專題63 二次函數(shù)背景下的倍、半角角度問題（原卷版）-中考數(shù)學(xué)解題大招復(fù)習(xí)講義

例題精講例題精講【例1】．如圖1，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A，B兩點，其中點A的坐標(biāo)為（1，0），與y軸交于點C（0，﹣3）．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）點D為y軸上一點，如果直線BD與直線BC的夾角為15°，求線段CD的長度；（3）如圖2，連接AC，點P在拋物線上，且滿足∠PAB＝2∠ACO，求點P的坐標(biāo)．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+x+c交x軸于點A、點B，交y軸于點C．直線y＝﹣x+2經(jīng)過于點C、點B，（1）求拋物線的解析式；（2）點D為第一象限拋物線上一動點，過點D作y軸的平行線交線段BC于點E，交x軸于點Q，當(dāng)DE＝5EQ時，求點D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點M為第二象限拋物線上一動點，連接DM，DM交線段OC于點H，點F在線段OB上，連接HF、DF、DC、DB，當(dāng)HF＝，∠CDB＝2∠MDF時，求點M的坐標(biāo)．【例2】．如圖，直線y＝x+c與x軸交于點B（4，0），與y軸交于點C，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點B，C，與x軸的另一個交點為點A．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是直線BC下方的拋物線上一動點，求四邊形ACPB的面積最大時點P的坐標(biāo)；（3）若點M是拋物線上一點，請直接寫出使∠MBC＝∠ABC的點M的坐標(biāo)．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是拋物線上一點，設(shè)P點的橫坐標(biāo)為m．①當(dāng)點P在第一象限時，過點P作PD⊥x軸，交BC于點D，過點D作DE⊥y軸，垂足為E，連接PE，當(dāng)△PDE和△BOC相似時，求點P的坐標(biāo)；②請直接寫出使∠PBA＝∠ABC的點P的坐標(biāo)．【例3】．已知如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）交x軸于A、B兩點（A點在B點的左側(cè)），交y軸于點C．已知OA＝OC＝2OB．（1）求拋物線的解析式；（2）已知直線y＝2x+m，若直線與拋物線有且只有一個交點E，求△ACE的面積；（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使∠PAB＝∠EAC，若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．變式訓(xùn)練【變3-1】．如圖，已知：拋物線y＝a（x+1）（x﹣3）與x軸相交于A、B兩點，與y軸的交于點C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式的一般式．（2）若拋物線上有一點P，滿足∠ACO＝∠PCB，求P點坐標(biāo)．（3）直線l：y＝kx﹣k+2與拋物線交于E、F兩點，當(dāng)點B到直線l的距離最大時，求△BEF的面積．1．如圖，已知直線AB：y＝x﹣3與x、y軸分別交于A、B兩點；拋物線y＝x2﹣2x﹣m與y軸交于C點，與線段AB交于D、E兩點（D在E左側(cè)）（1）若D、E重合，求m值；（2）連接CD、CE，若∠BCD＝∠BEC，求m值；（3）連接OD，若OD＝CE，求m值．2．如圖①，拋物線y＝x2﹣（a+1）x+a與x軸交于A、B兩點（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于點C．已知△ABC的面積為6．（1）求這條拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達式；（2）在拋物線上是否存在一點P，使得∠POB＝∠CBO，若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖②，M是拋物線上一點，N是射線CA上的一點，且M、N兩點均在第二象限內(nèi)，A、N是位于直線BM同側(cè)的不同兩點．若點M到x軸的距離為d，△MNB的面積為2d，且∠MAN＝∠ANB，求點N的坐標(biāo)．3．如圖1，拋物線C1：y＝ax2+c的頂點為A，直線l：y＝kx+b與拋物線C1交于A，C兩點，與x軸交于點B（1，0），且OA＝2OB，S△OAC＝4．（1）求直線l的解析式；（2）求拋物線C1與x軸的交點坐標(biāo)；（3）如圖2，將拋物線C1向下平移m（m＞0）個單位得到拋物線C，且拋物線C的頂點為P，交x軸負半軸于點M，交射線BC于點N，NQ⊥x軸于點Q，當(dāng)NP平分∠MNQ時，求m的值．4．如圖，直線y＝x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸的另一個交點為C．（1）求拋物線的解析式；（2）點D是直線AB上方拋物線上的一動點，①求D到AB的距離最大值及此時的D點坐標(biāo)；②若∠DAB＝∠BAC，求D點的坐標(biāo)．5．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點C（0，4），連接AC、BC．（1）求拋物線的表達式；（2）D為拋物線上第一象限內(nèi)一點，求△DCB面積的最大值；（3）點P是拋物線上的一動點，當(dāng)∠PCB＝∠ABC時，求點P的坐標(biāo)．6．已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過點A（5，0）、B（﹣3，4），拋物線的對稱軸與x軸相交于點D．（1）求拋物線的表達式；（2）聯(lián)結(jié)OB、BD．求∠BDO的余切值；（3）如果點P在線段BO的延長線上，且∠PAO＝∠BAO，求點P的坐標(biāo)．7．拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0）和點B（2，0），與y軸交于點C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P是該拋物線上的動點，且位于y軸的左側(cè)．①如圖1，過點P作PD⊥x軸于點D，作PE⊥y軸于點E，當(dāng)PD＝2PE時，求PE的長；②如圖2，該拋物線上是否存在點P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，請求出所有點P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．8．