北師大版八年級下冊數(shù)學(xué)全冊教學(xué)課件

北師大版八年級下冊數(shù)學(xué)全冊教學(xué)課件1第一章三角形的證明第一章三角形的證明1.1等腰三角形（第1課時）1.回顧全等三角形的判定和性質(zhì);2.理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)及其推論；(重點(diǎn))3.能運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)及其推論解決基本的幾何問題.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)問題1：圖中有些你熟悉的圖形嗎?它們有什么共同特點(diǎn)?斜拉橋梁埃及金字塔體育觀看臺架新課導(dǎo)入問題2：建筑工人在蓋房子時，用一塊等腰三角板放在梁上，從頂點(diǎn)系一重物，如果系重物的繩子正好經(jīng)過三角板底邊中點(diǎn)，就說房梁是水平的，你知道其中反映了什么數(shù)學(xué)原理?七下“軸對稱”中學(xué)過的等腰三角形的“三線合一”.

思考：你能證明等腰三角形的“三線合一”嗎？問題3

：

在八上的“平行線的證明”這一章中，我們學(xué)了哪8條基本事實(shí)？1.兩點(diǎn)確定一條直線；2.兩點(diǎn)之間線段最短；3.同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；4.同位角相等，兩直線平行；5.過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行；6.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等；7.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等；8.三邊分別相等的兩個三角形全等.定理兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全（AAS）.問題：你能運(yùn)用基本事實(shí)及已經(jīng)學(xué)過的定理證明上面的推論嗎？證明一個命題的一般步驟:(1)弄清題設(shè)和結(jié)論；

(2)根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形；(3)根據(jù)題設(shè)和結(jié)論寫出已知和求證；(4)分析證明思路,寫出證明過程.1.全等三角形的判定和性質(zhì)知識講解已知：如圖,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求證：△ABC≌△DEF.證明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），∴∠C=∠F（等量代換）.∵BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）.FEDCBA定理兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（AAS）.

根據(jù)全等三角形的定義，我們可以得到：

全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.總結(jié)歸納問題1：你還記得我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎?推論:等腰三角形頂角的平分線,底邊上的中線底邊上的高互相重合(三線合一).問題2：你能利用已有的公理和定理證明這些結(jié)論嗎?定理:等腰三角形的兩個底角相等.2.等腰三角形的性質(zhì)及其推論等腰三角形的兩個底角相等.ABC已知：△ABC中，AB=AC,求證：∠B=C.思考：如何構(gòu)造兩個全等的三角形？定理:等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）.議一議：在七下學(xué)習(xí)軸對稱時，我們利用折疊的方法說明了等腰三角形是軸對稱圖形，且兩個底角相等，如下圖，實(shí)際上，折痕將等腰三角形分成了兩個全等的三角形.由此，你得到了什么解題的啟發(fā)？已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABCD證明：

作底邊的中線AD，則BD=CD.AB=AC(已知)，AD=AD(公共邊)，∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的對應(yīng)角相等).在△BAD和△CAD中方法一：作底邊上的中線還有其他的證法嗎？已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABCD證明：

作頂角的平分線AD，則∠BAD=∠CAD.AB=AC(已知),∠BAD=∠CAD(已作),AD=AD(公共邊),∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的對應(yīng)角相等).方法二：作頂角的平分線在△BAD和△CAD中想一想：由△BAD≌

△CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你還可以得到那些相等的線段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

解：∵△BAD≌

△CAD，由全等三角形的性質(zhì)易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵∠ADB+∠ADC=180°，∴

∠ADB=∠ADC=90°，即AD是等腰△ABC底邊BC上的中線、頂角∠BAC的角平分線、底邊BC上的高線.ABCD定理:等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角).ACB如圖,在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等邊對等角).證明后的結(jié)論,以后可以直接運(yùn)用.推論:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合(三線合一）.總結(jié)歸納ACBD12∵AB=AC,∠1=∠2(已知)，∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.∵AB=AC,BD=CD(已知)，∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.∵AB=AC,AD⊥BC(已知)，∴BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三線合一）.綜上可得：如圖,在△ABC中,ABCD例1

如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù).分析：（1）找出圖中所有相等的角；（2）指出圖中有幾個等腰三角形？∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC；△ABC,△ABD,△BCD.例題ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x（3）觀察∠BDC與∠A、∠ABD的關(guān)系，∠ABC、∠C呢？∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,∠ABC=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A.（4）設(shè)∠A=x°,請把△ABC的內(nèi)角和用含x的式子表示出來.∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°,ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.設(shè)∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.x⌒2x⌒2x⌒⌒2x例2

如圖①，點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.(1)若AD＝AE，求證：BD＝CE；(2)若BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，如圖②，求證：

AF⊥BC.解析：(1)過A作AG⊥BC于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BG＝CG，DG＝EG即可證明；(2)先證BF＝CF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明．圖①圖②ABDGECABDECF證明：(1)如圖①，過A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；(2)∵BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.圖①圖②ABDGECABDECF1.等腰三角形一個底角為75°,它的另外兩個角為___________；2.等腰三角形一個角為36°,它的另外兩個角為____________________；3.等腰三角形一個角為120°,它的另外兩個角為__________.75°,30°72°,72°或36°,108°30°,30°結(jié)論:在等腰三角形中,注意對角的分類討論.①頂角+2×底角=180°②頂角=180°－2×底角③底角=（180°－頂角）÷2④0°＜頂角＜180°⑤0°＜底角＜90°跟蹤訓(xùn)練等腰三角形的性質(zhì)等邊對等角三線合一注意是指同一個三角形中注意是指頂角的平分線,底邊上的高和中線才有這一性質(zhì).而腰上高和中線與底角的平分線不具有這一性質(zhì).定理兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（AAS）.

