教師版2020海淀區(qū)九年級(jí)期末數(shù)學(xué)備考訓(xùn)練圓(一)

2020海淀區(qū)九年級(jí)期末數(shù)學(xué)備考訓(xùn)練圓

參考答案與試題解析

一.選擇題（共18小題）

1.如圖，。。是△ABC的外接圓，ZOCB=40°,則/A的大小為（）

A.40°B.50°C.80°D.100°

【分析】根據(jù)圓周角定理即可求出答案

【解答】解：???02=0C

AZBOC=180°-2Z6>CB=100°,

由圓周角定理可知：ZA=LZBOC=50°

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，注意圓的半徑都相等，本題屬于基礎(chǔ)題型.

2.一個(gè)扇形的圓心角是120°,面積為37rsi2,那么這個(gè)扇形的半徑是（）

A.1cmB.3cmC.6cmD.9cm

2

【分析】根據(jù)扇形的面積公式：5=里1互代入計(jì)算即可解決問題.

360

【解答】解：設(shè)扇形的半徑為R,

2

12Q7rP?

由題意：3ir=--,解得R=±3,

360

：R>0,

:?R=3cm,

,這個(gè)扇形的半徑為3cm.

故選：B.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積公式，關(guān)鍵是記住扇形的面積公式：5=承'R==工￡我（￡

3602

是弧長，R是半徑），屬于中考?？碱}型.

3.如圖，。。是AABC的外接圓，若/AOB=100°,則/ACB的度數(shù)是（)

C.60°D.80°

【分析】已知o。是AABC的外接圓，ZAOB=100°,根據(jù)圓周角定理可求得NAC3

的度數(shù).

【解答】解：:。。是△ABC的外接圓,ZA（9B=100°,

/.ZACB=LZAOB=^X100°=50°.

22

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角是所

對(duì)的圓心角的一半.

、D是圓上的兩點(diǎn).若則AB的長為（）

CBC=8,COSD--2,

3

C2砥

16D.12

~3'~5~

【分析】連接AC,根據(jù)圓周角定理得到N2=NDNAC2=90。，根據(jù)余弦的定義計(jì)算

即可.

【解答】解：連接AC,

由圓周角定理得，ZB=ZD,

?.NB是O。的直徑，

/.ZACB=9Q°,

COSJB=^^=—,又BC=8,

AB3

:.AB=n,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理和銳角三角函數(shù)的定義，掌握在同圓或等圓中，同弧

或等弧所對(duì)的圓周角相等、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

5.若如圖是某個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是（）

A.長方體B.正方體C.圓柱D.圓錐

【分析】由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀.

【解答】解：主視圖和左視圖都是等腰三角形，那么此幾何體為錐體，由俯視圖為圓，

可得此幾何體為圓錐.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三視圖，如果有兩個(gè)視圖為三角形，該幾何體一定是錐，

如果有兩個(gè)矩形，該幾何體一定柱，其底面由第三個(gè)視圖的形狀決定.

6.如圖，AB是半圓。的直徑，AC為弦，于。，過點(diǎn)。作OE/7AC交半圓。于

點(diǎn)E,過點(diǎn)￡作所，A3于?若AC=2,則的長為（）

A.1B.3C.1D.2

24

【分析】根據(jù)垂徑定理求出AO，證△AOOgZXOFE,推出。尸=A。，即可求出答案.

【解答】解：'：OD1.AC,AC=2,

：.AD=CD=\,

VODXAC,EFLAB,

：.ZADO=ZOFE=90°,

OE//AC,

/.ZDOE=ZADO=90°,

AZDAO+ZDOA^90°,ZD0A+ZEF=9Q°,

ZDAO=ZEOF,

在△A。。和△OPE中，

'/ADO=/EFO

,ZDA0=ZF0E-

OA=OE

.?.△ADO咨LOFE（44S）,

：.OF=AD=\,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂徑定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出

和求出AO的長，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦.

7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)（3,4）為圓心，4為半徑的圓與>軸所在直線的位置

關(guān)系是（）

A.相離B.相切C.相交D.無法確定

【分析】可先求出圓心到y(tǒng)軸的距離，再根據(jù)半徑比較，若圓心到y(tǒng)軸的距離大于圓心

距，y軸與圓相離；小于圓心距，y軸與圓相交；等于圓心距，y軸與圓相切.

【解答】解：依題意得：圓心到y(tǒng)軸的距離為：3〈半徑4,

所以圓與y軸相交，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是圓與直線的關(guān)系，即圓心到直線的距離大于圓心距，直線與圓相

離；小于圓心距，直線與圓相交；等于圓心距，則直線與圓相切.

