第16講重難點拓展不等式恒成立能成立問題（三大題型歸納分層練）

第16講重難點拓展：不等式恒成立、能成立問題目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01在R上的恒成立問題 2題型02在給定區(qū)間上恒成立的問題 4題型03簡單的能成立問題 6分層練習 8夯實基礎 8能力提升 14創(chuàng)新拓展 20題型01在R上的恒成立問題【解題策略】轉化為一元二次不等式解集為R的情況，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0；))ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ≤0；))ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))注意：若題目中未強調(diào)是一元二次不等式，且二次項系數(shù)含參，則一定要討論二次項系數(shù)是否為0.【典例分析】【例1】(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解(1)當k＝0時，原不等式化為－2<0，顯然符合題意．當k≠0時，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立，∴其圖象都在x軸的下方，即開口向下，且與x軸無交點．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,4k2＋4kk＋2<0，))解得－1<k<0.綜上，實數(shù)k的取值范圍是{k|－1<k≤0}．(2)原不等式可化為x2－2x＋a2－3a－3≥0，∵該不等式對任意實數(shù)x恒成立，∴Δ≤0，即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，解得a≤－1或a≥4，∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤－1或a≥4}．【變式演練】【變式1】若關于x的不等式kx2＋3kx＋k－2>0的解集為?，則實數(shù)k的取值范圍是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)≤k<0)))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)≤k<0))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)≤k≤0)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)≤k≤0))))答案D解析∵kx2＋3kx＋k－2>0的解集為?，∴kx2＋3kx＋k－2≤0的解集為R，當k＝0時，－2≤0恒成立，符合題意；當k≠0時，需滿足k<0且9k2－4k(k－2)＝5k2＋8k≤0，得－eq\f(8,5)≤k<0，綜上，k的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)≤k≤0)))).【變式2】（2324高一上·安徽亳州·期末）若關于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】由一元二次不等式的解集為，可知二次函數(shù)開口向上，判別式小于0，解得即可.【詳解】當時，，，不滿足題意；當時，,所以，綜上，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【變式3】（2324高一下·四川成都·開學考試）已知函數(shù)．(1)若關于x的不等式的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍；(2)解關于x的不等式．【答案】(1),(2)答案見解析【分析】（1）由題意可知，進而求出實數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)和兩種情況討論，結合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）若不等式的解集為R，則，解得，即實數(shù)的取值范圍,；（2）不等式，①當時，即時，不等式的解集為，②當時，即或時，由，解得或，所以不等式的解集為，綜上所述，當時，不等式的解集為；當或時，不等式的解集為題型02在給定區(qū)間上恒成立的問題【解題策略】在給定區(qū)間上的恒成立問題(1)當a>0時，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β時的函數(shù)值同時小于0；當a<0時，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β時的函數(shù)值同時大于0.(2)通過分離參數(shù)將不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值問題【典例分析】【例2】當1≤x≤2時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為________．答案{m|m<－5}解析令y＝x2＋mx＋4.∵y<0在1≤x≤2上恒成立．∴y＝0的根一個小于1，另一個大于2.如圖，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋5<0，,4＋2m＋4<0.))∴m的取值范圍是{m|m<－5}．【變式演練】【變式1】（2324高一上·江蘇揚州·期中）若，使恒成立，則的取值范圍為【答案】【分析】參變分離可得，使恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出，即可得解.【詳解】因為，使恒成立，所以，使恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，即的取值范圍為.故答案為：【變式2】設函數(shù)y＝mx2－mx－1,1≤x≤3，若y<－m＋5恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(6,7)))))解析y<－m＋5在1≤x≤3上恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，∵x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴m<eq\f(6,x2－x＋1).令t＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))，t在1≤x≤3上的最小值為eq\f(6,7)，∴只需m<eq\f(6,7)即可．故實數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(6,7))))).【變式3】若對任意的－3≤x≤－1都有ax2－x－3<0成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．