全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.課堂小結(jié)1、等腰三角形一個底角為70°,它的頂角為______.2、等腰三角形一個角為70°,它的另外兩個角為__________________.3、等腰三角形一個角為110°,它的另外兩個角為___________.40°35°，35°70°,40°

或

55°,55°4、一個等腰三角形的周長是13cm，其中一條邊是3cm，那么腰長是_________5cm當(dāng)堂檢測第一章三角形的證明第一章三角形的證明1.1等腰三角形第2課時等邊三角形的性質(zhì)1.進(jìn)一步學(xué)習(xí)等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)，了解等腰三角形兩底角的角平分線（兩腰上的高，中線）的性質(zhì);(重點(diǎn))2.學(xué)習(xí)等邊三角形的性質(zhì)，并能夠運(yùn)用其解決問題.(重點(diǎn)、難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)在七下我們已經(jīng)知道了“三邊相等的三角形是等邊三角形”，生活中有很多等邊三角形，如交通圖標(biāo)、臺球室的三角架等，它們都是等邊三角形.思考：在上一節(jié)課我們證明等腰三角形的兩底角相等，那等邊三角形的各角之間有什么關(guān)系呢？新課導(dǎo)入已知：如圖△ABC中,AB=AC.BD,CE是△ABC的角平分線。ACB證明:等腰三角形兩底角的角平分線相等求證：BD=CEDE證明：∴∠ABC＝∠ACB∵AB=AC∵BD,CE是△ABC的角平分線。∴∠1＝∠2在△BCD和△CBE中

∠ABC＝∠ACB∠1＝∠2

BC＝CB

∴△BCD≌△CBE(ASA)

∴BD＝CE12合作探究ACBDE(1)等腰三角形兩腰上的中線相等嗎？高呢？已知：如圖,在△ABC中，

AB=AC=BC．求證：∠A=∠B=∠C=60°．ACB證明：在△ABC中，∵AB=AC(已知)，∴∠B=∠C(等邊對等角).同理∠A=∠B．又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的內(nèi)角和等于180°)，∴∠A=∠B=∠C=60°．定理：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60°.合作探究BCDAE例.如圖，等邊三角形ABC中,BD是AC邊上的中線,BD=BE,求∠EDA的度數(shù).解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠CBA=60°.∵BD是AC邊上的中線，∴∠BDA=90°,∠DBA=30°.∵

BD=BE，∴∠BDE=(180°－∠DBA)÷2=(180°－30°)÷2=75°.∴∠EDA=90°－∠BDE=90°－75°=15°.例題講解ACBDE1.如圖,△ABC和△ADE都是等邊三角形，已△ABC的周長為18cm,EC=2cm,則△ADE的周長是

cm.12隨堂訓(xùn)練2.如圖所示，△ACM和△BCN都為等邊三角形，連接AN、BM，求證：AN=BM.證明：∵△ACM和△BCN都為等邊三角形，∴∠1＝∠3＝60°，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2，即∠ACN＝∠MCB.∵CA＝CM，CB＝CN，∴△CAN≌△CMB(SAS)，∴AN＝BM.等腰三角形兩底角上的平分線、兩腰上的高、兩腰上的中線的相關(guān)性質(zhì)：底角的兩條平分線相等；兩條腰上的中線相等；兩條腰上的高線相等.定理：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60°.課堂小結(jié)1.等腰三角形的一邊長為5,一邊長為4，則它的周長為__________.2.等腰三角形的一個角為800，則另兩個角的度數(shù)是______________14或13800,200或500,500當(dāng)堂檢測ACBDE3.求證：等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等F4.已知，△ABC，AB=AC,D是底邊上一點(diǎn)，D到兩腰的距離分別是DE，DF;當(dāng)D在什么位置時，DE=DF?并證明。第一章三角形的證明第一章三角形的證明1.1等腰三角形（第3課時）1.學(xué)會證明等角對等邊進(jìn)行等腰三角形的判定;(重點(diǎn))

2.體會反證法的含義并會用反證法進(jìn)行證明.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)等腰三角形有哪些性質(zhì)？1.等腰三角形的兩底角相等．（簡寫成“等邊對等角”）ABC∵AB=AC(已知)∴∠B=∠C(等邊對等角)知識回顧2.等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合．（簡寫成“三線合一”）ABCD∵AB=AC，BD=CD（已知）∴∠BAD=∠CAD，

AD⊥BC（三線合一）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD（已知）∴BD=CD，AD⊥BC（三線合一）∵AB=AC，AD⊥BC（已知）∴BD=CD，∠BAD=∠CAD（三線合一）