8.如圖，是的切線，2為切點(diǎn)，4?的延長線交。。于C點(diǎn)，連接BC,若/A=30°,

A.4B.6C.473D.65/3

【分析】連接03,則△AOB是直角三角形，利用三角函數(shù)即可求得。4的長，則AC即

可求解.

【解答】解：連接。B.

「AB是O。的切線，B為切點(diǎn)、,

在直角△0A8中，0B=AB?tanA=2j^><2/1.=2,

3

則OA=2OB=4,

/.AC=4+2=6.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)以及切線的性質(zhì)，正確判斷△O4B是直角三角形是關(guān)鍵.

9.如圖，。。是△ABC的外接圓，NOC2=40°,則NA的度數(shù)等于（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

【分析】在等腰三角形0cB中，求得兩個(gè)底角NOBC、N0C2的度數(shù)，然后根據(jù)三角形

的內(nèi)角和求得/COB=100°；最后由圓周角定理求得/A的度數(shù)并作出選擇.

【解答】解：在△0C2中，OB=OC（。。的半徑），

：.ZOBC=ZOCB（等邊對(duì)等角）；

VZ（?CB=40°,ZC0B=180°-ZOBC-ZOCB,

：.ZCOB=lOO°；

又???/AML/COB（同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半），

2

AZA=50°,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半.解題時(shí)，

借用了等腰三角形的兩個(gè)底角相等和三角形的內(nèi)角和定理.

10.如圖，以G（0,1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D

兩點(diǎn)，點(diǎn)￡為OG上一動(dòng)點(diǎn)，CFLAE于反當(dāng)點(diǎn)￡從點(diǎn)8出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí),

點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長為（）

A.1兀B.叵穴C.叵穴D.叵穴

2346

【分析】連接AC,AG,由OG垂直于AB,利用垂徑定理得到。為AB的中點(diǎn)，由G的

坐標(biāo)確定出OG的長，在直角三角形AOG中，由AG與OG的長，利用勾股定理求出A。

的長，進(jìn)而確定出AB的長，由CG+GO求出OC的長，在直角三角形AOC中，利用勾

股定理求出AC的長，由CP垂直于AE,得到三角形ACP始終為直角三角形，點(diǎn)P的運(yùn)

動(dòng)軌跡為以AC為直徑的半徑，如圖中紅線所示，當(dāng)E位于點(diǎn)B時(shí)，COLAE,此時(shí)F

與。重合；當(dāng)￡位于。時(shí)，CA±AE,此時(shí)尸與A重合，可得出當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)2出發(fā)順時(shí)

針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)尸所經(jīng)過的路徑長余，在直角三角形ACO中，利用銳角三角函數(shù)

定義求出/ACO的度數(shù)，進(jìn)而確定出前所對(duì)圓心角的度數(shù)，再由AC的長求出半徑，利

用弧長公式即可求出々的長.

【解答】解：連接AC,AG,

"：GO1AB,

二。為A3的中點(diǎn)，即49=80=工42,

2

VG(0,1),即OG=1,

...在RtZXAOG中，根據(jù)勾股定理得：AO=y小用鏟=如，

：.AB=2AO=2-/j,

又CO=CG+GO=2+1=3,

=22=2,

...在RtZvlOC中，根據(jù)勾股定理得：AC7AO+CO^3

CF±AE,

.?.△ACP始終是直角三角形，點(diǎn)廠的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AC為直徑的半圓，

當(dāng)E位于點(diǎn)8時(shí)，CO±AE,此時(shí)F與O重合；當(dāng)E位于。時(shí)，CALAE,此時(shí)尸與A

重合，

，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長褊，

在RtZXACO中，tan/ACO=^=2!&,

CO3

/.ZACO=30°,

.??俞度數(shù)為60。，

?.,直徑AC=2?,

???益的長為6°兀又愿=逅H,

1803_

則當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長返TT.

3

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題屬于圓綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函

數(shù)定義，弧長公式，以及圓周角定理，其中根據(jù)題意得到點(diǎn)E從點(diǎn)8出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)廠所經(jīng)過的路徑長益是解本題的關(guān)鍵.

11.已知圓錐的底面半徑為2cm,母線長為5”小則圓錐的側(cè)面積是（）

A.20cm2B.20itcm2C.lOncm2D.5ircm2

【分析】圓錐的側(cè)面積=TTX底面半徑X母線長，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解.

