2023年四川省中考數(shù)學(xué)真題附答案解析

2023年四川省中考數(shù)學(xué)真題（附答案解析）

（滿分：120分；考試時間：120分鐘）

學(xué)校:___________班級：姓名：考號：

注意事項：

1.本試卷分為試題卷（1?4頁）和答題卡兩部分.考試時間120分鐘，滿分120分.

2.考生答題前，請先將姓名、準(zhǔn)考證號等信息用黑色墨跡簽字筆填寫在答題卡上的指定位

置，待監(jiān)考教師粘貼條形碼后，認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與自己準(zhǔn)考證上的信息

是否一致.

3.請將選擇題答案用2B鉛筆填涂在答題卡上的相應(yīng)位置，非選擇題答案用黑色墨跡簽字筆

答在答題卡上的相應(yīng)位置.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效；

作圖題應(yīng)先用鉛筆畫，確定不修改后，再用黑色墨跡簽字筆描黑.

4.考試結(jié)束，監(jiān)考人員必須將參考學(xué)生和缺考學(xué)生的答題卡、試題卷一并收回.

一、選擇題（每小題只有一個選項符合題意，請將所選選項填涂在答題卡相應(yīng)位置上.本大

題共10個小題，每小題3分，共30分）

1.-6的絕對值是（）

11

A.-6B.6C.--D.一

66

【答案】B

【解析】在數(shù)軸上，表示一個數(shù)的點到原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值.

【詳解】負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，所以-6的絕對值是6.

故選：B.

2.下列運(yùn)算中正確的是（）

A.a2-^-a4=aeB.3a3-4a2=i2a6C.（加+域=4/D.（~2ab2）3=-8aV

【答案】D

【解析】根據(jù)合并同類項、同底數(shù)鼎的乘法、完全平方公式、積的乘方與基的乘方法則逐項判斷即可得.

【詳解】解：A、/與/不是同類項，不可合并，則此項錯誤，不符合題意：

B、3〃3.4。2=12。"則此項錯誤，不符合題意;

C、（%+6）2=4/+4。人+/,則此項錯誤，不符合題意;

D、（―2。/）3=_8。3"，則此項正確,符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了合并問類項、同底數(shù)帚的乘法、完全平方公式、積的乘方與事的乘方，熟練掌握各運(yùn)

算法則是解題關(guān)鍵.

3.2023年以來，廣安市全面落實市委、市政府關(guān)于促進(jìn)消費(fèi)的各項政策措施，積極優(yōu)化消費(fèi)運(yùn)行環(huán)境，消

費(fèi)加速回升.1-2月，全市實現(xiàn)社會消費(fèi)品總額116億元，同比增長10.8%.請將116億用科學(xué)記數(shù)法表

示（）

A.1.I6X109B.1.16x10'°C.1.16x10"D.116xl08

【答案】B

【解析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義即可得.

【詳解】解：116億=1.16x102x1（）8=1,16x1010

故選：B.

【點睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，熟記科學(xué)記數(shù)法的定義（將一個數(shù)表示成ax10〃的形式，其中

1<|a|<10,"為整數(shù)，這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法）是解題關(guān)鍵.確定〃的值時要看把原數(shù)變成

。時小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

4.如圖，由5個大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的俯視圖是（）

【答案】B

【解析】根據(jù)俯視圖的定義（從上面觀察物體所得到的視圖是俯視圖）即可得.

【詳解】解：這個幾何體的俯視圖是：

故選：B.

【點睛】本題考查了俯視圖，熟練掌握俯視圖定義是解題關(guān)鍵.

5.下列說法正確的是（）

A.三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和

B.對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形

C.在一組數(shù)據(jù)11,9,7,8,6,8,12,8中眾數(shù)和中位數(shù)都是8

D.甲乙兩組各10名同學(xué)參加“安全知識競賽”，若兩組同學(xué)的平均成績相同，甲組的方差Sj=0.25,

乙組的方差S]=0.15，則甲組同學(xué)的成績比乙組同學(xué)的成績穩(wěn)定

【答窠】C

【解析】根據(jù)三角形的外角定理，正方形的判定，眾數(shù)和中位數(shù)的定義，方差的意義判斷即可.

