高考數(shù)學(xué) 第三章綜合檢測 新人教A版必修5

第三章綜合檢測一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的．)1．設(shè)M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(aA．M＞N B．M≥NC．M＜N D．M≤N[答案]A[解析]M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－＝a2＋a＋1＝(a＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)＞0，∴M＞N.2．已知a＞0，b＞0，m＝eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))，n＝eq\r(a)＋eq\r(b)，p＝eq\r(a＋b)，則m、n、p的大小順序是()A．m≥n＞p B．m＞n≥pC．n＞m＞p D．n≥m＞p[答案]A[解析]取a＝1，b＝4，檢驗，m＝4.5，n＝3，p＝eq\r(5)，∴m＞n＞p排除C，D；又n2－p2＝a＋b＋2eq\r(ab)－(a＋b)＝2eq\r(ab)＞0，∴n＞p，∴選A.3．不等式x2－2x－5＞2x的解集是()A．{x|x≥5或x≤－1}B．{x|x＞5或x＜－1}C．{x|－1＜x＜5}D．{x|－1≤x≤5}[答案]B[解析]不等式化為x2－4x－5＞0，∴(x－5)(x＋1)＞0，∴x＜－1或x＞5.4．(x－2y＋1)(x＋y－3)<0表示的平面區(qū)域為()[答案]C[解析]將點(0,0)代入不等式中，不等式成立，否定A、B，將(0,4)點代入不等式中，不等式成立，否定D，故選C.5．點(1,2)和點(－1,3)在直線2x＋ay－1＝0的同一側(cè)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)<－eq\f(1,2) B．a(chǎn)>1C．a(chǎn)<－eq\f(1,2)或a>1 D．－eq\f(1,2)<a<1[答案]C[解析]由題意知，(2a＋1)(3a－3)＞0，∴a＜－eq\f(1,2)或a＞1.6．設(shè)a＞0，b＞0，則下列不等式中正確的有幾個()(1)a2＋1＞a；(2)(a＋eq\f(1,a))(b＋eq\f(1,b))≥4；(3)(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))≥4；(4)a2＋9＞6a(5)a2＋1＋eq\f(1,a2＋1)＞2.A．1 B．2C．3 D．4[答案]D[解析]∵a＞0，b＞0，∴a2＋1≥2a＞a，∴①(a＋eq\f(1,a))(b＋eq\f(1,b))＝(ab＋eq\f(1,ab))＋(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))≥2＋2＝4，等號在a＝b時成立，∴②正確；(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥4.等號在a＝b時成立，∴③正確；∵a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，∴a2＋9≥6a.等號在a＝3時成立，a2＋1＋eq\f(1,a2＋1)≥2.等號在a＝0時成立，但a＞0，∴a2＋1＋eq\f(1,a2＋1)＞2，∴⑤正確．故正確的不等式有4個．7．若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0,2x＋y≤2,y≥0,x＋y≤a))表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)≥eq\f(4,3) B．0<a≤1C．1≤a≤eq\f(4,3) D．0<a≤1或a≥eq\f(4,3)[答案]D[解析]由圖形知，要使平面區(qū)域為三角形，只需直線l：x＋y＝a在l1、l2之間或在l3上方．∴0<a≤1或a≥eq\f(4,3).8．若不等式x2＋ax＋1≥0對一切x∈(0，eq\f(1,2)]成立，則a的最小值為()A．0 B．－2C．－eq\f(5,2) D．－3[答案]C[解析]∵x∈(0，eq\f(1,2)]，∴a≥eq\f(－x2－1,x)＝－x－eq\f(1,x).由于函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)在(0，eq\f(1,2)]上單調(diào)遞減，∴在x＝eq\f(1,2)處取得最小值eq\f(5,2).∴－(x＋eq\f(1,x))≤－eq\f(5,2).∴a≥－eq\f(5,2).9．若x、y滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥y,x＋y≤1,y≥－1))，則z＝－2x＋y的最大值為()A．1 B．－eq\f(1,2)C．2 D．－5[答案]A[解析]作出可行域如下圖，當(dāng)直線y＝2x＋z平移到經(jīng)過可行域上點A(1，－1)時，z取最大值，∴zmax＝1.10．設(shè)a＞b＞0，m＝eq\r(a)－eq\r(b)，n＝eq\r(a－b)，則()A．m＜n B．m＞nC．m＝n D．不能確定[答案]A[解析]∵a＞b＞0，∴m＞0，n＞0，且b＜eq\r(ab).m2－n2＝(a＋b－2eq\r(ab))－(a－b)＝2(b－eq\r(ab))＜0∴m2＜n2，∴m＜n.11．若實數(shù)x、y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0,x－y≥0,2x－y－2≥0))，則ω＝eq\f(y－1,x＋1)的取值范圍是()A．[－1，eq\f(1,3)] B．[－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)]C．[－eq\f(1,2)，＋∞) D．[－eq\f(1,2)，1)[答案]D[解析]所求問題轉(zhuǎn)化為求動點(x，y)與定點(－1,1)連線的斜率問題．不等式組表示的可行域如圖所示．目標(biāo)函數(shù)ω＝eq\f(y－1,x＋1)表示陰影部分的點與定點(－1,1)的連線的斜率，由圖可見，點(－1,1)與點(1,0)連線的斜率為最小值，最大值趨近于1，但永遠(yuǎn)達(dá)不到，故－eq\f(1,2)≤w<1.12．下列函數(shù)中，最小值是4的函數(shù)是()A．y＝x＋eq\f(4,x)B．y＝sinx＋eq\f(4,sinx)(0<x<π)C．y＝ex＋4e－xD．y＝log3x＋logx81[答案]C[解析]當(dāng)x＜0時，y＝x＋eq\f(4,x)≤－4，排除A；∵0＜x＜π，∴0＜sinx＜1.y＝sinx＋eq\f(4,sinx)≥4.但sinx＝eq\f(4,sinx)無解，排除B；ex＞0，y＝ex＋4e－x≥4.等號在ex＝eq\f(4,ex)即ex＝2時成立．∴x＝ln2，D中，x＞0且x≠1，若0＜x＜1，則log3x＜0，logx81＜0，∴排除D.二、填空題(本大題共4個小題，每個小題4分，共16分．將正確答案填在題中橫線上)13．若關(guān)于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，則m＝________.