【解答】解：圓錐的側(cè)面積=TtX2X5=10nzw2,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐側(cè)面積的求法.

12.已知O為圓錐頂點(diǎn)，OA、。8為圓錐的母線，C為OB中點(diǎn)，一只小螞蟻從點(diǎn)C開始

沿圓錐側(cè)面爬行到點(diǎn)A,另一只小螞蟻也從C點(diǎn)出發(fā)，繞著圓錐側(cè)面爬行到點(diǎn)8,它們

所爬行的最短路線的痕跡如右圖所示.若沿。4剪開，則得到的圓錐側(cè)面展開圖為（）

o

【分析】要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最

短”得出結(jié)果，再利用做對(duì)稱點(diǎn)作出另一只小螞蟻繞著圓錐側(cè)面爬行到點(diǎn)B,它們所爬

行的最短路線.

【解答】解：為02中點(diǎn)，一只小螞蟻從點(diǎn)C開始沿圓錐側(cè)面爬行到點(diǎn)A,

側(cè)面展開圖BO為扇形對(duì)稱軸，連接AC即可是最短路線，

???另一只小螞蟻繞著圓錐側(cè)面爬行到點(diǎn)作出C關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)，再利用扇形對(duì)稱

性得出關(guān)于B0的另一對(duì)稱點(diǎn)，連接即可；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓錐側(cè)面展開圖以及做對(duì)稱點(diǎn)得出最短路徑，根據(jù)做對(duì)稱點(diǎn)得

出最短路徑問題是中考中考查重點(diǎn)也是難點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握.

13.兩圓的半徑分別為2和5,圓心距為7,則這兩圓的位置關(guān)系為（）

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切

【分析】根據(jù)數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系.設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，且R，r,

圓心距為出外離，貝!|d>R+r；外切，則〃=11+廣；相交，則R-r<d<R+r；內(nèi)切，則

d=R-r；內(nèi)含，則d<R-r.

【解答】解：???兩圓的半徑分別為2和5,圓心距為7,

則2+5=7,

???根據(jù)圓心距與半徑之間的數(shù)量關(guān)系可知OO1與的位置關(guān)系是外切.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓位置關(guān)系的方法.

14.如圖，是△ABC的外接圓，已知/42。=30°,則/ACB的大小為（）

A.60°B.30°C.45°D.50°

【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出/A08的度數(shù)，再利用圓

周角與圓心角的關(guān)系求出/ACB的度數(shù).

【解答】解：△AOB中，OA=OB,NAB。=30°；

/.ZAOB=180°-2ZABO=120°；

AZACB^kzAOB=6Q°；故選A.

2

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角定理的應(yīng)用，涉及到的知識(shí)點(diǎn)還有：等腰三角形的性質(zhì)

以及三角形內(nèi)角和定理.

15.圓錐的底面直徑是8,母線長為12,則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是（）

A.60°B.120°C.150°D.180°

【分析】圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，要求這個(gè)扇形的圓心角，已知母線長為12,即已知

扇形的半徑是12,只要求出扇形的弧長就可以根據(jù)S=L次求出扇形的面積，進(jìn)而根據(jù)

2

扇形面積公式求出圓心角.

【解答】解：扇形的弧長/=8m

則扇形的面積是S=L/R=LX8TTX12=48TT,

22

2

根據(jù)扇形的面積公式s=史也得到：

360

4，=n兀T曲

360

.".?=120°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算.解題思路：解決此類問題時(shí)要緊緊

抓住兩者之間的兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；（2）圓

錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長.正確對(duì)這兩個(gè)關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，為直徑，CZ）為O。的弦，ZACD=28°,則NBA。的度數(shù)為（）

【分析】連接BD,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，構(gòu)造直角三角形ABD,再根據(jù)同弧

所對(duì)的圓周角相等，求得的度數(shù)，即可求得的度數(shù).

【解答】解：連接2D

,：AB為。。直徑

/ADB=90°

'：ZB=ZACD=2S°

：.ZBAD=90°-NB=62°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】考查了圓周角定理的推論.構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是圓中常見的輔助線之一.

17.已知兩圓的半徑分別為3、5,且它們的圓心距為2,則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為（）

A.外離B.內(nèi)切C.相交D.內(nèi)含

【分析】本題直接告訴了兩圓的半徑及圓心距，根據(jù)數(shù)量關(guān)系與兩圓位置關(guān)系的對(duì)應(yīng)情

況便可直接得出答案.

