2022-2023學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)和平街一中八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2022-2023學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)和平街一中八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1．函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤12．下列根式中，最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．3．下列計(jì)算正確的是（）A．＝ B．×＝ C．＝4 D．＝4．如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若∠A＝40°，則∠EBC的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°5．“二十四節(jié)氣”是中國(guó)古代勞動(dòng)人民長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)積累的結(jié)晶，它包括立春、驚蟄、清明、立夏等，同時(shí)，它與白晝時(shí)長(zhǎng)密切相關(guān)．如圖所示的是一年中部分節(jié)氣所對(duì)應(yīng)的白晝時(shí)長(zhǎng)示意圖．在下列選項(xiàng)中，白晝時(shí)長(zhǎng)超過(guò)14小時(shí)的節(jié)氣是（）A．清明 B．立秋 C．白露 D．立冬6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中?OABC的頂點(diǎn)O，A，B的坐標(biāo)分別是（0，0），（5，0），（2，3），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，3） D．（﹣3，2）7．某科研小組在網(wǎng)上獲取了聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度關(guān)系的一些數(shù)據(jù)如下：溫度（℃）﹣20﹣100102030聲速（m/s）318324330336342348下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．在這個(gè)變化中，自變量是溫度，聲速是溫度的函數(shù) B．溫度越低，聲速越慢 C．當(dāng)溫度每升高10℃時(shí)，聲速增加6m/s D．當(dāng)空氣溫度為10℃時(shí)，聲音4s可以傳播1304m8．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b（a＞b），直角三角形的面積為S1，小正方形的面積為S2，則用含S1，S2的代數(shù)式表示a2+b2正確的是（）A．4S1+S21 B．4S1﹣S2 C．4S1 D．4S1+S2二、填空題9．化簡(jiǎn)：＝，＝．10．本月我市95號(hào)汽油的平均價(jià)格是7.92元/升，小明爸爸用一張面額為1000元的加油卡付費(fèi)，若加油x（升）后油卡上的余額為y（元），則y與x的函數(shù)關(guān)系式是．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2），以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)P的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交x軸的正半軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)介于兩個(gè)整數(shù)之間，這兩個(gè)整數(shù)是和．12．如圖，將△ABC放在正方形網(wǎng)格圖中（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1），點(diǎn)A，B，C恰好在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上，那么∠ABC的度數(shù)是．13．如圖所示，劉伯伯家有一塊等邊三角形的空地ABC，已知E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，量得EF＝5米，他想把四邊形BCFE用籬笆圍起來(lái)放養(yǎng)小雞，則需用籬笆的長(zhǎng)是米．14．如圖，菱形ABCD面積為24，對(duì)角線AC＝8，DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE＝．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，點(diǎn)P為AB上任意一點(diǎn)，連接PC，以PB，PC為鄰邊作平行四邊形PCQB，連接PQ，則PQ的最小值為．16．如圖，在?ABCD中，AD＞AB，E，F(xiàn)分別為邊AD，BC上的點(diǎn)（E，F(xiàn)不與端點(diǎn)重合），對(duì)于任意?ABCD，下面四個(gè)結(jié)論中：①存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形ABFE，使得四邊形ABFE是平行四邊形；②至少存在一個(gè)四邊形ABFE，使得四邊形ABFE菱形；③至少存在一個(gè)四邊形ABFE，使得四邊形ABFE矩形；④存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形ABFE，使得四邊形ABFE的面積是?ABCD面積的一半．所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題17．計(jì)算：．18．已知，，求代數(shù)式a2﹣ab+b2的值．19．如圖，平行四邊形ABCD中E，F(xiàn)是直線AC上兩點(diǎn)，且AE＝CF．