河北省張家口市宣化區(qū)宣化第一中學2024-2025學年高一數(shù)學下學期期末考試試題

PAGE19-河北省張家口市宣化區(qū)宣化第一中學2024-2025學年高一數(shù)學下學期期末考試試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）設全集QUOTE，集合QUOTE，QUOTE或QUOTE，則QUOTEA.QUOTE B.QUOTE

C.QUOTE D.QUOTE或QUOTEQUOTE是QUOTEA.第一象限角 B.其次象限角 C.第三象限角 D.第四象限角已知向量QUOTE，QUOTE，則向量QUOTE在向量QUOTE方向上的投影為QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1若QUOTE，則下列不等式不成立的是QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE為比較甲、以兩名籃球運動員的近期競技狀態(tài)，選取這兩名球員最近五場競賽的得分制成如圖所示的莖葉圖，有以下結論：

QUOTE甲最近五場競賽得分的中位數(shù)高于乙最近五場競賽得分的中位數(shù)；

QUOTE甲最近五場競賽得分平均數(shù)低于乙最近五場競賽得分的平均數(shù)；

QUOTE從最近五場競賽的得分看，乙比甲更穩(wěn)定；

QUOTE從最近五場競賽的得分看，甲比乙更穩(wěn)定．

其中全部正確結論的編號為QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE某公司的班車在7：00，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE若QUOTE，且QUOTE，QUOTE，則QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE將函數(shù)QUOTE的圖象上的全部點向右平移QUOTE個單位長度，得到函數(shù)QUOTE的圖象，若函數(shù)QUOTE的部分圖象如圖所示，則函數(shù)QUOTE的解析式為QUOTEA.QUOTE B.QUOTE

C.QUOTE D.QUOTE已知定義域R的奇函數(shù)QUOTE的圖像關于直線QUOTE對稱，且當QUOTE時，QUOTE，則QUOTE

QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE設QUOTE，QUOTE，QUOTE，則QUOTE的最小值為QUOTEA.2 B.4 C.QUOTE D.QUOTE已知QUOTE且為常數(shù)，圓C：QUOTE，過圓C內(nèi)一點QUOTE的直線l與圓C相交于A，B兩點，當弦AB最短時，直線l的方程為QUOTE，則a的值為QUOTEA.2 B.3 C.4 D.QUOTE的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，下列命題：

QUOTE三邊a、b、c既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，則QUOTE是等邊三角形；

QUOTE若QUOTE，則QUOTE是等腰三角形；

QUOTE若QUOTE，則QUOTE；

QUOTE若QUOTE，則QUOTE；

QUOTE，QUOTE，若QUOTE唯一確定，則QUOTE．

其中，正確命題是QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）函數(shù)QUOTE的最小正周期是______．設等差數(shù)列QUOTE的前n項和為QUOTE，若QUOTE，QUOTE，則QUOTE______，QUOTE的最小值為______．已知四棱錐的底面是邊長為QUOTE的正方形，側棱長均為QUOTE若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為__________．已知QUOTE，QUOTE，且QUOTE，若QUOTE恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是______．三、解答題（本大題共6小題，共72.0分）已知QUOTE．

QUOTE解關于a的不等式QUOTE；

QUOTE若不等式QUOTE的解集為QUOTE，求實數(shù)a，b的值．

在QUOTE中，QUOTE，QUOTE，QUOTE．

QUOTEⅠQUOTE求b，c的值；

QUOTEⅡQUOTE求QUOTE的值．

已知數(shù)列QUOTE的前n項和為QUOTE，且QUOTE，QUOTE．

QUOTE求數(shù)列QUOTE的通項公式；

QUOTE設QUOTE，QUOTE，求QUOTE．

已知四棱錐QUOTE的底面為直角梯形，QUOTE，QUOTE，QUOTE底面ABCD，且QUOTE，M是PB的中點．

QUOTE求證：直線QUOTE平面PAD；

QUOTE若QUOTE，求二面角QUOTE的正弦值．

已知圓O以原點為圓心且與直線QUOTE相切．

QUOTE求圓O的方程；

QUOTE若直線l：QUOTE與圓O交于A、B兩點，過A、B兩點分別作直線l的垂線交x軸于C、D兩點，求線段CD的長．

近年來，鄭州經(jīng)濟快速發(fā)展，躋身新一線城市行列，備受全國屬目，無論是市內(nèi)的井字形快速交通網(wǎng)，還是輻射全國的米字形高鐵路網(wǎng)，鄭州的交通優(yōu)勢在同級別的城市內(nèi)無能出其右．為了調(diào)查鄭州市民對出行的滿足程度，探討人員隨機抽取了1000名市民進行調(diào)查，并將滿足程度以分數(shù)的形式統(tǒng)計成如下的頻率分布直方圖，其中QUOTE．

