經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第六版）（上冊(cè)）課件 第1講1.1函數(shù)

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第1講顧靜相1.1

函數(shù)教學(xué)要求

理解函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，了解函數(shù)性質(zhì)；

掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程．函數(shù)的概念

在日常生活經(jīng)常遇到各種不同的量．這些量可以分為兩類，一類量在考察的過程中不發(fā)生變化，只取一個(gè)固定的值，我們把它稱作常量；另一類量在所考察的過程中是變化的，可以取不同數(shù)值，我們把它稱作變量．函數(shù)的概念

在理解常量與變量時(shí)，應(yīng)注意：(1)常量和變量依賴于所研究的過程．同一個(gè)量，在某種情況下可以認(rèn)為是常量，而在另一種情況下則可能是變量；反過來也是同樣的．這說明常量和變量具有相對(duì)性．(2)從幾何意義上講，常量對(duì)應(yīng)著實(shí)數(shù)軸上的定點(diǎn)，變量則對(duì)應(yīng)著實(shí)數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)．(3)一個(gè)變量所能取的數(shù)值的集合叫做這個(gè)變量的變動(dòng)區(qū)域．函數(shù)的概念

有一類變量可以取介于兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的任意實(shí)數(shù)值，叫做連續(xù)變量，連續(xù)變量的變動(dòng)區(qū)域常用區(qū)間表示．函數(shù)的定義

定義1.1

設(shè)

x和

y是兩個(gè)變量，若當(dāng)變量

x在非空數(shù)集

D內(nèi)任取一數(shù)值時(shí)，變量

y依照某一規(guī)則

f總有一個(gè)確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量

y為變量

x的函數(shù)，記作

y=f(x)．這里，

x稱為自變量，

y稱為因變量或函數(shù).f是函數(shù)符號(hào)，它表示

y與

x的對(duì)應(yīng)規(guī)則．有時(shí)函數(shù)符號(hào)也可以用其他字母來表示，如

y=g(x)或

y=

(x)等．函數(shù)的定義

集合

D稱為函數(shù)的定義城，相應(yīng)的

y值的集合則稱為函數(shù)的值域．

當(dāng)自變量

x在其定義域內(nèi)取定某確定值

x0時(shí)，因變量

y

按照所給函數(shù)關(guān)系

y=f(x)求出的對(duì)應(yīng)值

y0叫做當(dāng)

x=x0時(shí)的函數(shù)值，記作

或

f(x0)．函數(shù)的概念

常用的函數(shù)表示法有三種：

解析法(又稱公式法)、表格法和圖形法．

當(dāng)函數(shù)關(guān)系由不同的式子

(公式)分段表達(dá)的函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)是微積分中常見的一種函數(shù)．函數(shù)的概念例1求下列函數(shù)的定義域．(1)；(2)；(3)f(x)=lg(4x-3)；(4)f(x)=arcsin(2x-1)；(5)f(x)=lg(4x-3)-arcsin(2x-1)．函數(shù)的概念例1求下列函數(shù)的定義域．(1)；(2)；(3)f(x)=lg(4x-3)；(4)f(x)=arcsin(2x-1)；(5)f(x)=lg(4x-3)-arcsin(2x-1)．解(1)在分式

中，分母不能為零，所以

，解得

，且

x0，即定義域?yàn)?/p>

．函數(shù)的概念例1求下列函數(shù)的定義域．(2)；(3)f(x)=lg(4x-3)；解(2)在偶次根式中，被開方式必須大于等于零，所以有

，解得

-3

x

3，即定義城為[-3,3]．(3)在對(duì)數(shù)式中，真數(shù)必須大于零，所以有4x–3>0，解得

，即定義域?yàn)?/p>

．函數(shù)的概念例1求下列函數(shù)的定義域．(4)f(x)=arcsin(2x-1)；(5)f(x)=lg(4x-3)-arcsin(2x-1)．解(4)反正弦或反余弦中的式子的絕對(duì)值必須小于等于1，所以有

-1

2x-11，解得0

x

1，即定義域?yàn)閇0,1]．(5)該函數(shù)為(3)，(4)兩例中函數(shù)的代數(shù)和，此時(shí)函數(shù)的定義域應(yīng)為(3),(4)兩例中定義域的交集，即

．函數(shù)的概念例2設(shè)函數(shù)求

f(-

)，f(1)，f(3.5)及函數(shù)的定義域．函數(shù)的概念例2設(shè)函數(shù)求

f(-

)，f(1)，f(3.5)及函數(shù)的定義域．解

因?yàn)?

