點P(m?1,4)與點Q(2,n+2)關(guān)于y軸對稱，則nm的值為(

)A.?2 B.12 C.?124.化簡4a22a?b+A.?2a+b B.?2a?b C.2a+b D.2a?b5.小明和同學(xué)去距學(xué)校15千米的某景點參觀，小明騎自行車先走，過了10分鐘，其余同學(xué)乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達，已知汽車的速度比小明騎車速度快50千米/時，設(shè)小明騎車速度為x千米/時，則所列方程正確的是(

)A.15x?50?15x=10 B.15x6.如圖，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，連接AC，BD交于點M，連接OM．

下列結(jié)論：①AC=BD；②∠AMB=40°；

③OM平分∠BOC；

④MO平分∠BMC．

其中正確的個數(shù)為(

)A.① B.①② C.①②③ D.①②④7.下列命題中，屬于假命題的是(

)A.等底等高的兩個三角形的面積相等 B.三角形的外角和等于內(nèi)角和的2倍

C.三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和 D.全等三角形的面積相等8.已知在△ABC中，AB=AC=6.5，AD⊥BC于點D，AD=6，BD=2.5，點P為AD邊上的動點.點E為AB邊上的動點，則PE+PB的最小值是(

)A.5

B.6

C.6013

D.9.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB的中垂線交AB于點D，交BC于點E，連接AE，若∠BED=70°，則∠CAE的度數(shù)為(

)A.30° B.40° C.50° D.60°10.如圖，已知AB=AC，∠ADB=∠E，要使△BAD≌△CAE，則不符合條件的是(

)A.∠1=∠2

B.∠B=∠C

C.BD=CE

D.∠BAD=∠CAE二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。11.如圖，已知∠AOB，以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧MN，分別交OA，OB于點M，N，再以點N為圓心，以MN長為半徑畫弧PQ，交弧MN于點C，畫射線OC.若∠AOB=31°52′12″，則∠AOC的度數(shù)為______度.12.計算(1?12)×(1?13.計算：|?5|+(2?3)014.若x?3(x+1)(x?1)=Ax+1+B15.已知關(guān)于x的分式方程1?ax2?x?1x?2+1=0有整數(shù)解，且一次函數(shù)y=ax+a16.如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D為線段BC上一動點(不與點B，C重合)，連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于E.以下四個結(jié)論：

①∠CDE=∠BAD；

②當D為BC中點時，DE⊥AC；

③當∠BAD=30°時，BD=CE；

④當△ADE為等腰三角形時，∠BAD=30°．

其中正確的結(jié)論是______(把你認為正確結(jié)論的序號都填上)．17.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D，E，連接BE.若BD=3cm，△ABC的周長為16cm，則△BCE的周長為______cm．18.如圖，點D、A、E在直線m上，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥m于點D，CE⊥m于點E，且BD=AE.若BD=3，CE=5，則DE=______．三、解答題：本題共8小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.(本小題7分)

先化簡再求值：[(x?y)2?(x+y)(x?y)]÷2y，其中x=?3，y=220.(本小題7分)

為加快公共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某停車場計劃購買A，B兩種型號的充電樁.已知A型充電樁比B型充電樁的單價少0.3萬元，且用15萬元購買A型充電樁與用20萬元購買B型充電樁的數(shù)量相等.請問：A，B兩種型號充電樁的單價各是多少？21.(本小題8分)

“冰墩墩”和“雪容融”作為第24屆北京冬奧會和冬殘奧會的吉祥物深受大家喜愛.某文旅店訂購“冰墩墩”和“雪容融”兩種毛絨玩具，花費分別是24000元和10000元，已知“冰墩墩”毛絨玩具的訂購單價是“雪容融”毛絨玩具的訂購單價的1.2倍，并且訂購的“冰墩墩”毛絨玩具的數(shù)量比“雪容融”毛絨玩具的數(shù)量多100件.求文旅店訂購的兩種毛絨玩具的單價分別是多少元；22.(本小題8分)

先化簡，再求值：(xx?1?1)÷x23.(本小題9分)

如圖，四邊形ABCD中，BC=CD，AC=DE，AB//CD，∠B=∠DCE=90°，AC與DE相交于點F．

(1)求證：△ABC≌△ECD；

(2)判斷線段AC與DE的位置關(guān)系，并說明理由．24.(本小題9分)