QUOTE求a，b的值；

QUOTEⅡQUOTE求被調(diào)查的市民的滿足程度的平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)；

QUOTEⅢQUOTE若依據(jù)分層抽樣從QUOTE，QUOTE中隨機抽取8人，再從這8人中隨機抽取2人，求至少有1人的分數(shù)在QUOTE的概率．

數(shù)學試卷答案和解析1.【答案】A

【解析】解：QUOTE；

QUOTE．

故選：A．

進行交集、補集的運算即可．

考查描述法的定義，以及交集、補集的運算．

2.【答案】C

【解析】解：QUOTE，

且QUOTE，

QUOTE是第三象限角．

故選：C．

利用終邊相同的角化QUOTE，再推斷它是第三象限角．

本題考查了終邊相同的角的概念與應用問題，是基礎題．

3.【答案】A

【解析】解：由投影的定義可知：

向量QUOTE在向量QUOTE方向上的投影為：QUOTE，

又QUOTE，

QUOTE．

故選：A．

本題可依據(jù)投影的向量定義式和兩個向量的數(shù)量積公式來計算．

本題主要考查投影的向量定義以及依據(jù)兩個向量的數(shù)量積公式來計算一個向量在另一個向量上的投影，本題屬基礎題．

4.【答案】B

【解析】解：對于選項A：由于QUOTE，則QUOTE，

所以QUOTE，故正確．

對于選項B：QUOTE，故錯誤．

對于選項C：QUOTE，故正確．

對于選項D：由于QUOTE，依據(jù)指數(shù)函數(shù)QUOTE的單調(diào)性，得到QUOTE，故正確．

故選：B．

干脆利用不等式的性質(zhì)的應用和函數(shù)的性質(zhì)的應用求出結果．

本題考查的學問要點：不等式的性質(zhì)的應用，函數(shù)的性質(zhì)的應用，主要考查學生的運算實力和轉換實力及思維實力，屬于基礎題型．

5.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了莖葉圖，屬基礎題．

依據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)，方差的概念計算比較可得．

【解答】

解：甲的中位數(shù)為29，乙的中位數(shù)為30，故QUOTE不正確；

甲的平均數(shù)為29，乙的平均數(shù)為30，故QUOTE正確；

從比分來看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故QUOTE正確，QUOTE不正確．

故選：C．

6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查的學問點是幾何概型，難度不大，屬于基礎題．

設小明到達時間為y，當y在7：50至8：00，或8：20至8：30時，小明等車時間不超過10分鐘，代入幾何概型概率計算公式，可得答案．

【解答】解：設小明到達時間為y，

當y在7：50至8：00，或8：20至8：30時，

小明等車時間不超過10分鐘，

故他等車時間不超過10分鐘的概率是QUOTE，

故選B．

7.【答案】B

【解析】解：QUOTE，且QUOTE，可得QUOTE．

QUOTE，

可得QUOTE，

可得QUOTE，

即QUOTE，QUOTE，

解得QUOTE．

故選：B．

利用同角三角函數(shù)基本關系式求出QUOTE，通過兩角和與差的三角函數(shù)化簡已知條件，轉化求解QUOTE即可．

本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，同角三角函數(shù)基本關系式的應用，是基本學問的考查．

8.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，結合圖象求出A，QUOTE和QUOTE的值以及利用三角函數(shù)的圖象變換關系是解決本題的關鍵．

依據(jù)圖象求出A，QUOTE和QUOTE的值，得到QUOTE的解析式，然后將QUOTE圖象上的全部點向左平移個單位長度得到QUOTE的圖象．

【解答】

解：由圖象知QUOTE，QUOTE，即函數(shù)的周期QUOTE，

則QUOTE，得QUOTE，

即QUOTE，

由五點對應法得QUOTE，得QUOTE，

則QUOTE，

將QUOTE圖象上的全部點向左平移QUOTE個單位長度得到QUOTE的圖象，

即QUOTE，

故選：C．

9.【答案】B

【解析】【分析】

由QUOTE的圖象關于直線QUOTE對稱，可得QUOTE，從而得出QUOTE，再依據(jù)QUOTE是奇函數(shù)，且當QUOTE時，QUOTE，從而得出QUOTE．

