高中數(shù)學新教材人教A版選擇性必修培優(yōu)練習：31 離散型隨機變量及其分布列（學生版+解析版）

專題31離散型隨機變量及其分布列

一、單選題

1.（2020?陜西高二期末（理））已知隨機變量X的分布列如下，則”=（）

X0123

111

pp

1236

2.（2020.南京市臨江高級中學高二期中）下表是離散型隨機變量X的分布列，則常數(shù)。的值是（）

X3459

a1]_j_

p—Fd

2626

3.（2020?重慶北倍西南大學附中高二月考）已知隨機變量。的分布列為PC=4）=7力匕（4=1,2,3,4,5）,

則實數(shù)加=（）

111D.±

A.-B.—c.—

5101520

4.（2020?陜西高二期末（理））若隨機變量X的分布列如下:

X-3-20123

p0.10.20.20.30.10.1

則當P（X<m）=0.5時，根的取值范圍是（

A.%，2B.0<m<lC.0<m<2D.l<m<2

5.（2020?河南高二期末（理））隨機變量X的分布列為（）

X-101

Pabc

其中a,6,c成等差數(shù)歹U,則P（|X|=1）等于（）

6.（2020.青銅峽市高級中學高二期末（理））設(shè)隨機變量J的概率為分布列如下表，則「砥-3|=1）=（）

1234

111

pa

1233

7.（2020?河南南陽高二二模（理））盒中有10個螺絲釘,其中有3個是壞的,現(xiàn)從盒中隨機地抽取4個，那么

3...

概率是仿的事件為（）

A.恰有1個是壞的

B.4個全是好的

C.恰有2個是好的

D.至多有2個是壞的

8.（2020?天山新疆實驗高二期末）有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若X表示取得次品的

個數(shù)，則P（X<2）等于（）

二、多選題

9.（2020?大名縣第一中學高二月考）如果J是一個隨機變量，則下列命題中的真命題有（）

A.J取每一個可能值的概率都是非負數(shù)B.J取所有可能值的概率之和是1

C.J的取值與自然數(shù)一一對應(yīng)D.J的取值是實數(shù)

10.（2020.三亞華僑學校高二月考）下列關(guān)于隨機變量及分布的說法正確的是（）

A.拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量

B.某人射擊時命中的概率為0.5,此人射擊三次命中的次數(shù)X服從兩點分布

C.離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1

D.離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的

11.（2019?東臺市安豐中學高二期中）設(shè)隨機變量J的分布列為==（左=1,2,3,4,5）,則（）

A.15a=1B.P（0.5<^<0.8）=0.2

C.P（0.1<^<0.5）=0.2D.P（^=l）=0.3

12.（2019?山東濰坊高三月考）某市有A，B,C,。四個景點，一位游客來該市游覽，已知該游客游覽A

的概率為2,游覽B,c和。的概率都是,,且該游客是否游覽這四個景點相互獨立.用隨機變量x表示

32

該游客游覽的景點的個數(shù)，下列正確的（）

13

A.游客至多游覽一個景點的概率一B.P（X=2）=-

4v78

113

CWX=4）=五D.E（X）=-

三、填空題

13.（2020?汪清縣汪清第六中學高二月考（理））已知隨機變量自的分布列如下表，則*=________.

012

J_

PX2X

4

14.（2020?輝縣市第二高級中學高二期中（理））已知隨機變量X的分布列為P（X=i）=上?=1,2,3,4）,

2a

則P（2<X<4）等于.

15.（2020?梅河口市第五中學高二月考（理））隨機變量X的分布列為尸（X=A）「、，左=l,2,3,4.c

k(k+iy

為常數(shù)，則P[^<X<|]的值為

16.（2019?北京市第二中學朝陽學校高二期末）隨機變量〃的分布列如下:

7123456

P0.2X0.250.10.150.2

則*=,P（7/<3）=.

四、解答題

17.（2019?全國高二課時練習）小王錢夾中只剩下20元、10元、5元和1元的人民幣各一張.他決定隨機抽

出兩張，用來買晚餐，用X表示這兩張金額之和.寫出X的可能取值，并說明所取值表示的隨機試驗結(jié)果.

18.（2019?全國高二課時練習）在一個盒子中，放有標號分別為1,2,3的三張卡片，現(xiàn)從這個盒子中，有放回地

先后抽得兩張卡片的標號分別為x,y,記片|x-2|+|y-x|.寫出隨機變量?？赡艿娜≈?，并說明隨機變量。所表示的

隨機試驗的結(jié)果.

19.（2020?南崗黑龍江實驗中學高二期中（理））設(shè)離散型隨機變量X的分布列為

X01234

P0.20.10.10.3m

求：（1）2X+1的分布列;

（2）求P（1<X<4）的值.