【解答】解：由題意知，

兩圓圓心距P=2

VR-r=5-3=2,

：.P=R-r

故兩圓內(nèi)切.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩圓之間的位置關(guān)系，兩圓外離，則尸>R+r；外切，貝UP=R+r；

相交，則R-r<P<R+r；內(nèi)切，則尸=R-r；內(nèi)含，則尸<R-r.（P表示圓心距，R,

廠分別表示兩圓的半徑）.

18.如圖，已知O。中，半徑0c垂直于弦垂足為D,若?！?gt;=3,。4=5,則的長

C.6D.8

【分析】利用垂徑定理和勾股定理計(jì)算.

【解答】解：根據(jù)勾股定理得AD=4

根據(jù)垂徑定理得AB=2AD=S

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】考查了垂徑定理和勾股定理的運(yùn)用.

填空題（共11小題）

19.半徑為2且圓心角為90°的扇形面積為n.

【分析】根據(jù)扇形面積公式求出即可.

【解答】解：扇形的面積是卻兀X

360

故答案為TT.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積計(jì)算，能熟記扇形的面積公式是解此題的關(guān)鍵.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是直線y=2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。尸的半徑為1,直線

OQ切。尸于點(diǎn)Q,則線段OQ的最小值為

【分析】連接PQ、OP,如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得PQ±OQ,再利用勾股定理得到OQ

=./op2_1，利用垂線段最短，當(dāng)O尸最小時(shí)，O。最小，然后求出OP的最小值，從而

得到OQ的最小值.

【解答】解：連接PQ、0P,如圖，

:直線。。切。尸于點(diǎn)Q,

：.PQ±OQ,

在RtZ\OPQ中，OQ=4op2_pQ2=qop2

當(dāng)。尸最小時(shí)，OQ最小，

當(dāng)0尸，直線y=2時(shí)，0P有最小值2,

：.OQ的最小值為J區(qū)二=?.

故答案為m.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.也考查了勾股定理.

21.若一個(gè)扇形的圓心角為60°,面積為6m則這個(gè)扇形的半徑為6.

【分析】已知了扇形的圓心角和面積，可直接根據(jù)扇形的面積公式求半徑長.

【解答】解：扇形的面積=60兀/=67T.

360

解得：r=6,

故答案為：6

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了扇形的面積公式.熟練將公式變形是解題關(guān)鍵.

22.如圖，AB是。0的直徑，PA,PC分別與相切于點(diǎn)A,點(diǎn)C,若NP=60°,PA=M，

則AB的長為2.

【分析】首先證明△加C是等邊三角形，推出AC=陰=遂，再證明/84?=30°即可

解決問題；

【解答】解：：孫、尸3是。。的切線，

：.PA=PC,

0=60°,

...△B4C是等邊三角形，

：.AC=PA=^N%C=60。,

:孫是切線，AB是直徑，

：.PALAB,NACB=90°,

AZBAC=30°,

：.AB^—這—=2,

cos300

故答案為2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

23.下面是“作一個(gè)30°角”的尺規(guī)作圖過程.

已知：平面內(nèi)一點(diǎn)A.

求作：ZA,使得NA=30°.

作法：如圖，

（1）作射線AB；

（2）在射線上取一點(diǎn)0,以。為圓心，04為半徑作圓，與射線相交于點(diǎn)C；

（3）以C為圓心，OC為半徑作弧，與。。交于點(diǎn)。，作射線AD

/D4B即為所求的角.

請(qǐng)回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是三邊相等的三角形是等邊三角形；圓周角的度數(shù)等于圓

心角度數(shù)的一半..

久OCB

【分析】先根據(jù)作圖得出OB=OC=CD,即△OCT）為等邊三角形，據(jù)此可得/COD=

60°,再根據(jù)圓周角定理知NZMC=L/COZ）=30°,從而得出答案.

2

【解答】解：如圖，連接OD、OC,

...△OCZ）為等邊三角形，

則/COO=60°,

AZDAC=kZCOD=30°,

2

綜上可知，該尺規(guī)作圖的依據(jù)是：三邊相等的三角形是等邊三角形；圓周角的度數(shù)等于

圓心角度數(shù)的一半；

故答案為：三邊相等的三角形是等邊三角形；圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的判定和圓

周角定理.

24.下面是“用三角板畫圓的切線”的畫圖過程.

如圖1,已知圓上一點(diǎn)A,畫過A點(diǎn)的圓的切線.