本題考查奇函數(shù)的定義，函數(shù)QUOTE的圖象關于QUOTE對稱時，滿足QUOTE，以及已知函數(shù)求值的方法．

【解答】

解：QUOTE是奇函數(shù)，且圖象關于QUOTE對稱；

QUOTE；

又QUOTE時，QUOTE；

QUOTE．

故選：B．

10.【答案】D

【解析】解：因為QUOTE，QUOTE，QUOTE，

所以QUOTE，

由基本不等式，得QUOTE當且僅當QUOTE時，即QUOTE，QUOTE時，等號成立QUOTE

所以QUOTE，QUOTE，故QUOTE，

故QUOTE的最小值為QUOTE．

故選：D．

化簡QUOTE，由基本不等式得QUOTE，進一步求出QUOTE的最小值．

本題考查基本不等式的應用，留意何時取等號，屬于中檔題．

11.【答案】B

【解析】解：化圓C：QUOTE為QUOTE，

圓心坐標為QUOTE，半徑為QUOTE．

如圖，

由題意可得，過圓心與點QUOTE的直線與直線QUOTE垂直．

則QUOTE，即QUOTE．

故選：B．

由圓的方程求出圓心坐標與半徑，結合題意，可得過圓心與點QUOTE的直線與直線QUOTE垂直，再由斜率的關系列式求解．

本題考查直線與圓位置關系的應用，考查數(shù)形結合的解題思想方法與數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．

12.【答案】A

【解析】解：對于QUOTE由已知可得：QUOTE，

QUOTE，易得：QUOTE，

QUOTE是等邊三角形，

故QUOTE正確；

對于QUOTE，QUOTE，

QUOTE由正弦定理可得：QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，B是QUOTE內(nèi)角，

QUOTE或QUOTE，

QUOTE或QUOTE，

QUOTE是等腰三角形或直角三角形，

故QUOTE錯誤；

對于QUOTE，QUOTE三角形中大邊對大角，

QUOTE，則QUOTE．

QUOTE，且QUOTE在QUOTE上單調(diào)遞減，

，故QUOTE正確；

對于QUOTE，QUOTE，

QUOTE，由余弦定理可得：QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

故QUOTE正確；

對于QUOTE，由正弦定理可得：QUOTE，當QUOTE時，QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，此時QUOTE唯一確定，

故QUOTE錯誤．

故選：A．

由等差數(shù)列和等比中項性質(zhì)可推斷QUOTE正確；由正弦定理和二倍角公式、誘導公式可推斷QUOTE錯誤；由三角形的邊角關系和余弦函數(shù)的單調(diào)性可推斷QUOTE正確；由余弦定理和基本不等式可推斷QUOTE正確；由正弦定理和三角形的邊角關系可推斷QUOTE錯誤．從而得出正確選項．

