安徽省合肥市高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)教案 新人教A版必修1

安徽省合肥市高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)教案新人教A版必修1主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容《安徽省合肥市高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》新人教A版必修1。本節(jié)內(nèi)容主要包括以下部分：

1.理解方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系；

2.學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖像分析方程的根的情況；

3.掌握零點(diǎn)存在定理，并能應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的求解；

4.通過(guò)具體例題，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、邏輯思維能力和解決問(wèn)題的能力。

教學(xué)內(nèi)容緊密圍繞函數(shù)零點(diǎn)的概念，以及如何從函數(shù)圖像和零點(diǎn)存在定理的角度分析并解決實(shí)際問(wèn)題，確保學(xué)生能夠掌握函數(shù)零點(diǎn)的基礎(chǔ)知識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)表達(dá)問(wèn)題的能力，提高邏輯思維能力；

2.培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)函數(shù)圖像分析問(wèn)題，提升幾何直觀和空間想象能力；

3.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用零點(diǎn)存在定理解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；

4.引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)的基本概念、圖像及其性質(zhì)，理解了函數(shù)單調(diào)性、奇偶性等相關(guān)知識(shí)，為學(xué)習(xí)函數(shù)的零點(diǎn)奠定了基礎(chǔ)。

2.學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣參差不齊，部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有較高的興趣和積極態(tài)度，具備一定的邏輯思維能力和探究精神；而另一部分學(xué)生可能對(duì)數(shù)學(xué)感到畏懼，需要引導(dǎo)和鼓勵(lì)。學(xué)生在小組合作中表現(xiàn)出不同的學(xué)習(xí)風(fēng)格，有的擅長(zhǎng)獨(dú)立思考，有的喜歡討論交流。

3.學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)零點(diǎn)時(shí)可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：難以理解方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系；在分析函數(shù)圖像時(shí)，對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)的判斷和把握不夠準(zhǔn)確；應(yīng)用零點(diǎn)存在定理解決問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤或理解不透的情況。針對(duì)這些困難，教師需要給予有針對(duì)性的指導(dǎo)和幫助。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源1.硬件資源：

-投影儀

-電子白板

-學(xué)生用計(jì)算機(jī)

2.軟件資源：

-數(shù)學(xué)教學(xué)軟件（如幾何畫板、Mathematica等）

-PowerPoint演示文稿

3.課程平臺(tái)：

-學(xué)校教學(xué)管理系統(tǒng)

-紙質(zhì)教材及配套練習(xí)冊(cè)

4.信息化資源：

-電子教材

-網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源（數(shù)學(xué)論壇、在線教育平臺(tái)等）

5.教學(xué)手段：

-小組合作學(xué)習(xí)

-探究式教學(xué)

-案例分析

-互動(dòng)問(wèn)答教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

創(chuàng)設(shè)情境：以實(shí)際生活中的問(wèn)題為例，如“某商品的價(jià)格與銷售量之間的關(guān)系”，引導(dǎo)學(xué)生思考價(jià)格與銷售量之間的函數(shù)關(guān)系。接著提出問(wèn)題：“如何通過(guò)函數(shù)來(lái)確定商品的最佳售價(jià)？”激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。

2.講授新課（20分鐘）

（1）回顧函數(shù)基本概念，引導(dǎo)學(xué)生理解方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系。

（2）通過(guò)案例分析，講解函數(shù)圖像與零點(diǎn)的關(guān)系，使學(xué)生掌握如何從圖像角度分析零點(diǎn)。

（3）介紹零點(diǎn)存在定理，講解其應(yīng)用方法，并結(jié)合具體例子進(jìn)行分析。

（4）強(qiáng)調(diào)本節(jié)課的重點(diǎn)：理解方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，掌握零點(diǎn)存在定理及其應(yīng)用。

3.鞏固練習(xí)（10分鐘）

設(shè)計(jì)以下練習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立完成，鞏固對(duì)新知識(shí)的理解和掌握。

（1）判斷以下方程有幾個(gè)實(shí)數(shù)根，并說(shuō)明理由：

a.x^2-2x+1=0

b.x^2+2x+1=0

c.x^2-3x+2=0

（2）已知函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x-1，試分析其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

（3）利用零點(diǎn)存在定理，求解方程2x^3-3x^2-5x+2=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根。

4.課堂提問(wèn)（5分鐘）

針對(duì)練習(xí)題中的難點(diǎn)和重點(diǎn)進(jìn)行提問(wèn)，了解學(xué)生對(duì)新知識(shí)的掌握情況。同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生提問(wèn)，解答他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的困惑。