前面已經(jīng)證明了等腰三角形的兩個底角相等，反過來，有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎?已知：在△ABC中，∠B=∠C，求證：AB=AC．

分析：只要構(gòu)造兩個全等的三角形，使AB與AC成為對應(yīng)邊就可以了.比如作BC的中線，或作角A的平分線，或作BC上的高，都可以把△ABC分成兩個全等的三角形．ABC合作探究定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形.(等角對等邊)等腰三角形的判定定理：歸納總結(jié)例2.已知：如圖，AB=DC,BD=CA,求證：△AED是等腰三角形。ABCDE證明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS)∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的對應(yīng)角相等）∴AE=DE(等角對等邊）∴△AED是等腰三角形。例題講解如圖，在某次海上巡邏中，一艘巡邏艦在A處測得海島B在北偏東49°方向上，上午8點(diǎn)該巡邏艦從A處出發(fā)，以30海里/時的速度向正東航行，上午9點(diǎn)30分到達(dá)C處，此時測得海島B在北偏東8°，求此時巡邏艦與海島B的距離。解：∵∠BAC=90°-∠MAB=41°,∠BCN=90°-∠PCB=82°,∵∠B=∠BCN-∠BAC=41°,∴∠B=∠BAC,∴BC=AC=30×1.5=45(海里)答：此時巡邏艦與海島B的距離為45海里.跟蹤訓(xùn)練

小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等．你認(rèn)為這個結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.ABC知識講解

我們來看一位同學(xué)的想法：如圖，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此時AB與AC要么相等，要么不相等．假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得∠C=∠B，但已知條件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”與已知條件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC。你能理解他的推理過程嗎?ABC

小明在證明時，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立．這種證明方法稱為反證法．反證法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法.在解決某些問題時常常會有出人意料的作用.

再例如，我們要證明△ABC中不可能有兩個直角，也可以采用這位同學(xué)的證法.

假設(shè)有兩個角是直角，不妨設(shè)∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△ABC中∠A+∠B+∠C=180°“∠A+∠B=180°”與“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有兩個直角．這個推理過程怎樣寫呢？例3.用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角。已知：△ABC．求證：∠A、∠B、∠C中不能有兩個角是直角。證明：假設(shè)∠A、∠B、∠C中有兩個角是直角，不妨設(shè)∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90

°，于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°。這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，因此，“∠A和∠B是直角”的假設(shè)不成立。所以，一個三角形中不能有兩個角是直角。例題講解1.假設(shè):先假設(shè)命題的結(jié)論不成立；2.歸謬:從這個假設(shè)出發(fā),應(yīng)用正確的推論方法,得出與定義，公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果；3.結(jié)論:由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確,

從而肯定命題的結(jié)論正確。用反證法證題的一般步驟：歸納總結(jié)1.現(xiàn)有等腰三角形紙片,如果能從一個角的頂點(diǎn)出發(fā),將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙片,問此時的等腰三角形的頂角的度數(shù)?36°隨堂訓(xùn)練2.如圖,△ABC中,D.E分別是AC.AB上的點(diǎn),BD與CE交于點(diǎn)O,給出下列四個條件:①∠EBO=∠DCO②∠BEO=∠CDO③BE=CD④OB=OC(1)上述四個條件中,哪兩個條件可判定△ABC是等腰三角形(用序號寫出所有情形)(2)選擇的1小題的一種情形,證明△ABC是等腰三角形.BAEDCO①③;①④;②③;②④3.用反證法證明:在一個三角形中,至少有一個內(nèi)角小于或等于60°證明:假設(shè)∠A,∠B,∠C是△ABC的三個內(nèi)角,

且都大于60°,

則∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°,∴∠A+∠B+∠C>180°;這與三角形的內(nèi)角和是180定理矛盾∴假設(shè)不成立∴在一個三角形中,至少有一個內(nèi)角小于或等于60°.關(guān)于相等與不等關(guān)系（>、=、<），我們有如下的否定形式：大于反義：小于或等于都大于反義：至少有一個不大于小于反義：大于或等于都小于反義：至少有一個不小于1.等腰三角形的判定：（1）有兩邊相等的三角形是等腰三角形（定義法）；（2）有兩個角相等的三角形是等腰三角形（判定定理）.2.反證法.課堂小結(jié)第一章三角形的證明第一章三角形的證明1.1等腰三角形（第4課時）1.能用所學(xué)的知識證明等邊三角形的判定定理.(重點(diǎn))2.掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)并解決有關(guān)問題.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)觀察與思考觀察下面圖片，說說它們都是由什么圖形組成的？新課導(dǎo)入思考：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的判定定理，那等邊三角形的判定定理是什么呢？一個三角形滿足什么條件就是等邊三角形?由等腰三角形的判定定理，可得等邊三角形的兩個判定定理：1.三個角都相等的三角形是等邊三角形；2.有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.1.等邊三角形的判定知識講解ABC已知：如圖，∠A=∠B=∠C.求證：

