2.1.3基本不等式的應(yīng)用

2.1.3基本不等式的應(yīng)用題型一利用基本不等式模型求最值1．已知一個直角三角形的面積為16，則該三角形周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的面積公式考慮設(shè)直角邊為、，利用均值不等式解得最小值為.【詳解】設(shè)三角形的兩條直角邊長為、，可得，三角形的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故選：C2．某公司一年購買某種貨物500噸，每次購買噸，運費為5萬元/次，一年的總存儲費用為萬元，則一年的總運費與總存儲費用之和的最小值為（

）A．200萬元 B．300萬元 C．400萬元 D．500萬元【答案】B【分析】根據(jù)題意列式利用基本不等式運算得解.【詳解】由題意可得，一年的總運費與總存儲費用之和為：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以一年的總運費與總存儲費用之和的最小值為300萬元．故選：B.3（多選題）．十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中先把“＝”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)，下列說法正確的是（

）A．糖水加糖更甜可用式于表示，其中，B．當(dāng)時，的最小值為4C．若，，，則D．若，則的最小值為6【答案】BCD【分析】利用基本不等式比較大小，注意取等號的條件.【詳解】對于A，當(dāng)，，時，，，當(dāng)時糖水不等式不成立，故A錯誤；對于B，因為，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故B正確；對于C，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故C正確；對于D，因為，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，故D正確．故選：BCD4．若，則有最大值為．【答案】/0.25【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】因為，顯然當(dāng)時，取得最大值，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以有最大值為.故答案為：.5．若正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是.【答案】【分析】由基本不等式得到，將代入，求出最小值.【詳解】因為，由基本不等式得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故答案為：題型二基本不等式在實際問題中的應(yīng)用1．如圖，某燈光設(shè)計公司生產(chǎn)一種長方形線路板，長方形的周長為4，沿折疊使點B到點位置，交于點P．研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)拿娣e最大時用電最少，則用電最少時，的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理，構(gòu)造函數(shù)，利用基本不等式即可求出最值.【詳解】如圖，設(shè)，由矩形的周長為4，可知．設(shè)，則．，．在中，由勾股定理得，即，解得，所以．所以的面積．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，的面積最大，面積的最大值為，故選：B．2．某廠計劃建造一個容積為，深為的長方體無蓋水池.若池底的造價為元每平方米，池壁的造價為元每平方米，則這個水池的最低造價為元.【答案】【分析】設(shè)水池池底的一邊長為，則另一邊長為，由題意表示出總造價的函數(shù)式，化簡后可利用基本不等式求出最小值，注意判斷取最值時的取值是否存在.【詳解】因為水池的容積為，深為，所以底面積為，設(shè)水池池底的一邊長為，則另一邊長為，則總造價（元）.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最小值為.所以水池的最低造價為元.故答案為：.3．如圖，某人沿圍墻修建一個直角梯形花壇，設(shè)直角邊米，米，若米，問當(dāng)米時，直角梯形花壇的面積最大．