5.雙邊互動(dòng)環(huán)節(jié)（5分鐘）

將學(xué)生分成小組，每組選擇一道練習(xí)題進(jìn)行討論，分享解題思路和技巧。教師巡回指導(dǎo)，針對(duì)學(xué)生的討論給予及時(shí)反饋和引導(dǎo)。

6.核心素養(yǎng)能力拓展（5分鐘）

設(shè)計(jì)一道綜合性的問(wèn)題，如“已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，求解函數(shù)的零點(diǎn)，并分析零點(diǎn)所在的區(qū)間”，要求學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，提高他們的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

7.總結(jié)與反思（5分鐘）

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，以及零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用。同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生反思自己在學(xué)習(xí)過(guò)程中的收獲和不足，為下一節(jié)課的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

本教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)緊扣實(shí)際教學(xué)過(guò)程中的重難點(diǎn)，注重師生互動(dòng)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)他們的核心素養(yǎng)能力。整個(gè)教學(xué)過(guò)程用時(shí)45分鐘，符合實(shí)際學(xué)情。知識(shí)點(diǎn)梳理1.函數(shù)的零點(diǎn)定義：函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是使得f(x)=0的x值，即f(x)在x軸上的交點(diǎn)。

2.方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系：一元二次方程ax^2+bx+c=0的根就是對(duì)應(yīng)二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的零點(diǎn)。

3.函數(shù)零點(diǎn)的判定定理：

-零點(diǎn)存在性定理：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)c∈(a,b)，使得f(c)=0。

-零點(diǎn)的唯一性定理：若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù)，且在(a,b)內(nèi)單調(diào)，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)零點(diǎn)唯一。

4.函數(shù)零點(diǎn)的求解方法：

-圖像法：通過(guò)分析函數(shù)圖像的走勢(shì)和與x軸的交點(diǎn)來(lái)確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)和位置。

-二分法：利用零點(diǎn)存在性定理，通過(guò)不斷二分區(qū)間來(lái)逼近零點(diǎn)。

-牛頓迭代法：利用函數(shù)的切線來(lái)逐步逼近零點(diǎn)。

5.函數(shù)零點(diǎn)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：

-求解實(shí)際問(wèn)題的方程，如成本與收益平衡點(diǎn)、化學(xué)反應(yīng)的平衡點(diǎn)等。

-確定函數(shù)的極值點(diǎn)，通過(guò)求解導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)來(lái)找到函數(shù)的極值。

6.零點(diǎn)的性質(zhì)：

-如果函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)且f(a)=0，則x=a是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)。

-如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)且f(x)在I上變號(hào)，則根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，f(x)在I內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。

7.零點(diǎn)的判定定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：

-確定函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間。

-估算零點(diǎn)的近似值。

8.函數(shù)零點(diǎn)的求解策略：

-觀察法：對(duì)于簡(jiǎn)單的函數(shù)，可以通過(guò)直接觀察來(lái)確定零點(diǎn)。

-計(jì)算法：對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)，可以利用計(jì)算工具（如計(jì)算器、計(jì)算機(jī)軟件）來(lái)求解零點(diǎn)。

本知識(shí)點(diǎn)梳理涵蓋了教材第三章3.1.1節(jié)的核心內(nèi)容，包括函數(shù)零點(diǎn)的定義、判定定理、求解方法以及在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。這些知識(shí)點(diǎn)是理解和解決與函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題能力提升具有重要意義。教學(xué)反思與改進(jìn)在這節(jié)“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”的教學(xué)中，我設(shè)計(jì)了多種教學(xué)活動(dòng)，旨在幫助學(xué)生理解函數(shù)零點(diǎn)的概念及其與方程根之間的關(guān)系。課后，我認(rèn)為有以下幾點(diǎn)需要反思和改進(jìn)：

1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)：我嘗試通過(guò)生活中的實(shí)際例子來(lái)激發(fā)學(xué)生的興趣，但感覺效果并不如預(yù)期。在今后的教學(xué)中，我需要更多地了解學(xué)生的興趣點(diǎn)和認(rèn)知水平，選擇更貼近他們生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平的案例，以提高他們的學(xué)習(xí)興趣。

2.講授新課：在講解函數(shù)零點(diǎn)的判定定理和求解方法時(shí)，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)這些概念的理解仍然較為模糊。在以后的教學(xué)中，我需要更加注重學(xué)生的理解程度，及時(shí)調(diào)整教學(xué)節(jié)奏，增加與學(xué)生的互動(dòng)，確保他們能夠真正掌握這些關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)。