求證：BE∥DF．20．下面是小張同學(xué)設(shè)計(jì)的“利用等腰三角形作菱形”的作圖過(guò)程．已知：等腰△ABD，AB＝AD．求作：點(diǎn)C，使得四邊形ABCD為菱形．作法：①作∠BAD的角平分線AO，交線段BD于點(diǎn)O；②以點(diǎn)O為圓心，AO長(zhǎng)為半徑圓弧，交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C；③連接BC，DC，所以四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)C即為所求．根據(jù)小張同學(xué)設(shè)計(jì)的作圖過(guò)程．（1）使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵AB＝AD，AO平分∠BAD，∴BO＝DO，AO⊥BD，（）（填推理的依據(jù)）∵BO＝DO，AO＝CO，∴四邊形ABCD為平行四邊形，（）（填推理的依據(jù)）∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD為菱形．（）（填推理的依據(jù)）21．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DE上，AB＝5，BF＝4，AF＝3，BC＝7，求DF的長(zhǎng)度．22．如圖，有一只擺鐘，擺錘看作一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)擺錘靜止時(shí)，它離底座的垂直高度DE＝4cm，當(dāng)擺錘擺動(dòng)到最高位置時(shí)，它離底座的垂直高度BF＝6cm，此時(shí)擺錘與靜止位置時(shí)的水平距離BC＝8cm時(shí)，求鐘擺AD的長(zhǎng)度．23．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，連接CO并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AC，DE，AC⊥BE．（1）求證：四邊形ACDE是矩形；（2）若OC＝CD＝2，求DE的長(zhǎng)．24．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出一個(gè)探究問(wèn)題：制作一個(gè)體積為10dm3，底面為正方形的長(zhǎng)方體包裝盒，當(dāng)?shù)酌孢呴L(zhǎng)為多少時(shí)，需要的材料最?。ǖ酌孢呴L(zhǎng)不超過(guò)3dm，且不考慮接縫）．某小組經(jīng)討論得出：材料最省，就是盡可能使得長(zhǎng)方體的表面積最?。旅媸撬麄兊奶骄窟^(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）設(shè)長(zhǎng)方體包裝盒的底面邊長(zhǎng)為xdm，表面積為ydm2．可以用含x的代數(shù)式表示長(zhǎng)方體的高為．根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式：長(zhǎng)方體表面積＝2×底面積+側(cè)面積．得到y(tǒng)與x的關(guān)系式：（0＜x≤3）；（2）列出y與x的幾組對(duì)應(yīng)值：x/dm…0.51.01.52.02.53.0y/dm2…80.542.031.2a28.531.3（說(shuō)明：表格中相關(guān)數(shù)值精確到十分位）表中a＝．（3）在圖2的平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫(huà)出該函數(shù)的圖象：（4）結(jié)合畫(huà)出的函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：長(zhǎng)方體包裝盒的底面邊長(zhǎng)約為dm時(shí)，需要的材料最??；當(dāng)長(zhǎng)方體包裝盒表面積為30dm2時(shí)，底面邊長(zhǎng)約為dm．25．如圖，點(diǎn)F為正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)（BF＜DF），連接AF，過(guò)F作EF⊥AF，交DC于點(diǎn)E．作F關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，連接FH、CH，F(xiàn)H交BC于點(diǎn)P．（1）補(bǔ)全圖形；（2）證明：四邊形ECHF為平行四邊形；（3）寫(xiě)出AF、FP和DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．26．平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，1），P、Q是這個(gè)正方形外兩點(diǎn)，且PQ＝2．給出如下定義：記線段PQ的中點(diǎn)T，平移線段PQ得到線段P'Q'（其中P'、Q'分別是P、Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），記線段P'Q'的中點(diǎn)T'．若點(diǎn)P'、Q'分別落在正方形ABCD的一組鄰邊上，或線段P'Q'與正方形ABCD的一邊重合，則稱(chēng)線段TT'長(zhǎng)度的最小值為線段PQ到正方形ABCD的“平移距離”，稱(chēng)此時(shí)的點(diǎn)T'為線段PQ到正方形ABCD的“平移中點(diǎn)”．例如：如圖，線段PQ＝2，平移線段PQ到正方形ABCD內(nèi)，得到兩條線段P1Q1和P2Q2，這兩條線段互相平行，若T1，T2分別為P1Q1和P2Q2的中點(diǎn)，則點(diǎn)T1為線段PQ到正方形ABCD的“平移中點(diǎn)”．（1）點(diǎn)P（a，1），Q（a，﹣1）．①當(dāng)a＝﹣2時(shí)，則線段PQ到正方形ABCD的“平移距離”d為；②當(dāng)線段PQ到正方形ABCD的“平移距離”d≤1時(shí)，直接寫(xiě)出a的取值范圍．（2）線段PQ的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為（t，t+4）．①當(dāng)線段PQ∥BD時(shí)，求線段PQ到正方形ABCD的“平移距離”d的最小值；②當(dāng)t＝﹣2時(shí)，請(qǐng)畫(huà)出所有線段PQ到正方形ABCD的“平移中點(diǎn)”所組成的圖形，并直接寫(xiě)出線段PQ到正方形ABCD的“平移距離”d的取值范圍．