[-4,1)，所以f(-

)=sin(-

)=0；因?yàn)?[1,3)，所以f(1)=1；因?yàn)?.5[3,+)，所以

f(3.5)=5

3.5-1=16.1;函數(shù)的定義域?yàn)閇-4,+)．函數(shù)的有界性

定義1.2設(shè)函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間

D上有定義，如果存在一個(gè)正數(shù)M，對(duì)于所有的

x

D，恒有

，那么稱函數(shù)

f(x)在

D上是有界的．如果不存在這樣的正數(shù)

M，那么稱

f(x)在

D上是無界的.函數(shù)的有界性y=f(x)在(a,b)內(nèi)有界的幾何意義是：曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)被限制在

y=

M和

y=M兩條直線之間.函數(shù)的有界性y=f(x)在(a,b)內(nèi)有界的幾何意義是：曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)被限制在

y=

M和

y=M兩條直線之間.注意：1．當(dāng)一個(gè)函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有界時(shí)，正數(shù)M的取法不是唯一的．函數(shù)的有界性y=f(x)在(a,b)內(nèi)有界的幾何意義是：曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)被限制在

y=

M和

y=M兩條直線之間.注意：1．當(dāng)一個(gè)函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有界時(shí)，正數(shù)M的取法不是唯一的．2．有界性是依賴于區(qū)間的．函數(shù)的奇偶性

定義1.3設(shè)函數(shù)

y=f(x)在集合D上有定義，如果對(duì)任意的

x

D，恒有

f(

x)=f(x)，那么稱

f(x)為偶函數(shù)；函數(shù)的奇偶性

定義1.3設(shè)函數(shù)

y=f(x)在集合D上有定義，如果對(duì)任意的

x

D，恒有

f(

x)=f(x)，那么稱

f(x)為偶函數(shù)；如果對(duì)任意的

x

D，恒有f(

x)=

f(x)，那么稱

f(x)為奇函數(shù)．函數(shù)的奇偶性

由定義可知，對(duì)任意的x

D，必有-x

D，否則，f(

x)沒有意義．因此函數(shù)具有奇偶性時(shí)，其定義域必定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的．函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)的圖象關(guān)于

y軸對(duì)稱；

由定義可知，對(duì)任意的x

D，必有-x

D，否則，f(

x)沒有意義．因此函數(shù)具有奇偶性時(shí)，其定義域必定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的．函數(shù)的奇偶性

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

由定義可知，對(duì)任意的x

D，必有-x

D，否則，f(

x)沒有意義．因此函數(shù)具有奇偶性時(shí)，其定義域必定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的．函數(shù)的奇偶性例3

判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）

；

（2）

；（3）.函數(shù)的奇偶性例3

判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）

；

（2）

；（3）.解（1）

因?yàn)樗允桥己瘮?shù).函數(shù)的奇偶性

（2）

因?yàn)橥硭约确瞧婧瘮?shù),也非偶函數(shù)．函數(shù)的奇偶性

（2）

因?yàn)橥硭约确瞧婧瘮?shù),也非偶函數(shù)．

（3）

因?yàn)樗允瞧婧瘮?shù)．函數(shù)的單調(diào)性

定義1.4設(shè)函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，如果對(duì)于

(a,b)

內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1和

x2，

當(dāng)

x1<x2時(shí)，有

f(x1)<f(x2)，那么稱函數(shù)

f(x)在(a,b)

內(nèi)是單調(diào)增加的；函數(shù)的單調(diào)性

定義1.4設(shè)函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，如果對(duì)于

(a,b)

內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1和

x2，

當(dāng)

x1<x2時(shí)，有

f(x1)<f(x2)，那么稱函數(shù)

f(x)在(a,b)

內(nèi)是單調(diào)增加的；如果對(duì)于

(a,b)