【詳解】解：A.三角形的一個外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角的和，故選項A錯誤；

B.要加上“對角線互相平分”這個條件，故選項B錯誤；

C.這列數(shù)據(jù)從小到大排列為6,7,8,8,8,9,11,12

8出現(xiàn)了3次，故眾數(shù)是8,中位數(shù)是詈=8

故選項C正確；

D.方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，故選項D錯誤.

故選：C.

【點睛】本題考查了三角形的外角定理，正方形的判定，眾數(shù)和中位數(shù)的定義，方差的意義等知識，本題

的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識點，并能靈活運(yùn)用.

6.已知b,c為常數(shù)，點P（ac）在第四象限，則關(guān)于x的一元二次方程改2+法+c的根的情況為

（）

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.無法判定

【答案】B

【解析】根據(jù)點尸（。c）在第四象限，得出ac<0,進(jìn)而根據(jù)一元二次方程根的判別式A=〃—4ac>0,

即可求解.

【詳解】解：?，?點P（〃，c）在第四象限

:.a>0fc<0

/.ac<0

2510251025102510

A.——-------B.——-------C.-------——D.-------——

x3%-0.1x3x+0.13x+0.1x3x-0.1x

【答窠】D

【解析】先求出燃油汽車每千米所需的費(fèi)用為（3x-0.1）元，再根據(jù)函數(shù)圖象可得燃油汽車所需費(fèi)用為25元

時與燃?xì)馄囁栀M(fèi)用為10元時所行駛的路程相等，據(jù)此列出方程即可得.

【詳解】解：由題意得：燃油汽車每千米所需的費(fèi)用為（3%-0.1）元

由函數(shù)圖象可知，燃油汽車所需費(fèi)用為25元時與燃?xì)馄囁栀M(fèi)用為10元時所行駛的路程相等

則可列方程為c25

3x-0.1x

故選：D.

【點睛】本題考查了列分式方程、函數(shù)圖象，讀懂函數(shù)圖象，正確獲取信息是解題關(guān)鍵.

9.如圖，在等腰直角中乙4。8=90。,從。=3。=2>/1,以點A為圓心，4C為半徑畫弧，交

AB于點E，以點8為圓心，為半徑畫弧，交43于點尸，則圖中陰影部分的面積是（）

A兀一2B.2TI—2C.27r—4D.4兀-4

【答案】C

【解析】先利用扇形的面積公式求出扇形ACE和扇形Bb的面積，再減去“8C的面積即可得.

【詳解】解：-他。是等腰直角三角形

\NA=?B45?

?:AC=BC=2近

???圖中陰影部分的面積是S扇形AC￡+S扇形SCF.ABC

45乳X（20）45KX（2\/2）I

?。╖2加卜X（Z2旬X

=2兀-4

故選：C.

【點睛】本題考查了扇形的面積，熟練掌握扇形的面積公式是解題關(guān)鍵.

10.如圖所示，二次函數(shù)y=辦?+展+以々、b、c,為常數(shù)，〃工0）的圖象與1軸交于點

A（-3,0）,B（1,0）.有下列結(jié)論：①出（>0；②若點（一2,乂）和（-0.5,%）均在拋物線上，則凹<當(dāng)；

③5。-6+。=0；④4a+c>0.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)、二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系以及與“軸交點問題逐項分析判斷即可.

【詳解】解：由圖可知，二次函數(shù)開口方向向下，與y軸正半軸交于一點

/.a<0c>0.

:.b<0.

abc>0.

故①正確.

A（-3,0）,8（1,0）是關(guān)于二次函數(shù)對稱釉對稱

「.（-2,yj在對稱軸的左邊，（-0.5,%）在對稱軸的右邊，如圖所示

故②正確.

??圖象與X軸交于點A(—3,0),3(1,0)

/.9?-3Z?+c=0a-b+c=0.

「.lOa-4b+2c=0.

:.5a-2b-^c=0.

故③不正確.

2a

:.b=2a.

當(dāng)x=l時y=0

:.a+b^-c=O.

.,.3a+c=0

:.c=-3a

..4a-^-c=4a-3a=a<0.

故④不正確.

綜上所述，正確的有①②.