答案{a|a<0}解析ax2－x－3<0在－3≤x≤－1上恒成立，等價于a<eq\f(x＋3,x2)＝eq\f(3,x2)＋eq\f(1,x)在－1≤eq\f(1,x)≤－eq\f(1,3)上恒成立，令m＝eq\f(1,x)，即a<3m2＋m在－1≤m≤－eq\f(1,3)上恒成立，二次函數(shù)y＝3m2＋m的對稱軸為m＝－eq\f(1,6)，所以當m＝－eq\f(1,3)時，y有最小值0，故a<0.題型03簡單的能成立問題【解題策略】能成立問題的解題思路(1)結合二次函數(shù)圖象，將問題轉化為端點值的問題解決；(2)對一些簡單的問題，可轉化為m>ymin或m<ymax的形式，通過求y的最小值與最大值，求得參數(shù)的取值范圍【典例分析】【例3】若存在x∈R，使得eq\f(4x＋m,x2－2x＋3)≥2成立，求實數(shù)m的取值范圍．解∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，∴m≥2x2－8x＋6能成立，令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴m≥－2，∴m的取值范圍為{m|m≥－2}．【變式演練】【變式1】若關于x的不等式ax2＋x＋1>0在x∈[1,2]上有解，則實數(shù)a的取值范圍為________．答案(－2，＋∞)解析由ax2＋x＋1>0，得ax2>－x－1，因為x∈[1,2]，所以a>－eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)有解，令eq\f(1,x)＝t，則t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所以a>－t2－t，即a>－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)，因為當t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))時，y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)的最小值為－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)＝－2，所以a>－2.【變式2】（2324高一上·廣東惠州·階段練習）若存在，使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】將存在，使得不等式成立轉化為存在，使得不等式成立，然后根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求最小值即可得到的范圍.【詳解】因為存在，使得不等式成立，所以存在，使得不等式成立，令，因為對稱軸為，所以當時，函數(shù)取得最小值為，所以．故答案為：【變式3】（2023高一·全國·單元測試）若存在實數(shù)，使得不等式成立，求x的取值范圍．【答案】或【分析】原不等式可化為.設，根據(jù)的符號討論，結合一次函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案.【詳解】原不等式可化為.設，當時，恒成立，滿足題意；當時，恒成立，不滿足題意；當時，函數(shù)單調(diào)遞增，要使不等式成立，則應有，即有，解得，或；當時，函數(shù)單調(diào)遞減，要使不等式成立，則應有，即有，解得，.綜上所述，x的取值范圍為或.【夯實基礎】一、單選題1．（2223高一上·甘肅金昌·期中）關于的不等式的解集是，則關于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得且，不等式等價于，即可解決.【詳解】由題知，不等式的解集是，所以且，因為可變?yōu)?，所以，所以，所以不等式的解集是，故選：C.2．（2324高一上·黑龍江牡丹江·期中）若不等式對恒成立，則實數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】解不等式，轉化為不等式的解集為的子集可得答案.【詳解】解不等式得，不等式對恒成立，，可得，解得，根據(jù)選項可得只有C選項符合.故選：C.3．（2223高一上·湖北荊州·階段練習）若關于x的不等式在上有實數(shù)解，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式與二次函數(shù)的關系，求解恒成立時的范圍，即可根據(jù)命題的否定求解原問題的范圍.【詳解】若關于x的不等式在上沒有實數(shù)解，則對任意的，恒成立，記，則，解得，因此關于x的不等式在上有實數(shù)解，則，故選：A4．（2324高一上·重慶·期末）函數(shù)的定義域為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得恒有成立，結合二次不等式恒成立性質(zhì)對進行分類討論進行求解即可.【詳解】由題意得恒成立，當時,恒成立，滿足題意；當時,,解得,綜上.故選:C.二、多選題5．（2324高一上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）命題“”是真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】先將恒成立問題轉化為最值問題求出的范圍，然后利用充分不必要條件的概念選擇答案.【詳解】，則對都成立，又，所以，觀察選項可得命題“”是真命題的一個充分不必要條件是BCD.故選：BCD.6．（2324高一上·湖北·期末）設，不等式恒成立的充分不必要條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用一元二次不等式的解法分類討論計算得的范圍，再結合充分不必要條件的定義即可.【詳解】當時，不等式為，滿足題意；當時，則必有且，解之得，綜上a的取值范圍為，顯然及均為的真子集，即選項B，C滿足條件．故選：BC三、填空題7．（2324高一上·山東濱州·期末）一元二次不等式對于一切實數(shù)都成立，實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】利用二次不等式恒成立的條件得到關于的不等式組，解之即可得解.【詳解】因為是一元二次不等式，所以，又對一切實數(shù)成立，所以，解得，則的取值范圍是.故答案為：.8．（2324高一上·河北承德·期末）若不等式對一切實數(shù)都成立，則的取值范圍為.【答案】【分析】分，和三種情況討論不等式，列式求解.【詳解】當時，，不等式成立.當時，二次函數(shù)的圖象開口向上，不等式不可能恒成立.當時，二次函數(shù)的圖象開口向下，若不等式對一切實數(shù)都成立，則，解得.綜上，的取值范圍為.故答案為：9．（2324高一上·山東淄博·階段練習）不等式對任意恒成立，則m的取值范圍為．【答案】【分析】分類討論，結合一元二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】當時，不等式為，顯然成立；當時，記，為二次函數(shù)，對稱軸為，當時，由，得，由題意得，解得；當時，由，得，由題意得，解得，綜上，.故答案為：.四、解答題10．（2324高一上·云南德宏·期末）已知．(1)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由恒成立，即恒成立，即得，從而可求解.（2）由即，然后對分情況討論，從而可求解.【詳解】（1）∵恒成立，∴對恒成立，故，化簡得，解得，故實數(shù)的取值范圍.