畫法：（1）如圖2,將三角板的直角頂點(diǎn)放在圓上任一點(diǎn)C（與點(diǎn)A不重合）處，使其

一直角邊經(jīng)過點(diǎn)A,另一條直角邊與圓交于8點(diǎn)，連接AB；

（2）如圖3,將三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，使一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)3畫出另一條直

角邊所在的直線AD.

所以直線就是過點(diǎn)A的圓的切線.

請(qǐng)回答：該畫圖的依據(jù)是90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，經(jīng)過半徑外端并且垂直于這

條半徑的直線是圓的切線

B

B，

圖1圖2圖3

【分析】畫法（1）的依據(jù)為圓周角定理，畫法（2）的依據(jù)為切線的判定定理.

【解答】解：利用90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑可得到AB為直徑，根據(jù)經(jīng)過半徑外端

并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線可判斷直線AD就是過點(diǎn)A的圓的切線.

故答案為90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑，經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓

的切線.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-復(fù)雜：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般

是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的

性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

25.如圖，已知扇形的半徑為3c7”，圓心角為120°,則扇形的面積為3ncm2.（結(jié)果保

留Tt）

【分析】知道扇形半徑，圓心角，運(yùn)用扇形面積公式就能求出.

【解答】解：由5=工（1「2知

2r

S=—XAnX32=3itcm2.

23

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查扇形面積的計(jì)算，知道扇形面積計(jì)算公式5=工（1=2?

2r

26.如圖，A、B、C在。。上，若/498=100°,則130°.

【分析】首先在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)。，連接A。，BD,由圓周角定理可求得的度數(shù)，然

后由圓的內(nèi)接四邊新的性質(zhì)，求得/ACB的度數(shù).

【解答】解：在優(yōu)弧上取點(diǎn)。，連接ADBD,

VZAOB=100°,

：.ZD=LXAOB=50°,

2

AZACB=180°-ZD=130°.

故答案為：130.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握輔

助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

27.如圖，將半徑為2c機(jī)的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O,則折痕的長為2班

【分析】通過作輔助線，過點(diǎn)0作0DLA8交于點(diǎn)D,根據(jù)折疊的性質(zhì)可知OA=2OD,

根據(jù)勾股定理可將的長求出，通過垂徑定理可求出AB的長.

【解答】解：過點(diǎn)。作交于點(diǎn)。，連接OA,

*.*OA—2OD—2cm,

：.AD=^2=^2-12=43cm,

QA2_QD2

*CODLAB,

??A.B—2AZ)—2'<\/"^。力.

故答案為：2M.

O

D

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查垂徑定理和勾股定理的運(yùn)用.

28.已知尸是。。外一點(diǎn)，E4切于A,尸2切。。于2.若B4=6,則PB=6.

【分析】根據(jù)切線長定理知：PA=PB,由此可求出尸B的長.

【解答】解：都是。。的切線，且A、8是切點(diǎn)；

：.PA=PB,即尸8=6.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等.

29.如圖，已知大半圓。。1與小半圓。。2相內(nèi)切于點(diǎn)8,大半圓的弦切小半圓于點(diǎn)D

若MN〃AB,當(dāng)MN=4時(shí)，則此圖中的陰影部分的面積是2Tt.

A（\02B

【分析】把小半圓平移到。1,02重合，陰影部分的面積不變，根據(jù)切線的性質(zhì)定理以及

勾股定理，得陰影部分的面積是衛(wèi)MN2=2m

8

【解答】解：根據(jù)題意可知平移后如圖：

陰影部分的面積=大半圓的面積-小半圓的面積，

S陰=—TIDN1=-L-rt,-MN1=2n.

224

【點(diǎn)評(píng)】注意：圓環(huán)的面積=工&2.Q即是相切于小圓的大圓的弦長）

40

三.解答題（共21小題）

30.下面是小元設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖1,O。及O。上一點(diǎn)尸.

求作：過點(diǎn)尸的O。的切線.

作法：如圖2,

①作射線OP;

②在直線OP外任取一點(diǎn)A,以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作OA,與射線OP交于另一點(diǎn)B；

③連接并延長BA與交于點(diǎn)C；

④作直線PC；

則直線PC即為所求.

根據(jù)小元設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：是OA的直徑，

AZBPC=90°（圓周角定理）（填推理的依據(jù)）.

J.OPLPC.

又：。尸是。。的半徑，

【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；

（2）根據(jù)圓周角定理得到N2PC=90°,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖所示，則直線PC即為所求；

（2）證明：?.?BC是OA的直徑，

ZBPC=90°（圓周角定理），

：.OP±PC.