【答案】【分析】先求出面積的表達(dá)式，再根據(jù)基本不等式即可得解.【詳解】由題意米，則直角梯形花壇的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以當(dāng)米時，直角梯形花壇的面積最大．故答案為：.4．某公園為了美化游園環(huán)境，計劃修建一個如圖所示的總面積為750的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為的小路，中間三個矩形區(qū)域?qū)⒎N植牡丹?郁金香?月季（其中區(qū)域的形狀?大小完全相同）.設(shè)矩形花園的一條邊長為，鮮花種植的總面積為.(1)用含有的代數(shù)式表示，并寫出的取值范圍；(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，才能使鮮花種植的總面積最大？【答案】(1)；(2)當(dāng)時，才能使鮮花種植的總面積最大.【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)矩形花園的長為，由條件可得，即可得到結(jié)果；（2）由（1）中的結(jié)論可得鮮花種植的總面積為與矩形花園的一條邊長的函數(shù)關(guān)系式，再由基本不等式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)矩形花園的長為，矩形花園的總面積為，，可得，又陰影部分是寬度為的小路，可得，可得，即關(guān)于的關(guān)系式為.（2）由（1）知，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，當(dāng)時，才能使鮮花種植的總面積最大，最大面積為.5．某單位建造一間地面面積為12平方米的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過5米，房屋正面的造價為400元/平方米，房屋側(cè)面的造價為150元/平方米，屋頂和地面的造價費用合計為5800元，如果墻高為3米，且不計房屋背面的費用，當(dāng)側(cè)面的長度為多少時，總造價最低？最低總造價是多少元？【答案】當(dāng)側(cè)面的長度為4米時，總造價最低．最低總造價是13000元【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)表達(dá)式，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】由題可知因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以在時取最小值，于是當(dāng)側(cè)面的長度為米時，總造價最低．最低總造價是元．6．輛貨車從站勻速駛往相距千米的站，其時速都是千米/時，為安全起見，要求每兩輛貨車的間隔等于千米（為常數(shù)，，貨車長度忽略不計）.(1)將第一輛貨車由站出發(fā)到最后一輛貨車到達(dá)站所需時間表示成的函數(shù)；(2)當(dāng)取何值時，有最小值.【答案】(1)；(2)千米/時.【分析】（1）計算出最后一輛車行駛的總路程，即可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用基本不等式求得的最小值及其對應(yīng)的的值.【詳解】（1）解：因為輛貨車從站勻速駛往相距千米的站，其時速都是千米/時，且每兩輛貨車的間隔等于千米，第一輛貨車由站出發(fā)到最后一輛貨車到達(dá)站，最后一輛車行駛的總路程為千米，所以，.（2）解：因為，其中，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)千米/時，等號成立，所以，當(dāng)千米/時，取最小值.7．如圖，高新區(qū)某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構(gòu)成的面積為400m2的十字形地域.計劃在正方形上建一座花壇，造價為8400元/m2；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為420元/m2；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為160元/m2.設(shè)總造價為y（單位：元），AD長為x（單位：m）.(1)用x表示AM的長度，并求x的取值范圍；(2)當(dāng)x為何值時，y最小？并求出這個最小值.【答案】(1)；(2)，最小值為472000元.【分析】（1）由題意可得矩形的面積，即可得出；（2）先表示出總造價y，再由基本不等式求解即可.【詳解】（1）由題意可得，矩形的面積為,因此，∵，∴.（2），，由基本不等式y(tǒng)472000，當(dāng)且僅當(dāng)，即x時，等號成立，故當(dāng)x時，總造價y最小，最小值為472000元.1．兩次購買同一種物品，不考慮物品價格的升降（假設(shè)第一次價格為，第二次價格為）可以用兩種不同的策略，第一種是每次購買這種物品數(shù)量一定;第二種是每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定，哪種購物方式比較經(jīng)濟（

）A．第一種 B．第二種 C．都一樣 D．不確定【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意，為正數(shù)，且，第一種方式購買的平均價格為，第二種方式，設(shè)每次購買的花費為，則購買的平均價格為，由基本不等式得，所以選第二種方式比較經(jīng)濟.故選：B2．若，，且，則的最小值為．【答案】6【分析】由題意可得，利用基本不等式計算可得，即，即可求解.【詳解】由，得，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.則，故，解得或（舍去），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最小值為6.故答案為：63．第十九屆亞運會于2023年9月23日在杭州舉辦，本屆亞運會吉祥物是一套名為“江南憶”的三個機器人模型，三個機器人模型分別取名“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”.某公益團(tuán)隊聯(lián)系亞運會組委會計劃舉辦一場吉祥物商品展銷會，成套出售“江南憶”，將所獲利潤全部用于體育設(shè)施建設(shè).據(jù)市場調(diào)查：每套吉祥物紀(jì)念品的供貨價格分為固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為60元，（單位：元，其中銷售量單位為：萬套）.而當(dāng)每套吉祥物售價定為x元時，銷售量可達(dá)到萬套.注：利潤＝（售價－供貨價格）×銷售量（不計其他成本）(1)每套吉祥物紀(jì)念品售價為125元時，能獲得的總利潤是多少萬元？(2)每套吉祥物紀(jì)念品售價為多少元時，單套吉祥物的利潤最大？并求出最大值.【答案】(1)320;(2)售價為145元，利潤最大，最大值為80元.【分析】（1）代入數(shù)值，求出銷售量與單價，即可得出答案；（2）設(shè)單套售價為元，根據(jù)已知表示出單套利潤，根據(jù)基本不等式求解，即可得出答案.【詳解】（1）每套吉祥物紀(jì)念品售價為125元時，銷售量為（萬套），供貨單價為（元），總利潤為（萬元）.（2）設(shè)單套售價為元，此時銷售量為萬套，供貨價格為元，同時，所以.所以單套利潤為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.所以每套吉祥物售價為145元時，單套的利潤最大，最大值是80元.4．用籬笆在一塊靠墻的空地圍一個面積為的等腰梯形菜園，如圖所示，用墻的一部分做下底，用籬笆做兩腰及上底，且腰與墻成