（中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)）第21章 一元二次方程 同步學(xué)案

21.1一元二次方程

21.1.1一元二次方程

[■概念課」一元二次方程的定義

學(xué)習(xí)目標(biāo)

□理解并掌握一元二次方程的定義

引導(dǎo)問題1什么是一元二次方程？你能舉出一個(gè)例子嗎？

1.形如f+3x=18的，等號(hào)兩邊都是,只含有個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的

最高次數(shù)是的方程，叫做一元二次方程.

2.請舉一個(gè)視頻中未出現(xiàn)的一元二次方程的例子.

3.f+1是一元二次方程嗎？________,原因是_________________________.

2x

引導(dǎo)問題2判斷一元二次方程有哪些注意事項(xiàng)？

判斷一元二次方程時(shí)，首先要進(jìn)行.

4.X(X+2)="2—4是一元二次方程嗎？,原因是.

5.①法+。=0是關(guān)于x的一元二次方程的條件是,二次項(xiàng)的系數(shù)不能為

②(m—3)V+3x=6是關(guān)于x的一元二次方程的條件是

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「概念課」方程的一般形式

學(xué)習(xí)目標(biāo)

□理解一元二次方程的一般形式

□學(xué)會(huì)將一元二次方程整理成一般形式

引導(dǎo)問題1什么是一元二次方程的一般式？

1.就是一元二次方程的.其中二次項(xiàng)是,一次項(xiàng)是

,常數(shù)項(xiàng)是.

2.二次項(xiàng)系數(shù)。=5,一次項(xiàng)系數(shù)b=-2,常數(shù)項(xiàng)c=-l的一元二次方程是

3.《爐+9=0的二次項(xiàng)系數(shù)是______,一次項(xiàng)系數(shù)是________，常數(shù)項(xiàng)是________.

2

引導(dǎo)問題2如何將一個(gè)一元二次方程整理成一般形式？

整理方法與解一元一次方程類似，包含去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等，結(jié)果中等號(hào)

左邊要按x的(填寫“升嘉”或“降幕”)排列

①將5-3x=-2x2化為一般式，得.

②將x(x-2)=4x2-3x化為一般式，得.

x~r+1-x—1

③將彳一一丁二一^化為一般式，得________________________.

322

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「概念課」一元二次方程的解

學(xué)習(xí)目標(biāo)

□學(xué)會(huì)應(yīng)用一元二次方程的解

引導(dǎo)問題1什么是一元二次方程的解？

1.使一元二次方程左右兩邊相等的的值就是這個(gè)一元二次方程的解，一元二次方

程的解也叫做一元二次方程的.

2.一元二次方程的解既有可能是，也有可能是,它們統(tǒng)稱方程的

3.括號(hào)中的哪些數(shù)是方程/一工=0的解？（-1；0；1；2）.它們叫做方程的

引導(dǎo)問題2一元二次方程的根有哪些應(yīng)用？

4.關(guān)于x的方程V一小+4=0的一個(gè)根是2,帆的值是多少？

第一步：把根帶入原方程.

第二步：解新方程.

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21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

「概念課」直接開平方法

學(xué)習(xí)目標(biāo)

□理解并掌握用直接開平方法解一元二次方程

引導(dǎo)問題1如何解簡單的一元二次方程？

①已知爐=25,則工=；

②已知(X+1)2=9,如X=?

1.在解一元二次方程的過程中，尢論哪種方法都會(huì)用到的轉(zhuǎn)化思想，降低了

的次數(shù)，也就降低了解方程的難度.

引導(dǎo)問題2什么是直接開平方法？

2.一般地，運(yùn)用的定義直接開平方求出一元二次方程的解的方法，叫做直接開平

方法.

3.具體方法是將方程整理成(廄+匕)2=。的形式.

①(?+力丫=正數(shù)，貝］方程.

②(然+匕了=0,則方程.

+))2=負(fù)數(shù)，貝j方程.

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「概念課」配完全平方

學(xué)習(xí)目標(biāo)

□能夠運(yùn)用完全平方公式配完全平方

引導(dǎo)問題1如何配完全平方式？

1.我們曾經(jīng)學(xué)過的完全平方公式：,它有另一種寫法：

22

x±2bx+b=(x±bff表示x的二次項(xiàng)系數(shù)為的完全平方式，b表示

.配完全平方式(簡稱：)主要是根據(jù)這個(gè)式子進(jìn)行的.