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于通過圖像判斷對稱軸，開口方向以

及與）'軸交點.

二、填空題（請把曩簡答案填寫在答朗卡相應(yīng)位置.本大題共6個小題，每小題3分，共18

分）

11.而的平方根是.

【答窠】±2

【解析】

【詳解】解：〈J記=4

:.灰的平方根是±2.

故答案為±2.

12.謔數(shù)y=正序中自變量x的取值范圍是.

【答案】x2-2且xWl

【解析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件即可求出結(jié)論.

x+2>0

【詳解】解：由題意可得《?八

x-1^0

解得x2-2且xWl

故答案為：x2-2且x#l.

【點睛】此遨考查的是求自變量的取值范圍，掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件是解決此題

的關(guān)鍵.

13.定義一種新運(yùn)算：對于兩個非零實數(shù)。、b,〃※匕=2+=若2※(-2)=1,貝乂-3)派3的值是

ab

【答案】

3

【解析】先根據(jù)2※(-2)=1可得一個關(guān)于的等式，再根據(jù)新運(yùn)算的定義代入計算即可得.

【詳解】解：?.?2※(一2)=1

—=1,即x-v=2

2-2

...(_3怦3=二+』=-02

''-3333

故答案為：一；.

3

【點情】本題考查了新定義下的實數(shù)運(yùn)算、代數(shù)式求值，理解新運(yùn)算的定義是解題關(guān)鍵.

14.如圖，“3C內(nèi)接于OO,圓的半徑為7,N84C=60。則弦8C的長度為

BC

【答案】7G

【解析】連接。區(qū)OC,過點。作OD1BC于點D,先根據(jù)圓周角定理可得N3OC=2NR4C=120°,再

根據(jù)等腰三角形的三線合一可得N3QD=60。，8c=28。然后解直角三角形可得3。的長，由此即可得.

【詳解】解：如圖，連接。民OC,過點。作?！?gt;±BC于息D

.\ZBOC=2ZBAC=\20°

QOB=OC,O"BC

Z.BOD=-NBOC=60°BC=2BD

2

???圓的半徑為7

:.OB=1

:.BD=OBsin6（）o=-6

2

BC=2BD=7y/3

故答案為：7道.

【點睛】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三線合一，熟練掌握圓周角定理和解直角

三角形的方法是解題關(guān)鍵.

15.如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm,底面周長為16cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜，

此時一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對的點占處，則螞蟻從外壁3處到內(nèi)壁A

處所走的最短路程為cm.（杯壁厚度不計）

【解析】如圖（見解析），將玻璃杯側(cè)面展開，作3關(guān)于成的對稱點3',根據(jù)兩點之間線段最短可知A8'

的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得.

【詳解】解：如圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作8關(guān)于放的對稱點8',作B'O_LA￡，交AE延長線于點

D,連接A&

由題意得：DE=g33'=lcm,AE=9-4=5(cm)

AD=AE+DE=6cm

,:底面周長為16cm

,=—x16=8(cm)

AB=dAD'B'D?=10cm

由兩點之間線段最短可知，螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為ABr=10cm

故答案為：10.

【點睛】本題考查了平面展開一-最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計算是

解題的關(guān)鍵.同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力.

在平面宜角坐標(biāo)系中點、、人、?在軸的正半軸上，點四、與、在直線

16.4A2A4xBy

上，若點的坐標(biāo)為且旦、△&&&、均為等邊三角

y=A(2,0),43At…

形.則點與023的縱坐標(biāo)為.

【解析】過點A作軸，交直線y=*x(x20)于點M,過點用作與C_Lx軸于點C,先求出

NAOM=30。，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定可得A4=OA=2,然后解直角三角形可

得用。的長，即可得點用的縱坐標(biāo)，同樣的方法分別求出點員,用,4的縱坐標(biāo)，最后歸納類推出一般規(guī)律,

由此即可得.