本題主要考查正弦定理、余弦定理的運用，以及三角形形態(tài)的推斷，還有化簡運算實力，屬于中檔題．

13.【答案】QUOTE

【解析】【分析】

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關鍵是合理運用二倍角公式，屬于基礎題．

用二倍角公式可得QUOTE，然后用周期公式求出周期即可．

【解答】

解：QUOTE，

QUOTE，

QUOTE的周期QUOTE，

故答案為QUOTE．

14.【答案】0，

QUOTE

【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的前n項和的最小值的求法，屬于基礎題．

利用等差數(shù)列QUOTE的前n項和公式、通項公式列出方程組，能求出QUOTE，QUOTE，由此能求出QUOTE的QUOTE的最小值．

【解答】

解：設等差數(shù)列QUOTE的前n項和為QUOTE，QUOTE，QUOTE，

解得QUOTE，QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

QUOTE或QUOTE時，QUOTE取最小值為QUOTE．

故答案為0，QUOTE．

15.【答案】QUOTE

【解析】【分析】

本題考查正四棱錐與圓柱內(nèi)接的狀況，考查立體幾何的體積公式，屬基礎題．

求出正四棱錐的底面對角線長度和正四棱錐的高度，依據(jù)題意得圓柱上底面的直徑就在相對中點連線，有線段成比例求圓柱的直徑和高，求出答案即可．

【解答】

解：由題可知，該四棱錐是正棱錐，

又底面正方形的對角線長為2，且垂直相交平分，

由勾股定理得：正四棱錐的高為2，

由于圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側棱的中點，

有圓柱的上底面直徑為底面正方形對角線的一半等于1，即半徑等于QUOTE，

由相像比可得圓柱的高為正四棱錐高的一半1，

則該圓柱的體積為：QUOTE．

故答案為QUOTE．

16.【答案】QUOTE

【解析】解：QUOTE，QUOTE

QUOTE恒成立，

QUOTE，求得QUOTE

故答案為：QUOTE．

先把QUOTE轉化為QUOTE綻開后利用基本不等式求得其最小值，然后依據(jù)QUOTE求得QUOTE，進而求得m的范圍．

本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．考查了學生分析問題和解決問題的實力．

17.【答案】解：QUOTE依據(jù)題意，QUOTE，

QUOTE即QUOTE，變形可得QUOTE，

解可得：QUOTE，即不等式的解集為QUOTE；

QUOTE即QUOTE，變形可得QUOTE，

若QUOTE即QUOTE的解集為QUOTE，

則QUOTE的兩根為QUOTE和2，

則有QUOTE，解可得QUOTE或QUOTE．

【解析】本題考查一元二次不等式的解法，涉及一元二次不等式與一元二次方程的關系，屬于基礎題．

QUOTE依據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得QUOTE即QUOTE，變形可得QUOTE，解可得a的取值范圍，即可得答案；

QUOTE依據(jù)題意，QUOTE即QUOTE，變形可得QUOTE，由一元二次不等式和一元二次方程的關系可得QUOTE的兩根為QUOTE和2，則有QUOTE，解可得a、b的值，即可得答案．

18.【答案】解：QUOTEⅠQUOTE，QUOTE，QUOTE．

QUOTE由余弦定理，得QUOTE

QUOTE，

QUOTE，QUOTE；

QUOTEⅡQUOTE在QUOTE中，QUOTE，QUOTE，

由正弦定理有：QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，QUOTE，QUOTE為銳角，

QUOTE，

QUOTE．

【解析】QUOTEⅠQUOTE利用余弦定理可得QUOTE，代入已知條件即可得到關于b的方程，解方程即可；

QUOTEⅡQUOTE，依據(jù)正弦定理可求出sinC，然后求出cosC，代入即可得解．

本題考查了正弦定理余弦定理和兩角差的正弦公式，屬基礎題．

19.【答案】解：QUOTE由題設知：當QUOTE時，有QUOTE，

當QUOTE時，QUOTE也適合上式，

故QUOTE；

QUOTE由QUOTE知：QUOTE，

QUOTE．

【解析】QUOTE先利用當QUOTE時，QUOTE求得QUOTE，再檢驗當QUOTE時是否適合，從而求得QUOTE；

QUOTE先由QUOTE求得QUOTE，再利用裂項相消法求其前n項和．

本題主要考查數(shù)列通項公式的求法及裂項相消法在數(shù)列求和中的應用，屬于中檔題．

20.【答案】QUOTE證明：取AB中點O，連結MO，CO，

QUOTE，M是PB的中點，

QUOTE，QUOTE，

QUOTE，QUOTE，

QUOTE平面QUOTE平面MOC，

QUOTE平面MOC，QUOTE直線QUOTE平面PAD；

QUOTE解：QUOTE四棱錐QUOTE的底面為直角梯形，QUOTE，QUOTE，QUOTE底面ABCD，

QUOTE，M是PB的中點，QUOTE，

QUOTE以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，

則QUOTE0，QUOTE，QUOTE1，QUOTE，QUOTE0，QUOTE，QUOTE2，QUOTE，QUOTE1，QUOTE，

QUOTE1，QUOTE，QUOTE1，QUOTE，QUOTE1，QUOTE，QUOTE0，QUOTE，

設平面AMC的法向量QUOTEy，QUOTE，

由QUOTE，取QUOTE，得QUOTE；

設平面BCM的法向量QUOTE，

由QUOTE，取QUOTE，得QUOTE1，QUOTE．

設二面角QUOTE的平面角為QUOTE，

則QUOTE，

QUOTE，

即二面角QUOTE的正弦值為QUOTE．

【解析】QUOTE取AB中點O，連結MO，CO，推導出QUOTE，QUOTE，從而平面QUOTE平面MOC，由此能證明直線QUOTE平面PAD；

QUOTE以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角QUOTE的余弦值，進一步求得二面角QUOTE的正弦值．

本題考查線面平行的推斷，考查空間想象實力與思維實力，訓練了利用空間向量求解空間角，是中檔題．

21.【答案】

解：QUOTE把直線QUOTE化為一般式，

則QUOTE，

即圓QUOTE到直線QUOTE的距離為QUOTE，

QUOTE圓O的半徑為QUOTE，

故圓O的方程為QUOTE；

QUOTE