AB=AC=BC.∵∠A=∠B,∴AC=BC.∵∠B=∠C,∴AB=AC.∴AB=AC=BC.證明：定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.ABC已知：若AB=AC,∠A=60°.求證：AB=AC=BC.證明：∵AB=AC,∠A=60°.∴∠B＝∠C＝(180。－∠A)=60°.∴∠A=∠B=∠C.∴AB=AC=BC.證明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),∴∠C=∠B=60°(等邊對等角)，∴∠A=60°(三角形內(nèi)角和定理)．∴∠A=∠B=∠C=60°．∴△ABC是等邊三角形(三個角都相等的三角形是等邊三角形).已知:如圖,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．求證:△ABC是等邊三角形．第二種情況：有一個底角是60°.ACB60°【驗(yàn)證】等腰三角形(含等邊三角形)性質(zhì)判定的條件等邊對等角等角對等邊“三線合一”,即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高線互相重合有一角是60°的等腰三角形是等邊三角形等邊三角形三個內(nèi)角都相等，且每個角都是60°三個角都相等的三角形是等邊三角形歸納總結(jié)例1

如圖,在等邊三角形ABC中，DE∥BC,求證：△ADE是等邊三角形.ACBDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.想一想：本題還有其他證法嗎？例題變式：上題中,若將條件DE∥BC改為AD=AE,△ADE還是等邊三角形嗎?試說明理由.ACBDE

如圖,在等邊三角形ABC中，AD=AE,

求證：△ADE是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵AD=AE,∴△ADE是等腰三角形∴△ADE是等邊三角形.

又∵∠A=60°.變式訓(xùn)練

操作:用兩個含有300角的三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形？300300300300能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由.

由此你想到，在直角三角形中,300角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？3003002.含30°角的直角三角形的性質(zhì)已知:如圖,在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°.求證:BC=AB.A30°BC分析：突破如何證明“線段的倍、分”問題轉(zhuǎn)化“線段相等”問題猜想驗(yàn)證30°30°

∵∠ACB=90°,(已知)∴∠ACD=90°，(平角意義)在△ABC與△ADC中，BC=DC，（作圖）

∠ACB=∠ACD，（已證）

AC=AC，（公共邊）

∴△ABC≌△ADC（SAS），∴AD=AB；

∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，(已知)∴∠B=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BC=BD=AB．(等式性質(zhì))30°ABCD證明:

延長BC至D,使CD=BC,連接AD，定理:在直角三角形中,如果有一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．幾何語言：在△ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=30°．∴BC=AB．(在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半)ABC30°推論：例2如圖，在△ABC中，已知AB=AC=2a,∠B=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高，求CD的長.解：∵∠B=∠ACB=15°，(已知)∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，∵∠ADC=90°，∴CD=AC=a．（在直角三角形中,如果有一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）例3

已知:如圖,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D．求證:BD=DACB30°證明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°∴BC=∠B=60°．∴∠BCD=30°，

∴BD=∴BD=1.如圖(1):四邊形ABCD是一張正方形紙片,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),沿著過點(diǎn)D的折痕將A角翻折,使得A落在EF上(如圖(2)),折痕交AE于點(diǎn)G,那么∠ADG等于多少度?你能證明你的結(jié)論嗎?DACBEFDACBEF(1)(2)GA拓展提升ACBMNEF2.已知：如圖，C為線段AB上一點(diǎn),△ACM,△CBN都是等邊三角形。求證：(1)AN=BM(2)△EFC是等邊三角形12345

1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，則△ABC的周長為______cm.92.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3．則AC=_____;BC=_______．ABC330°6當(dāng)堂檢測3.已知：如圖，AB=BC，∠CDE=120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE.求證：△ABC是等邊三角形.證明:∵AB=BC，∴△ABC是等邊三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴∠FDC=∠ABC=60°，∴△ABC是等腰三角形，∴∠EDF=∠FDC=60°，又∵DF∥BA，證明：延長BC至D，使CD=BC，連接AD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC．∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=

BD．又∵BC=

AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD是等邊三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．4．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=AB．求證：∠BAC=30°．CBAD1.等邊三角形的判定:有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．三個角都相等的三角形是等邊三角形．2.特殊的直角三角形的性質(zhì):在直角三角形中,如果有一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．3.數(shù)學(xué)方法：分類的思想．課堂小結(jié)第一章三角形的證明第一章三角形的證明1.2直角三角形（第1課時）1.了解勾股定理及其逆定理的證明方法．(重點(diǎn))2.結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立．（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.如圖，在高為２米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯長度約為多米？30°２米2.我們曾經(jīng)探索過直角三角形的哪些性質(zhì)和判定方法？新課導(dǎo)入知識回顧3.直角三角形的邊有哪些性質(zhì)？一般性質(zhì)：直角三角形的邊具有一般三角形的所有性質(zhì).特殊性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.1.直角三角形的角有哪些性質(zhì)？2.直角三角形的邊有哪些性質(zhì)？3.如果一個三角形有兩個銳角互余，那么這個三角形是直角三角形嗎？為什么？思考閱讀課本14-18頁，回答問題：1.什么是直角三角形？2.直角三角形的角有哪些性質(zhì)？反之，任意一個三角形的兩銳角具備這種關(guān)系就是直角三角形嗎？請說明理由。3.直角三角形的邊有哪些性質(zhì)？勾股定理內(nèi)容是什么？反之，在一個三角形中，當(dāng)兩邊的平方和等于第三邊的平方時，這個三角形是直角三角形嗎？請說明理由。4.逆命題、逆定理的概念是什么？兩個互逆命題、互逆定理的關(guān)系是什么？真命題的逆命題是真命題嗎？定理的逆命題也是定理嗎？勾股定理:如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理知識講解1.勾股定理cabcabcabcab∵(a+b)2=