20.（2020?延安市第一中學高二期中（理））學校游園活動有這樣一個游戲項目:甲箱子里裝有3個白球、2

個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同.每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2

個球,若摸出的白球不少于2個,則獲獎.（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）

（1）求在1次游戲中，

①摸出3個白球的概率；

②獲獎的概率；

（2）求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列.

21.（2019?黑龍江鐵人中學高二期末（理））甲乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，

答對者為本隊贏得一分，

2221

答錯得零分.假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為乙隊中3人答對的概率分別為且各人正確與否相

互之間沒有影響.用￡表示甲隊的總得分.

（I）求隨機變量￡分布列；

（II）用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用8表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件,

求P（AB）.

22.某汽車駕駛學校在學員學習完畢后，對學員的駕駛技術(shù)進行9選3考試（即共9項測試，隨機選取3

項）考核，若全部過關(guān)，則頒發(fā)結(jié)業(yè)證；若不合格，則參加下期考核，直至合格為止，若學員小李抽到“移

1?4

庫”一項，則第一次合格的概率為一，第二次合格的概率為一，第三次合格的概率為二，若第四次抽到可要

235

求調(diào)換項目，其它選項小李均可一次性通過.

（1）求小李第一次考試即通過的概率4；

（2）求小李參加考核的次數(shù)。的分布列.

專題31離散型隨機變量及其分布列

一、單選題

1.（2020?陜西高二期末（理））已知隨機變量X的分布列如下，則（）

X0123

11J_

pp

1236

1115

A.—B.-c.一D.——

126312

【答案】D

【解析】

5

由題意可得--1-------1------1-p=1則p

123612

故選：D

2.（2020.南京市臨江高級中學高二期中）下表是離散型隨機變量X的分布列，則常數(shù)。的值是（）

X3459

a111

p——Fa——

2626

1111

A.一B.——C.一D.-

61292

【答案】C

【解析】

a1111

—+―+a+—+一=1，解得Q-

2626-9,

故選：C

3.（2020?重慶北倍西南大學附中高二月考）已知隨機變量。的分布列為PC=左）=7"匕々=1,2,3,4,5）,

則實數(shù)()

111

A.-B.—C.—

51015

【答案】c

【解析】

???隨機變量f的分布列為PC=k)=mk,(k=1,2,3,4,5)

.'.m+2m+3m+4m+5m=l

解得實數(shù)加=看

故選：C

4.（2020?陜西高二期末（理））若隨機變量X的分布列如下:

X-3-20123

P0.10.20.20.30.10.1

則當P（X<〃z）=0.5時，根的取值范圍是（）

A.%,2B.0<zn<1C.0<m<2D.l<m<2

【答案】B

【解析】

由題意可得P（X<—2）=0]，P（X<0）=0.3,尸（X<l）=0.5,則/e（0,1].

故選：B

5.（2020?河南高二期末（理））隨機變量X的分布列為（）

X-101

Pabc

其中a,b,c成等差數(shù)歹山則P（|X|=1）等于（)

11

A.-B.-

63

12

C.一D.-

23

【答案】D

【解析】

因為成等差數(shù)列，所以2b=a+c,

又a+b+c=l,所以b=—,

3

2

所以尸（|X|=l）=a+c=—,故選D.

3

6.（2020.青銅峽市高級中學高二期末（理））設(shè)隨機變量自的概率為分布列如下表，則尸（忻—3|=1）=（）

41234

111

Pa

1233

D.

6

【答案】A

【解析】

111,

,/------\-a-\----1--=1

1233

1

/.d——

4

由歸—3|=1,解得自=2或自=4

117

P(K-3|=l)=JP(^=2)+P(^=4)=-+-=-

故選：A

7.（2020?河南南陽高二二模（理））盒中有10個螺絲釘,其中有3個是壞的,現(xiàn)從盒中隨機地抽取4個，那么

3

概率是歷的事件為（）

A.恰有1個是壞的B.4個全是好的

C.恰有2個是好的D.至多有2個是壞的

【答案】C

【解析】

C*C31C41C2C23

對于選項A,概率為二.對于選項B,概率為#.對于選項C,概率為對于選項D,

Co2Go6Go10

13

包括沒有壞的，有1個壞的和2個壞的三種情況.根據(jù)A選項，恰好有一個壞的概率已經(jīng)是一〉一，故D選

210

項不正確.綜上所述，本小題選C.