如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A=∠D，AB=DC．

(1)求證：△ABE≌△DCE；

(2)當∠AEB=50°，求∠EBC的度數(shù)．25.(本小題9分)

生活中的數(shù)學(xué)：

(1)啟迪中學(xué)計劃為現(xiàn)初一學(xué)生暑期軍訓(xùn)配備如圖1所示的折疊凳，這樣設(shè)計的折疊発坐著舒適、穩(wěn)定，這種設(shè)計所運用的數(shù)學(xué)原理是______．

(2)圖2是折疊凳撐開后的側(cè)面示意圖(木條等材料寬度忽略不計)，其中凳腿AB和CD的長相等，O是它們的中點.為了使折疊凳坐著舒適，廠家將撐開后的折疊凳寬度AD設(shè)計為30cm，則由以上信息可推得CB的長度也為30cm，請說明AD=CB的理由．

26.(本小題9分)

如圖，某段河流的兩岸是平行的，某校八年級數(shù)學(xué)興趣小組在林老師帶領(lǐng)下不用涉水過河就測得河的寬度，他們是這樣做的：

①在樹A的對岸l正對位置選一點B，使得AB⊥l；

②從點B沿河岸直走25米有一樹C，繼續(xù)前行25米到達D處；

③從D處沿河岸垂直的方向行走到達E處，使得樹A、樹C、點E三點共線；

④測得DE的長為20米．

(1)根據(jù)他們的做法補全圖形并標出點B、D、E的位置；

(2)求該段河流的寬度是多少米？

答案解析1.A

【解析】解：∵分式2x?1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

∴x?1≠0，

解得：x≠1．

故選：A．

直接利用分式有意義則分母不為零進而得出答案．

2.D

【解析】解：A、當a≠b時，原式不成立，故本選項錯誤；

B、當(a+b)2a+b=a+b，原式不成立，故本選項錯誤；

C、2y2x+2y=yx+y，故本選項錯誤；

D、原式成立，故本選項正確．3.B

【解析】解：∵點P(m?1,4)與點Q(2,n+2)關(guān)于y軸對稱，

∴m?1=?2，n+2=4，

解得：m=?1，n=2，

則nm的值為：2?1=12．

故選：B．

直接利用關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)得出m，n的值，進而得出答案．

此題主要考查了關(guān)于y4.C

【解析】解：原式=4a22a?b?b22a?b

=4a2?b5.D

【解析】解：由題意可得：15x?15x+50=16．

故選：D．

6.D

【解析】解：∵∠AOB=∠COD=40°，

∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，

即∠AOC=∠BOD，

在△AOC和△BOD中，

OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，

∴△AOC≌△BOD(SAS)，

∴∠OCA=∠ODB，∠OAC=∠OBD，AC=BD，①正確；

由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，

∴∠AMB=∠AOB=40°，②正確；

作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如圖2所示：

則∠OGC=∠OHD=90°，

在△OCG和△ODH中，

∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD，

∴△OCG≌△ODH(AAS)，

∴OG=OH，

∴MO平分∠BMC，④正確；

∵∠AOB=∠COD，

∴當∠DOM=∠AOM時，OM才平分∠BOC，

假設(shè)∠DOM=∠AOM，

∵△AOC≌△BOD，

∴∠COM=∠BOM，

∵MO平分∠BMC，

∴∠CMO=∠BMO，

在△COM和△BOM中，

∠COM=∠BOMOM=OM∠CMO=∠BMO，

∴△COM≌△BOM(ASA)，

∴OB=OC，

∵OA=OB，

∴OA=OC，

與OA>OC矛盾，

∴③錯誤；

正確的有①②④；

故選：D．

由SAS證明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正確；

由全等三角形的性質(zhì)得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，②正確；

作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如圖所示：則∠OGC=∠OHD=90°，由AAS證明△OCG≌△ODH(AAS)，得出OG=OH，由角平分線的判定方法得出MO平分∠BMC，④正確；

由∠AOB=∠COD，得出當∠DOM=∠AOM時，OM才平分∠BOC，假設(shè)∠DOM=∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以O(shè)A=OC，而OA>OC7.C