【詳解】解：如圖，過點兒作AM_Lx軸，交直線丁=日上（工之0）于點M,過點用作4C_Lx軸于點

C

當(dāng)％=2時y=苧，即M（2，￥）A，M=￥

=^-=—

4。3

=30°

???△4片人是等邊三角形

。，與

NA2ABi=60442=4

.\ZOB,A,=30。=幺?！?/p>

44=0A=2

4C=A4?sin60。=2x弓，即點用的縱坐標(biāo)為2x1

同理可得：點B,的縱坐標(biāo)為2?x立

2

點名的縱坐標(biāo)為23x3

2

點鳥的縱坐標(biāo)為2“x且

2

歸納類推得：點紇的縱坐標(biāo)為2"x立=2~6（〃為正整數(shù)）

2

則點/23縱坐標(biāo)為220237b=22°226

故答案為：評日

【點睛】本題考查了點坐標(biāo)的規(guī)律探索、等邊三角形的性質(zhì)、正比例函數(shù)的應(yīng)用、解直角三角形等知識

點，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共4個小題，第17小題5分，第18、19、20小題各6分，共23分）

17.計算：一12°24+（—孝）-2cos60°+|x/5-3|

【答案】2-石

【解析】先計算有理數(shù)的乘方、零指數(shù)累、特殊角的余弦值、化簡絕對值，再計算乘法與加減法即可得.

1廠

【詳解】解：原式=-1+1-2乂一+3-。5

2

=-1+3-5/5

2-非.

【點睛】本題考查了零指數(shù)累、特殊角的余弦值、實數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

18.先化簡4-。+1，」再從不等式—2vav3中選擇一個適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，代入求值.

（4+1）/+2々+1

【答案】」二，選擇4=。，式子的值為-1（或選擇。=2,式子的值為1）

a-\

【解析】先計算括號內(nèi)的分式減法，再計算分式的除法，然后根據(jù)分式有意義的條件選擇適當(dāng)?shù)?。的值，?/p>

入計算即可得.

【詳解】解:原式=

a+\。+1(4+1)2

_'a2("+1)2

、4+1tz+1J(4+1)(〃-1)

1a+l

a+la-\

1

~~a^l

va+1^0。一1工0

???一2＜。＜3,且。為整數(shù)

，選擇。=0代入得：原式=;7二二一1

選擇a=2代入得：原式=—!—=1.

2-1

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

19.如圖，在四邊形A5CD中AC與B。交于點OF1AC垂足分別為點區(qū)F,且

AF=CE,ZBAC=ZDCA.求證：四邊形48co是平行四邊形.

【答案】見詳解

【解析】先證明44砂烏人。尸。65人)，再證明AB=CDyAB//CD，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)

論.

【詳解】證明：?「3石_14。DF1AC

.\ZAEB=ZCFD=900

???AF=CE,AE=AF-EF,CF=CE-EF,

AE=CF,

又?.284。=/￡＞04

:：AEBACFD(ASA)

:.AB=CD

?:ZBAC=ZACD

AB//CD

四邊形ABC。是平行四邊形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定，

證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

9

20.如圖，一次函數(shù)丁=履+—(女為常數(shù)，女工0)的圖象與反比例函數(shù)>m(而為常數(shù)，加工0)的圖

4x

象在第一象限交于點4("),與x軸交于點5(-3,0).

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

(2)點尸在X軸上，,A3尸是以A8為腰的等腰三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo).

393

【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為y=-x+一,反比例函數(shù)的解析式為

44V

(2)(-&0)或(2,0)或(5,0)

【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，把已知點代入再解方程即可得出答案;

(2)首先利用勾股定理求出得A3的長，再分兩種情形討論即可.

【小問1詳解】

o

解：把點8(-3,0)代入一次函數(shù))，="+—得

9

一3&「=0,

4

3

解得：

39

故一次函數(shù)的解析式為y=一工+—

44

3939

把點代入y=+1,得〃=一十—=3

44

.\A(1,3)

把點A(L3)代入y=生，得加=3

x

3

故反比例函數(shù)的解析式為y=3：

X

【小問2詳解】

解：B(-3,0)A(l,3)AB=5

當(dāng)AB=依=5時P(-8,0)或(2,0)

當(dāng)時點R8關(guān)于直線工=1對稱

二.P(5,0)

綜上所述：點P的坐標(biāo)為（-8,0）或（2,0）或（5,0）.

【點睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，等腰三角形的性質(zhì)等知識,

運(yùn)用分類思想是解題的關(guān)鍵.