2022-2023學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)和平街一中八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題1．函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開(kāi)方數(shù)大于或等于0，可以求出x的范圍．【解答】解：由題意得x﹣1≥0，解得x≥1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】考查求函數(shù)自變量的取值；用到的知識(shí)點(diǎn)為：二次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)．2．下列根式中，最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】直接根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式判斷即可．【解答】解：A，不是最簡(jiǎn)二次根式；B.是最簡(jiǎn)二次根式；C.，不是最簡(jiǎn)二次根式；D.，不是最簡(jiǎn)二次根式；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是最簡(jiǎn)二次根式，掌握其概念是解決此題關(guān)鍵．3．下列計(jì)算正確的是（）A．＝ B．×＝ C．＝4 D．＝【分析】分別根據(jù)二次根式的加減法則和乘法法則求解，然后選擇正確選項(xiàng)．【解答】解：A、和不是同類(lèi)二次根式，不能合并，故錯(cuò)誤；B、×＝，原式計(jì)算正確，故正確；C、＝2，原式計(jì)算錯(cuò)誤，故錯(cuò)誤；D、﹣＝2﹣，原式計(jì)算錯(cuò)誤，故錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的加減法和乘除法，掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．4．如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若∠A＝40°，則∠EBC的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】由“平行四邊形的對(duì)邊相互平行”的性質(zhì)推知AB∥CD，AD∥BC，則∠ABE＝∠E＝90°，∠A+∠ABC＝180°，據(jù)此進(jìn)行解答．【解答】解：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，則∠ABE＝∠E＝90°，∠A+∠ABC＝180°，∴∠EBC＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣40°﹣90°＝50°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題時(shí)，利用“平行四邊形的對(duì)邊相互平行”的性質(zhì)求得相關(guān)角的度數(shù)．5．“二十四節(jié)氣”是中國(guó)古代勞動(dòng)人民長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)積累的結(jié)晶，它包括立春、驚蟄、清明、立夏等，同時(shí)，它與白晝時(shí)長(zhǎng)密切相關(guān)．如圖所示的是一年中部分節(jié)氣所對(duì)應(yīng)的白晝時(shí)長(zhǎng)示意圖．在下列選項(xiàng)中，白晝時(shí)長(zhǎng)超過(guò)14小時(shí)的節(jié)氣是（）A．清明 B．立秋 C．白露 D．立冬【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象確定每個(gè)節(jié)氣白晝時(shí)長(zhǎng)即可得到正確選項(xiàng)．【解答】解：由圖象可知：項(xiàng)立春白晝時(shí)在10～11小時(shí)之間，故選項(xiàng)A不符合題意；項(xiàng)立秋白晝時(shí)長(zhǎng)超過(guò)14小時(shí)之間，故選項(xiàng)B符合題意；項(xiàng)白露白晝時(shí)長(zhǎng)在13～14小時(shí)之間，故選項(xiàng)C不符合題意；項(xiàng)立冬白晝時(shí)長(zhǎng)在之間，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)圖象的知識(shí)，讀懂函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中?OABC的頂點(diǎn)O，A，B的坐標(biāo)分別是（0，0），（5，0），（2，3），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，3） D．（﹣3，2）【分析】根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵四邊形OABC是平行四邊形，∴BC＝OA，BC∥OA，即BC∥x軸，∵O，A，B的坐標(biāo)分別是（0，0），（5，0），（2，3），∴BC＝OA＝5，點(diǎn)C與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等，都為3，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2﹣5＝﹣3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，3），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形，熟練掌握坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．