4.2.1等差數(shù)列的概念（第1課時等差數(shù)列的概念及通項公式）課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

第四章數(shù)列

等差數(shù)列的概念第1課時等差數(shù)列的概念及通項公式人教A版

數(shù)學選擇性必修第二冊1.理解等差數(shù)列的概念,理解等差中項的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式,能運用公式解決相關(guān)問題.3.掌握等差數(shù)列的判斷與證明方法.課程標準基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過關(guān)知識點1等差數(shù)列一般地,如果一個數(shù)列從

起,每一項與它的前一項的差都等于

,那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的

,公差通常用字母

表示.

第2項同一個常數(shù)公差d名師點睛等差數(shù)列概念的理解(1)定義中強調(diào)“從第2項起”,因為第1項沒有前一項.(2)每一項與它的前一項的差必須是同一個常數(shù)(因為同一個常數(shù)體現(xiàn)了等差數(shù)列的基本特征).(3)公差d是每一項(從第2項起)與它的前一項的差,不要把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒.(4)公差可以是正數(shù)、負數(shù)、零.思考辨析已知a1,a2,a3,…,an是公差為d的等差數(shù)列,an,an-1,…,a2,a1也是等差數(shù)列嗎?如果是,試求出公差.提示

數(shù)列an,an-1,…,a2,a1是公差為-d的等差數(shù)列.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)常數(shù)列是等差數(shù)列.(

)(2)等差數(shù)列的公差不能為負數(shù).(

)(3)若一個數(shù)列從第2項起每一項與前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列.(

)(4)若數(shù)列{an}滿足an+1-an=1(n>1,n∈N*),則數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(

)√×××2.[蘇教版教材習題]已知下列數(shù)列是等差數(shù)列,試在括號內(nèi)填上適當?shù)臄?shù):(1)(

),5,10;(3)31,(

),(

),10.024173.[北師大版教材習題]全國統(tǒng)一鞋號中,成年男鞋共有14種尺碼,其中最小的尺碼是235mm,相鄰的兩個尺碼都相差5mm.把全部尺碼從小到大列出.解全部尺碼從小到大為235,240,245,250,255,260,265,270,275,280,285,290,295,300.4.判斷下列數(shù)列是不是等差數(shù)列.如果是,寫出首項a1和公差d.(1)1,3,5,7,9,…;(2)9,6,3,0,-3,…;(3)1,3,4,5,6,…;(4)7,7,7,7,7,…;解(1)是,a1=1,d=2;(2)是,a1=9,d=-3;(3)不是;(4)是,a1=7,d=0;(5)不是.知識點2等差中項由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時,

叫做a與b的等差中項.根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道,

.

任意兩個數(shù)均有等差中項且唯一

A

2A=a+b思考辨析1.a與b的等差中項即為a和b的平均數(shù),這種說法正確嗎?2.在數(shù)列{an}中,當n≥2時,an是an-1和an+1的等差中項,那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎?為什么?提示

正確.提示是.當n≥2時,因為an是an-1和an+1的等差中項,所以an-an-1=an+1-an,由等差數(shù)列的定義知數(shù)列{an}是等差數(shù)列.自主診斷[北師大版教材習題]求下列各題中兩個數(shù)的等差中項.(1)100與180;(2)-2與6.知識點3等差數(shù)列的通項公式首項為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的通項公式為

.

名師點睛1.等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于三個基本量a1,d和n的表達式,所以由首項a1和公差d可以求出數(shù)列中的任意一項.2.等差數(shù)列的通項公式可以推廣為an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差數(shù)列中的任意兩項,就可以求出其他的任意一項.an=a1+(n-1)d思考辨析觀察等差數(shù)列的通項公式,從函數(shù)的角度來看,an是n的哪一類函數(shù)?提示

當d=0時,an是n的常函數(shù);當d≠0時,an是n的一次函數(shù).自主診斷1.若數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1-an=1,則數(shù)列{an}的通項公式為an=(

)A.n2+1

B.-n+3D解析

因為an+1-an=1,所以{an}是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列,所以an=2+(n-1)·1=n+1.故選D.2.[蘇教版教材例題]在等差數(shù)列{an}中,(1)已知a1=3,公差d=-2,求a6;(2)已知a3=10,a9=28,求an.解

(1)由等差數(shù)列的通項公式,得a6=3+(6-1)×(-2)=-7.(2)設等差數(shù)列的公差為d,那么

重難探究·能力素養(yǎng)速提升重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一等差數(shù)列的通項公式及其應用【例1】

(1)已知數(shù)列{an}是首項為2,公差為4的等差數(shù)列,若an=2022,則n=(

)A.504 B.505

C.506

D.507C解析

根據(jù)題意,數(shù)列{an}是首項a1=2,公差d=4的等差數(shù)列,則an=a1+(n-1)d=4n-2,若an=2

022,則有4n-2=2

022,解得n=506.(2)在等差數(shù)列40,37,34,…中,第一個負數(shù)項是(

)A.第13項

B.第14項C.第15項

D.第16項C解析

設數(shù)列為{an},則由已知得首項a1=40,公差d=-3,所以an=40-3(n-1)=43-3n.令an=43-3n<0,解得n>.因為n∈N*,所以n≥15,即第一個負數(shù)項是第15項.(3)[人教B版教材例題]已知等差數(shù)列10,7,4,….①求這個數(shù)列的第10項;②-56是不是這個數(shù)列中的項?-40呢?如果是,求出是第幾項;如果不是,說明理由.解①記數(shù)列為{an},則由題意知a1=10,公差d=7-10=-3,因此數(shù)列的通項公式為an=10+(n-1)×(-3)=-3n+13.當n=10時,有a10=-3×10+13=-17,因此第10項為-17.②設-56是數(shù)列中的第n項,則-3n+13=-56,解得n=23,所以-56是數(shù)列的第23項.設-40是數(shù)列中的第k項,則-3k+13=-40,解得k=?N*,由此可知-40不是此數(shù)列中的項.規(guī)律方法

