（3）解析賀蘭一中第二學期高二年級第三階段考試數(shù)學復習卷（三）

試卷第=page1212頁，共=sectionpages1313頁試卷第=page1313頁，共=sectionpages1313頁賀蘭一中20232024學年第二學期高二年級第三階段考試數(shù)學復習卷（三）一、單選題1．已知集合，，則集合中元素的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡集合，即可求解.【詳解】由得，所以.2．函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【詳解】試題分析：∵是上的單調(diào)遞減函數(shù)，∴，選D．【易錯點睛】分段函數(shù)的基本出發(fā)點是分段函數(shù)分段算，本題容易遺漏的不等式是，將分段函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件錯誤地等價為在各自分段上單調(diào)遞減即可，而忽視了還需保證在分段的轉(zhuǎn)折點處，函數(shù)的圖象不上升．3．已知隨機變量服從二項分布，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】代入二項分布的方差公式，即可求解.【詳解】由隨機變量服從二項分布，可得.4．已知函數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】其中為常數(shù)，求出函數(shù)的導函數(shù)，代入求解，從而可以求解.【詳解】由于函數(shù)，則其導函數(shù)為：，代入，可得：，解得：，所以，所以.5．某中學舉行夏季運動會，共有3類比賽9個項目：集體賽2項，田賽3項，徑賽4項．要求參賽者每人至多報3項，且集體賽至少報1項，則每人有（

）種報名方式A．49 B．64 C．66 D．73【答案】C【分析】根據(jù)兩個計數(shù)原理結(jié)合組合知識即得.【詳解】由題可知，若每人報集體賽1項，則報名方式有種，若每人報集體賽2項，則報名方式有種，所以每人共有報名方式種.6．為樣本空間，隨機事件A、B滿足，，則有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以正態(tài)分布為背景，舉反例判斷ACD，利用概率和公式判斷B.【詳解】設，對A，若事件，事件，則，，但，項A錯；對C，若事件，事件，則，，但，項C錯；對D，若事件，事件，則，，但，項D錯；對B，因為，所以，又，所以，所以，B正確；7．習近平總書記在“十九大”報告中指出：堅定文化自信，推動社會主義文化繁榮興盛．“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)．歐洲數(shù)學家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晩近四百年．“楊輝三角”是中國數(shù)學史上的一個偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學愛好者的探究欲望．如圖，由“楊輝三角”，下列敘述正確的是（

）A．B．第2023行中從左往右第1013個數(shù)與第1014個數(shù)相等C．記第n行的第個數(shù)為，則D．第20行中第8個數(shù)與第9個數(shù)之比為【答案】D【分析】根據(jù)題意，歸納可得：第行的第個數(shù)為，由組合數(shù)的性質(zhì)依次分析選項是否正確，綜合可得答案．【詳解】根據(jù)題意，由數(shù)表可得：第行的第個數(shù)為，由此分析選項：對于A，，A錯誤；對于B，第2023行中從左往右第1013個數(shù)為，第1014個數(shù)為，兩者不相等，B錯誤；對于C，記第行的第個數(shù)為，則，則，C錯誤；對于D，第20行中第8個數(shù)為，第9個數(shù)為，則兩個數(shù)的比為，D正確．8．已知，若對任意兩個不等的正實數(shù)，都有恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，由已知可得為上的增函數(shù)，從而可得恒成立，參變分離可求的取值范圍.【詳解】根據(jù)可知，令，可得為上的增函數(shù)，所以恒成立，分離參數(shù)得，而當時，，當且僅當，即時取等號，故最大值為，所以，所以的取值范圍是.二、多選題9．使用統(tǒng)計手段科學預測傳染病可以保障人民群眾的生命健康.下表和散點圖為某段時間內(nèi)全球某傳染病感染病例在第一次監(jiān)測到之后數(shù)量隨時間的變化，以時間為自變量（單位為天），以監(jiān)測到的病例總數(shù)為因變量，選擇以下兩個回歸模型擬合隨的變化：回歸模型一：；回歸模型二：，通過計算得出，則下列說法正確的是（

）15712162029122963101A．使用回歸模型一擬合的決定系數(shù)大于使用回歸模型二的決定系數(shù)B．通過模型二得出的經(jīng)驗回歸方程的預報效果好于通過模型一得出的經(jīng)驗回歸方程C．在首例病例出現(xiàn)后45天，該傳染病感染人數(shù)很有可能在200人左右D．在首例病例出現(xiàn)后45天，該傳染病的感染人數(shù)很有可能超過10000人【答案】BD【分析】根據(jù)已知條件所給的散點圖，先分析得模型二的擬合效果更好，由此即可判斷A、B兩個選項，再將代入模型二的經(jīng)驗回歸方程，即可判斷C、D選項.【詳解】根據(jù)散點圖可知模型二的擬合效果更好，擬合效果越好決定系數(shù)越大，所以使用回歸模型一擬合的決定系數(shù)小于使用回歸模型二的決定系數(shù)，所以A錯誤，B正確；因為模型二的的擬合效果好，預報更準確，根據(jù)已知：，，所以，將代入經(jīng)驗回歸方程，有，所以C錯誤，D正確.10．下列說法正確的是（