又：。尸是oo的半徑，

?..PC是的切線（切線的判定）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

31.如圖，AB是。O的弦，半徑OELAB,P為AB的延長線上一點(diǎn)，PC與。。相切于點(diǎn)

C,CE與交于點(diǎn)H

(1)求證：PC=PF；

(2)連接。2,BC,若OB〃PC,BC=3?tanP=上，求用的長.

4

【分析】(1)連接。C,根據(jù)切線的性質(zhì)以及可知/E+/EFA=NOCE+/FCP

=90°,從而可知/EE4=/FCP,由對(duì)頂角的性質(zhì)可知/CFP=/FCP,所以PC=PB

(2)過點(diǎn)B作2GLPC于點(diǎn)G,由于02〃PC,>OB=OC,BC=3?從而可知。3

=3,易證四邊形。BGC是正方形，所以O(shè)B=CG=BG=3,所以垣所以尸G=4,

PG-4

由勾股定理可知：PB=5,所以FB=PF-PB=7-5=2.

【解答】解：(1)連接。C,

是OO的切線，

AZOCP=90°,

'：OE=OC,

：.ZE=ZOCE,

\'OELAB,

：.ZE+ZEFA=/OCE+/FCP=9Q°,

ZEFA=ZFCP,

'：ZEFA=ZCFP,

：.ZCFP=ZFCP,

：.PC=PF；

(2)過點(diǎn)2作BGLPC于點(diǎn)G,

,JOB//PC,

AZCOB=90°,

'：OB=OC,BC=3也

，OB=3,

；BGUC,

，四邊形OBGC是正方形，

：.OB=CG=BG=3,

VtanP=—,

4

-

"PG^4"

：.PG=4,

由勾股定理可知：PB=5,

;PF=PC=1,

：.FB=PF-PB=7-5=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合問題，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，正方形的判定，

銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).

32.如圖，A,B,C三點(diǎn)在OO上，直徑8。平分/ABC,過點(diǎn)。作交弦BC于點(diǎn)

E,在2C的延長線上取一點(diǎn)R使得EF=DE.

(1)求證：。尸是的切線；

(2)連接AF交DE于點(diǎn)若AD=4,DE=5,求DM的長.

【分析】(1)先得出進(jìn)而得出ODLDF,即可得出結(jié)論；

(2)連接。C,利用全等三角形的判定得出進(jìn)而解答即可.

【解答】(1)證明：平分NA8C,

???ZABD=ZCBD.

*：DE//AB,

：.ZABD=ZBDE.

：.ZCBD=ZBDE.

°：ED=EF,

：.ZEDF=ZEFD.

?.*/EDF+NEFD+NEDB+NEBD=18?！?

AZBDF=ZBDE+ZEDF=90°.

：.OD±DF.

???。。是半徑，

???。尸是。。的切線.

(2)解：連接DC,

;友)是。。的直徑，

AZBAD=ZBCD=90°.

VZABD=ZCBD9BD=BD,

：.LABD咨ACBD.

：.CD=AD=4,AB=BC.

■:DE=5,

22,

,eeCE-7DE-DC=3EF=DE=5.

?：NCBD=NBDE,

：?BE=DE=5.

：.BF=BE+EF=10fBC=BE+EC=8.

：.AB=8.

'：DE//AB,

：.AABF^AMEF.

.AB_BF

：.ME=4.

：.DM=DE-EM=\.

【點(diǎn)評(píng)】主要考查了切線的判定，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答.

33.如圖，4B是。。的直徑，弦于點(diǎn)E,AM是△AC。的外角/D4尸的平分線.

(1)求證：AM是。。的切線；

(2)若/。=60°,AD=2,射線CO與AM交于N點(diǎn)，請(qǐng)寫出求ON長的思路.

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理得到垂直平分CD,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AC

=AD,得到由AM是△AC。的外角/D4F的平分線，得到ND4M

2

=1ZE4D,于是得到結(jié)論；

2

(2)設(shè)AB與C。交于G,推出△AC。是等邊三角形，得到CO=AD=2,根據(jù)直角三

角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)是。。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)E,

：.AB垂直平分CD,

：.AC=AD,

：.ZBAD^1-ZCAD,

2

"AM是△AC。的外角ZDAF的平分線，

ZDAM=1-ZFAD,

2

ZBAM=1-CZCAD+ZFAD)=90°，

2

：.AB±AM,

是O。的切線；

(2)思路：①由A5LCZ),AB是O。的直徑，可得BC=BD,AC=AD,

Z1=Z3=1ZCAD,AC=AD；

2

②由/。=60°°,AD=2,可得△AC。為邊長為2的等邊三角形，Zl=Z3=30°；

③由。4=OC,可得N3=N4=30°；

④由/CAN=/3+/OAN=120°,可得/5=/4=30°,AN=AC=2；

⑤由△Q4N為含有30°的直角三角形，可求ON的長.