如圖1，拋物線y＝ax2+c與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，P為x軸下方拋物線上一點，若OC＝2OA＝4．（1）求拋物線解析式；（2）如圖2，若∠ABP＝∠ACO，求點P的坐標(biāo)；（3）如圖3，點P的橫坐標(biāo)為1，過點P作PE⊥PF，分別交拋物線于點E，F(xiàn)．求點A到直線EF距離的最大值．9．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）M是拋物線上第一象限上的一點，連接AM，正好將△ABC的面積分成相等的兩部分，求M點的坐標(biāo)．（3）拋物線上是否存在點P，使∠PAB＝∠ABC，若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．10．如圖（1），拋物線y＝ax2+（a﹣5）x+3（a為常數(shù)，a≠0）與x軸正半軸分別交于A，B（A在B的右邊）．與y軸的正半軸交于點C．連接BC，tan∠BCO＝．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖（2），設(shè)拋物線的頂點為Q，P是第一象限拋物線上的點，連接PQ，AQ，AC，若∠AQP＝∠ACB，求點P的坐標(biāo)；（3）如圖（3），D是線段AC上的點，連接BD，滿足∠ADB＝3∠ACB，求點D的坐標(biāo)．11．如圖，拋物線y＝（x﹣3）（x﹣2a）交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），＝．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖①，連接BC，點P在拋物線上，且∠BCO＝∠PBA．求點P的坐標(biāo)；（3）如圖②，M是拋物線上一點，N為射線CB上的一點，且M、N兩點均在第一象限內(nèi)，B、N是位于直線AM同側(cè)的不同兩點，tan∠AMN＝2，點M到x軸的距離為2L，△AMN的面積為5L，且∠ANB＝∠MBN，請問MN的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．12.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3過點A（﹣3，0），B（1，0），與y軸交于點C，頂點為點D．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為直線CD上的一個動點，連接BC；①如圖1，是否存在點P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；②如圖2，點P在x軸上方，連接PA交拋物線于點N，∠PAB＝∠BCO，點M在第三象限拋物線上，連接MN，當(dāng)∠ANM＝45°時，請直接寫出點M的坐標(biāo)．13．如圖1，拋物線C：y＝ax2+bx經(jīng)過點A（﹣4，0）、B（﹣1，3）兩點，G是其頂點，將拋物線C繞點O旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線C′．（1）求拋物線C的函數(shù)解析式及頂點G的坐標(biāo)；（2）如圖2，直線l：y＝kx﹣經(jīng)過點A，D是拋物線C上的一點，設(shè)D點的橫坐標(biāo)為m（m＜﹣2），連接DO并延長，交拋物線C′于點E，交直線l于點M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AG、AB，在直線DE下方的拋物線C上是否存在點P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出點P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．14．已知拋物線y＝ax2+bx+5與x軸交于點A（1，0）和點B（5，0），頂點為M．點C在x軸的負半軸上，且AC＝AB，點D的坐標(biāo)為（0，3），直線l經(jīng)過點C、D．（1）求拋物線的表達式；（2）點P是直線l在第三象限上的點，聯(lián)結(jié)AP，且線段CP是線段CA、CB的比例中項，求tan∠CPA的值；（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)AM、BM，在直線PM上是否存在點E，使得∠AEM＝∠AMB？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．15．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸的負半軸交于點C，已知拋物線的對稱軸為直線x＝，B、C兩點的坐標(biāo)分別為B（2，0），C（0，﹣3）．點P為直線BC下方的拋物線上的一個動點（不與B、C兩點重合）．（1）求此拋物線的解析式；（2）如圖1，連接PB、PC得到△PBC，問是否存在著這樣的點P，使得△PBC的面積最大？如果存在，求出面積的最大值和此時點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．（3）如圖2，連接AP交線段BC于點D，點E為線段AD的中點，過點D作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，連接EM、EN，則在點P的運動過程中，∠MEN的大小是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，請說明理由．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E．（1）連接BD，點M是線段BD上一動點（點M不與端點B，D重合），過點M作MN⊥BD，交拋物線于點N（點N在對稱軸的右側(cè)），過點N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD于點F，點P是線段OC上一動點，當(dāng)MN取得最大值時，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，當(dāng)MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值時，把點P向上平移個單位得到點Q，連接AQ，把△AOQ繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中邊A′Q′交坐標(biāo)軸于點G．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q′的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．17．如圖所示，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象（記為拋物線L）與y軸交于點C，與x軸分別交于