【解析】解：A、等底等高的兩個三角形的面積相等，該命題是真命題，不合題意；

B、三角形的外角和等于內(nèi)角和的2倍，該命題是真命題，不合題意；

C、三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，原命題是假命題，符合題意；

D、全等三角形的面積相等，該命題是真命題，不合題意；

故選：C．

根據(jù)三角形的面積、三角形的內(nèi)角和與外角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)逐一判斷即可求解．

本題考查了真假命題，掌握三角形的面積、三角形的內(nèi)角和與外角和定理、三角形的外角性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.C

【解析】解：∵AD=6，BD=2.5，AB=6.5，

∴AB2=6.52=42.25，AD2+BD2=62+2.52=42.25，

∴AB2=AD2+BD2，

∴∠ADB=90°，

∵D為BC的中點，BD=CD，

∴AD垂直平分BC，

∴點B，點C關(guān)于直線AD對稱，

過C作CE⊥AB交AD于P，則此時PE+PB=CE的值最小，

∵S△ABC=12AB?CE=12BC?AD，

9.C

【解析】解：∵AB的中垂線交AB于點D，交BC于點E，

∴AE=BE，∠EDB=90°，

∴∠B=∠EAD，

∵∠BED=70°，

∴∠B=90°?70°=20°，

∴∠EAD=20°，∠CAB=90°?∠B=70°，

∴∠CAE=70°?20°=50°，

故選C．

根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)求出∠B=∠EAB，求出∠B，即可求出∠EAB和∠CAB，即可求出答案．

本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠CAB和∠EAD的度數(shù)，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．10.C

【解析】解：A、∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，又由AB=AC，∠ADB∠E，根據(jù)AAS可判定△BAD△CAE，故此選項不符合題意；

B、由AB=AC，∠ADB=∠E，∠B=∠C，根據(jù)AAS可判定△BAD△CAE，故此選項不符合題意；

C、由AB=AC，BD=CE，∠ADB=∠E，這是兩邊及一邊的對角，不能判定△BAD△CAE，故此選項符合題意；

D、由AB=AC，∠ADB=∠E，∠BAD=∠CAE，根據(jù)AAS可判定△BAD△CAE，故此選項不符合題意；

故選：C．

根據(jù)全等三角形的判定解決此題．

本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解決本題的關(guān)鍵．11.63.74

【解析】解：由題意得：∠AOB=∠BOC=31°52′12″，

∴∠AOC=2∠AOB=2×31°52′12″=62°104′24″=63°44′24″，

∵1′=60′，

∴24″=0.4′，

∵1°=60′，

∴44.4′=0.74°，

∴∠AOB=63.74°，

故答案為：63.74°．

根據(jù)題意可得：∠AOB=∠BOC=31°52′12″，從而可得∠AOC=63°44′24″，然后利用度分秒的進制進行計算，即可解答．

本題考查了度分秒的換算，角平分線的性質(zhì)，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．12.12022【解析】解：原式=12×23×313.6