[答案]2[解析]由題意知a>0且1是方程ax2－6x＋a2＝0的一個根，∴a＝2，∴不等式為2x2－6x＋4<0，即x2－3x＋2<0，∴1<x<2，∴m＝2.14．若點(x，y)在第一象限，且在直線2x＋3y＝6上移動，則logeq\s\do8(\f(3,2))x＋logeq\s\do8(\f(3,2))y的最大值是__________．[答案]1[解析]由題意x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，∴u＝logeq\s\do8(\f(3,2))x＋logeq\s\do8(\f(3,2))y＝logeq\s\do8(\f(3,2))(x·y)＝logeq\s\do8(\f(3,2))[eq\f(1,6)(2x·3y)]≤logeq\s\do8(\f(3,2))[eq\f(1,6)(eq\f(2x＋3y,2))2]＝1，等號在2x＝3y＝3，即x＝eq\f(3,2)，y＝1時成立．[點評]也可以消元，用二次函數(shù)最值求解．15．不等式(m＋1)x2＋(m2－2m－3)x－m＋3＞0恒成立，則m[答案][－1,1)∪(1,3)[解析]m＋1＝0時，m＝－1，不等式化為：4＞0恒成立；m＋1≠0時，要使不等式恒成立須eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1＞0,△<0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1＞0,m2－2m－32－4m＋1－m＋3＜0))，∴－1＜m＜3且m≠1.綜上得－1≤m＜3且m≠1.16．在約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4y＜12,x－2y＜0,5x－4y＞0,x、y∈N))下，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋5y的最大值為__________．[答案]13[解析]可行域如圖，A(2,2.5)，B(4,2)．由于x、y∈N故可行域內(nèi)整點有：(1,1)，(2,2)，(3,2).可見經(jīng)過(3,2)點時z取最大值，zmax＝13.三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本題滿分12分)設(shè)x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2－2kx＋1－k2＝0的兩個實根，求xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)的最小值．[解析]由題意，得x1＋x2＝2k，x1x2＝1－k2.Δ＝4k2－4(1－k2)≥0，∴k2≥eq\f(1,2).∴xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4k2－2(1－k2)＝6k2－2≥6×eq\f(1,2)－2＝1.∴xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)的最小值為1.18．(本題滿分12分)若a＜1，解關(guān)于x的不等式eq\f(ax,x－2)＜1.[解析]a＝0時，x∈R且x≠2；a≠0時，eq\f(ax,x－2)＜1?eq\f(a－1x＋2,x－2)＞0?[(a－1)x＋2](x－2)＞0.∵a＜1，∴a－1＜0.∴化為(x－eq\f(2,1－a))(x－2)＜0，當(dāng)0<a<1時，eq\f(2,1－a)>2，∴不等式的解為2<x<eq\f(2,1－a)；當(dāng)a<0時，1－a>1，∴eq\f(2,1－a)<2，∴不等式解為eq\f(2,1－a)<x<2，∴當(dāng)0＜a＜1時，不等式解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2＜x＜\f(2,1－a)))；當(dāng)a＜0時，不等式解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(2,1－a)＜x＜2))；當(dāng)a＝0時，解集為{x∈R|x≠2}．19．(本題滿分12分)某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價相應(yīng)的提高比例為0.75x，同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤＝(出廠價－投入成本)×年銷售量．(1)寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，問投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？[解析](1)依題意得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000×(1＋0.6x)(0<x<1)．整理，得：y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)．∴本年度年利潤與投入成本增加的比例的關(guān)系式為y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)．(2)要保證本年度的年利潤比上年度有所增加，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1.2－1×1000>0,0<x<1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－60x2＋20x>0,0<x<1))，解得：0<x<eq\f(1,3)，所以為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例x應(yīng)滿足0<x<eq\f(1,3).20．(本題滿分12分)已知x、y都是正數(shù)，則滿足x＋2y＋xy＝30，求xy的最大值，并求出此時x、y的值．[解析]解法一：∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥2eq\r(2)·eq\r(xy)又x＋2y＋xy＝30，令eq\r(xy)＝t，則2eq\r(2)t＋t2≤30，∵t＞0∴0＜t≤3eq\r(2)，∴0<xy≤18.當(dāng)xy＝18時，∵x＝2y.∴x＝6，y＝3.因此當(dāng)x＝6，y＝3時，xy取最大值18.解法二：由x＋2y＋xy＝30得y＝eq\f(30－x,x＋2)，∵y＞0，x＞0，∴0＜x＜30∴xy＝eq\f(30－xx,x＋2)＝－eq\f(x2－30x,x＋2)＝－eq\f(xx＋2－32x＋2＋64,x＋2)＝－(x－32)－eq\f(64,x＋2)＝－[(x＋2)＋eq\f(64,x＋2)]＋34≤－2eq\r(64)＋34＝18，等號在x＋2＝eq\f(64,x＋2)即x＝6時成立，此時y＝eq\f(30－6,6＋2)＝3.故當(dāng)x＝6，y＝3時，xy取最大值18.21．(本題滿分12分)不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0對一切x∈R恒成立，求實數(shù)m[解析]由m2－2m－3＝0，得m＝－1或m當(dāng)m＝3時