等差數(shù)列通項公式的求法與應用技巧(1)等差數(shù)列的通項公式可由首項與公差確定,所以要求等差數(shù)列的通項公式,只需求出首項與公差.(2)等差數(shù)列{an}的通項公式an=a1+(n-1)d中共含有四個參數(shù),即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三個數(shù),那么就可以由通項公式求出第四個數(shù),這一求未知量的過程,我們通常稱為“知三求一”.(3)等差數(shù)列{an}的通項公式可變形為an=dn+(a1-d),當d≠0時,可把an看作自變量為n的一次函數(shù).變式訓練1在等差數(shù)列{an}中,求解下列各題:(2)已知a3=0,a7-2a4=-1,則公差d=

;

1010(3)已知a1=3,an=21,d=2,則n=

.解析

由a1=3,an=21,d=2,則an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=21,解得n=10.探究點二等差中項及其應用【例2】

(1)若一個三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列,且最小內(nèi)角為30°,則最大內(nèi)角的度數(shù)是(

)A.120° B.90° C.80°

D.60°B(3)[人教B版教材例題]如圖所示,已知某梯子共有5級,從上往下數(shù),第1級的寬為35cm,第5級的寬為43cm,且各級的寬度從小到大構(gòu)成等差數(shù)列{an},求其余3級的寬度.解

由題知a1,a3,a5成等差數(shù)列,所以2a3=a1+a5=35+43=78,即a3=39.類似地,有2a2=a1+a3=35+39=74,2a4=a3+a5=39+43=82,所以a2=37,a4=41.因此,其余3級的寬度分別為37

cm,39

cm,41

cm.規(guī)律方法

等差中項的應用策略(1)求兩個數(shù)x,y的等差中項A,根據(jù)等差中項的定義得A=.(2)證明三項成等差數(shù)列,只需證明中間一項為兩邊兩項的等差中項即可,即若a,b,c成等差數(shù)列,則a+c=2b;反之,若a+c=2b,則a,b,c成等差數(shù)列.變式訓練2(1)等差數(shù)列1,2a,4a2,…的第5項等于(

)B解析

因為1,2a,4a2,…成等差數(shù)列,所以4a=1+4a2,解得a=,所以這個等差數(shù)列的每一項均為1.故選B.(2)已知△ABC中三邊a,b,c成等差數(shù)列,也成等差數(shù)列,則△ABC的形狀為

.

等邊三角形

探究點三等差數(shù)列的判斷與證明角度1.等差數(shù)列的判斷【例3-1】

[北師大版教材例題]判斷下面數(shù)列是否為等差數(shù)列.(1)an=2n-1;(2)an=(-1)n.解

(1)由an=2n-1,得an+1=2(n+1)-1,于是an+1-an=[2(n+1)-1]-(2n-1)=2.由n的任意性知,這個數(shù)列是等差數(shù)列.(2)a2-a1=1-(-1)=2,a3-a2=-1-1=-2.因為a2-a1≠a3-a2,所以這個數(shù)列不是等差數(shù)列.規(guī)律方法

用定義法判定數(shù)列{an}是不是等差數(shù)列的基本步驟(1)作差an+1-an;(2)對差式進行變形;(3)當an+1-an是一個與n無關(guān)的常數(shù)時,數(shù)列{an}是等差數(shù)列;當an+1-an不是常數(shù),而是與n有關(guān)的代數(shù)式時,數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.變式訓練3判斷下列數(shù)列是不是等差數(shù)列.(1)在數(shù)列{an}中,an=3n+2;(2)在數(shù)列{an}中,an=n2+n.解(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3,故該數(shù)列為等差數(shù)列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故該數(shù)列不是等差數(shù)列.★角度2.等差數(shù)列的證明

(1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項公式.規(guī)律方法

證明等差數(shù)列的方法(1)定義法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N*)?數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(2)等差中項法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)等差數(shù)列的概念,等差中項的概念.(2)等差數(shù)列通項公式的推導.(3)等差數(shù)列通項公式的應用.(4)利用定義判斷或證明等差數(shù)列.2.方法歸納:定義法、列方程組法、累加法、公式法.3.常見誤區(qū):(1)等差數(shù)列的下標的取值范圍易出錯;(2)誤認為等差數(shù)列通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù).學以致用·隨堂檢測促達標12341.(多選題)下列數(shù)列中,是等差數(shù)列的是(

)A.1,4,7,10 B.lg2,lg4,lg8,lg16C.25,24,23,22

D.10,8,6,4,2ABD解析

選項A,B,D滿足等差數(shù)列的定義,是等差數(shù)列;選項C中,因為24-25≠23-24,不滿足等差數(shù)列的定義,