c2+4?ab/2a2+2ab+b2=

c2+2ab∴a2+b2=c2大正方形的面積可以表示為也可以表示為(a+b)2c2+4?ab/2∵c2=4?ab/2+(b-a)2

c2=2ab+b2-2ab+a2

c2=a2+b2∴a2+b2=c2大正方形的面積可以表示為也可以表示為c24?ab/2+(b-a)2ca

bca

bca

bcba勾股定理:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。反過來：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形。

提問：這個命題的條件是什么？結(jié)論是什么？請你根據(jù)條件和結(jié)論寫出已知和求證.已知：如圖（1），在△ABC中，AB2+AC2=BC2.求證：△ABC是直角三角形.ABC圖（1）ABC圖（1）A′B′C′圖（2）證明：如圖（2）作Rt△A′B′C′,使∠A′=90°，A′B′=AB,A′C′=AC,A′B′2+A′C′2=B′C′2（勾股定理）.∵AB2+AC2=BC2,∴BC2=B′C′2.∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠A==∠A′=90°(全等三角形的對應(yīng)角相等).即，△ABC是直角三角形.定理:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。定理:如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三形是直角三角形。兩個定理的條件和結(jié)論有什么樣的關(guān)系？議一議觀察如果兩個角是對頂角，那么他們相等；如果兩個角相等，那么它們是對頂角。一個三角形中相等的邊所對的角相等；一個三角形中相等的角所對的邊相等。如果小明患了肺炎，那么他一定會發(fā)燒；如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎。以上兩個命題的條件和結(jié)論有類似的關(guān)系嗎？在兩個命題中,如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件,那么這兩個命題稱為互逆命題,其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.2.互逆命題你能寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等,那么它們的平方相等”的逆命題嗎?它們都是真命題嗎?思考：

說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假：（1）四邊形是多邊形；（2）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（3）如果ab=0，那么a=0,b=0.

提問：一個命題是真命題，它的逆命題一定是真命題嗎？一個命題是真命題,它逆命題卻不一定是真命題.你還能舉出一些例子嗎?想一想:互逆命題與互逆定理有何關(guān)系?如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它是一個定理,這兩個定理稱為互逆定理,其中一個定理稱另一個定理的逆定理.3.互逆定理

判斷正誤：（1）互逆命題一定是互逆定理；（2）互逆定理一定是互逆命題.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些互逆定理，如勾股定理及其逆定理、“兩直線平行，內(nèi)錯角相等與“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”等.請你再舉出一些互逆定理的例子.1.寫出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假：(2)矩形是正方形；(3)如果x2﹥0，那么x﹥0;(4)直角都相等.當(dāng)堂檢測2.已知：線段a∶b∶c的值如下，則能夠組成直角三角形的是（）(A)3∶4∶6(B)5∶12∶13(C)1∶2∶4(4)1∶3∶5B3.在△ABC中，已知，AB=13cm，BC=10cm，BC邊上的中線AD=12cm，求證：AB=AC4.已知：在△ABC中，∠C=900，AD是BC邊上的中線，DE⊥AB，垂足為E，求證：AC2=AE2-BE2解后反思證明線段的平方和或差，常?？紤]運(yùn)用勾股定理，若無直角三角形，可通過作垂線構(gòu)造直角三角形，以便運(yùn)用勾股定理。互逆命題定理：有兩個銳角互余的三角形是直角三角形.勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

定理:如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三形是直角三角形。定理：直角三角形兩銳角互余.互逆定理課堂小結(jié)第一章三角形的證明第一章三角形的證明1.2直角三角形（第2課時）1.會證明直角三角形全等的判定定理；（難點(diǎn)）2.會用判定定理（HL）解決有關(guān)問題。（重點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、判定一般三角形全等的條件有哪幾種？SSS、SAS、ASA、AAS新課導(dǎo)入知識回顧2、判斷：如圖具有下列條件的Rt△ABC與Rt△A′B′C′（其中∠C＝∠C′＝90°）是否全等，在（）里填寫理由；如果不全等，在（）里打“×”：（1）AC＝A′C′,∠A＝A′（）（2）AC＝A′C′，BC＝B′C′（）（3）∠A＝∠A′，∠B＝∠B′（）（4）AC＝A′C′，AB＝A′B′（）ASASAS×？1、兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等嗎?證明:

這是一個假命題,只要舉一個反例即可.如圖:ABCA′B′C′A′B′C′●●●(1)(2)(3)由圖(1)和圖(2)可知,這兩個三角形全等;由圖(1)和圖(3)可知,這兩個三角形不全等;因此,兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.合作探究做一做：已知一條直角邊和斜邊，求作一個直角三角形.已知：如圖，線段a=4cm，c=5cm（a<c），直角α

.求作：Rt△ABC，使∠C=∠

α

，BC=a，AB=c.