7．某科研小組在網(wǎng)上獲取了聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度關(guān)系的一些數(shù)據(jù)如下：溫度（℃）﹣20﹣100102030聲速（m/s）318324330336342348下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．在這個(gè)變化中，自變量是溫度，聲速是溫度的函數(shù) B．溫度越低，聲速越慢 C．當(dāng)溫度每升高10℃時(shí)，聲速增加6m/s D．當(dāng)空氣溫度為10℃時(shí)，聲音4s可以傳播1304m【分析】根據(jù)自變量、因變量的含義，以及聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度關(guān)系逐一判斷即可．【解答】解：A．∵在這個(gè)變化中，自變量是溫度，因變量是聲速，∴說(shuō)法正確，不符合題意；B．∵根據(jù)數(shù)據(jù)表，可得溫度越低，聲速越慢，∴說(shuō)法正確，不符合題意；C．∵324﹣318＝6（m/s），330﹣324＝6（m/s），336﹣330＝6（m/s），342﹣336＝6（m/s），348﹣342＝6（m/s），∴當(dāng)溫度每升高10°C，聲速增加6m/s，∴說(shuō)法正確，不符合題意；D．∵336×4＝1344（m），∴當(dāng)空氣溫度為10°C時(shí)，聲音4s可以傳播1344m，∴說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了函數(shù)的表示方法，自變量、因變量的含義以及用表格表示變量之間的關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b（a＞b），直角三角形的面積為S1，小正方形的面積為S2，則用含S1，S2的代數(shù)式表示a2+b2正確的是（）A．4S1+S21 B．4S1﹣S2 C．4S1 D．4S1+S2【分析】根據(jù)三角形和正方形的面積公式用含a，b的代數(shù)式表示出S1，S2，整理即可得出結(jié)果．【解答】解：∵直角三角形的面積為S1，小正方形的面積為S2，∴，（a﹣b）2＝S2，∴ab＝2S1，a2﹣2ab+b2＝S2，∴，∴a2+b2＝S2+4S1故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了以弦圖為背景的計(jì)算，完全平方公式，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．化簡(jiǎn)：＝3，＝．【分析】利用二次根式的性質(zhì)可化簡(jiǎn)，利用分母有理化可化簡(jiǎn)．【解答】解：，．故答案為：3，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)和分母有理化，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．10．本月我市95號(hào)汽油的平均價(jià)格是7.92元/升，小明爸爸用一張面額為1000元的加油卡付費(fèi)，若加油x（升）后油卡上的余額為y（元），則y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝1000﹣7.92x．【分析】根據(jù)余額＝加油卡原有面額﹣加油所用的費(fèi)用列函數(shù)關(guān)系式即可．【解答】解：由題意得：y與x的函數(shù)解析式為：y＝1000﹣7.92x．故答案為：y＝1000﹣7.92x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定一次函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是讀懂題意，建立一次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2），以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)P的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交x軸的正半軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)介于兩個(gè)整數(shù)之間，這兩個(gè)整數(shù)是2和3．【分析】根據(jù)勾股定理求得OP的長(zhǎng)度，即可得到OA的長(zhǎng)度，根據(jù)點(diǎn)A在正半軸，即可求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的范圍．【解答】解：∵點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2），∴，根據(jù)題意得，∵4＜5＜9，∴，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)介于2和3之間，故答案為：2，3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形，勾股定理，無(wú)理數(shù)的估算，掌握勾股定理與無(wú)理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵．12．如圖，將△ABC放在正方形網(wǎng)格圖中（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1），點(diǎn)A，B，C恰好在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上，那么∠ABC的度數(shù)是45°．