內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1和

x2，當(dāng)

x1<x2時(shí)，有

f(x1)>f(x2)，那么稱函數(shù)

f(x)在(a,b)內(nèi)是單調(diào)減少的．函數(shù)的單調(diào)性

單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù)，統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，使函數(shù)保持單調(diào)的區(qū)間叫做單調(diào)區(qū)間．函數(shù)的單調(diào)性

例4驗(yàn)證函數(shù)

y=3x

2在區(qū)間（

,+

）內(nèi)是單調(diào)增加的．函數(shù)的單調(diào)性

例4驗(yàn)證函數(shù)

y=3x

2在區(qū)間（

,+

）內(nèi)是單調(diào)增加的．

證

在區(qū)間（

,+

）內(nèi)任取兩點(diǎn)

x1,

x2，當(dāng)

x1<x2時(shí)，由f(x1)

f(x2)=(3x1

2)

(3x2

2)=3(x1

x2)<0即

f(x1)<f(x2)，所以

y=3x

2在區(qū)間（

,+

）內(nèi)是單調(diào)增加的．函數(shù)的周期性

定義1.5對(duì)于函數(shù)

y=f(x)，如果存在非零常數(shù)

a，使得對(duì)于任意

x

D，有x+a

D，且f(x+a)=f(x)恒成立，那么稱此函數(shù)為周期函數(shù)．滿足這個(gè)等式的最小正數(shù)

a稱為函數(shù)的基本周期，簡(jiǎn)稱為周期．函數(shù)的周期性如

y=sinx，y=cosx是以

2

為周期的周期函數(shù)函數(shù)的周期性如

y=sinx，y=cosx是以

2

為周期的周期函數(shù)

y=tanx，y=cotx是以

為周期的周期函數(shù)反函數(shù)

定義1.6設(shè)函數(shù)

y=f(x)值域?yàn)镽，如果對(duì)于R中的每一個(gè)

y值，都有一個(gè)確定的且滿足

y=f(x)的

x值與之對(duì)應(yīng)，那么得到一個(gè)定義在

R

上的以

y為自變量，x為因變量的新函數(shù)，我們稱它為

y=f(x)的反函數(shù)，記作

x=f-1(y)．并稱=f(x)為直接函數(shù)．反函數(shù)

定義1.6設(shè)函數(shù)

y=f(x)值域?yàn)镽，如果對(duì)于R中的每一個(gè)

y值，都有一個(gè)確定的且滿足

y=f(x)的

x值與之對(duì)應(yīng)，那么得到一個(gè)定義在

R

上的以

y為自變量，x為因變量的新函數(shù)，我們稱它為

y=f(x)的反函數(shù)，記作

x=f-1(y)．并稱=f(x)為直接函數(shù)．當(dāng)然也可以說y=f(x)是

x=f-1(y)的反函數(shù)，就是說，它們互為反函數(shù)．反函數(shù)

例5求

y=4x

1的反函數(shù)．

解

由

y=4x

1得到

，然后交換

x

和

y，得

．即

是

y=4x

1的反函數(shù)．復(fù)合函數(shù)

定義1.7設(shè)

y

是

u的函數(shù)

y=f(u)，u

是

x的函數(shù)

u=

(x)．如果

u=

(x)的值域或其部分包含在

y=f(u)的定義域中，那么

y通過中間變量

u成為x的函數(shù)，稱為

x的復(fù)合函數(shù)，記作

y=f[

(x)]．其中，x

是自變量，u

稱作中間變量．復(fù)合函數(shù)

例如，函數(shù)

u=x2的值域是

[0,+)，而函數(shù)

y=sinu的定義域是

(

,+)，故

y通過中間變量

u能構(gòu)成

x的復(fù)合函數(shù)

y=sinu=sinx2．復(fù)合函數(shù)注意：1．不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以構(gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的．

如

，不能復(fù)合

例如，函數(shù)

u=x2的值域是

[0,+)，而函數(shù)

y=sinu的定義域是

(

,+)，故

y通過中間變量

u能構(gòu)成

x的復(fù)合函數(shù)

y=sinu=sinx2．復(fù)合函數(shù)注意：1．不是任何兩個(gè)函數(shù)