2、如果其中一組等邊的所對的角是直角,那么這兩個三角形全等嗎？.（1）作∠MCN=∠α=90°（2）在射線CM上截取CB=a.（3）以點(diǎn)B為圓心，線段c的長為半徑作弧，交射線CN與點(diǎn)A.（4）連接AB，得到Rt△ABC.3、觀察對比同桌作出的三角形是否全等？4、把你們所作的三角形剪下來重疊在一起看是否重合？1、在上面的做一做中，如果分別取其他長度，且滿足（a<c），那么我們剛獲得的結(jié)論還成立嗎？2、由此你是否能發(fā)現(xiàn)判定直角三角形全等的一種“特有”方法？請嘗試用規(guī)范數(shù)學(xué)語言概括你的發(fā)現(xiàn)。（學(xué)生通過小組討論或交流）得出定理：3、如何證明它的正確性呢？知識講解證明：在△ABC中，∵∠C=90°，∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）.同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2.∵AB=A′B′，AC=A′C′，∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.已知：如圖,在△ABC和△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,AC=A′C′,AB=A′B′求證：△ABC≌△A′B′C′.ABCA′B′C′斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等簡述為：“斜邊、直角邊”或“HL”幾何語言:在△ABC和△A′B′C′中,∠C=∠C′=900∵BC=B′C′,AB=A′B′

∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.（HL）ABCA′B′C′

例

如圖，有兩個長度相等的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關(guān)系？解：根據(jù)題意，可知∠BAC=∠EDF=90°，∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL）∴∠B=∠DEF（全等三角形的對應(yīng)角相等）∵∠DEF+∠F=90°（直角三角形的兩銳角互余）∴∠B+∠F=90°.1.判斷下列命題的真假,并說明理由:兩個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等;斜邊及一個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等;兩直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等;一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.假真真真跟蹤訓(xùn)練2、如圖，兩根長度為12m的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面的兩個木樁上，兩個木樁離旗桿底部的距離相等嗎？說明理由。解：相等。根據(jù)題意可知，∠AOC=∠AOB=90°，AB=AC,AO=AO∴Rt△AOB≌Rt△AOC(HL)∴OB=OC(全等三角形對應(yīng)邊相等)直角三角形全等的判定一般三角形全等的判定“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”靈活運(yùn)用各種方法證明直角三角形全等“SSS”課堂小結(jié)1、已知：如圖，D是△ABC的BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是E.F，且DE=DF，求證：△ABC是等腰三角形.證明：∵D是△ABC的BC邊的中點(diǎn)，∴BD=CD.∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠1=∠2=90°.∵BD=CD,DE=DF，∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL)，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形.12當(dāng)堂檢測2、已知：如圖，AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分別為EF，且DE=BF，求證：（1）AE=CF；（2）AB∥CD.證明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠1=∠2=90°.∵AB=CD,DE=BF，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴AF=CE，∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF.(2)∵Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴∠A=∠C，∴AB∥CD(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)123.如圖,已知∠ACB=∠BDA=90°,要使△ABC≌△BDA,還需要什么條件?把它們分別寫出來.增加AC=BD;ABCD增加BC=AD;增加∠ABC=∠BAD;增加∠CAB=∠DBA;你能分別寫出它們的證明過程嗎?若AD,BC相交于點(diǎn)O,圖中還有全等的三角形嗎?O第一章三角形的證明第一章三角形的證明1.3線段的垂直平分線（第1課時）1.學(xué)會綜合法證明線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判斷定理。（重點(diǎn)）

2.通過探索、發(fā)現(xiàn)、猜測、證明等過程，發(fā)展學(xué)生的推理證明的能力、規(guī)范證明的書寫格式。（難點(diǎn)）

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，PA=7,則PB=_____.2.如右圖，在Rt△ABC中，∠B=900，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，已知∠BAE=300，則∠C的度數(shù)為_______.730°新課導(dǎo)入知識回顧

如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置？ABC情景導(dǎo)入我們曾經(jīng)利用折紙的方法得到:線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)距離相等.你能證明這一結(jié)論嗎?

知識講解線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)距離相等.已知：如圖，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一點(diǎn).求證：PA=PB．ACBPMN證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）；∴PA=PB（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)的距離相等．PAB∟溫馨提示：這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.文字語言：符號語言：

例1如圖：直線MN是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)C為垂足，請問在圖形中哪些線段相等？為什么？PA=PBAC=BC你能寫出這個定理的逆命題嗎？如果有一個點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等，那么這個點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，即到線段兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．

當(dāng)我們寫出逆命題時，就想到判斷它的真假．如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明．性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)的距離相等．線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理證明：（方法一）過點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PC，

∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL），∴AC=BC，即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．BPAC性質(zhì)定理的逆命題：到線段兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且PA=PB．求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．ACBP.（方法二）把線段AB的中點(diǎn)記為C,連接PC.∵C為AB的中點(diǎn)，∴AC=BC.∵PA=PB,PC=PC，∴△APC≌△BPC(SSS)，∴∠PCA=∠PCB=90°，∴PC⊥AB，即P在AB的垂直平分線上.判定定理：到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.幾何語言：如圖,∵PA=PB(已知),∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上(到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上).ABP溫馨提示：這個結(jié)論經(jīng)常用來證明點(diǎn)在直線上（或直線經(jīng)過某一點(diǎn)）的根據(jù)之一．1.如圖，已知AB是線段CD的垂直平分線，E是AB上的一點(diǎn)，如果EC=7cm，那么ED=

cm；如果∠ECD=60°，那么∠EDC=

°．EDABC760隨堂訓(xùn)練2.如圖,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,△BCE的周長等于50,求BC的長.BAEDC解：∵DE為AB的垂直平分線，∴AE=BE.∵△BCE的周長等于50，∴BE+EC+BC=50，即AE+EC+BC=50，∴AC+BC=50.∵AC=27，∴BC=23.

