2024屆四川省雅安市高三下學(xué)期高考沖刺熱身數(shù)學(xué)（文）模擬試題（四模）含解析

2024屆四川省雅安市高三下學(xué)期高考沖刺熱身數(shù)學(xué)（文）模擬試題（四模）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1．共同富裕是消除兩極分化和貧窮基礎(chǔ)上的普遍富裕．下列關(guān)于個(gè)人收入的統(tǒng)計(jì)量中，最能體現(xiàn)共同富裕要求的是（

）A．平均數(shù)小、方差大 B．平均數(shù)小、方差小C．平均數(shù)大、方差大 D．平均數(shù)大、方差小2．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．3．已知命題“”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．函數(shù)的大致圖象為（

）A． B． C． D．5．已知向量，則（

）A． B． C． D．6．已知，若，則（

）A． B． C． D．7．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（

）A． B． C． D．8．在區(qū)間隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則使得的概率為（

）A． B． C． D．9．如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，是的中位線，與交于點(diǎn)，已知是繞旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形﹐且平面.給出下列結(jié)論：①平面；②平面平面；③“直線直線”始終不成立.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（

）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③10．已知，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，若過(guò)的直線與圓相切，與在第一象限交于點(diǎn)，且軸，則的離心率為（

）A． B．3 C． D．11．在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．12．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a和b的可能取值為（