四、實踐應(yīng)用題（本大題共4個小題，第21小題6分，第22、23、24小題各8分，共30

分）

21.“雙減”政策實施后，某校為豐富學(xué)生的課余生活，開設(shè)了A書法，8繪畫，C舞蹈，。跆拳道四類興

趣班.為了解學(xué)生對這四類興趣班的喜愛情況，隨機(jī)抽取該校部分學(xué)生進(jìn)行7問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果整

理后繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)統(tǒng)計圖信息回答下列問題.

___________人.

（2）請將以上尊個統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整.

（3）甲、乙兩名學(xué)生要選擇參加興趣班，若他們每人從A,B,C,。四類興趣班中隨機(jī)選取一類，請用

畫樹狀圖或列表法，求兩人恰好選擇同一類的概率.

【答案】（1）60,300（2）見解析（3）-

4

【解析】（1）根據(jù)喜歡繪畫的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖信息即可得本次抽取調(diào)查學(xué)生的總?cè)藬?shù)，再利用3000

乘以喜歡跆拳道的學(xué)生所占百分比即可得；

（2）先求出喜歡書法的學(xué)生人數(shù)，據(jù)此補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖，再求出喜歡舞蹈和跆拳道的學(xué)生所占百分比，據(jù)

此補(bǔ)全扇形統(tǒng)計圖即可?得；

（3）先畫出樹狀圖，從而可得甲、乙兩名學(xué)生選擇參加興趣班的所有等可能的結(jié)果，再找出兩人恰好選擇

同一類的結(jié)果，然后利用概率公式計算即可得.

【小問1詳解】

解：本次抽取調(diào)查學(xué)生的總?cè)藬?shù)為18?30%=60（人）

估計該校3000名學(xué)生喜愛“跆拳道”興趣班的人數(shù)約為3000乂一二300（人）

60

故答案為：60,300.

【小問2詳解】

解：喜歡書法的學(xué)生人數(shù)人60x35%=21（人）

喜歡舞蹈的學(xué)生所占百分比為二xl00%=25%

60

喜歡跆拳道的學(xué)生所占百分比為100%=10%.

60

則補(bǔ)全兩個統(tǒng)計圖如下：

婁

攵

24

21

18

15

12

9【小問3詳解】

6

3

0

解：由題意，畫樹狀圖如下:

開始

由圖可知，甲、乙兩名學(xué)生選擇參加興趣班的所有等可能的結(jié)果共有16種，其中兩人恰好選擇同一類的

結(jié)果有4種

41

則兩人恰好選擇同一類的概率為P=—=~

164

答：兩人恰好選擇同一類的概率為!.

【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的信息關(guān)聯(lián)、畫條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖、利用列舉法求概

率，熟練掌握統(tǒng)計調(diào)查的相關(guān)知識和列舉法是解題關(guān)鍵.

22.“廣安鹽皮蛋”是小平故里的名優(yōu)特產(chǎn)，某超市銷售48兩種品牌的鹽皮蛋，若購買9箱A種鹽皮蛋

和6箱4種鹽皮蛋共需390元；若購買5箱A種鹽皮蛋和8箱8種鹽皮蛋共需310元.

（1）A種鹽皮蛋、3種鹽皮蛋每箱價格分別是多少元？

（2）若某公司購買43兩種鹽皮蛋共30箱，且A種的數(shù)量至少比B種的數(shù)量多5箱，又不超過8種的2

倍，怎樣購買才能使總費(fèi)用最少？并求出最少費(fèi)用.

【答案】（1）A種鹽皮蛋每箱價格30元，8種鹽皮蛋每箱價格是20元

（2）購買A種鹽皮蛋18箱，8種鹽皮蛋12箱才能使總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為780元

【解析】（1）設(shè)A種鹽皮蛋每箱價格是“元，B種鹽皮蛋每箱價格是元，根據(jù)題意建立方程組，解方程組

即可得：

（2）設(shè)購買A種鹽皮蛋加箱，則購買5種鹽皮蛋（30-m）箱，根據(jù)題意建立不等式組，解不等式組可得相

的取值范圍，再結(jié)合加為正整數(shù)可得加所有可能的取值，然后根據(jù)（1）的結(jié)果逐個計算總費(fèi)用，找出總費(fèi)

用最少的購買方案即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)A種鹽皮蛋每箱價格是x元，8種鹽皮蛋每箱價格是元

9x+6y=390

由題意得：

5x+8y=310

x=30

解得《

y=20

答：A種鹽皮蛋每箱價格是30元，8種鹽皮蛋每箱價格是20元.