2.將橫線中填入數(shù)字使式子變成完全平方式.

(Dx2+2x+=(x)2；(2)X2+8X+=(x)2；

③f-6x+=(x)2.

引導(dǎo)問題2配完全平方式有什么規(guī)律？

3.在未知數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，配方所需的常數(shù)項(xiàng)是,寫在完

全平方括號(hào)里的數(shù)是.二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)要先將二次項(xiàng)

,再按上面的步驟配方.

4.將橫線中填入數(shù)字使式子變成完全平方式.

(Dx2-—|x)；(Dx2++=(x);

(3)X2-6X+=(x)2.

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「概念課」配方法

學(xué)習(xí)目標(biāo)

□理解并掌握用配方法解一元二次方程

引導(dǎo)問題1如何用配方法解一元二次方程？

1.解方程2X2+X-8=0.

第一步：移項(xiàng).將方程中原有的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊.

得：

第二步：系數(shù)化一.將項(xiàng)系數(shù)化一.

得：

第三步：配方.運(yùn)用配方法將等號(hào)左邊變成+的形式.

得：

第四步：開方.運(yùn)用平方根的定義求出方程的根.

得：

2.運(yùn)用上面的步驟解方程4爐+20x+25=0.

移項(xiàng).

系數(shù)化一.

配方.

開方.

3.根據(jù)配方后等號(hào)右邊的情況判斷根的個(gè)數(shù).

(1+右丫=正

(x+Z>)2=0

(x+/?y=負(fù)

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21.2.2公式法

「概念課」推導(dǎo)求根公式

學(xué)習(xí)目標(biāo)

□理解并掌握一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程

引導(dǎo)問題1什么是一元二次方程的求根公式？

1.將方程化為一般形式（々W0）,將a,b,c代入式子不=

得到方程的根，這個(gè)式子就叫做一元二次方程的求根公式.

引導(dǎo)問題2如何推導(dǎo)一元二次方程的求根公式？

2.求根公式是由一元二次方程的一般式經(jīng)過法得到的.

3.給ar2+Z?x+c=O（aHO）配方：

第一步：移項(xiàng).得：ax2+bx=.

第二步：系數(shù)化一.得：x2+=.

第三步：配方.得：

當(dāng)〃-4acN0時(shí)

第四步：開方.得：

4.把方程2f+5_r-3=0中適當(dāng)?shù)南禂?shù)代入求根公式，得玉=,x2=

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「概念課」根的判別式

學(xué)習(xí)目標(biāo)

□會(huì)使用根的判別式判斷方程根的情況

引導(dǎo)問題1什么是根的判別式？

1.求根公式工=中，根號(hào)下面的式子，叫做根的判別式，用希臘

字母表示.

引導(dǎo)問題2如何用根的判別式判斷根的情況?

2.A的值與方程根的情況有什么關(guān)系？

方程A與0比在2a中根的情況

x2+x+l=0

x2+2x+l=0

X2+2X-1=0

3.方程f—7x+100=0的根的情況是.

引導(dǎo)問題3根的判別式有哪些應(yīng)用？

4.關(guān)于x的一元二次方程依2-6工+1=0伏工0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求攵的取值范圍.

由題意得A=_______=_>0,解得.攵的取值范圍是

5.方程中的。與c異號(hào)，根的情況為.

方程A=若根的命運(yùn)

A<0

ar2+fex+c=0（4w0）A=0

A>0

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「概念課」公式法

學(xué)習(xí)目標(biāo)

□理解并掌握用公式法解一元二次方程

引導(dǎo)問題1如何用公式法解一元二次方程？(00:00-04:29)

1.用公式法解方程：2/—44-1=0.

第一步：確定a,b,(?的值.得々=,b=,c=.

第二步：代入判別式.得△=〃-4ac==,A0.

第三步：代入求根公式.若ANO,代入求根公式求得實(shí)數(shù)根；若A<0,方程沒有實(shí)數(shù)

根.得：

引導(dǎo)問題2什么樣的一元二次方程適合用公式法求解?

2.①無法進(jìn)行因式分解的方程.

②二次項(xiàng)系數(shù)不為,配方時(shí)較麻煩的方程.

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「解題課」判斷方程解的情況

能力目標(biāo)

□判斷含參方程解的情況

拔高練習(xí)

I.k為任意實(shí)數(shù)，判斷關(guān)于x的方程的解的情況：（2k+2）x+2%=0.