）A．， B．，C．， D．，第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案書寫在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的橫線上.13．已知復(fù)數(shù)滿足，則.14．已知實(shí)數(shù)，若，則的最小值為．15．已知圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則圓的方程為．16．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為“高斯函數(shù)”，例如：，.已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．?dāng)?shù)據(jù)顯示，中國(guó)在線直播用戶規(guī)模及在線直播購(gòu)物規(guī)模近幾年都保持高速增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，某線下家電商場(chǎng)為提升人氣和提高營(yíng)業(yè)額也開(kāi)通了在線直播，下表統(tǒng)計(jì)了該商場(chǎng)開(kāi)通在線直播的第x天的線下顧客人數(shù)y（單位：百人）的數(shù)據(jù)：x12345y1012151820(1)根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，計(jì)算變量y與x的相關(guān)系數(shù)r，并用r判斷兩個(gè)變量y與x相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱（精確到小數(shù)點(diǎn)后三位）；(2)根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，試求出該線性回歸方程并估計(jì)該商場(chǎng)開(kāi)通在線直播的第10天的線下顧客人數(shù)．（參考公式：相關(guān)系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：回歸方程：，其中，）18．在中，，且．(1)求的大??；(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的面積．條件①：為銳角；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．19．如圖，在三棱錐中，為邊上的一點(diǎn)，，，，.(1)證明：平面；(2)設(shè)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，試判斷三棱錐的體積是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出最大值；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．已知橢圓的右焦點(diǎn)是F，上頂點(diǎn)A是拋物線的焦點(diǎn)，直線的斜率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為M，當(dāng)時(shí)，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．21．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.（i）求；（ii）若，求整數(shù)的最大值.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線，經(jīng)過(guò)外一點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線分別相交于，如果成等比數(shù)列；(1)寫出曲線的極坐標(biāo)方程；(2)求的值.[選修4-5：不等式選講]23．設(shè)a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）證明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，證明：max{a，b，c}≥．1．D【分析】根據(jù)平均數(shù)與方差的含義即可求解．【詳解】平均數(shù)反映的是整體的平均水平，是一組數(shù)據(jù)的集中程度的刻畫，方差反映的是一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，方差越大說(shuō)明數(shù)據(jù)偏離平均水平的程度越大，所以最能體現(xiàn)共同富裕要求的是平均數(shù)大，方差?。蔬x：D．2．D【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合B，再利用補(bǔ)集、交集的定義求解即得.【詳解】依題意，，所以.故選：D3．A【分析】分離參數(shù)，求函數(shù)的最小值即可求解.【詳解】因?yàn)槊}“”為真命題，所以．令與在上均為增函數(shù)，故為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值，即，故選：A．4．B【分析】根據(jù)定義域、特殊值可以對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除，從而得到正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，故排除；又，故排除；，故排除D．故選：B．5．B【分析】根據(jù)題意先求出，然后由向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以．故選：B．6．C【分析】構(gòu)造奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算即可求解.【詳解】設(shè)，顯然它定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以為奇函數(shù)，，則，所以，.故選：C.7．B【分析】因?yàn)?，令，則，可以求出的公比，即可求出答案.【詳解】因?yàn)?，令，則，所以是首項(xiàng)和公比都為2的等比數(shù)列，所以.故選：B.8．C【分析】根據(jù)得出的區(qū)間長(zhǎng)度，再求出總區(qū)間長(zhǎng)度，利用幾何概型公式求得答案.【詳解】因?yàn)?，又，所以，，，即有時(shí)，成立，.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則使得的概率為.故選：C.9．B【分析】利用線面平行的判定判斷①；利用面面垂直的判定推理判斷②；舉例說(shuō)明判斷③.【詳解】菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，是的中位線，則，而平面，平面，因此平面，①正確；連接，由，得，而平面，則平面，又平面，因此平面平面，②正確；顯然是二面角的平面角，由繞旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，從逐漸減小到（不包含和），當(dāng)時(shí)，，平面，則平面，而平面，于是，③錯(cuò)誤，所以所有正確結(jié)論的序號(hào)為①②.故選：B10．D【分析】設(shè)，根據(jù)題意求得，又軸，可求得，利用，列式運(yùn)算得解.【詳解】如圖，設(shè)，圓的圓心為，半徑為，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，則，，，則，所以，因?yàn)檩S，所以易得，，化簡(jiǎn)得，即，解得，.故選：D.11．A【分析】取的中點(diǎn)，所以為二面角的平面角，過(guò)點(diǎn)作與平面垂直的直線，則球心在該直線上，設(shè)球的半徑為，在中利用余弦定理可得，從而可得外接球的表面積.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，由題意，，所以，所以為二面角的平面角，所以，因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切?，且，所以，為外接圓的圓心，又是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，過(guò)點(diǎn)作與平面垂直的直線，則球心在該直線上，設(shè)球的半徑為，連接，可得，在中，，利用余弦定理可得，所以，解得，所以外接球的表面積為.故選：A.12．D【分析】二次求導(dǎo)得到在上單調(diào)遞增，要想在上單調(diào)遞增，只需，A選項(xiàng)，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到單調(diào)性，求出，得到；B選項(xiàng)，；C選項(xiàng)，令，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，求出；D選項(xiàng)，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到單調(diào)性，得到，從而求出.【詳解】，且，且，，令，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，要想在上單調(diào)遞增，只需，即只需，A選項(xiàng)，令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即，故，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由于，故，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，令，，則恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，即，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，令，，則恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，即，故，D正確.故選：D比較大小或證明不等式常用的不等式放縮如下：，，，，等，根據(jù)不等式特征，選擇合適的函數(shù)進(jìn)行求解.13．【分析】利用復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由.故14．##【分析】由乘“1”的方法，利用基本不等式求最值.【詳解】由，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為為.故答案為.15．【分析】根據(jù)圓心與焦點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求得圓心坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上由直線與圓相交的弦長(zhǎng)求得圓的半徑.【詳解】由的焦點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以圓的圓心為，設(shè)半徑為，點(diǎn)C到直線的距離為d，則，所以，所以圓的方程為：，故答案是.16．【分析】由題意可得，數(shù)列構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求得，利用累加法求得，進(jìn)而得，利用裂項(xiàng)相消法可求得.【詳解】由，得.又，所以數(shù)列構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.又，累加得，即，所以.又因?yàn)闈M足上式，所以，所以.因?yàn)?，所以，即，所?故.所以.故答案為.17．(1)0.997，相關(guān)關(guān)系很強(qiáng).(2)，33.2百人.【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)及參考公式計(jì)算出相關(guān)系數(shù)，即可判斷；（2）首先求出回歸直線方程，再令求出即可得解.【詳解】（1）依題意可得，，

