高中數(shù)學(xué)：導(dǎo)學(xué)案：常用邏輯用語 (一)

本草歸納整合

01?網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建系統(tǒng)盤點(diǎn)提煉主線

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

命題及

其關(guān)系

一

常

用

邏

輯

用

語

一

含有一個(gè)

量詞的命

題的否定

要點(diǎn)歸納

1.要注意全稱命題、特稱命題的自然語言之間的轉(zhuǎn)換.

2.正確理解“或”的意義，日常用語中的“或”有兩類用法：其一是“不

可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我們這里僅研究“可兼”的“或”.

3.有的命題中省略了“且”“或”，要正確區(qū)分.

4.常用“都是”表示全稱肯定，它的存在性否定為“不都是”，兩者互為

否定；用“都不是”表示全稱否定，它的存在性肯定可用“至少有一個(gè)是”來表

不.

5.在判定充分條件、必要條件時(shí)，要注意既要看由。能否推出Q,又要看

由g能否推出「,不能顧此失彼.證明題一般是要求就充要條件進(jìn)行論證，證明

時(shí)要分兩個(gè)方面，防止將充分條件和必要條件的證明弄混.

6.否命題與命題的否定的區(qū)別.對(duì)于命題“若0，則g"，其否命題形式為

“若㈱0,則㈱q"，其否定為“若0,則㈱q"，即否命題是將條件、結(jié)論同時(shí)

否定，而命題的否定是只否定結(jié)論.有時(shí)一個(gè)命題的敘述方式是簡(jiǎn)略式，此時(shí)應(yīng)

先分清條件P，結(jié)論q,改寫成“若P，則q”的形式再判斷.

02二專題歸納整算題典例揭秘

專題一四種命題及其關(guān)系

把命題“若。，則q”作為原命題，對(duì)它的條件P和結(jié)論q作“換位”和“換

質(zhì)(否定)”描述，分別得到逆命題，否命題與逆否命題，統(tǒng)稱為四種命題：

(1)0、q“換位”：交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題：“若

q，則P”；

(2)0、g“換質(zhì)”：同時(shí)否定命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題：“若

㈱P，貝懈q”；

(3)0、g“換位”且“換質(zhì)”：交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，

所得的命題是逆否命題：“若^q,則㈱P”.

原命題與它的逆命題、原命題與它的否命題之間的真假是不確定的，而原命

題與它的逆否命題(它的逆命題與它的否命題)之間在真假上是始終保持一致的：

同真同假.

【例1】判斷下列命題的真假.

(1)若xCNUH則xC8的逆命題與逆否命題；

(2)若0〈若5,則一一21<3的否命題與逆否命題;

(3)設(shè)a、6為向量，如果a_L6,則a?6=0的逆命題和否命題.

解(1)若xGNU氏則x?8是假命題,故其逆否命題為假,逆命題為若xeB,

則XG/U8,為真命題.

(2)VO<X5,2〈x—2〈3,...OW|x—21〈3.

原命題為真，故其逆否命題為真.

否命題：若后0或x》5,則|x—2|三3.

例如當(dāng)x=—；一21=義〈3.故否命題為假.

(3)原命題：a?6為向量，a_L6=>a?6=0為真命題.

逆命題：若6為向量，a?6=0=>a_Lb為真命題.

否命題：a不垂直ZF=>S?6W0也為真命題.

專題二充分條件、必要條件與充要條件

關(guān)于充分條件、必要條件與充要條件的判定，實(shí)際上是對(duì)命題真假的判定：

若gq,且止/<?,則。是q的充分不必要條件，同時(shí)Q是0的必要不充分

條件；

若pOg,則。是g的充要條件，同時(shí)g是P的充要條件；

若則。是q的既不充分也不必要條件，同時(shí)q是0的既不充分也不

必要條件.

充要條件可以與各章節(jié)內(nèi)容相結(jié)合，所以是歷年高考考查的熱點(diǎn)之一.

【例2】下列選項(xiàng)中，P是g的必要不充分條件的是（）.

A.p：a+c>Z?+d,q：a>5且c>d

B.p：a>l,b>l,q：/1（x）=a'一6（a〉0且aWl）的圖象不過第二象限

C.p：X~—1,QzX--X

D.p：a>l,q：F（A）=logaX（a〉0且aWl）在（0,+8）上為增函數(shù)

解析B選項(xiàng)中，當(dāng)b=l,a〉l時(shí)，q推不出p成立，因而夕為q的充分不

必要條件.C選項(xiàng)中，q：x=0或1,不能夠推出p成立，因而。為q的充分不

必要條件.D選項(xiàng)中，p、q可以互推，因而。為q的充要條件.故本題選A.

答案A

專題三簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞的綜合應(yīng)用

解決這類問題時(shí)，應(yīng)先根據(jù)題目條件，即新命題的真假情況，推出每一個(gè)命

題的真假（有時(shí)不一定只有一種情況），然后再求出每個(gè)命題是真命題時(shí)參數(shù)的取

值范圍，最后根據(jù)每個(gè)命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍.