攻略

1.計(jì)算判別式A

2.和o比大小

?3

2.W為任意實(shí)數(shù)，判斷關(guān)于X的方程+；m2+1+9=0的解的情況.

222

攻略

L計(jì)算判別式A

2.和o比大小

3.若5女+20<0,判斷關(guān)于x的一元二次方程f+4x-A=0的解的情況.

攻略

I.計(jì)匏判別式A

2.和0比大小

4.%為任意實(shí)數(shù)，判斷關(guān)于X的方程一（34一1卜+2（左一1）=0的解的情況.

攻略

I.計(jì)算判別式A

2.和0比大小

「解題課」根據(jù)解的情況求參數(shù)

能力目標(biāo)

□會(huì)用判別式求參數(shù)的取值范圍

拔高練習(xí)

1.已知關(guān)于X的一元二次方程/+2工一〃=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求攻略

1.分析解的情況

々的取值范圍.2得到判別式與

o的大小

3.解方程/不等式

2.已知關(guān)于X的一元二次方程f+2x—4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求a求參數(shù)

的取值范闈.

3.已知關(guān)于x的一元二次方程d+2x—a=0無實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

4.已知關(guān)于x的一元二次方程％2-（4帆+1）3+3m2+m=。有實(shí)數(shù)根，求

攻略

利的取值范圍.

1.分析解的情況

2.得到判別式與

0的大小

3.解方程/不等式

求參數(shù)

關(guān)于x的方程/+（l+：）x+*=（）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求女的取

值范圍.

「解題課」分類討論解的情況

能力目標(biāo)

□會(huì)用判別式求參數(shù)值

□會(huì)分類討論二次項(xiàng)系數(shù)

拔高練習(xí)

I.如果關(guān)于X的方程一(6+2)]+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求利的取值范圍.

攻略

討論二次項(xiàng)系數(shù)

是否為0

2.已知關(guān)于x的方程H2+(2A+3)X+(A+1)=0,則k取何值時(shí)：①方程有兩個(gè)不等的實(shí)

數(shù)根？②方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根？③方程沒有實(shí)數(shù)根？④方程有實(shí)數(shù)根?攻略

i.討論二次項(xiàng)系

數(shù)是否為0

2.利用解的情況

得出判別式符

21.2.3因式分解法

「概念課」因式分解法

學(xué)習(xí)目標(biāo)

□理解并掌握用因式分解法解一元二次方程

引導(dǎo)問題1什么是因式分解法？

1.解一元二次方程時(shí)，先,使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于的形式，

再使這兩個(gè)一次式分別等于,從而實(shí)現(xiàn)降次.這種解一元二次方程的方法叫做

因式分解法.并不是所有一元二次方程都能用因式分解法.

2.用因式分解法解方程7/-2Ax=0.

第一步：因式分解.將所有項(xiàng)移到等號(hào)左邊，使等號(hào)右邊得0.提出公因式,

得：

第二步：讓兩個(gè)因式分別等于0.得：

第三步：得出結(jié)果.得：

3.按上面的步驟解方程X2+5X=O.

引導(dǎo)問題2因式分解的方法有哪些？

4.除了提公因式，還可以運(yùn)用方法和、公式進(jìn)行因式分解.

5.用因式分解法解方程：①d—i6x+60=0；(Z)2X2-13X-15=O.

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「解題課」活用降次解方程

能力目標(biāo)

□會(huì)運(yùn)用“先特殊后一般”的方法解方程

拔高練習(xí)

1.解方程/-53+6=0.

攻略

先特殊,后一般

1.特殊方法

2.解方程%2一5%-1=0.直接開平方法

因式分解法

2.一股方法

配方法

公式法

3.解方程-8)=-16.

4.解方程2x(x+7)=3(x+7).

5.解方程x(x—5)=6x+12.

「解題課」解含參方程

能力目標(biāo)

□學(xué)會(huì)用公式法解含參方程

□學(xué)會(huì)用因式分解法解含參方程

拔高練習(xí)

I.解關(guān)于X的方程：

攻略

解含參方程

1.系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)

為單項(xiàng)式：

公式法

2.系數(shù)與常數(shù)

2.解關(guān)于x的方程：x2-2mx-n2=0（/n>w>0）.項(xiàng)為多項(xiàng)式：

因式分解法

3.解關(guān)于x的方程：％2+（利+2）久+2機(jī)=0.

