高考數(shù)學(xué) 1-2-2高度、角度問題課后強(qiáng)化作業(yè) 新人教A版必修5

【成才之路】-學(xué)年高考數(shù)學(xué)1-2-2高度、角度問題課后強(qiáng)化作業(yè)新人教A版必修5基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．甲船在湖中B島的正南A處，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同時(shí)乙船從B島出發(fā)，以12km/h的速度向北偏東60°方向駛?cè)?，則行駛15min時(shí)，兩船的距離是()A.eq\r(7)km B.eq\r(13)kmC.eq\r(19)km D.eq\r(10－3\r(3))km[答案]B[解析]由題意知AM＝8×eq\f(15,60)＝2，BN＝12×eq\f(15,60)＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×(－eq\f(1,2))＝13，所以MN＝eq\r(13)km.2．在地面上點(diǎn)D處，測(cè)量某建筑物的高度，測(cè)得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點(diǎn)20m，則建筑物高度為()A．20m B．30mC．40m D．60m[答案]C[解析]設(shè)O為塔頂在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20eq\r(3)，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40.3．一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68nmile的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為()A.eq\f(17\r(6),2)nmile/h B．34eq\r(6)nmile/hC.eq\f(17\r(2),2)nmile/h D．34eq\r(2)nmile/h[答案]A[解析]如圖所示，在△PMN中，eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝eq\f(68×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝34eq\r(6)，∴v＝eq\f(MN,4)＝eq\f(17\r(6),2)(nmile/h)．4．江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距()A．10eq\r(3)m B．100eq\r(3)mC．20eq\r(30)m D．30m[答案]D[解析]設(shè)炮塔頂A、底D，兩船B、C，則∠ABD＝45°，∠ACD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30，∴DB＝30，DC＝30eq\r(3)，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos30°＝900，∴BC＝30.5．如圖所示，在山底A處測(cè)得山頂B的仰角∠CAB＝45°，沿傾斜角為30°的山坡向山頂走1000m到達(dá)S點(diǎn)，又測(cè)得山頂仰角∠DSB＝75°，則山高BC為()A．500eq\r(2)m B．200mC．1000eq\r(2)m D．1000m[答案]D[解析]∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS中，AB＝eq\f(AS·sin135°,sin30°)＝eq\f(1000×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝1000eq\r(2)，∴BC＝AB·sin45°＝1000eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1000(m)．6．從某電視塔的正東方向的A處，測(cè)得塔頂仰角是60°；從電視塔的西偏南30°的B處，測(cè)得塔頂仰角為45°，A、B間距離是35m，則此電視塔的高度是()A．5eq\r(21)m B．10mC.eq\f(4900,13)m D．35m[答案]A[解析]作出示意圖，設(shè)塔高OC為hm，在Rt△AOC中，OA＝hcot60°＝eq\f(\r(3),3)h，OB＝h.AB＝35，∠AOB＝150°，由余弦定理得352＝(eq\f(\r(3),3)h)2＋h2－2×eq\f(\r(3),3)h·hcos150°，解得h＝5eq\r(21).二、填空題7．某海島周圍38nmile有暗礁，一輪船由西向東航行，初測(cè)此島在北偏東60°方向，航行30nmile后測(cè)得此島在東北方向，若不改變航向，則此船________觸礁危險(xiǎn)(填“有”或“無(wú)”)．[答案]無(wú)[解析]如圖所示，由題意在△ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，由正弦定理，得BC＝eq\f(ABsin∠BAC,sin∠ACB)＝eq\f(30sin30°,sin15°)＝eq\f(15,\f(\r(6)－\r(2),4))＝15(eq\r(6)＋eq\r(2))．在Rt△BDC中，CD＝eq\f(\r(2),2)BC＝15(eq\r(3)＋1)>38.∴此船無(wú)觸礁的危險(xiǎn)．8．甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的B處，乙船正以anmile/h的速度向北行駛．已知甲船的速度是eq\r(3)anmile/h，問甲船應(yīng)沿著________方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇？[答案]北偏東30°[解析]如圖，設(shè)經(jīng)過th兩船在C點(diǎn)相遇，則在△ABC中，BC＝at，AC＝eq\r(3)at，B＝180°－60°＝120°，由eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，得sin∠CAB＝eq\f(BCsinB,AC)＝eq\f(at·sin120°,\r(3)at)＝eq\f(1,2).∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.即甲船應(yīng)沿北偏東30°的方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇．三、解答題9．如圖所示，兩點(diǎn)C、D與煙囪底部在同一水平直線上，在點(diǎn)C1、D1，利用高為1.5m的測(cè)角儀器，測(cè)得煙囪的仰角分別是α＝45°和β＝60°，C、D間的距離是12m，計(jì)算煙囪的高AB.(精確到0.01m)[解析]在△BC1D1中，∠BD1C1＝120°，∠C1BD1＝15°.由正弦定理eq\f(C1D1,sin∠C1BD1)＝eq\f(BC1,sin∠BD1C1)，∴BC1＝eq\f(12sin120°,sin15°)＝18eq\r(2)＋6eq\r(6)，∴A1B＝eq\f(\r(2),2)BC1＝18＋6eq\r(3)，則AB＝A1B＋AA1≈29.89(m)．能力提升一、選擇題1．飛機(jī)沿水平方向飛行，在A處測(cè)得正前下方地面目標(biāo)C的俯角為30°，向前飛行10000m到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得正前下方目標(biāo)C的俯角為75°，這時(shí)飛機(jī)與地面目標(biāo)的水平距離為()A．2500(eq\r(3)－1)m B．