（2），即；當時，不等式的解為或，當時，不等式的解為或，當時，不等式的解為.11．（2324高一上·安徽蕪湖·期末）設函數(shù)，關于的一元二次不等式的解集為．(1)求不等式的解集；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2)．【分析】（1）利用韋達定理求參數(shù)后再解不等式即可.（2）對變量范圍進行討論，分離參數(shù)法求解參數(shù)即可.【詳解】（1）因為一元二次不等式的解集為，所以和1是方程的兩個實根，則，解得．因此所求不等式即為：，解集為或．（2）可化為：，當時顯然成立；當時，對恒成立，令，則，當，即時，所以，即【能力提升】一、單選題1．（2324高一上·安徽安慶·期末）“關于的不等式對上恒成立”的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分、兩種情況討論，在時，直接驗證即可；在時，根據(jù)題意可得出關于實數(shù)的不等式組，綜合可得出實數(shù)的取值范圍，再根據(jù)必要不充分條件求解.【詳解】當時，則有，解得，不合題意；當時，則，解得.綜上所述，關于的不等式對上恒成立”的充要條件為，所以一個必要不充分條件是.故選：A.2．（2324高一上·河南·期中）“，”為假命題的一個充分不必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】存在量詞命題的否定是全稱命題，由存在量詞命題是假命題，則其否定是真命題，轉化為恒成立問題求解，分離參數(shù)求解最值即可得充要條件.【詳解】“，”為假命題“，”為真命題，所以恒成立，設，由，則，故“，”為真命題.選項A，，即是“，”為假命題的一個既不充分又不必要條件，故A不正確；選項B，因為，但，所以是“，”為真命題的一個充分不必要條件，故B正確，選項C，是“，”為真命題的一個充要條件，故C不正確；選項D，，是“，”為真命題的一個必要條件不充分條件，故D不正確.故選：B．3．（2324高一上·四川內(nèi)江·期中）“”是“，”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先根據(jù)恒成立問題求參，再結合充分必要的定義判斷即可?！驹斀狻?可得單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，,所以,所以.不能推出,可以得出，是的必要不充分條件.故選：B.4．（2122高一上·江蘇徐州·階段練習）若對于任意，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析運算即可得解.【詳解】由題意，對于都有成立，∴，解得：，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B二、多選題5．（2324高一上·四川廣安·期末）“，”為真命題的充分條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】變形得到，恒成立，由基本不等式求出的最小值，從而得到，分析四個選項，得到AB滿足要求.【詳解】，恒成立，其中，當且僅當，即時，等號成立，故，由于和均為的真子集，故AB正確，CD不合要求.故選：AB6．（2324高一下·河北石家莊·開學考試）若命題“，”是假命題，則k的值可能為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】AB【分析】根據(jù)條件，將問題轉化成恒成立問題，再分和兩種情況討論，即可求出結果.【詳解】由題知，是真命題，當，即時，恒成立，時，不恒成立；當時，，解得，綜上得，故選：AB.三、填空題7．（2324高一上·天津濱海新·階段練習）已知函數(shù)，若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口方向，得到，求出答案.【詳解】開口向下，要想在上恒成立，只需，解得，故實數(shù)的取值范圍是故答案為：8．（2324高一下·上海閔行·階段練習）已知函數(shù)對任意實數(shù)都有成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】討論二次項系數(shù)結合判別式列不等式求解即可.【詳解】由題意知當時，符合題意；當時，則則實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.9．（2324高一上·江蘇無錫·階段練習）若是假命題，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】或【分析】根據(jù)給定，利用一元二次不等式恒成立求出的范圍，再求其補集得解.【詳解】若原命題為真，由，即，得，解得，所以該命題為假，故實數(shù)的取值范圍是或.故答案為：或四、解答題10．已知對?x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范圍．解由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1，因為x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0，所以m(x2－x)<1可化為m<eq\f(1,x2－x)，因為x2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)≤6，所以eq\f(1,x2－x)≥eq\f(1,6)，所以m<eq\f(1,6).即m的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(1,6))))).11．已知函數(shù)y＝mx2－mx－6＋m，若對于1≤m≤3，y<0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．解y<0?mx2－mx－6＋m<0?(x2－x＋1)m－6<0.∵1≤m≤3，∴x2－x＋1<eq\f(6,m)恒成立，∴x2－x＋1<eq\f(6,3)?x2－x－1<0?eq\f(1－\r(5),2)<x<eq\f(1＋\r(5),2).∴x的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)<x<\f(1＋\r(5),2))))).12．（2324高一下·江西上饒·開學考試）已知不等式.(1)若不等式的解集是或，求的值；(2)若不等式的解集是，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由一元二次不等式的性質(zhì)可知方程的兩根為，再由韋達定理可解.（2）由二次函數(shù)的性質(zhì)可得關于的不等式組，解出即可.【詳解】（1）由題意可知方程的兩個根分別為，由韋達定理可知，解得，經(jīng)檢驗滿足題設.（2）若不等式的解集是，即恒成立，則滿足，解得【創(chuàng)新拓展】一、單選題1．（2223高一上·江西宜春·階段練習）已知二次函數(shù)，若，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結合二次函數(shù)的圖象列不等式，解不等式即可.【詳解】根據(jù)題意可得，解得.故選：D.二、填空題2．（2021高一