【分析】先求出AB、AC、BC的長(zhǎng)以及∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：根據(jù)圖形可得：∵，，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°．故答案為：45°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．13．如圖所示，劉伯伯家有一塊等邊三角形的空地ABC，已知E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，量得EF＝5米，他想把四邊形BCFE用籬笆圍起來(lái)放養(yǎng)小雞，則需用籬笆的長(zhǎng)是25米．【分析】根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴BC＝2EF＝10（米），∵△ABC是等邊三角形，∴BE＝CF＝5（米），∴四邊形BCFE的周長(zhǎng)為：BC+BE+CF+EF＝25（米），故答案為：25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．14．如圖，菱形ABCD面積為24，對(duì)角線AC＝8，DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE＝．【分析】根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，可以求得，，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理可以求得AB的長(zhǎng)，再根據(jù)菱形的面積等于底乘以高即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴，，AC⊥BD，∵，即，∴BD＝6，∴OB＝3，∴，∵S菱形ABCD＝AB?DE＝24，即5DE＝24，∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，菱形的面積，熟練掌握菱形的面積等于對(duì)角線乘的一半，也等于底乘以高是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，點(diǎn)P為AB上任意一點(diǎn)，連接PC，以PB，PC為鄰邊作平行四邊形PCQB，連接PQ，則PQ的最小值為2．【分析】設(shè)PQ與BC交于點(diǎn)O，作OD⊥AB于D．首先求出OD，當(dāng)P與D重合時(shí)，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OD．【解答】解：設(shè)PQ與BC交于點(diǎn)O，作OD⊥AB于D．如圖所示：∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴OB＝OC＝BC＝2，∵OD⊥AB，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∠BOD＝30°，∴BD＝OB＝1，，當(dāng)P與D重合時(shí)，OP的值最小，則PQ的值最小，∴PQ的最小值＝2OD＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、平行四邊形的性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在?ABCD中，AD＞AB，E，F(xiàn)分別為邊AD，BC上的點(diǎn)（E，F(xiàn)不與端點(diǎn)重合），對(duì)于任意?ABCD，下面四個(gè)結(jié)論中：①存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形ABFE，使得四邊形ABFE是平行四邊形；②至少存在一個(gè)四邊形ABFE，使得四邊形ABFE菱形；③至少存在一個(gè)四邊形ABFE，使得四邊形ABFE矩形；④存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形ABFE，使得四邊形ABFE的面積是?ABCD面積的一半．所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④．【分析】利用平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)依次進(jìn)行判斷可求解．【解答】解：當(dāng)AE＝BF時(shí)，且AE∥BF，則四邊形ABFE是平行四邊形，∴存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形ABFE，使得四邊形ABFE是平行四邊形，故①正確；當(dāng)AE＝BF＝AB時(shí)，則四邊形ABFE是菱形，∴至少存在一個(gè)四邊形ABFE，使得四邊形ABFE菱形，故②正確；∵∠ABC≠90°，∴不存在四邊形ABFE是矩形，故③錯(cuò)誤；當(dāng)EF過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)時(shí)，四邊形ABFE的面積是?ABCD面積的一半，∴存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形ABFE，使得四邊形ABFE的面積是?ABCD面積的一半，故④正確，故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．三、解答題17．計(jì)算：．【分析】先根據(jù)二次根式的除法法則和絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再算加減即可．【解答】解：＝＝＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．18．已知，，求代數(shù)式a2﹣ab+b2的值．【分析】先求出，ab＝﹣1，再根據(jù)a2﹣ab+b2＝（a﹣b）2+ab進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵，，∴，，∴a2﹣ab+b2＝a2﹣2ab+b2+ab＝（a﹣b）2+ab＝＝8﹣1＝7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．