附解答：,：AC=AD,ZD=6Q°,

...△AC。是等邊三角形，

：.CD=AD=2,

:.CG=DG=1,

：.OC=OA=2恒

3

VZ3=Z4=30°,

：.ON=2OA=4M.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，垂徑定理，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，

熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵.

34.如圖，△ABC內(nèi)接于OO,過點(diǎn)8作的切線DE,尸為射線8。上一點(diǎn)，連接CF.

(1)求證：NCBE=NA；

(2)若。。的直徑為5,BF=2,tanA=2,求CF的長.

8

DFBE

【分析】(1)連接80并延長交。。于點(diǎn)M,連接MC,根據(jù)圓周角定理求出

ZMCB=90°,求出NM+NMBC=90。，根據(jù)切線性質(zhì)求出/CBE+NM3C=90。，推

出/CBE=/M即可;

(2)過點(diǎn)C作CALLDE于點(diǎn)N,求出NCNF=90°,求出tanM=tan/CBE=tanA=2,

解直角三角形求出BC、CN、BN,求出-V,根據(jù)勾股定理求出即可.

AZA=ZM,ZMCB^90°,

/.ZM+ZMBC=90°,

是O。的切線，

AZCBE+ZMBC=90°,

：.ZCBE=ZM,

:./CBE=NA；

(2)解：過點(diǎn)C作CNLOE于點(diǎn)N,

:./CNF=90°,

由(1)得，ZM=ZCBE=ZA,

tanM=tanZCBE=tanA=2,

在RtZXBCM中，

'：BM=5,tanM=2,

/.BC=2在，

在RtZ\CNB中，

VBC=2V5>tanZCBE=2,

:?CN=4,BN=2,

?；BF=2,

：.FN=BF+BN=4,

在RtAF/VC中，

*：FN=4,CN=4,

；.CF=4后.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，勾股定理，切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，能求

出是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度偏大.

35.如圖，四邊形ABCO是平行四邊形，點(diǎn)A,B,C在。。上，與。0相切，射線AO

交BC于點(diǎn)E,交。0于點(diǎn)尺點(diǎn)P在射線A0上，且NPCB=2NBAF.

（1）求證：直線尸C是。。的切線；

（2）AB=V10-AD=2,求線段PC的長.

D

【分析】（1）首先連接OC,由與OO相切，可得剛，4D,四邊形ABC。是平行四

邊形，可得AO〃2C,然后由垂徑定理可證得F是前的中點(diǎn)，BE=CE,ZOEC=90°,

又由/PCB=2/BAF,即可求得NOC￡+NPC8=90°,繼而證得直線PC是。。的切線；

（2）首先由勾股定理可求得AE的長，然后設(shè)OO的半徑為r,則OC=OA=r,OE=3

-r,則可求得半徑長，易得AOCEs^CPE,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得

線段PC的長.

【解答】（I）證明：連接0C.

?.2。與O。相切于點(diǎn)A,

：.FA±AD.

?；四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,

：.FA±BC.

;砌經(jīng)過圓心o,

；.尸是標(biāo)的中點(diǎn)，BE=CE,ZOEC=90°,

：.ZCOF=2ZBAF.

,：ZPCB=2ZBAF,

：.ZPCB=ZCOF.

VZOC￡+ZCOF=180°-ZO￡C=90°,

：.ZOCE+ZPCB^90°.

：.OCLPC.

:點(diǎn)c在。。上，

直線PC是。。的切線.

(2)解：：四邊形ABC。是平行四邊形,

：.BC=AD=2.

：.BE=CE=1.

在中，ZA￡B=90°,AB=V10-

AE=7AB2-BE2=3-

設(shè)。。的半徑為r,則0c=。4=廠，OE=3-r.

在RtZXOCE中，ZO￡C=90°,

OC2=OE1+CE1.

；/=(3-r)2+l.

解得r至，

r3

,：ZCOE=ZPCE,ZOEC=ZCEP=90°.

:*△OCEs^CPE,

?QE_0C

D

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定

與性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的

應(yīng)用.

