核心考練17點(diǎn)到直線的距離公式-2021-2022學(xué)年人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

核心考練17點(diǎn)到直線的距離公式單選題1.已知點(diǎn)M(1,4)到直線l:mx+y-1=0的距離為3,則實(shí)數(shù)m等于()A.0 B.34 C.3 D.0或【答案】D【解析】點(diǎn)M到直線的距離d=|m+4-1|m2+12.點(diǎn)P在x軸上，且到直線3x－4y＋6＝0的距離為6，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(8,0) B．(－12,0)C．(8,0)或(－12,0) D．(－8,0)或(12,0)【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,0)，則根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得eq\f(|3x－4×0＋6|,\r(32＋－42))＝6，解得x＝8或x＝－12．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8,0)或(－12,0)．3.過(guò)點(diǎn)A(1,2),且與原點(diǎn)距離最大的直線的方程是()A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0 D.x-2y+3=0【答案】A【解析】根據(jù)題意得,當(dāng)所求直線與直線OA垂直時(shí),原點(diǎn)到所求直線的距離最大,因?yàn)橹本€OA的斜率為2,所以所求直線的斜率為-12,所以直線方程為y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0,4．若點(diǎn)P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，O為原點(diǎn)，則|OP|的最小值為()A．eq\r(10) B．2eq\r(2)C．eq\r(6) D．2【答案】B【解析】|OP|的最小值即為點(diǎn)O到直線x＋y－4＝0的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝eq\f(|－4|,\r(12＋12))＝2eq\r(2)．5．已知點(diǎn)A(0,2)、B(2,0)，若點(diǎn)C在函數(shù)y＝x2的圖象上，則使得△ABC的面積為2的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為()A．4 B．3C．2 D．1【答案】A【解析】由題意可得|AB|＝2eq\r(2)，直線AB的方程為x＋y－2＝0．因?yàn)椤鰽BC的面積為2，所以AB邊上的高h(yuǎn)滿足方程eq\f(1,2)×2eq\r(2)h＝2，得h＝eq\r(2)．設(shè)點(diǎn)C(t，t2)，則由點(diǎn)到直線的距離公式得eq\r(2)＝eq\f(|t＋t2－2|,\r(2))，即|t2＋t－2|＝2，則t2＋t－4＝0或t2＋t＝0，這兩個(gè)方程共有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故滿足題意的點(diǎn)C有4個(gè)．6.若動(dòng)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動(dòng)，則AB中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值為()A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．3eq\r(3) D．4eq\r(2)【答案】A【解析】根據(jù)已知條件可以知道，AB的中點(diǎn)M一定在處于l1，l2之間且與l1，l2距離相等的直線上，即M在直線x＋y－6＝0上，M到原點(diǎn)距離的最小值就是原點(diǎn)到直線x＋y－6＝0的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝eq\f(|－6|,\r(2))＝3eq\r(2)．多選題7.已知兩點(diǎn)A(3,2),B(-1,4)到直線mx+y+3=0的距離相等,則m的值可能為()A.-6 B.-12C.12 【答案】AC【解析】解法一:依題意得,直線mx+y+3=0過(guò)線段AB的中點(diǎn),或與直線AB平行.①線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),且在直線mx+y+3=0上,∴m+3+3=0,解得m=-6;②由兩直線平行知4-2-1-3=-m,解得因此m的值為-6或12,故選AC解法二:由題意得|3m+2+3|m2+1=|-m+4+3|m2+18.已知平面上一點(diǎn)M(5,0),若直線l上存在點(diǎn)P使|PM|=4,則稱該直線為點(diǎn)M的“相關(guān)直線”,下列直線中是點(diǎn)M的“相關(guān)直線”的是()A.y=x+1 B.y=2C.4x-3y=0 D.2x-y+1=0【答案】BC【解析】選項(xiàng)A中,點(diǎn)M到直線y=x+1的距離d=|5-0+1|12+(-1)2=32>4,即點(diǎn)M與該直線上的點(diǎn)的距離的最小值大于4,所以該直線上不存在點(diǎn)P,使|PM|=4,故A中的直線不是點(diǎn)M的“相關(guān)直線”;選項(xiàng)B中,點(diǎn)M到直線y=2的距離d=|0-2|=2<4,即點(diǎn)M與該直線上的點(diǎn)的距離的最小值小于4,所以該直線上存在點(diǎn)P,使|PM|=4,故B選項(xiàng)C中,點(diǎn)M到直線4x-3y=0的距離d=|4×5-3×0|42+(-3)2=4,即點(diǎn)M與該直線上的點(diǎn)的距離的最小值等于4,所以該直線上存在點(diǎn)P,使|PM|=4,故C中的直線是點(diǎn)M的“相關(guān)直線”;選項(xiàng)D中,點(diǎn)M到直線2x-y+1=0的距離d=|2×5-0+1|22+(-1)2=11填空題9.過(guò)點(diǎn)A(－3,1)的直線中，與原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線方程為．【答案】3x－y＋10＝0【解析】設(shè)原點(diǎn)為O，則所求直線過(guò)點(diǎn)A(－3,1)且與OA垂直，又kOA＝－eq\f(1,3)，∴所求直線的斜率為3，故其方程為y－1＝3(x＋3)，即3x－y＋10＝0．10.已知x＋y－3＝0，則eq\r(x－22＋y＋12)的最小值為．【答案】eq\r(2)【解析】設(shè)P(x，y)，A(2，－1)，則點(diǎn)P在直線x＋y－3＝0上，且eq\r(x－22＋y＋12)＝|PA|．|PA|的最小值為點(diǎn)A(2，－1)到直線x＋y－3＝0的距離d＝eq\f(|2＋－1－3|,\r(12＋12))＝eq\r(2)．11.點(diǎn)(5,2)到直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距離的最大值為．【答案】2eq\r(13)【解析】化直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5為m(x＋2y－1)－x－y＋5＝0．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0，,－x－y＋5＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝－4，))∴直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5過(guò)定點(diǎn)(9，－4)，∴點(diǎn)(5,2)到直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距離的最大