【例3】已知：p-.方程V+〃x+l=0有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)數(shù)根；q：方程4/

+4E—2）x+l=0無實(shí)數(shù)根，若“pVq”為真命題，且“pAg”是假命題，求

實(shí)數(shù)力的取值范圍.

'A=/?—4>0

解p：方程系+加x+l=0有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)數(shù)根臺(tái)<加°臺(tái)山>2.

q：方程4，+4（勿一2）x+l=0無實(shí)數(shù)根

臺(tái)/=16(R—2尸一16<0臺(tái)1〈加3.

...㈱夕：必W2,㈱g：/W1或加三3.

???“〃▽/為真命題，且"p'q”是假命題，

為真且q為假，或「為假且g為真.

⑴當(dāng)夕為真且g為假時(shí)，即P為真且㈱g為真,

ni>2,

解得力23；

、"W1或"23

⑵當(dāng)夕為假且g為真時(shí)，即㈱0為真且g為真

m^2,

解得1〈加W2.

1〈/<3

綜上所述，實(shí)數(shù)必的取值范圍是(1,2]U[3,+-).

專題四全稱命題與特稱命題

全稱命題“Vx?弘夕(x)”強(qiáng)調(diào)命題的一般性，因此，

(1)要證明它是真命題，需對(duì)集合"中每一個(gè)元素x,證明p(x)成立；

(2)要判斷它是假命題，只要在集合〃中找到一個(gè)元素吊，使0(吊)不成立即

可.

特稱命題“三毛?必夕(冬)”強(qiáng)調(diào)結(jié)論的存在性，因此，

(1)要證明它是真命題，只需在集合〃中找到一個(gè)元素的,使pU)成立即可.

(2)要判斷它是假命題，需對(duì)集合〃中每一個(gè)元素x,證明°(x)不成立.

【例4】在下列四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是().

①\7xGR,f+X+3〉0；

(D3X0￡Q,不是有理數(shù)；

③Ela。，￡()eR,使sin(a()+￡o)=sinff0+sin￡o；

@3x0,%?Z,使3苞一2%=10.

A.1B.2

C.3D.4

解析①中才2+'+3=(才+1)2+9巳9〉0,故①是真命題.

②中為GQ,一定是有理數(shù)，故②是假命題.

O/

_,JIJI,

③中a=7，￡=-彳時(shí)，sin(a+￡)=O,sina+sinB=0,

故③是真命題.

④中苞=4,%=1時(shí)，3苞-2%=10成立，故④是真命題.

答案C

專題五全稱命題、特稱命題的否定

1.寫命題的否定時(shí)，關(guān)鍵是確定命題的類型.

2.判斷命題的否定的真假時(shí)，可直接判斷該命題，也可判斷原命題的真假,

利用原命題和命題的否定的真假性相反下結(jié)論.

【例5】(1)命題：對(duì)任意x?R,/+1W0的否定是().

A.不存在—岔+1W0

B.存在舅一篇+120

C.存在AbGR,舅一舅+1〉0

D.對(duì)任意x?R,/—2;+1>0

(2)命題0：3^eR,使方程/+刈x+1=0有實(shí)數(shù)根，則“㈱?！毙问降拿?/p>

題是().

A.三發(fā)?R,使得方程/+幾x+1=0無實(shí)根

B.對(duì)V/GR,方程f+加x+l=0無實(shí)根

C.對(duì)VsGR,方程系+勿x+1=0有實(shí)根

D.至多有一個(gè)實(shí)數(shù)〃使得方程/+“+1=0有實(shí)根

答案⑴C(2)B

【例6】寫出下列命題的否定，并判斷真假：

(1)不論力取什么實(shí)數(shù)，方程f+x—勿=0必有實(shí)數(shù)根.

(2)存在一個(gè)實(shí)數(shù)的，使得/+x0+lW0.

(3)等圓的面積相等，周長(zhǎng)相等.

(4)對(duì)任意角a,都有sir?a+cos2a=1.

解(1)El必GR,方程f+x—〃=0無實(shí)根，真命題.

(2)X/xGR,xl>0,真命題.

(3)有的等圓的面積不相等或周長(zhǎng)不相等，假命題.

(4)三a。使得sin2ao+cos2aoW1,假命題.

【例7】已知命題p：任意非零向量a、b、c,若(Z>—c)=0,則b=c.

寫出其否定和否命題，并說明真假.

解幺弟「：存在非零向量a、b、c,若&?(b—c)=0,則6Wc.幺弟0為真命

題.

否命題：任意非零向量a、b、c,若^?(b—c)W0,則bWc.否命題為真命

題.

專題六轉(zhuǎn)化的思想

轉(zhuǎn)化思想是包含在化歸思想中的一種比較具體的數(shù)學(xué)思想.本章涉及了原命

題與它的逆否命題之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化.

【例8】q：函數(shù)f{x)=4/—2(p—2)x—2p2—p+1在區(qū)間［-1,1］上至少

存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使得Hc)〉O,求實(shí)數(shù)0的取值范圍.