8.（2020?天山新疆實驗高二期末）有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若X表示取得次品的

個數(shù)，則尸(X<2)等于()

78

A.——B.——

1515

14

C.—D.1

15

【答案】C

【解析】

由題意，知X取0,1,2,X服從超幾何分布，

它取每個值的概率都符合等可能事件的概率公式，

C；7C；-C*71

即P(X=0)=T=—,P(X=1)=73=p(x=2)=V=—,

G：15喘1515

十口7714

于是P(X<2)=P(X=0)+P(X=l)=石+區(qū)=話

故選C

二、多選題

9.(2020?大名縣第一中學高二月考)如果自是一個隨機變量，則下列命題中的真命題有()

A.J取每一個可能值的概率都是非負數(shù)B.J取所有可能值的概率之和是1

C.J的取值與自然數(shù)一一對應(yīng)D.J的取值是實數(shù)

【答案】ABD

【解析】

根據(jù)概率性質(zhì)可得自取每一個可能值的概率都是非負數(shù)，所以A正確；

J取所有可能值的概率之和是1,所以2正確；

J的取值是實數(shù)，不一定是自然數(shù)，所以C錯誤，。正確.

故選：ABD

10.(2020.三亞華僑學校高二月考)下列關(guān)于隨機變量及分布的說法正確的是()

A.拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量

B.某人射擊時命中的概率為0.5,此人射擊三次命中的次數(shù)X服從兩點分布

C.離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1

D.離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的

【答案】AD

【解析】

對于選項A：拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)可能是0,也可能是1,故是隨機變量，故選項A正確；

對于選項B：某人射擊時命中的概率為0.5,此人射擊三次是三次獨立重復(fù)實驗，命中的次數(shù)X服從二項分

布8(3,0.5)而不是兩點分布，故選項B錯誤；

對于選項C：離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和一定等于1,故選項C錯誤；

對于選項D：由互斥事件的定義可知選項D正確.

故選：AD

11.(2019?東臺市安豐中學高二期中)設(shè)隨機變量J的分布列為==(左=1,2,3,4,5),則()

A.15a=1B.尸(0.5<《<0.8)=0.2

C.P(0.1<^<0.5)=0.2D.尸(4=1)=0.3

【答案】ABC

【解析】

隨機變量自的分布列為尸，=。左(左=123,4,5),

134

555

=a+2a+3a+4a+5a=15a=1,解得a二上,

故A正確;

P(0.5<^<0.8)=P^=|j=3x^=0.2,故B正確;

P(0.1<^<0.5)=P^=|Lpk=|U^+2x^=0.2,故C正確;

p^=i）=5x-L=l7t0.3,故D錯誤.

故答案為：A、B、C.

12.（2019?山東濰坊高三月考）某市有A，B,C,。四個景點，一位游客來該市游覽，已知該游客游覽A

的概率為工，游覽3,c和。的概率都是工，且該游客是否游覽這四個景點相互獨立用隨機變量x表示

32

該游客游覽的景點的個數(shù)，下列正確的（）

游客至多游覽一個景點的概率,3

A.B.P（X=2）=w

4

CP（X=4）=（D.綺）若

【答案】ABD

【解析】

記該游客游覽i個景點為事件4，i=0,1,

則。⑷十1

24

P（A）=H￡|5

24

所以游客至多游覽一個景點的概率為尸（A）+P（4）=（+,=：,故A正確;

隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4;

P（X=O）=P（4）=￡,

P（X=I）=P⑷V，

2

P（X=2）=fxC>lx[l-lJ+[l-fjxC>[|jx[l-lj=|,故B正確;

P（X=3）=2x/1一2+”小仁義（￡|=:,

P（X=4）=gx（3）=g,故C錯誤;

i597213

數(shù)學期望為:E（X）=0x—+lx—+2x——+3x——+4x——=一故D正確,

24242424246

故選：ABD.

三、填空題

13.(2020?汪清縣汪清第六中學高二月考(理))已知隨機變量自的分布列如下表，則x

012

j_

PX2X

4

【答案】［

2

【解析】

1

由隨機變量概率分布列的性質(zhì)可知：x92+x+-=l,且gxgl,

4

解得x=L

2

故答案為一

2

14.(2020.輝縣市第二高級中學高二期中(理))已知隨機變量X的分布列為P(X=，)=」(，=1,2,3,4),

2a

則P(2<X<4)等于.

7

【答案】—

10

【解析】

...p(x=0=—(z=1,2,3,4),—(1+2+3+4)=1,解得a=5,

2a2a

347

則P(2<X<4)=尸⑶+P(4)=一十—二一.

101010

7

故答案為：—.

10

15.(2020?梅河口市第五中學高二月考(理))隨機變量X的分布列為尸(X=A)砥R=123,4.C

為常數(shù)，則的值為

【答案】|

6

【解析】

??.P（X=k）="^71J，k=l,2,3,4,

5

/.c=—，

4

15555

VP(一<X<—)=P(X=l)+P(X=2)=-+一=一；

228246

故答案為—■.