19．如圖，平行四邊形ABCD中E，F(xiàn)是直線AC上兩點(diǎn)，且AE＝CF．求證：BE∥DF．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，證得△CFD≌△AEB，即可得證結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB．∵CF＝AE，∴△CFD≌△AEB（SAS），∴∠F＝∠E，∴BE∥DF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的證明，熟練掌握平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)和全等三角形的證明是解題的關(guān)鍵．20．下面是小張同學(xué)設(shè)計(jì)的“利用等腰三角形作菱形”的作圖過(guò)程．已知：等腰△ABD，AB＝AD．求作：點(diǎn)C，使得四邊形ABCD為菱形．作法：①作∠BAD的角平分線AO，交線段BD于點(diǎn)O；②以點(diǎn)O為圓心，AO長(zhǎng)為半徑圓弧，交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C；③連接BC，DC，所以四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)C即為所求．根據(jù)小張同學(xué)設(shè)計(jì)的作圖過(guò)程．（1）使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵AB＝AD，AO平分∠BAD，∴BO＝DO，AO⊥BD，（三線合一定理）（填推理的依據(jù)）∵BO＝DO，AO＝CO，∴四邊形ABCD為平行四邊形，（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)）∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD為菱形．（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）（填推理的依據(jù)）【分析】（1）按照題意進(jìn)行作圖即可；（2）先由三線合一定理得到BO＝DO，AO⊥BD，再根據(jù)平行四邊形和菱形的判定定理證明即可．【解答】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：∵AB＝AD，AO平分∠BAD，∴BO＝DO，AO⊥BD，（三線合一定理）∵BO＝DO，AO＝CO，∴四邊形ABCD為平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD為菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）故答案為：三線合一定理；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，三線合一定理，菱形的判定，平行四邊形的判定等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．21．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DE上，AB＝5，BF＝4，AF＝3，BC＝7，求DF的長(zhǎng)度．【分析】由三角形中位線定理得到DE＝3.5，再證明△ABF是直角三角形，即∠AFB＝90°，即可利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出EF＝2.5，則DF＝DE﹣EF＝1．【解答】解：∵點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴，∵AB＝5，BF＝4，AF＝3，∴BF2+AF2＝32+42＝25＝52＝AB2，∴△ABF是直角三角形，即∠AFB＝90°，∴，∴DF＝DE﹣EF＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，證明△ABF是直角三角形是解題的關(guān)鍵．22．如圖，有一只擺鐘，擺錘看作一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)擺錘靜止時(shí)，它離底座的垂直高度DE＝4cm，當(dāng)擺錘擺動(dòng)到最高位置時(shí)，它離底座的垂直高度BF＝6cm，此時(shí)擺錘與靜止位置時(shí)的水平距離BC＝8cm時(shí)，求鐘擺AD的長(zhǎng)度．【分析】設(shè)AB＝AD＝xcm，表示出AC的長(zhǎng)，然后利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：設(shè)AB＝AD＝xcm，由題意得，CE＝BF＝6cm，∴AC＝AD+DE﹣CE＝（x﹣2）cm，∵AC2+BC2＝AB2，∴（x﹣2）2+82＝x2，∴x＝17，∴AD＝17cm．答：鐘擺AD的長(zhǎng)度17cm．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．23．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，連接CO并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AC，DE，AC⊥BE．（1）求證：四邊形ACDE是矩形；（2）若OC＝CD＝2，求DE的長(zhǎng)．