【小問2詳解】

解：設(shè)購買A種鹽皮蛋/箱，則購買B種鹽皮蛋（30一6）箱

購買A種的數(shù)量至少比A種的數(shù)量多5箱，又不超過8種的2倍

|/w-（30-w）＞5

jmW2（30-機(jī)）

解得衛(wèi)工小W20

又旭為正整數(shù)

）所有可能的取值為18,19,20

①當(dāng)加=18,30—帆=12時購買總費(fèi)用為30x18+20x12=780（元）

②當(dāng)加=19,30—6=11時購買總費(fèi)用為30x19+20x11=790（元）

③當(dāng)旭二20,30—根=10時購買總費(fèi)用為30x20+20x10=800（元）

所以購買A種鹽皮蛋18箱，〃種鹽皮蛋12箱才能使總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為780元.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，正確建立方程組和不等式組是解

題關(guān)鍵.

23.為了美化環(huán)境，提高民眾的生活質(zhì)量，市政府在三角形花園ABC邊上修建一個四邊形人工湖泊

ABDE，并沿湖泊修建了人行步道.如圖，點。在點A的正東方向170米處，點E在點A的正北方向，

點8、￡)都在點C的正北方向，3。長為100米，點B在點A的北偏東30。方向，點。在點E的北偏東58。

方向.

(1)求步道DE的長度.

(2)點。處有一個小商店，某人從點A出發(fā)沿人行步道去商店購物，可以經(jīng)點8到達(dá)點。，也可以經(jīng)點

￡到達(dá)點。，請通過"算說明他走哪條路較近.結(jié)果精確到個位)(參考數(shù)據(jù)：

sin58°?0.85,cos58°?0.53,tan580工1.60,百力1.73)

【答塞】(1)200米

(2)8.。這條路較近，理由見解析

【解析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)中的正弦值即可求出答案.

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)中的正切值、余弦值分別求出AB和4E的長度，比較A8+8力和

AE+ED即可求出答案.

【小問1詳解】

解：由題意得，過點。作。/垂直AE的延長線于點尸，如圖所示

點C在點A的正東方向170米處，點￡在點A的正北方向，點3、。都在點。的正北方向

/.AE.LACDC±AC

QDlAF

ZEAC=ZBCA=NDFE=90°

ACDF為矩形.

:.DF=AC.

?「AC=170米

二.OF=170米.

■rx尸[^7C\

?.在中。七=-^^=y=200米.

sin58°0.85

故答案為：200米.

【小問2詳解】

解：Af3-。這條路較近，理由如下:

,ZE4B=30°ZEAC=90°

N8AC=600.

???AC=170米6=1.73

Ar1

???在Rt^BAC中45=——-=170+—=340米.

cos6002

CB=ACtan60°=170>/3=170x1.73=294.1米.

ACDF為矩形，3。=100米

.?.CD=AF=CB+O8=294.1+100=394.1米.

???在RtADFE中EF=-^―=—=106.25米.

tan58°1.60

/.AE=AF-EF=394.1-106.25=287.85米.

結(jié)果精確到個位

/.AE+ED=287.85+200=487.85工488米.

AB+OB=340+100=440米.

AE+ED>AB+DB.

???從4?39。這條路較近.

故答案為：這條路較近.

【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，涉及到銳角三角函數(shù)正弦、余弦、正切，矩形的性質(zhì)，解

題的關(guān)鍵在于構(gòu)建直角三角形利用三角函數(shù)求邊長.

24.招邊長為2的正方形剪成四個全等的直角三角形，用這四個直角三角形拼成符合要求的四邊形，請在

下列網(wǎng)格中畫出你拼成的四邊形（注：①網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1；②所拼的圖形不得與原圖形相

同；③四邊形的各頂點都在格點上）.

【答案】見解析（答案不唯一，符合題意即可）

【解析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的性質(zhì)進(jìn)行作圖即可.