3.鞏固練習(xí)：從學(xué)生的練習(xí)情況來(lái)看，他們?cè)趹?yīng)用零點(diǎn)存在定理解決問(wèn)題時(shí)仍存在一些困難。針對(duì)這一點(diǎn)，我計(jì)劃在未來(lái)的教學(xué)中增加一些典型例題的講解，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作和思考，更好地掌握零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用。

4.課堂提問(wèn)：在課堂提問(wèn)環(huán)節(jié)，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生回答問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)緊張，可能是因?yàn)楹ε路稿e(cuò)。為了營(yíng)造一個(gè)輕松的學(xué)習(xí)氛圍，我將在以后的教學(xué)中更多地鼓勵(lì)學(xué)生，關(guān)注他們的優(yōu)點(diǎn)，培養(yǎng)他們的自信心。

5.雙邊互動(dòng)環(huán)節(jié)：雖然我鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行小組討論，但仍有部分學(xué)生參與度不高。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，我將在以后的教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)小組討論的引導(dǎo)，確保每位學(xué)生都能積極參與，提高他們的合作能力。

改進(jìn)措施：

1.針對(duì)導(dǎo)入環(huán)節(jié)，我將提前了解學(xué)生的興趣點(diǎn)和認(rèn)知水平，選擇更具吸引力的案例進(jìn)行導(dǎo)入。

2.在講授新課過(guò)程中，我將更加注重學(xué)生的理解程度，增加課堂提問(wèn)和互動(dòng)環(huán)節(jié)，及時(shí)了解他們的學(xué)習(xí)狀況。

3.針對(duì)鞏固練習(xí)，我將增加典型例題的講解，讓學(xué)生在實(shí)際操作中掌握零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用。

4.在課堂提問(wèn)環(huán)節(jié)，我將給予學(xué)生更多的鼓勵(lì)和肯定，培養(yǎng)他們的自信心。

5.加強(qiáng)小組討論的引導(dǎo)，確保每位學(xué)生都能積極參與，提高雙邊互動(dòng)環(huán)節(jié)的效果。重點(diǎn)題型整理題型一：求解函數(shù)零點(diǎn)

例題：已知函數(shù)f(x)=x^2-2x-3，求函數(shù)的零點(diǎn)。

解答：首先，將函數(shù)f(x)設(shè)置為0，即x^2-2x-3=0。通過(guò)因式分解，得到(x-3)(x+1)=0。解得x=3或x=-1。因此，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x=3和x=-1。

題型二：利用零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)所在區(qū)間

例題：已知函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x-1在區(qū)間[1,2]上連續(xù)，判斷其零點(diǎn)所在的區(qū)間。

解答：計(jì)算f(1)和f(2)的值，f(1)=1^3-6*1^2+9*1-1=3，f(2)=2^3-6*2^2+9*2-1=-5。由于f(1)>0且f(2)<0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)存在于區(qū)間(1,2)內(nèi)。

題型三：利用零點(diǎn)求解實(shí)際問(wèn)題

例題：某商品的成本函數(shù)為C(x)=3x+1000，銷售價(jià)格函數(shù)為P(x)=80-0.01x，其中x為銷售數(shù)量。求盈利平衡點(diǎn)的銷售數(shù)量。

解答：盈利平衡點(diǎn)即成本等于銷售收入，即C(x)=P(x)。將兩個(gè)函數(shù)相等，得到3x+1000=80-0.01x。解這個(gè)方程，得到x=2000。因此，銷售數(shù)量為2000時(shí)，商品達(dá)到盈利平衡點(diǎn)。

題型四：判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

例題：已知函數(shù)g(x)=x^3-3x^2+2x，判斷函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

解答：觀察函數(shù)g(x)的表達(dá)式，可以看出g(x)=x(x^2-3x+2)。通過(guò)因式分解，得到g(x)=x(x-1)(x-2)。因此，函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，分別為x=0，x=1和x=2。

題型五：利用圖像分析函數(shù)零點(diǎn)

例題：已知函數(shù)h(x)=e^x/(x-1)，繪制函數(shù)圖像，并分析零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

解答：通過(guò)繪制函數(shù)圖像，可以看出函數(shù)h(x)在x=1處有一個(gè)垂直漸近線。在x>1的區(qū)間內(nèi)，函數(shù)圖像從負(fù)無(wú)窮逐漸上升至0，然后變?yōu)檎?。因此，函?shù)h(x)在x=1的右側(cè)有一個(gè)零點(diǎn)。板書設(shè)計(jì)-函數(shù)零點(diǎn)定義：f(x)=0的解

-方程根與零點(diǎn)關(guān)系：一元二次方程的根即為對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)

2.零點(diǎn)存在性定理

-定理內(nèi)容：若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，f(a)與f(b)異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)c∈(a,b)，使得