，

，

，

，，∴兩個(gè)變量與相關(guān)關(guān)系很強(qiáng).（2）因?yàn)?，，，，所以時(shí)（百人），故預(yù)估該商場(chǎng)開(kāi)通在線直播的第天的線下顧客人數(shù)為百人.18．(1)；(2)①，；③，.【分析】（1）根據(jù)得為銳角，從而根據(jù)的值得到的大?。唬?）②由正弦定理得，根據(jù)為銳角得，則存在且唯一確定，進(jìn)而得到，由得到的面積；③由正弦定理得邊，再根據(jù)得到，由得到的面積.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，由得?（2）選條件①：為銳角；由正弦定理即知，因?yàn)闉殇J角，所以，所以存在且唯一確定.，從而.選條件②：，由得，從而可能是銳角，也可能是鈍角，則不唯一，故不能選②；選條件③：，由，得，所以，，由正弦定理即得，，.19．(1)詳見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由，，，求得AC，進(jìn)而求得AM，然后利用余弦定理求得BM，從而得到，進(jìn)而得到，然后利用線面垂直的判定定理證明；（2）根據(jù)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，得到，從而有，由平面，得到平面平面，得到點(diǎn)P到平面ABC的距離，即為點(diǎn)P到BM的距離，再根據(jù)為定值，由高最大時(shí)，體積最大求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?，，，所以，由射影定理得，所以，由余弦定理得，所以，則，即，又因?yàn)?，，所以平面；?）因?yàn)辄c(diǎn)為邊的中點(diǎn)，所以，又，所以，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，所以點(diǎn)P到平面ABC的距離，即為點(diǎn)P到BM的距離，設(shè)為h，因?yàn)闉槎ㄖ?，?dāng)h最大時(shí)，所以三棱錐的體積最大，而，則，當(dāng)h=1時(shí)，.20．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，再由，可解橢圓方程；（2）由題意中角度分析可得，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理可解.【詳解】（1）由題意知，即，．從而,故橢圓；（2）∵在中，,且,從而由得,設(shè)，則，解得：或（舍去），所以直線l過(guò)定點(diǎn)．21．（1）在上增；在上減；（2）（i）；（ii）2【分析】（1）求導(dǎo)求出，對(duì)分類討論，求出的解，即可得出結(jié)論；（2）（i）由，求出的值；（ii）由（i）得所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，恒成立，設(shè)，，只需，根據(jù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即在上增；當(dāng)時(shí)，，，，，即在上增；在上減；（2）（i），.（ⅱ），即，即，只需.當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以滿足題意；當(dāng)時(shí)，，，，所以在上減，在上增，令，..在單調(diào)遞減，所以所以在上單調(diào)遞減，，綜上可知，整數(shù)的最大值為.本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值最值、不等式恒成立，考查分類討論思想，屬于中檔題.22．(1)(2)【分析】（1）由題意可得，代入，整理得，結(jié)合即可求解；（2）由題意可得直線的參數(shù)方程，代入曲線的方程，利用韋達(dá)定理表示，結(jié)合t的幾何意義和等比中項(xiàng)的應(yīng)用建立關(guān)于的方程，解之即可求解.【詳解】（1）由，得，代入方程，得，整理得，即曲線的普通方程為，所以曲線的極坐標(biāo)方程為，即.（2）因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為，所以直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入曲線：，得，設(shè)分別為對(duì)應(yīng)的參數(shù)，則，又成等比數(shù)列，所以，即，得，即，又點(diǎn)在點(diǎn)的同側(cè)，有，有，即，又，所以.23．（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）方法一：由結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得出證明；（2）方法一：不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，則．故原不等式成立．【詳解】（1）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法，.均不為，則，．［方法二］：消元法由得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，所以．［方法三］：放縮法方式1：由題意知，又，故結(jié)論得證．方式2：因?yàn)椋裕?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，所以．［方法四］：因?yàn)?，所以a，b，c必有兩個(gè)負(fù)數(shù)和一個(gè)正數(shù)，不妨設(shè)則.［方法五］：利用函數(shù)的性質(zhì)方式1：，令，二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖像開(kāi)口向下，又，所以，判別式，無(wú)根，所以，即．方式2：設(shè)，則有a，b，c三個(gè)零點(diǎn)，若，則為R上的增函數(shù)，不可能有三個(gè)零點(diǎn)，所以．（2）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，則．故原不等式成立．［方法二］：不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，且則關(guān)于x的方程有兩根，其判別式，即．故原不等式成立．［方法三］：不妨設(shè)，則，關(guān)于c的方程有解，判別式，則．故原不等