工科數(shù)學(xué)分析上學(xué)期期末考試卷AB卷及答案3套

《工科數(shù)學(xué)分析（一））》試卷第6頁共6頁姓名學(xué)號(hào)姓名學(xué)號(hào)學(xué)院專業(yè)班級(jí)座位號(hào)(密封線內(nèi)不答題)……………………密………………封………線……線………_____________________…2021-2022本科生期末考試《工科數(shù)學(xué)分析》2021-2022學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷（A）卷注意事項(xiàng)：1.開考前請(qǐng)將密封線內(nèi)各項(xiàng)信息填寫清楚；2.所有答案請(qǐng)直接答在試卷上；3．考試形式：閉卷4.本試卷共5個(gè)大題，滿分100分， 考試時(shí)間120分鐘。題號(hào)一二三四五總分得分評(píng)閱教師請(qǐng)?jiān)谠嚲泶显u(píng)閱欄簽名得分一、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）得分極限；設(shè)有拐點(diǎn)，且在處有極大值，則，，；設(shè)，則；設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，且連續(xù)，則；得分反常積分。得分二、計(jì)算下列各題（共3小題，每小題8分，共24分）1.求極限。解：利用得到…….2分原式=………….6分………….8分2.求不定積分。解:………….2分………….4分………….6分解得………….8分3.計(jì)算定積分。解:令,原式=………….2分………….4分………….7分解得………….8分得分得分三、解答下列各題（共4小題，每小題8分，共32分）1.設(shè)，證明收斂，并求其極限。證明:(1)時(shí),,即單調(diào)減少;………….3分(2)時(shí),,即有下界,………….6分從而收斂.設(shè),(3)在等號(hào)兩邊取極限,則得到,從而故,………….8分2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值以及拐點(diǎn)（要求列表）。解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?.(2)令,得到,令,得到…………2分(3)列表如下…………6分拐點(diǎn)極小值（4）的單調(diào)增區(qū)間是：，單調(diào)減區(qū)間是：，。極小值，拐點(diǎn)：?！?8分3.設(shè)曲線方程為求。解：………….4分………….8分4.求由曲線和軸所圍成的平面圖形的面積，并求此圖形繞旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積。解：………….3分………….7分………….8分得分四、證明題（共2小題，每小題10分，共20分）得分1.設(shè)在內(nèi)二階可導(dǎo)，且。證明：，使得。證明：（1）對(duì)分別在和上用Lagrange中值定理，結(jié)合，得到，至少，使得…………6分（2）對(duì)在上再用Lagrange中值定理，得到，至少，使得…………10分2.設(shè)函數(shù)，且存在，證明：在上一致連續(xù)。證明：（1）設(shè)，則，不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，有，從而，,有?！?分（2）由在上連續(xù)，則，利用Kangtor定理，知道在上一致連續(xù)，從而，對(duì)上述，不妨設(shè)，，當(dāng)時(shí)，有?！?分（3），當(dāng)時(shí)，要么，要么，從而都有，故，在上一致連續(xù)。………10分得分得分五、應(yīng)用題（本題9分）要生產(chǎn)一種容積為的圓柱體有蓋罐頭盒，問怎樣設(shè)計(jì)罐頭盒的尺寸可使用料最??？解：（1）設(shè)底圓半徑為，高為，則，問題歸為求在區(qū)間上的最小值?！?分（2）令，…………6分得到唯一臨界點(diǎn)：，…………8分又根據(jù)實(shí)際意義，所求的最小值存在，從而罐頭盒的底圓半徑為，高為時(shí)，用料最省。…………9分姓名學(xué)號(hào)姓名學(xué)號(hào)學(xué)院專業(yè)班級(jí)座位號(hào)(密封線內(nèi)不答題)……………………密………………封………線……線………_____________________…2021-2022本科生期末考試《工科數(shù)學(xué)分析》2021-2022學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷（B）卷注意事項(xiàng)：1.開考前請(qǐng)將密封線內(nèi)各項(xiàng)信息填寫清楚；2.所有答案請(qǐng)直接答在試卷上；3．考試形式：閉卷4.本試卷共五個(gè)大題，滿分100分， 考試時(shí)間120分鐘。題號(hào)一二三四五總分得分得分評(píng)閱教師請(qǐng)?jiān)谠嚲泶显u(píng)閱欄簽名得分一、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）極限；設(shè)在區(qū)間上，，則的從小到大的嚴(yán)格不等式的順序是：；設(shè)，則；由及軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積為；得分反常積分。