6.4.3用頻率分布直方圖估計(jì)總體分布課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

第6章統(tǒng)計(jì)學(xué)初步用頻率分布直方圖估計(jì)總體分布湘教版

數(shù)學(xué)

必修第一

冊(cè)課標(biāo)要求1.能夠根據(jù)所給具體數(shù)據(jù),作出頻率分布表,畫頻率分布直方圖.2.能夠利用頻率分布直方圖估計(jì)總體分布的數(shù)字特征.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)用頻率分布直方圖估計(jì)總體分布根據(jù)平均數(shù)的意義可知,樣本平均數(shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和,從而在頻率分布直方圖中,樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.這樣我們就可近似估計(jì)樣本的平均數(shù).根據(jù)中位數(shù)的意義可知,在樣本中,有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù),也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù).因此,在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等,由此可估計(jì)樣本中位數(shù)的值.根據(jù)眾數(shù)的意義可知,可將頻率分布直方圖中最高矩形所在區(qū)間的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)作為樣本眾數(shù)的估計(jì)值.名師點(diǎn)睛樣本的頻率分布直方圖與總體的關(guān)系(1)隨機(jī)抽樣得到的樣本的頻率分布直方圖是總體分布的近似.(2)由抽樣的隨機(jī)性可以想到,如果隨機(jī)抽取另一個(gè)樣本,所形成的樣本頻率分布直方圖會(huì)與前一個(gè)樣本的頻率分布直方圖有所不同.過關(guān)自診一個(gè)容量為80的樣本中數(shù)據(jù)的最大值是140,最小值是51,組距是10,則應(yīng)將樣本數(shù)據(jù)分為(

)A.10組

B.9組

C.8組

D.7組B重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一頻率分布直方圖的繪制【例1】

某高校在2024年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī),按成績(jī)分組,得到的頻率分布表如下:分?jǐn)?shù)分段頻數(shù)頻率[160,165)50.05[165,170)①0.35[170,175)30②[175,180)200.20[180,185]100.10合計(jì)1001.00(1)請(qǐng)先求出頻率分布表中①②處應(yīng)填寫的數(shù)據(jù),并完成如圖所示的頻率分布直方圖;(2)為了選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在筆試成績(jī)高的第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,求第3,4,5組每組各應(yīng)抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試.解

(1)由題意可知,第2組的頻數(shù)為0.35×100=35,頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)律方法

繪制頻率分布直方圖應(yīng)注意的問題在繪制出頻率分布表后,畫頻率分布直方圖的關(guān)鍵就是確定小矩形的高.一般地,頻率分布直方圖中兩坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度是不一致的,合理的定高方變式訓(xùn)練1為增強(qiáng)市民節(jié)能環(huán)保意識(shí),某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者,現(xiàn)從符合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽取100名志愿者,他們的年齡情況如下表所示:分組(單位:歲)頻數(shù)頻率[20,25)50.05[25,30)①0.20[30,35)35②[35,40)300.30[40,45]100.10合計(jì)1001.00(1)頻率分布表中的①②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)?(2)補(bǔ)全如圖所示的頻率分布直方圖.解

(1)設(shè)年齡在[25,30)歲的頻數(shù)為x,年齡在[30,35)歲的頻率為y.解得x=20,y=0.35,故①處應(yīng)填20,②處應(yīng)填0.35.(方法2)由題意得5+x+35+30+10=100,0.05+0.20+y+0.30+0.10=1,解得x=20,y=0.35,故①處填20,②處填0.35.(2)由頻率分布表知年齡在[25,30)歲的頻率是0.20,組距是5,補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示.探究點(diǎn)二頻率分布直方圖的應(yīng)用1.求頻率分布直方圖縱坐標(biāo)中的參數(shù)【例2】

某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng),為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)情況,從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù),滿分為100分)作為樣本(樣本容量為n)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出如圖所示的頻率分布直方圖,但由于不慎丟失了部分?jǐn)?shù)據(jù).已知得分在[50,60)的有8人,在[90,100)的有2人,由此推測(cè)頻率分布直方圖中的x=(

)A.0.04 B.0.03

C.0.02

D.0.01B解析

得分在[50,60)的有8人,在[90,100)的有2人,由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知(0.004+0.010+0.016+x+0.040)×10=1,解得x=0.03.故選B.規(guī)律方法

由于頻率分布直方圖中的縱坐標(biāo)為

,因此涉及縱坐標(biāo)中含參數(shù)問題,應(yīng)根據(jù)頻率之和為1列式求解.2.根據(jù)頻率分布直方圖求樣本數(shù)據(jù)在某一區(qū)間內(nèi)的頻率(數(shù))【例3】

在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)后,將參加考試的500名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)制成頻率分布直方圖(如圖),則在該次測(cè)驗(yàn)中成績(jī)不低于100分的學(xué)生人數(shù)是(

)A.210

B.205

C.200

D.195C解析

由頻率分布直方圖,得在該次測(cè)驗(yàn)中成績(jī)不低于100分的學(xué)生的頻率為1-(0.012+0.018+0.030)×10=0.4,則在該次測(cè)驗(yàn)中成績(jī)不低于100分的學(xué)生人數(shù)為500×0.4=200.故選C.規(guī)律方法