5000eq\r(2)mC．4000m D．4000eq\r(2)m[答案]A[解析]示意圖如圖，∠BAC＝30°，∠DBC＝75°，∴∠ACB＝45°，AB＝10000.由正弦定理，得eq\f(10000,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，又cos75°＝eq\f(BD,BC)，∴BD＝eq\f(10000·sin30°,sin45°)·cos75°＝2500(eq\r(3)－1)(m)．2．渡輪以15km/h的速度沿與水流方向成120°角的方向行駛，水流速度為4km/h，則渡輪實(shí)際航行的速度為(精確到0.1km/h)()A．14.5km/h B．15.6km/hC．13.5km/h D．11.3km/h[答案]C[解析]由物理學(xué)知識(shí)，畫出示意圖，如圖．AB＝15，AD＝4，∠BAD＝120°.在?ABCD中，D＝60°，在△ADC中，由余弦定理，得AC＝eq\r(AD2＋CD2－2AD×CD×cosD)＝eq\r(16＋225－4×15)＝eq\r(181)≈13.5(km/h)．故選C.3.如圖所示，在地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，則建筑物的高度為()A．15eq\r(6)m B．20eq\r(6)mC．25eq\r(6)m D．30eq\r(6)m[答案]D[解析]設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知，PA＝2h，PB＝eq\r(2)h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)，①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h).②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去)，即建筑物的高度為30eq\4．如圖，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角(從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角)為140°的方向航行．為了確定船的位置，船在B點(diǎn)觀測(cè)燈塔A的方位角為110°，航行eq\f(1,2)h到達(dá)C點(diǎn)，觀測(cè)燈塔A的方位角是65°，則貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，與燈塔A的距離是()A．10km B．10eq\r(2)kmC．15km D．15eq\r(2)km[答案]B[解析]在△ABC中，BC＝40×eq\f(1,2)＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，則A＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得AC＝eq\f(BC·sin∠ABC,sinA)＝eq\f(20·sin30°,sin45°)＝10eq\r(2)(km)．二、填空題5．直線AB外有一點(diǎn)C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽車以80km/h速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以50km的時(shí)速由B向C行駛，則運(yùn)動(dòng)開始約__________小時(shí)后，兩車的距離最?。?精確到0.01)[答案]1.63[解析]設(shè)th后，汽車由A運(yùn)動(dòng)到D，摩托車由B運(yùn)動(dòng)到E，則AD＝80t，BE＝50t，∵AB＝200，∴BD＝200－80t.問題就是求DE最小時(shí)t的值．由余弦定理，得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000當(dāng)t＝eq\f(70,43)≈1.63時(shí)，DE最?。虼藨?yīng)填1.63.6．學(xué)校里有一棵樹，甲同學(xué)在A地測(cè)得樹尖的仰角為45°，乙同學(xué)在B地測(cè)得樹尖的仰角為30°，量得AB＝AC＝10m樹根部為C(A、B、C在同一水平面上)，則∠ACB＝________.[答案]30°[解析]如圖，AC＝10，∠DAC＝45°，∴DC＝10，∵∠DBC＝30°，∴BC＝10eq\r(3)，cos∠ACB＝eq\f(102＋10\r(3)2－102,2×10×10\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，∴∠ACB＝30°.三、解答題7.如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12nmile，漁船乙以10nmile/h的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2h追上．(1)求漁船甲的速度；(2)求sinα的值．[解析](1)在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BAC＝α.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28.所以漁船甲的速度為eq\f(BC,2)＝14nmile/h.(2)在△ABC中，因?yàn)锳B＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°).即sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq\f(3\r(3),14).8．據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，在S島正東距S島300km的A處有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以每小時(shí)30km的速度向北偏西30°的方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心270km以內(nèi)的地區(qū)將受到臺(tái)風(fēng)的影響．問：S島是否受其影響？若受到影響，從現(xiàn)在起經(jīng)過多少小時(shí)S島開始受到臺(tái)風(fēng)的影響？持續(xù)時(shí)間多久？說明理由．[分析]設(shè)B為臺(tái)風(fēng)中心，則B為AB邊上動(dòng)點(diǎn)，SB也隨之變化．S島是否受臺(tái)風(fēng)影響可轉(zhuǎn)化為SB≤270這一不等式是否有解的判斷，則需表示SB，可設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過th到達(dá)B點(diǎn)，則在△ABS中，由余弦定理可求SB.[解析]如圖，設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過th到達(dá)B點(diǎn)，由題意：∠SAB＝90°－30°＝60°，在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，由余弦定理得：SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos∠SAB＝3002＋(30t)2－2·300·30tcos60°.若S島受到臺(tái)風(fēng)影響，則應(yīng)滿足條件|SB|≤270即SB2≤2702，化簡(jiǎn)整理得t2－10t＋19≤0，解之得5－eq\r(6)≤t≤5＋eq\r(6)，所以從現(xiàn)在起，