36.如圖，為的直徑，射線AP交O。于C點(diǎn)，NPC。的平分線交。。于。點(diǎn)，過

點(diǎn)D作DE±AP交AP于E點(diǎn).

(1)求證：DE為。。的切線；

(2)若DE=3,AC=8,求直徑AB的長.

【分析】(1)連接0。，若要證明DE為。。的切線，只要證明NODE=90°即可;

(2)過點(diǎn)0作于F,利用垂徑定理以及勾股定理計(jì)算即可.

【解答】(1)證明：連接0D

VOC=OD,

AZ1=Z3.

.*.Z1=Z2.

.*.Z2=Z3.

,：DELAP,

：.Z2+ZEDC=90°.

/.Z3+ZEDC=90°.

即NODE=90°.

：.OD±DE.

為。。的切線.

(2)過點(diǎn)0作。尸_LAP于F.

由垂徑定理得，AF=CF.

VAC=8,

：.AF=4.

"ODLDE,DELAP,

四邊形ODEF為矩形.

OF=DE.

'：DE=3,

：.OF=3.

在RtZXAOF中，OA2=OF2+AF2=42+32=25.

：.OA=5.

：.AB=2OA=10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線的判定和性質(zhì)、垂徑定理的運(yùn)用、矩形的判定和性質(zhì)以及

勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性很強(qiáng)，難度中等，是一道不錯(cuò)的中考題.

37.如圖，為。。的直徑，BC切。。于點(diǎn)3,AC交。。于點(diǎn)D,E為BC中點(diǎn)、.

(1)求證：DE為。0的切線；

(2)延長ED交的延長線于F,若。歹=4,AF=2,求BC的長.

E

AoB

【分析】（1）連接。。和根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出DE=BE,推出/2

=/4,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出/1=/3,根據(jù)N3+/4=N1+N2=NABC=9O°,根

據(jù)切線的判定推出即可；

（2）在中，根據(jù)勾股定理求出半徑，證AFDOSAFBE,得出比例式求出BE,

即可求出BC.

【解答】解（1）如圖，連接DB,0D,

'：OD=OB

>\Z1=Z3.

；AB是。。的直徑，

AZADB=90°=/CDB,

為BC中點(diǎn)，

：.DE=BE,

>\Z2=Z4.

「BC切OO于點(diǎn)2,

/.ZABC=90°=Z3+Z4,

.\Z1+Z2=9O°,

：.OD±DE,

：0。為。0半徑，

為。。的切線；

(2)"ODLDE,

：.ZFDO=90°,

設(shè)OA—OD=r.

?：OP=F0+O0,DF=4,A尸=2,

(r+2)2=42+r2,

解得r=3,

\OA=OD=3,FB=8,

:/F=/F,NFDO=/FBE=9Q°,

,.△FDOsAFBE,

FD_0D,

?而

,.BE=6,

為BC中點(diǎn)，

\BC=2BE=n.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，勾股定理,

切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用.

38.如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，CELA3于E,CD平分NECB,交過點(diǎn)B的

射線于。，交AB于F,且BC=BD.

(1)求證：2。是。。的切線；

(2)若AE=9,CE=12,求BF的長.

【分析】(1)要證明3。是。。的切線，由已知條件轉(zhuǎn)化為證明NO8A=90°即可；

(2)連接AC,利用三角形相似求出BE的值，由勾股定理求出的值，由已知條件再

證明/相似三角形的性質(zhì)利用：對(duì)應(yīng)邊的比值相等即可求出8月的長.

【解答】(1)證明：ICELAB,

：./CEB=9U0.

???CD平分/ECB,BC=BD,

???N1=N2,Z2=ZD.

???N1=/D,

：.CE//BD,

：./DBA=NCEB=90°,

???A8是。。的直徑，

???BO是。。的切線；

(2)解：連接AC,

TAB是。0直徑，

AZACB=90°.

VCEXAB,

AZAEC=ZBEC^90°,

VZA+ZABC=90°,ZA+ZACE=90°,

ZACE=AABC,

：.AACE^ACBE,

...%=箜，gpCE1=AE*EB,

EBCE

*：AE=9,CE=12,

：.EB=16,

在Rt/XCEB中，NCEB=9Q,由勾股定理得BC=20,

:.BD=BC=20,

'：Zl=ZD,ZEFC=ZBFD,

：./\EFC^/\BFD,

?CE=EF；

"BD而'

即12J6-BF

20"BF

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定定理、圓周角定理、相似三角形判定和相似三角形的性

質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，題目綜合性很強(qiáng)，難度不大.

39.如圖，在△A