4.解關(guān)于工的方程：x2+（2/w-l）x+/w2-m=0.

5.解關(guān)于x的方程：（加十2）/+2x—m=0（〃7工一2）

6.解關(guān)于X的方程：伏2一1卜2―2"+1=0（2W±1）.

「解題課」分類討論解含參方程

能力目標(biāo)

□會(huì)分類討論解關(guān)于X的方程：ar2+bx+c=O

拔高練習(xí)

1.解關(guān)于式的方程（4+1）/+（34-1）3+2左一2=0.

攻略

?.確定二次項(xiàng)系數(shù)

是否為o

2.為。：

解一元一次方程

不為o；

解一元二次方程

2.解關(guān)于文的方程（公+（2左-3）1-15=0.

21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

「概念課」根與系數(shù)的關(guān)系

學(xué)習(xí)目標(biāo)

□理解并掌握韋達(dá)定理

引導(dǎo)問題1根與系數(shù)的關(guān)系是什么？什么是韋達(dá)定理？

1.如果王，X2是方程以，+瓜+。=0(々。0)的兩個(gè)根，那么X]+%2=，

.這兩個(gè)關(guān)系式稱為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，被人們稱為韋達(dá)定理.

引導(dǎo)問題2如何推導(dǎo)韋達(dá)定理？

八g八八一3-b+\!b2-4ac-b-—4

2.求根公式可得：$=------------,x=----------------

2a22a

-b+>Jb2-4ac-b-y/b2-4ac

3.%1?x2

-b+yjb1-4ac)(-/?-J。2-4ac

“2二--------------V-----------------------=——

$X?=-------------=-------------

引導(dǎo)問題3韋達(dá)定理有什么應(yīng)用？

下列方程的解為陽，求芭+々和修，%的值.

4.x2,

(1)x2-2015x+1024=0；(2)2x2-12x+28=3.

提出疑問預(yù)習(xí)過程中還有什么疑問沒有解決呢？請你將有疑問的問題記錄下來:

「解題課」利用韋達(dá)定理求值

能力目標(biāo)

□會(huì)運(yùn)用韋達(dá)定理求值

拔高練習(xí)

1.已知方程了2-3%一5=0的兩個(gè)根為2，x2,求下列式子的值：

①xj+x??；（2）—3）（4X2—3）；③'+-!-；@—+—；0|x]-x2\.

攻略

韋達(dá)定理

i.先變形

把要求式子湊出

或

石演

2,再整體代入

「解題識(shí)」利用韋達(dá)定理求值進(jìn)階

能力目標(biāo)

□學(xué)會(huì)先降次，再使用韋達(dá)定理

1.已知方程丁一3工一5=0的兩個(gè)根為項(xiàng)，x2,求呼+勾的值.

2.已知西，”2是方程V+X—3=0的兩個(gè)根，求用3—4々2+19的值.

21.3.1實(shí)際問題與一元二次方程

「概念課」遞增遞減問題

學(xué)習(xí)目標(biāo)

□能夠用一元二次方程解決增長(降低)率問題

引導(dǎo)問題1列方程解應(yīng)用題的基本步驟是什么？(00:00-00:48)

1.列方程解應(yīng)用題分為六步、、、、、.

引導(dǎo)問題2什么是遞增遞減問題？如何解決遞增遞減問題？(00:48?06:27)

2.遞增遞減問題通常是：在一段時(shí)間內(nèi)，一個(gè)數(shù)量按的速率增長或減小，已知變

化前后的數(shù)量.求率或率.

3.最近幾年智能手機(jī)的普及率穩(wěn)步提高.小李他們家所在的區(qū)，兩年前有8萬人使用智能手

機(jī)，今年有15.68萬人使用，每年增長率不變，求每年的增長率是百分之多少？

第一步：審題.看清題H已知和要求的量.

第二步：設(shè)X.設(shè)為X.

第三步：列方程.

第四步：解方程.

第五步：驗(yàn)根.按實(shí)際情況驗(yàn)根.

第六步：答題.

4.使用座機(jī)電話的人越來越少，小李家所在的區(qū)兩年前有20萬戶人家有座機(jī)，今年只有

18.05萬戶了，每年減少率不變，求每年的減少率是百分之多少？

5.遞增遞減問題可以總結(jié)出一個(gè)一般公式：現(xiàn)有量=x(l±)2.