解㈱q：已知函數(shù)f(x)=4x—2(/?—2)x—2p—p+1在區(qū)間［-1,1］上不

存在一個(gè)實(shí)數(shù)第

使得F(c)〉O,即VcG［—1,1］,F(c)WO,

f—1WO,2j—p—1NO，

f1wo,2爐+3p—9NO,

pW一片或pN1,

23

即oW—3或。三江

3乙

0W—3或02,

3

故。為真時(shí)的’的取值范圍是一3〈仄去

w?解讀高考快生體驗(yàn)感悟高考

命題趨勢(shì)

命題真假的判斷，充要條件的判定，含一個(gè)量詞的命題的否定是高考考查的

重點(diǎn).其中命題真假的判斷和充要條件的判定往往與其他知識(shí)相結(jié)合，考查相關(guān)

知識(shí)點(diǎn)，體現(xiàn)了在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題的特點(diǎn)，一般以選擇題的形式出現(xiàn)，難度不

大.常見的考查角度有以下幾種：

1.對(duì)于命題的判斷問題，在高考中往往涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合進(jìn)行考查.

考查知識(shí)點(diǎn)涉及邏輯聯(lián)結(jié)詞、三角函數(shù)、不等式、立體幾何初步等諸多內(nèi)容，

得到命題者的青睞.該部分的考查重點(diǎn)有兩個(gè)：（1）是綜合其他知識(shí)，考查一些

簡(jiǎn)單命題真假的判斷；（2）是考查命題四種形式之間的關(guān)系.

體現(xiàn)了考綱對(duì)“命題、充分條件、三角函數(shù)的有界性、不等式的性質(zhì)以及空

間線面關(guān)系等”的要求.解決此類問題的關(guān)鍵是靈活根據(jù)題干和選擇項(xiàng)進(jìn)行判

斷，主要是選出錯(cuò)誤的命題，所以可以利用特例法確定選擇項(xiàng)，即只需舉出一個(gè)

反例即可說明命題是假命題，對(duì)于較難判斷的問題，可以轉(zhuǎn)化為它的逆否命題的

判斷來解決.

2.充分條件、必要條件和充要條件是對(duì)命題進(jìn)行研究和考查的重要途徑，

是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，往往在不同知識(shí)點(diǎn)的交匯處進(jìn)行命題，考查面十分廣泛，

涵蓋函數(shù)、立體幾何、不等式、向量、三角等內(nèi)容.通過對(duì)命題條件和結(jié)論的分

析，考查對(duì)數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確記憶和深層次的理解.

3.邏輯聯(lián)結(jié)詞在近幾年的高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，主要是含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的

命題的判斷問題，所以正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，準(zhǔn)確把握含有三個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)

詞的復(fù)合命題的判斷方法，熟記規(guī)律：已知命題p、q,只要有一個(gè)命題為假，p^q

就為假；只要有一個(gè)為真，就為真，㈱。與夕真假相對(duì).另外注意命題的

否定與命題的否命題的區(qū)別，這是兩個(gè)很容易混淆的概念，要準(zhǔn)確把握它們的基

本形式，不能混淆.

4.解決全稱量詞與存在量詞問題需要注意兩個(gè)方面：一是準(zhǔn)確掌握含有全

稱量詞與存在量詞的命題的否定形式，這兩類命題的否定形式有嚴(yán)格的格式，不

要和一般命題的否命題的形式混淆；二是要掌握判斷全稱命題與特稱命題的真假

的特例法，即只要找出一個(gè)反例就可說明全稱命題為假，只要找到一個(gè)正例就可

以說明特稱命題為真.

高考真題

JI

1.（2012?湖南高考）命題“若a=~,tan。=1”的逆否命題是（）

JI4兀，

A.右a貝1JtanaWlB.右a=~>貝Utan

,n4,JI

C.右tana關(guān)1,貝!]a#：—D.右tanaWl,貝！Ja=—

解析由逆否命題的定義知答案C正確.

答案c

2.（2011?山東高考）已知a,b,cGR,命題“若a+b+c=3,貝Ua+l）

+/>3”的否命題是（）.

A.若a+b+cW3,則a2+8+c2〈3

B.若a+b+c=3,則a'+r+我3

C.若a+b+cW3,則a'+^+cZ三3

D.若才十5+1N3,則a+b+c=3

222

解析原命題的條件是：a+b+c=3,結(jié)論是：a+A+c>3,所以否命題

是：若a+b+cW3,則a~\-Z?2+c2<3.

答案A

3.（2011?全國(guó)卷）下面四個(gè)條件中，使a>6成立的充分不必要的條件是

（）.

A.a>Z?+lB.a>b-1C.a>8D.a>8

解析a〉b+l=>a〉5,a〉6=/a〉b+l.

答案A

4.（2012?天津高考）設(shè)x?R,則“x>g”是“2f+x—1〉0”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析易知2T+x—1在一；，十81上是增函數(shù)，當(dāng)入=；時(shí)，2X百葉；一

1=0,故+x—l〉0,但2*+入一1〉0=太〉；或點(diǎn)一1.故選人.

答案A

5.（2011?天津高考）設(shè)x,HR,則“x>2且y>2”是“H+/N4”的

（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

解析x22,且曠三2n系+/24,S+/N4今/x22,且