【解析】解：原式=5+1

=6．

故答案為：6．

利用絕對值的意義和零指數(shù)冪的意義化簡運算即可．

本題主要考查了實數(shù)的運算，熟練掌握絕對值的意義和零指數(shù)冪的意義是解題的關(guān)鍵．14.3

【解析】解：x?3(x+1)(x?1)=Ax+1+Bx?1=A(x?1)+B(x+1)(x+1)(x?1)=(A+B)x+B?A(x+1)(x?1)，

∴A+B=1B?A=?3，

解得A=2B=?115.3

【解析】解：去分母得：1?ax+1+2?x=0，

解得：x=4a+1且x≠2，

∵關(guān)于x的分式方程1?ax2?x?1x?2+1=0有整數(shù)解，

∴4a+1為整數(shù)且4a+1≠2，

解得：a=0或3或?5或?3或?2，

∵一次函數(shù)y=ax+a圖象經(jīng)過第一、二、三象限，

∴a>0，

∴符合條件的a的值為3，

故答案為：3．

解分式方程得x=4a+1且x≠2，則整數(shù)a為016.①②③

【解析】解：①∵AB=AC，

∴∠B=∠C=40°，

∴∠BAD=180°?40°?∠ADB，∠CDE=180°?40°?∠ADB，

∴∠BAD=∠CDE；故①正確；

②∵D為BC中點，AB=AC，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴∠CDE=50°，

∵∠C=40°，

∴∠DEC=90°，

∴DE⊥AC，故②正確；

③∵∠BAD=30°，

∴∠CDE=30°，

∴∠ADC=70°，

∴∠CAD=180°?70°?40°=70°，

∴∠DAC=∠ADC，

∴DC=AC，

∵AB=AC，

∴DC=AB，

∴△ABD≌△DCE(ASA)，

∴BD=CE；故③正確；

④∵∠C=40°，

∴∠AED>40°，

∴∠ADE≠∠AED，

∵△ADE為等腰三角形，

∴AE=DE，

∴∠DAE=∠ADE=40°，

∵∠BAC=180°?40°?40°=100°，

∴∠BAD=60°，故④錯誤，

故答案為：①②③．

①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=40°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義即可得到∠BAD=∠CDE；故①正確；

②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到DE⊥AC，故②正確；

③根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CE；故③正確；

④根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠AED>40°，求得∠ADE≠∠AED，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到∠BAD=60°，故④錯誤．

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．17.10

【解析】解：∵ED垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴AD=BD=3cm，AB=6cm，

∵△ABC的周長為16cm，

∴AC+BC=16?6=10(cm)，

△BCE的周長=BC+CE+AE=BC+CE+AE=10(cm)．

故答案為：10．

由已知條件，利用垂直平分線的性質(zhì)可得其兩條邊AE=BE，然后等效替換即可求出周長．

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及判定及垂直平分線的性質(zhì)；進行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．18.8

【解析】解：∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∴∠CAE=∠ABD，

∵在△ADB和△CEA中，

∠BDA=∠AEC∠ABD=∠CAEAB=CA,

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴BD=AE=3，AD=CE=5，

∴DE=AD+AE=8，

故答案為：8．

根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解．

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)“AAS”判斷△ADB19.解：[(x?y)2?(x+y)(x?y)]÷2y

=(x2?2xy+y2?x2+y2)÷2y

=(?2xy+2y2)÷2y

=?x+y【解析】利用整式的相應(yīng)的法則對式子進行化簡，再代入相應(yīng)的值運算即可．

本題主要考查整式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．20.解：設(shè)A型充電樁的單價為x萬元，則B型充電樁的單價少(x+0.3)萬元，

根據(jù)題意得15x=20x+0.3，

解得x=0.9，

經(jīng)檢驗x=0.9是原方程的解，

x+0.3=1.2．

答：A型充電樁的單價為0.9萬元，則B【解析】設(shè)A型充電樁的單價為x萬元，則B型充電樁的單價少(x+0.3)萬元，根據(jù)“用15萬元購買A型充電樁與用20萬元購買B型充電樁的數(shù)量相等”列出分式方程，求解即可．

本題考查了分式的應(yīng)用解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系，正確列出分式方程．21.解：設(shè)文旅店訂購的“雪容融”毛絨玩具的單價為x元，則“冰墩墩”毛絨玩具的單價為1.2x元，

由題意得：240001.2x?10000x=100，

解得：x=100，

經(jīng)檢驗，x=100是原分式方程的解，且符合題意，

∴1.2x=1.2×100=120，

答：文旅店訂購的“雪容融”毛絨玩具的單價為【解析】設(shè)文旅店訂購的“雪容融”毛絨玩具的單價為x元，則“冰墩墩”毛絨玩具的單價為1.2x元，根據(jù)訂購的“冰墩墩”毛絨玩具的數(shù)量比“雪容融”毛絨玩具的數(shù)量多100件．列出分式方程，解方程即可．

本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．22.解：原式=1x?1×(x?1)2(x+1)(x?1)=1x+1【解析】根據(jù)分式的運算法則進行化簡，然后將x的值代入原式即可求出答案．

本題考查分式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．23.(1)證明：在Rt△ABC和Rt△ECD中，

AC=DEAB=EC，

∴Rt△ABC≌Rt△ECD(HL)，

(2)解：AC⊥DE.理由如下：

∵△ABC≌△ECD，

∴∠BCA=∠CDE，

∵∠B=∠DCE=90°，

∴∠BCA+∠ACD=90°，

∴∠CDE+∠ACD=9