得分二、計(jì)算下列各題（共3小題，每小題8分，共24分）1.求極限。解：………….5分…………8分2.求不定積分。解：………….4分………….6分…………8分3.計(jì)算定積分。解：令…………2分…………5分…………6分所以，…………8分得分三、解答下列各題（共4小題，每小題8分，共32分）得分1.設(shè)數(shù)列重根式，證明數(shù)列收斂，并求其極限。證明:(1)顯然單調(diào)增加;………….3分(2)時(shí),,用歸納法可證：即有上界,………….6分從而收斂.設(shè),(3)在等號(hào)兩邊取極限,則得到,從而故,………….8分2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值以及拐點(diǎn)（要求列表）。解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?.(2)令,得到,令,得到…………3分(3)列表如下…………6分極大值拐點(diǎn)（4）的單調(diào)增區(qū)間是：，單調(diào)減區(qū)間是：。極小值，拐點(diǎn)：。………….8分3.設(shè)曲線的方程為，求。解：………….5分………….7分………….8分4.求心形線圍成圖形的面積。解：根據(jù)對(duì)稱性，所求的面積為極軸上方的兩倍?！?3分…………6分………….8分得分四、證明題（共2小題，每小題10分，共20分）得分1.證明：當(dāng)時(shí)，。證明：利用…………6分其中時(shí)，，則，故…………10分2.證明：函數(shù)在上一致連續(xù)。證明：，，，有………8分故，在上一致連續(xù)。………10分得分得分五、應(yīng)用題（本題9分）在橢圓中，嵌入有最大面積而邊平行于橢圓軸的矩形，求此矩形的邊長。解：（1）設(shè)矩形邊長為，則，問題歸為求在區(qū)間上的最大值。…………4分（2）令，…………6分得到唯一臨界點(diǎn)：，…………8分又根據(jù)實(shí)際意義，所求的最大值存在，從而取最大面積的矩形的邊長為。…………9分姓名學(xué)號(hào)姓名學(xué)號(hào)學(xué)院專業(yè)班級(jí)座位號(hào)(密封線內(nèi)不答題)……………………密………………封………線……線………_____________________…2021-2022本科生期末考試《工科數(shù)學(xué)分析》第一學(xué)期期末考試試卷（c）卷注意事項(xiàng)：1.開考前請(qǐng)將密封線內(nèi)各項(xiàng)信息填寫清楚；2.所有答案請(qǐng)直接答在試卷上；3．考試形式：閉卷4.本試卷共5個(gè)大題，滿分100分， 考試時(shí)間120分鐘。題號(hào)一二三四五總分得分評(píng)閱教師請(qǐng)?jiān)谠嚲泶显u(píng)閱欄簽名得分一、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）得分設(shè)在連續(xù)，則；設(shè)對(duì)任意都滿足等式，且，其中為非零常數(shù)，則；設(shè)，則；或；得分反常積分.得分二、計(jì)算下列各題（共3小題，每小題8分，共24分）1.求極限，其中在的鄰域內(nèi)連續(xù)，且.解：令，……2分則……4分 ……6分……8分2.求不定積分.解：……3分……6分……8分3.計(jì)算定積分.解：令，……2分則……6分……8分得分得分三、解答下列各題（共4小題，每小題8分，共32分）1.設(shè)，證明收斂，并求其極限.證明:,即有上界.……3分,即單調(diào)增加,……6分結(jié)合(1),利用單調(diào)有界收斂性定理知道,收斂.(3)設(shè)，在等式兩邊取極限，得到,則，（舍去）。故.……8分2.設(shè)曲線方程為，求.解:……4分……6分……8分3.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值以及上凸，下凸區(qū)間和拐點(diǎn)（要求列表）.解:的定義域?yàn)?令,得到,令,得到……2分(3)列表拐點(diǎn)極大值拐點(diǎn)……6分(4)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是:,單調(diào)減區(qū)間是:;函數(shù)的極大值為;無極小值。函數(shù)的上凸區(qū)間為：，下凸區(qū)間為：，。函數(shù)的拐點(diǎn)為:,.……8分4.求由曲線和軸所圍成的平面圖形的面積，并求此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積.解:(1)面積……3分……4分(2)繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積……7分……8分（2）另解：……7分……8分四、證明題（共2小題，每小題10分，共20分）1.證明：當(dāng)時(shí)，.證明：方法一：令，則，……4分利用Taylor公式，……8分則所以，當(dāng)時(shí)，.?！?0分方法二：（1）設(shè)，則……4分（2）因?yàn)闀r(shí)，所以利用嚴(yán)格單調(diào)性煩人判定法，知道，在上嚴(yán)格單調(diào)減少，從而時(shí)，。……8分（3）同理，由于，則在上嚴(yán)格單調(diào)減少，從而時(shí)，，即?！?0分2.證明：函數(shù)在上一致連續(xù)，但在上不一致連續(xù).證明：（1）由于在上連續(xù)，利用Contor定