）A．不等式的解集是B．不等式的解集是C．若不等式恒成立，則a的取值范圍是D．若關于x的不等式的解集是，則的值為【答案】CD【分析】對于AB，直接解一元二次不等式即可判斷；對于C，對分類討論即可判斷；對于D，由一元二次不等式的解集與一元二次方程的根的關系，先求得，然后即可判斷.【詳解】對于A，或，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；若不等式恒成立，當時，是不可能成立的，所以只能，而該不等式組無解，綜上，故C正確；對于D，由題意得是一元二次方程的兩根，從而，解得，而當時，一元二次不等式滿足題意，所以的值為，故D正確.11．已知展開式的二項式系數(shù)和為，，下列選項正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先用題目條件得到，然后取特殊值即可驗證A，對表達式求導即可驗證B，換元并使用二項式定理即可驗證C，考查每一項系數(shù)的符號并取特殊值即可驗證D.【詳解】由已知有，故，.所以.對于A，取得，取得，所以，A錯誤；對于B，對求導得，取得，B正確；對于C，在中用替換，得.所以，特別地對有，C錯誤；對于D，由有.在中取得，所以，D正確.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于在恒等式中取特殊值，以得到相應的結(jié)果.三、填空題12．隨機變量，，則．【答案】/0.75【分析】利用正態(tài)分布曲線的對稱性求解即可．【詳解】因為隨機變量，可得正態(tài)分布曲線的對稱軸為，又因為，所以，，所以.13．若展開式中的常數(shù)項為，則實數(shù).【答案】【分析】求得二項展開式的通項，結(jié)合通項求得的值，代入列出方程，即可求解.【詳解】由二項式展開式的通項為，令，可得，代入可得，解得.14．對具有線性相關關系的變量有一組觀測數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗回歸方程，則在樣本點處的殘差為.【答案】0.5/【分析】利用樣本中心在回歸直線上及殘差的定義即可求解.【詳解】將代入，得，解得，所以，故當時，，所以殘差.四、解答題15．設p：實數(shù)x滿足，q：實數(shù)x滿足．(1)若，且p和q均為真命題，求實數(shù)x的取值范圍；(2)若且是的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式求解p，q為真命題時的范圍，即可求解，（2）根據(jù)充分不必要條件，即可列不等式求解.【詳解】（1）當時，由，得，解得，即p為真命題時，實數(shù)x的取值范圍是由，解得，即q為真命題時，實數(shù)x的取值范圍是．所以若p，q均為真命題，則實數(shù)x的取值范圍為．（2）由，得，因為，所以，故p：．若是的充分不必要條件，則q是p的充分不必要條件，所以，解可得．故實數(shù)a的取值范圍是16．在某項測驗中，共有20道多項選擇題（15道雙選題和5道三選題隨機排列），每道題都給出了4個選項，其中正確的選項有兩個（雙選題）或者三個（三選題），全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．現(xiàn)有甲乙兩位同學均已答完前19題，兩人對于每一題的答對與否均不確定．(1)若甲同學在解答第20題時，隨機選擇一個選項作答，求他第20題得2分的概率；(2)若乙同學在解答第20題時，已正確判斷出A選項是錯誤的，而對BCD三個選項的正確與否無法確定，現(xiàn)在有三個方案：①從BCD三個選項中隨機選一個作為答案；②從BCD選項中隨機選兩個作為答案；③直接選擇BCD作為答案；為使第20題得分的期望最大，乙同學應選擇哪個方案作答，并說明理由．【答案】(1)(2)建議乙同學選擇方案②作答，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意利用條件概率公式和全概率公式求解；（2）方法一：分別求正確答案為兩個選項和正確答案為三個選項兩種情況的得分期望，結(jié)合期望的性質(zhì)求相應的期望，并對比分析；方法二：根據(jù)題意結(jié)合獨立事件概率乘法公式求相應的分布列和期望，并對比分析.【詳解】（1）設事件“第20題為雙選題”，事件“第20題得2分”，則，根據(jù)全概率公式有.（2）解法一：在20道多項選擇題中，雙選題出現(xiàn)的概率為，三選題出現(xiàn)的概率為．02①當乙從BCD三個選項中隨機選一個作答時，設乙同學在解答第20題的得分為，若正確答案為兩個選項，則得分的分布列為此時的期望為；若正確答案為三個選項，則任意選一個均正確，得分，此時的期望為2；故；②當乙從BCD三個選項中隨機選兩個作答時，設乙同學在解答第20題的得分為.05若正確答案為兩個選項，則得分的分布列為的期望為；若正確答案為三個選項，則得分的期望為2；故．③當乙同時選擇BCD三個選項作答時，設乙同學在解答第20題的得分為，若正確答案為兩個選項，則得分的期望為0：若正確答案為三個選項，則得分的期望為5；故．因此，建議乙同學選擇方案②作答．