比一比：你的寫作過程完整嗎？3.已知：如圖，AB=AC，BD=CD，P是AD上一點(diǎn).

求證：PB=PC.PBDCA

證明：∵AB=AC，∴A在線段BC的垂直平分線上.∵BD=CD，∴D在線段BC的垂直平分線上.∴AD是線段BC的垂直平分線.∵P是AD上一點(diǎn)，∴PB=PC.1.線段垂直平分線的定理及證明2.線段垂直平分線的逆定理及證明3.兩個定理之間的區(qū)別與聯(lián)系課堂小結(jié)第一章三角形的證明1.3線段的垂直平分線（第2課時）第一章

三角形的證明學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握和證明三角形的三條邊的垂直平分線的性質(zhì)定理。（重點(diǎn)）2.已知底邊和底邊上的高，能用尺規(guī)作等腰三角形。（難點(diǎn)）已知:線段AB,（如圖）.求作:線段AB的垂直平分線.

用尺規(guī)作線段的垂直平分線.1.分別以點(diǎn)A和B為圓心,以大于長為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)C和D.ABCD2.作直線CD.

則直線CD就是線段AB的垂直平分線...作法：知識回顧例2求證：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等.已知：如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線與邊BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P.求證：邊AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P，且PA=PB=PC.ABCP證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，∴PA=PB（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等）同理，PB=PC.∴PA=PB=PC∴點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上（到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上），即邊AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.知識講解ABCPabc定理:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等。如圖,在△ABC中,∵c,a,b分別是AB,BC,AC的垂直平分線∴c,a,b相交于一點(diǎn)P,且PA=PB=PC幾何語言分別作出直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三邊的垂直平分線，說明交點(diǎn)分別在什么位置.合作探究銳角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在斜邊上；

鈍角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形外。1.已知三角形的一條邊及這條邊上的高,你能作出三角形嗎?如果能，能作幾個?所作出的三角形都全等嗎?2.已知等腰三角形的底及底邊上的高,你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎？能作幾個？3.已知底邊及底邊上的高,用尺規(guī)作等腰三角形.例3已知一個等腰三角形的底邊和底邊上的高，求作這個等腰三角形。ha已知：線段a、h

求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h。例題講解已知：線段a、h。求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h。作法：NMCBhaA1．作線段BC=a；2．作線段BC的垂直平分線MN交BC于D點(diǎn)；3．在直線MN上作線段DA,使DA=h；4．連接AB、AC.△ABC為所求的等腰三角形。P●m做一做已知直線l和l上一點(diǎn)P,利用尺規(guī)作l的垂線,使它經(jīng)過點(diǎn)P。如果點(diǎn)P在直線外呢？交流一下。議一議合作探究1.已知三角形的一條邊及這條邊上的高,能作出_____個三角形,所作出的三角形___都全等.2.已知等腰三角形的底及底邊上的高,能用尺規(guī)作出等腰三角形____個無數(shù)不兩當(dāng)堂檢測3.已知線段a，求作以a為底，以a為高的等腰三角形。這個等腰三角形有什么特征?4.已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分線,OA=OC

求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上.5.如圖，AC=AD，BC=BD，則（）A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACB D.以上結(jié)論均不對6.如果三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)在三角形的外部，那么，這個三角形是（）A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形BC8.①線段垂直平分線上任一點(diǎn)到線段兩端距離相等；②線段上任一點(diǎn)到垂直平分線兩端距離相等；③經(jīng)過線段中點(diǎn)的直線只有一條；④點(diǎn)P在線段AB外且PA=PB，過P作直線MN，則MN是線段AB的垂直平分線；⑤過線段上任一點(diǎn)可以作這條線段的中垂線.正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個7.底邊AB=a的等腰三角形有_________個，符合條件的頂點(diǎn)C在線段AB的______________上．9.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與邊AC所在的直線相交所成銳角為50°，△ABC的底角∠B的大小為___________無數(shù)垂直平分線A20°或70°1.定理:三角形三條邊的垂直平分線____________________,并且這一點(diǎn)到__________________的距離相等.相交于一點(diǎn)三個頂點(diǎn)2.銳角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在斜邊上；

鈍角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形外。課堂小結(jié)第一章三角形的證明1.4角平分線（第1課時）第一章

三角形的證明學(xué)習(xí)目標(biāo)1、會證明角平分線的性質(zhì)定理及逆定理；（重點(diǎn)）2、會運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理及逆定理解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.（難點(diǎn)）你能利用尺規(guī)作出角平分線嗎?你還記得角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎?角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊距離相等怎么證明這一結(jié)論。復(fù)習(xí)導(dǎo)入已知:如圖,OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.求證:PD=PE.OCB1A2PDE合作探究1.角平分線的性質(zhì)你會證明嗎？分析:要證明PD=PE,只要證明它們所在的△OPD≌△OPE，如何證明兩三角形全等呢？OCB1A2PDE注意:這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.OCB1A2PDE∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知)∴∠PDO=∠PEO=90°∵∠1=∠2,OP=OP∴△OPD≌△OPE(AAS)∴PD=PE∵OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知)∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊距離相等).OCB1A2PDE幾何語言

你能寫出“定理角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊距離相等”的逆命題嗎?