【分析】（1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得∠EAO＝∠CDO，由點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，可得OA＝OD，再根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，即可證得四邊形ACDE是平行四邊形，再由AC⊥BE，即可證得結(jié)論；（2）首先由矩形的性質(zhì)可求得EC的長(zhǎng)，再利用勾股定可理即可求得DE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥CD，∴∠EAO＝∠CDO，∵點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，∴OA＝OD，在△AEO與△DCO中，，∴△AEO{≌}△DCO（ASA），∴AE＝CD，∴四邊形ACDE是平行四邊形，又∵AC⊥BE，∴∠EAC＝90°，∴四邊形ACDE是矩形；（2）解：∵四邊形ACDE是矩形，∴EC＝2OC＝4，∠EDC＝90°，在Rt△CDE中，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形與矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握和運(yùn)用各圖形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．24．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出一個(gè)探究問(wèn)題：制作一個(gè)體積為10dm3，底面為正方形的長(zhǎng)方體包裝盒，當(dāng)?shù)酌孢呴L(zhǎng)為多少時(shí)，需要的材料最?。ǖ酌孢呴L(zhǎng)不超過(guò)3dm，且不考慮接縫）．某小組經(jīng)討論得出：材料最省，就是盡可能使得長(zhǎng)方體的表面積最?。旅媸撬麄兊奶骄窟^(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）設(shè)長(zhǎng)方體包裝盒的底面邊長(zhǎng)為xdm，表面積為ydm2．可以用含x的代數(shù)式表示長(zhǎng)方體的高為．根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式：長(zhǎng)方體表面積＝2×底面積+側(cè)面積．得到y(tǒng)與x的關(guān)系式：y＝2x2+（0＜x≤3）；（2）列出y與x的幾組對(duì)應(yīng)值：x/dm…0.51.01.52.02.53.0y/dm2…80.542.031.2a28.531.3（說(shuō)明：表格中相關(guān)數(shù)值精確到十分位）表中a＝28．（3）在圖2的平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫(huà)出該函數(shù)的圖象：（4）結(jié)合畫(huà)出的函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：長(zhǎng)方體包裝盒的底面邊長(zhǎng)約為2.2dm時(shí)，需要的材料最?。划?dāng)長(zhǎng)方體包裝盒表面積為30dm2時(shí)，底面邊長(zhǎng)約為2.2，1.6dm．【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式求解即可；（2）求出x＝2時(shí)，y的值即可；（3）利用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)圖象即可；（4）利用圖象法判斷即可．【解答】解：（1）由題意，y＝2x2+4x×＝2x2+；故答案為：y＝2x2+；（2）當(dāng)x＝2時(shí)，a＝y(tǒng)＝8+20＝28；故答案為：28；（3）函數(shù)圖象如圖所示：（4）觀察圖象可知，當(dāng)x約為2.2dm時(shí)，需要的材料最省，當(dāng)y＝30dm2時(shí)，x約為1.6dm，故答案為：2.2，1.6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，長(zhǎng)方體的性質(zhì)，函數(shù)圖象等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用圖象法解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．25．如圖，點(diǎn)F為正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)（BF＜DF），連接AF，過(guò)F作EF⊥AF，交DC于點(diǎn)E．作F關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，連接FH、CH，F(xiàn)H交BC于點(diǎn)P．（1）補(bǔ)全圖形；（2）證明：四邊形ECHF為平行四邊形；（3）寫(xiě)出AF、FP和DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）根據(jù)題意作圖即可；（2）證明△ADF≌△CDF，得到AF＝CF，∠DAF＝∠DCF，再證明∠FEC＝∠FAD＝∠FCE，得到FE＝FC，由對(duì)稱(chēng)性可得CF＝CH，CP⊥FH，進(jìn)而證明EF∥CH，即可證明四邊形ECHF為平行四邊形；（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD于G，則四邊形PFGC是矩形，△DFG是等腰直角三角形，得到，由勾股定理得PF2+PC2＝CF2，即可推出．【解答】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：如圖所示，連接CF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∠ADF＝∠CDF＝45°，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴AF＝CF，∠DAF＝∠DCF，∵EF⊥AF，即∠AFE＝90°，∴∠DAF+∠DEF＝360°﹣∠ADE﹣∠AFE＝180°，∵∠DEF+∠CEF＝180°，∴∠FEC＝∠FAD＝∠FCE，∴FE＝FC，∵點(diǎn)H和點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，∴CF＝CH，CP⊥FH，∴∠FCP＝∠HCP，CF＝CH＝EF，∵∠FCE+∠FCP＝90°，∴∠FEC+∠FCE+∠FCP+∠HCP＝180