解法二：在20道多項選擇題中，雙選項由現(xiàn)的概率為，三選題出現(xiàn)的概率為．①當乙從BCD三個選項中隨機選一個作答時，02設得分為變量，則的可能取值為0、2，則，的概率分布列為所以；②當乙從BCD三個選項中隨機選兩個作答時，設得分為變量的可能取值為0、2、5025則，的分布列為所以；③當乙同時選擇BCD三個選項作答時，05設得分為變量的可能取值為0、5則，的分布列為故；因此，建議乙同學選擇方案②作答．17．某學校舉辦數(shù)學建模知識競賽，每位參賽者要答3道題，第一題分值為40分，第二、三題分值均為30分，若答對，則獲得題目對應分值，若答錯，則得0分，參賽者累計得分不低于70分即可獲獎．已知甲答對第一、二、三題的概率均為，乙答對第一、二、三題的概率分別為，，，且甲、乙每次答對與否互不影響．(1)求甲的累計得分的分布列和期望；(2)在甲、乙兩人均獲獎的條件下，求甲的累計得分比乙高的概率．【答案】(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）由題意知：甲、乙每次答對與否互不影響，利用獨立事件的概率公式求出相應概率，從而得到的分布列及期望；（2）根據(jù)題目發(fā)現(xiàn)該問考查條件概率，利用條件概率公式進行求解，或者利用條件概率的本質(zhì)特征，樣本空間縮小，進行求解.【詳解】（1）由題意知：甲累計得分的可能取值有：，所以，，，，，，的分布列為：030406070100.（2）法一：根據(jù)題意得：得分不低于70分即可獲獎，由（1）知：甲獲獎的概率為，乙獲獎的概率為：，乙只得70分的概率為：，所以甲、乙兩人同時獲獎的概率為：，甲、乙均獲獎且甲累計得分比乙高的概率為：，所以，在甲、乙兩人均獲獎的條件下，求甲的累計得分比乙高的概率為：.法二：已知得分不低于70分才可獲獎，即甲、乙的得分應為70或100，共計4種情況，其中，甲比乙高的情況，只有甲獲得100分，乙獲得70分時一種情況，故概率為：.18．2024年初，冰城哈爾濱充分利用得天獨厚的冰雪資源，成為2024年第一個“火出圈”的網(wǎng)紅城市，冰城通過創(chuàng)新營銷展示了豐富的文化活動，成功提升了吸引力和知名度，為其他旅游城市提供了寶貴經(jīng)驗，從2024年1月1日至5日，哈爾濱太平國際機場接待外地游客數(shù)量如下：（日）12345（萬人）4550606580(1)計算的相關系數(shù)（計算結(jié)果精確到0.01），并判斷是否可以認為日期與游客人數(shù)的相關性很強；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；(3)為了吸引游客，在冰雪大世界售票處針對各個旅游團進行了現(xiàn)場抽獎的活動，具體抽獎規(guī)則為：從該旅游團中隨機同時抽取兩名游客，兩名游客性別不同則為中獎．已知某個旅游團中有5個男游客和個女游客，設重復進行三次抽獎中恰有一次中獎的概率為，當取多少時，最大？參考公式：，，，參考數(shù)據(jù)：．【答案】(1)，可以認為兩者的相關性很強(2)(3)當時，恰有一次中獎的概率最大【分析】（1）根據(jù)相關系數(shù)的公式計算并判斷；（2）根據(jù)公式求出，得解；（3）根據(jù)題意可得，判斷的單調(diào)性可得，即，由二項分布得，利用導數(shù)求出最大值.【詳解】（1）因為，所以，，，所以，由此可以認為兩者的相關性很強．（2）由（1）知，．所以=．因為，所以回歸方程為．（3）記，，，即．，令，則，得，，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，取得最大值．由，解得或（舍去），當時，恰有一次中獎的概率最大．【點睛】關鍵點睛：本題第三問，解題的關鍵是根據(jù)題意列出的表達式，并判斷單調(diào)性求出的范圍，利用二項分布求出，借助導數(shù)求出最大值.19．已知函數(shù)．(1)證明曲線在處的切線過原點；(2)討論的單調(diào)性；(3)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析(3)【分析】（1）利用導函數(shù)的幾何意義求解即可；（2）首先求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)判別式，討論a的取值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（3）把問題轉(zhuǎn)化為，利用一次函數(shù)單調(diào)性得，只需證，利用導數(shù)研究單調(diào)性即可.【詳解】（1）由題設得，所以，又因為，所以切點為，斜率，所以切線方程為，即恒過原點．（2）由（1）得，①時，，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減；令，則②且時，即時，，在上單調(diào)遞增，時，，，則，或，得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；，則，則，所以在上單調(diào)遞減，③時，，則，則，所以