逆命題

在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個角的平分線上.

它是真命題嗎?如果是.請你證明它.2.角平分線的判定合作探究已知:如圖所示,PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.求證:點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.分析:要證明點(diǎn)P在∠AOB的平分線上,可以先作出過點(diǎn)P的射線OC,然后證明∠POD=∠POE.BACDEOP證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB

∴△POD和△POE都是直角三角形

∵PD=PE,OP=OP

∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)

∴∠POD=∠POE

∴OC是∠AOB的平分線

逆定理在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個角的平分線上.如圖,∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知),∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.(在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個角的平分線上).老師提示:這個結(jié)論又是經(jīng)常用來證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過某一點(diǎn))的根據(jù)之一.CB1A2PDEO例1.如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長.例題講解已知:如圖,點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.且PD=PE,求證:OP平分∠AOB.OCB1A2PDE合作探究1.如圖,AD,AE分別是△ABC中∠A的內(nèi)角平分線外角平分線,它們有什么關(guān)系?你能說出結(jié)論并能證明它嗎？EDABCF跟蹤訓(xùn)練2.如圖,一目標(biāo)在A區(qū),到公路,鐵路距離相等,離公路與鐵路的交叉處500m.在圖上標(biāo)出它的位置(比例尺1:20000).A區(qū)1.角平分線性質(zhì)定理2.符號表示∵OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E∴PD=PE3.逆定理4.符號表示∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知),∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.OCB1A2PDE課堂小結(jié)1．角平分線上的點(diǎn)到______________距離相等；到一個角的兩邊距離相等的點(diǎn)都在_____________．這個角的兩邊這個角的平分線上2．如圖，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，則∠1=_________.30°當(dāng)堂檢測3.如圖,求作一點(diǎn)P,使PC=PD,并且點(diǎn)P到∠AOB的兩邊的距離相等.C●D●ABO4.已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.求證:EB=FC.BAEDCF第一章三角形的證明第一章三角形的證明1.4角平分線（第2課時）1．會證明和運(yùn)用“三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等”.(重點(diǎn)）2.經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力．(難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)在一個三角形居住區(qū)內(nèi)修有一個學(xué)校P，P到AB、BC、CA三邊的距離都相等,請在三角形居住區(qū)內(nèi)標(biāo)出學(xué)校P的位置,P在何處？ABC情景導(dǎo)入活動1

分別畫出下列三角形三個內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn).知識講解活動2

分別過交點(diǎn)作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：過交點(diǎn)作三角形三邊的垂線段相等.

剪一個三角形紙片，通過折疊找出每個角的角平分線，觀察這三條角平分線，你是否發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)論？與同伴交流．結(jié)論：三角形三個角的平分線相交于一點(diǎn).

怎樣證明這個結(jié)論呢?合作探究點(diǎn)撥：要證明三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，只要證明其中兩條角平分線的交點(diǎn)一定在第三條角平分線上即可.思路可表示如下：試試看，你會寫出證明過程嗎？A

B

C

P

F

H

DEIG已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明：過點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

想一想：點(diǎn)P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？點(diǎn)P在∠A的平分線上.

結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

例1.如圖,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E.(1)如果CD=4cm,AC的長;EDABC（1）解：∵AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E，∴DE=CD=4cm.∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE.在等腰直角三角形BDE中，(2)求證:AB=AC+CD.EDABC（2）證明：由（1）的求解過程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.MENABCPOD例2：如圖，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM⊥AC,若OM＝4,(1)求點(diǎn)O到△ABC三邊的距離和.12解：連接OCMENABCPOD(2)若△ABC的周長為32，求△ABC的面積.例3

如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為()A．110°B．120°C．130°D．140°A解析：由已知，O到三角形三邊的距離相等，所以O(shè)是內(nèi)心，即三條角平分線的交點(diǎn)，BO，CO都是角平分線，所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.

1、已知：OE平分∠AOB，P為OE上一點(diǎn)，PC⊥OA于C，且PC=5，則P點(diǎn)到OB的距離為_____5AOEBPC跟蹤訓(xùn)練2、

已知：如圖，在直角三角形ACB中，∠ACB=90°，∠B=40°，AD平分

∠CAB交BC于D點(diǎn)，DE⊥AB于E，則∠CAD=________25°3、已知：如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE1.如圖，已知△ABC，求作一點(diǎn)P，使P到∠A的兩邊的距離相等，且PA＝PB．下列確定P點(diǎn)的方法正確的是（）A.P為∠A，∠B兩角平分