根據(jù)頻率分布直方圖(表)求樣本數(shù)據(jù)在某一區(qū)間內(nèi)的頻率就是樣本數(shù)據(jù)在該區(qū)間內(nèi)的各組頻率的和,而求解相應(yīng)的頻數(shù)要用頻率乘以樣本容量.3.根據(jù)頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)【例4】

對(duì)某小區(qū)100戶居民的月均用水量進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到樣本的頻率分布直方圖如圖,則估計(jì)此樣本的眾數(shù)、中位數(shù)分別為(

)A.2.25,2.5 B.2.25,2.02C.2,2.5 D.2.5,2.25B解析

眾數(shù)是指樣本中出現(xiàn)頻率最高的數(shù),在頻率分布直方圖中通常取頻率最大的組區(qū)間的組中值,所以眾數(shù)為

=2.25,中位數(shù)是頻率為0.5的分界點(diǎn),由頻率分布直方圖可知前4組的頻率和為(0.08+0.16+0.30+0.44)×0.5=0.49,因此中位數(shù)出現(xiàn)在第5組,設(shè)中位數(shù)為x,則(x-2)×0.5=0.01,則x=2.02,故選B.規(guī)律方法

1.眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中,就是最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).2.中位數(shù):中位數(shù)在頻率分布直方圖左右兩邊直方圖的面積應(yīng)相等,也就是累積頻率為0.5時(shí)對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù),求解時(shí)常借助比例法求解.變式訓(xùn)練2某校為了解高二年級(jí)學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的分布情況,從該年級(jí)的1120名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī),發(fā)現(xiàn)都在[80,150]內(nèi),現(xiàn)將這100名學(xué)生的成績(jī)按照[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分組后,得到的頻率分布直方圖如圖所示,則下列說法正確的是(

)A.頻率分布直方圖中a的值為0.040B.樣本數(shù)據(jù)低于130分的頻率為0.3C.總體的中位數(shù)(保留1位小數(shù))估計(jì)為123.3分D.總體分布在[90,100)的頻數(shù)一定與總體分布在[100,110)的頻數(shù)相等C解析

由頻率分布直方圖得(0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,解得a=0.030,故A錯(cuò)誤;樣本數(shù)據(jù)低于130分的頻率為1-(0.025+0.005)×10=0.7,故B錯(cuò)誤;[80,120)的頻率為(0.005+0.010+0.010+0.015)×10=0.4,[120,130)的頻率為0.030×10=0.3,故總體的中位數(shù)(保留1位小數(shù))估計(jì)為120+×10≈123.3(分),故C正確;樣本分布在[90,100)的頻數(shù)一定與樣本分布在[100,110)的頻數(shù)相等,總體分布在[90,100)的頻數(shù)不一定與總體分布在[100,110)的頻數(shù)相等,故D錯(cuò)誤.故選C.4.根據(jù)頻率分布直方圖求方差【例5】

從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量表得如下頻率分布直方圖.根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的組中值作代表).解

質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為

=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.規(guī)律方法

根據(jù)頻率分布直方圖求一組數(shù)據(jù)的方差的方法:先利用組中值乘以頻率(即每組矩形的面積)求和得

,再將平均數(shù)減去每組的組中值平方后乘以該組的頻率求和.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)1234561.某地一種植物一年生長(zhǎng)的高度如下表:高度/cm[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]棵數(shù)2030804030則該植物一年生長(zhǎng)在[30,40)內(nèi)的頻率是(

)A.0.80 B.0.65

C.0.40 D.0.25C解析

由頻率含義可計(jì)算其結(jié)果.由頻率的定義得80÷(20+30+80+40+30)=0.40.1234562.(多選題)下列說法正確的是(

)A.頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的高就是該組的頻率B.頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形的面積之和等于1C.頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形的寬一樣大D.頻數(shù)分布直方圖中每個(gè)長(zhǎng)方形的高就是該組的頻數(shù)BCD1234563.[2024甘肅慶陽(yáng)?？紝W(xué)業(yè)考試]某地發(fā)起“尋找綠色合伙人——低碳生活知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng),選取了n人參與問卷調(diào)查,將他們的成績(jī)進(jìn)行適當(dāng)分組后,得到如圖所示的頻率分布直方圖,且成績(jī)落在[90,100]內(nèi)的人數(shù)為10,則n=(

)A.60 B.80

C.100

D.120C123456解析

由題圖可知,10×(0.006+0.012+0.02+0.032+0.02+m)=1,解得m=0.01,則成績(jī)?cè)赱90,100]內(nèi)的頻率為0.1.由0.1n=10,得n=100.故選C.1234564.為了了解某地區(qū)10000名高三男生的身體發(fā)育情況,抽查了該地區(qū)100名年齡為17~18歲的高三男生體重(單位:kg),得到頻率分布直方圖如圖.根據(jù)圖示,請(qǐng)你估計(jì)該地區(qū)高三男生中體重在[56.5,64.5]的學(xué)生人數(shù)是(

)A.40 B.400C.4000 D.4400C123456解析

依題意得,該地區(qū)高三男生中體重在[56.5,64.5]的學(xué)生人數(shù)是10

000×(0.03+2×0.05+0.07)×2=4

000.123