16.（2019?北京市第二中學朝陽學校高二期末）隨機變量〃的分布列如下:

7123456

P0.2X0.250.10.150.2

貝ijx=,P（〃W3）=.

【答案】0.10.55

【解析】由0.2+x+0.25+0.1+0.15+0.2=l得x=0.1

P（7<3）==1）+P（7=2）+=3）=0.2+0.1+0.25=0.55

故答案為：0.1,0.55

四、解答題

17.（2019?全國高二課時練習）小王錢夾中只剩下20元、10元、5元和1元的人民幣各一張.他決定隨機抽

出兩張，用來買晚餐，用X表示這兩張金額之和.寫出X的可能取值，并說明所取值表示的隨機試驗結(jié)果.

【答案】6,11,15,21,25,30

【解析】X的可能取值為6,11,15,21,25,30.

其中,X=6表示抽到的是1元和5元；

X=ll表示抽到的是1元和10元；

X=15表示抽到的是5元和10元；

X=21表示抽到的是1元和20元；

X=25表示抽到的是5元和20元；

X=30表示抽到的是10元和20元.

18.（2019?全國高二課時練習）在一個盒子中，放有標號分別為1,2,3的三張卡片，現(xiàn)從這個盒子中，有放回地

先后抽得兩張卡片的標號分別為演X記片|x-2|+|y-x|.寫出隨機變量?？赡艿娜≈?，并說明隨機變量^所表示的

隨機試驗的結(jié)果.

【答案】0,1,2,3

【解析】

因為X,y可能取的值為1,2,3,

所以0郎-2區(qū)1,0秘-小2,所以0<f<3,

所以?？赡艿娜≈禐?,123.

用(尤,y)表示第一次抽到卡片號碼為無，第二次抽得號碼為%則隨機變量忑取各值的意義為:

片0表示兩次抽到卡片編號都是2,即(2,2).

e=l表示表1),(2,1),(2,3),(3,3).

32表示(1,2),(3,2).

片3表示(1,3),(3,1).

19.(2020?南崗黑龍江實驗中學高二期中(理))設(shè)離散型隨機變量X的分布列為

X01234

P0.20.10.10.3m

求：(1)2X+1的分布列；

(2)求尸(1<XV4)的值.

【答案】(1)見解析；(2)0.7

【解析】由分布列的性質(zhì)知：0.2+0.1+0.1+0.3+m=l,解得根=0.3

(1)由題意可知

PQX+1=1)=尸(X=0)=0.2,P(2X+1=3)=P(X=1)=0.1,PQX+1=5)=P(X=2)=0.1

P(2X+1=7)=尸(X=3)=0.3,P(2X+1=9)=尸(X=4)=0.3

所以2X+1的分布列為：

2X+113579

P0.20.10.10.30.3

(2)P(l<XV4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0.1+0.3+0.3=0.7

20.(2020?延安市第一中學高二期中(理))學校游園活動有這樣一個游戲項目:甲箱子里裝有3個白球、2

個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同.每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2

個球,若摸出的白球不少于2個,則獲獎.(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)

(1)求在1次游戲中，

①摸出3個白球的概率；

②獲獎的概率；

(2)求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列.

17

【答案】⑴(i)(ii)—.(IDX的分布列見解析

510

【解析】

(J11

⑴①設(shè)“在一次游戲中摸出i個白球”為事件A(i=0,l,2,3),則P(A)=

3*G5

②設(shè)“在一次游戲中獲獎”為事件B,則B=A2UA3,又

P(A2)=與與+邑^?日■二，,且A2,A3互斥，所以P(B)=P(A2)+P(A3)=4+L=Z

CjClC；Cj22510

(2)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2,

P(X=0)=

,721

P(X=1)=C1-—

21050

P(X=2)=I

所以X的分布列是

X012

92149

P

10050Too

21.(2019?黑龍江鐵人中學高二期末(理))甲乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題,

答對者為本隊贏得一分，

答錯得零分.假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為一2，乙隊中3人答對的概率分別為2：2：1：且各人正確與否相

3332

互之間沒有影響.用￡表示甲隊的總得分.

(I)求隨機變量￡分布列；

(II)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用8表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件,

求P(AB).

【答案】(I)￡的分布列為

S0123

1248

P

279927

(II)P(AB)=——

243

【解析】(I)由題意知，￡的可能取值為0,1,2,3,且

p（￡=0）=C；x[=g，P（￡=l）=C；xgx1_2

聞~9

P（￡=2）=C；X]，2'

J.P唉

所以￡的分布列為

￡0123

1