【詳解】解：①要求是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，則可作等腰梯形，如圖四邊形A8CO即為所

求；

②要求是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，則可作一般平行四邊形，如圖四邊形A8CD即為所求；

③要求既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則可作菱形、矩形等，如圖四邊形488即為所求；

④要求既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形，則考慮作任意四邊形，如圖四邊形ABCO即為所求.

【點睛】本題

是軸對稱圖形是中心對稱圖形既是軸對稱圖形既不是軸對稱圖形

不是中心對稱圖形不是軸對稱圖形又是中心對稱圖形又不是中心對稱圖形

考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念及作圖，軸時稱圖形：把一個圖形沿著某條直線折疊，能夠與另一

個圖形重合；中心對稱圖形：把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180。能夠和原圖形重合.

五、推理論證題

25.如圖，以的直角邊A8為直徑作0O,交斜邊AC于點Q,點E是3C的中點，連接

OE、DE.

（1）求證：OE是。。的切線.

4

（2）若sinC=g,0E=5,求AD的長.

（3）求證：2DE—CD0E.

【答案】（1）見詳解（2）—（3）見詳解

3

【解析】（1）連接瓦）,。。，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，證明=再證明AOBE烏ODE（SSS）即

可；

（2）由（1）中結(jié)論，得3C=2OE=10,先根據(jù)三角函數(shù)及勾股定理求出BQ,CO的長，再證明

△AZ）3s2\8￡>C即可；

（3）證明..OBEs-BDC即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

證明：連接8。,。。

Rt&43C中ZABC=90。

AB是匚O的直徑

/.ZADB=90°,即BD±AC

在Rt&BOC中點E是5c的中點

:.BE=DE=-BC

2

又,OB=OD,OE=OE

.qOBEWOr)E(SSS)

/.NOBE=NODE=90。

。在G。上

」.DE是OO的切線.

【小問2詳解】

解：由(1)中結(jié)論，得6。=2。七=10

在RLBOC中sinC=^=變=9

BC105

:.BD=S,CD=yJBC^B^=6

???ZA+ZC=90°,ZA+ZABD=90°

??:.ZC=ZABD

\'ZADB=ZBDC=90°

△AZ)3s△8DC

ADBD…BD18232

「.=,AD=-----=——=——；

BDCDCD63

【小問3詳解】

證明：OA=OB,BE=CE

:.OE//AC

.?.NOEB=NC

?：/OBE=/BDC=90。

lOBES'BDC

OEBE

~BC~~CD

由(1)中結(jié)論VO3E史ODE,得BE=DE

BC=2DE

?_O__E_D_E

'^2DE~~CD

即2DE2=CDOE.

【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，相似三

角形的判定和性質(zhì)，銳角二角函數(shù)，判斷出△AO8s△加。是解本題的關(guān)鍵.

六、拓展探究題

26.如圖，二次函數(shù)丁=/+法+。的圖象交工軸于點4B,交丁軸于點C,點8的坐標(biāo)為(1,0),對稱

軸是直線x=-l,點尸是x軸上一動點，PM_Lx軸，交直線AC于點M,交拋物線于點N.

（1）求這個二次函數(shù)的解析式.

（2）若點t在線段4。上運(yùn)動（點P與點A、點。不重合），求四邊形A3CN面積的最大值，并求出此

時點P的坐標(biāo).

（3）若點產(chǎn)在“軸上運(yùn)動，則在y軸上是否存在點。，使以M、N、a。為頂點的四邊形是菱形？若

存在，請直接寫出所有滿足條件的點。的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

【答案】（1）y=x2+2x-3

75（3'

（2）S四邊形MCN最大值為；，此時尸一不，°

8k27

（3）0（0,-1）或00,3&-1）或40,-1—3立）

【解析】（1）先根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式求出〃=2,再把8（1,0）代入二次因數(shù)解析式中進(jìn)行求解即可;

⑵先求出A（-3,0）,。（0,-3）則AB=4,OC=3求出直線AC的解析式為y=r-3,設(shè)

P（mQ）,則M（族一加一3）,N（加，陽2+2〃?-3）則MN=_1_3m；再由

+—75?故當(dāng)〃2=