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「概念課」薄利多銷問題

學(xué)習(xí)目標(biāo)

□能夠用一元二次方程解決銷售利潤問題

引導(dǎo)問題1什么是薄利多銷問題？如何解決薄利多銷問題？

1.薄利多銷問題通常是：一種商品按現(xiàn)在的價(jià)錢能賣一部分，但______銷售能賣得更

多.盡管單個(gè)商品利潤少了一些，但_______會(huì)提高.不過如果降價(jià)過多，________也

會(huì)下降.

2.一款耳機(jī)賣一副的利潤是150元，現(xiàn)在每月銷量60副.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平

均每月可多賣出1.2副，廠商要求最多降價(jià)70元.問要讓每月總利潤達(dá)到10920元，需

要降價(jià)多少？

第一步：審題.總利潤=x.

調(diào)價(jià)后總利潤=（原利潤-）x（+多賣的）.

第二步：設(shè)X.設(shè)為X.

第三步：列方程.

第四步：解方程.

第五步：驗(yàn)根.按實(shí)際情況驗(yàn)根.

第六步：答題.

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「概念課」圖案面積問題

學(xué)習(xí)目標(biāo)

□能夠用一元二次方程解決面積問題

引導(dǎo)問題1什么是圖案面積問題？如何解決圖案面積問題？

1.圖案面積問題通常是：一個(gè)長方形，求它的面積.由于種種原因，這個(gè)長方形不是完整

的，會(huì)被各種間隔隔開，所以要先求出間隔的,才能解決問題.

2.智能手機(jī)的主頁面上排列著很多應(yīng)用軟件.比如一款智能手機(jī)的主頁面上最多可以放24

個(gè)應(yīng)用，每行4個(gè)，共6行.為了美觀和實(shí)用，行與行之間，列與列之間和屏幕四個(gè)邊緣,

都要留出空當(dāng).空當(dāng)?shù)膶挾榷枷嗟?如果屏幕長100亳米，寬60亳米,

空當(dāng)要設(shè)定成多寬才能把屏幕總面積的60%留給應(yīng)用呢？

第一步：審題.將間隔都放在一起，應(yīng)用都放在一起.

第二步：設(shè)X.設(shè)為X.

第三步：列方程.

第四步：解方程.

第五步：驗(yàn)根.按實(shí)際情況驗(yàn)根.

第六步：答題.□

提出疑問預(yù)習(xí)過程中還有什么疑問沒有解決呢？請你將有疑問的問題記錄下來:

「解題課」用韋達(dá)定理反求方程

能力目標(biāo)

□會(huì)用韋達(dá)定理構(gòu)造方程

拔高練習(xí)

I.已知一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根為％=-2,電=5,寫出一個(gè)滿足要求的方程.

2.已知一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根為％=3+,%=3-77,寫出一個(gè)滿足要求的方程.

「解題課」用韋達(dá)定理求參數(shù)

能力目標(biāo)

□會(huì)利用韋達(dá)定理列方程

□會(huì)解含參方程組

□掌握降次法

拔高練習(xí)

1.已知關(guān)于X的方程丁+4工+。=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根X、出，且2為-電=7,求實(shí)數(shù)a的值.

3

2.已知為、“2是關(guān)于X的方程4/一（3機(jī)一5）工一6根2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且％=-512,

求利的值.

3.設(shè)左為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程/+衣+%+1=0的兩個(gè)實(shí)根分別為陽、%2,且

2

X]+2X2=k,求力的值.

「解題課」二次方程與代數(shù)式求值

能力目標(biāo)

□會(huì)根據(jù)已知解求參數(shù)

□會(huì)通過直接代入法、整體法或降次求值

拔高練習(xí)

I.已知0是關(guān)于X的二次方程（加一2）*2+3%+m2+26一8=0的解，求I嬴

?.直接代入

2.整體法

代數(shù)式~;的值.

m~一2m+13.降次

已知x=1是關(guān)于x的一元二次方程x2-4mx+m2=0的根，求代數(shù)式

2Mm_2）-（愣+6）（機(jī)-6）的值.

3.已知a是方程f-3x+l=0的一個(gè)解，求"一。2一5。+8的值.

「解題課」二次方程的整數(shù)解

能力目標(biāo)

□會(huì)根據(jù)整數(shù)解求參數(shù)

拔高練習(xí)

1.己知關(guān)于X的方程如2+（3w+1卜+3=0有兩個(gè)整數(shù)解，求整數(shù)機(jī).

攻略