經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第六版）（上冊(cè)）課件 第11講3.1中值定理,3.2洛必達(dá)法則

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教材輔導(dǎo)第11講顧靜相3.1

中值定理3.2洛必達(dá)法則教學(xué)要求

了解羅爾定理和拉格朗日中值定理；

會(huì)用洛必達(dá)法則求未定式的極限．中值定理右圖中是一個(gè)在區(qū)間

(a,b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)

y=f(x)的圖象,它是一條光滑曲線(xiàn)，這條曲線(xiàn)的兩個(gè)端點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)相等，即

f(a)=f(b)．可以看到，在這樣一條曲線(xiàn)上存在著點(diǎn)(

1,f(

1))，(

2,f(

2))，使其在這些點(diǎn)處具有水平切線(xiàn)，即函數(shù)在這樣的點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零．羅爾Rolle定理

定理3.1

如果函數(shù)

y=f(x)滿(mǎn)足條件：

（1）在[a,b]上連續(xù)；

（2）在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

（3）

f(a)=f(b)，那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

，使

f

(

)=0．中值定理例1設(shè)函數(shù)

．顯然

f(x)在區(qū)間

[0,3]

上滿(mǎn)足羅爾定理的前兩個(gè)條件，且

f(0)=0，f(3)=0，即第三個(gè)條件也成立．因?yàn)?/p>

，令

f

(x)=0，解得

x=2，2(0,3)．所以取

=2，則有

f

(

)=f

(2)=0．拉格朗日(Lagrange)中值定理

定理3.2

如果函數(shù)

y=f(x)滿(mǎn)足條件：

（1）在[a,b]上連續(xù)；

（2）在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

，使得

．拉格朗日中值定理的幾何說(shuō)明右圖中平移經(jīng)過(guò)曲線(xiàn)

y=f(x)兩個(gè)端點(diǎn)A、B的直線(xiàn)，移至與曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)處，如圖中的

1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處．在(

1,f(

1))處的切線(xiàn)的斜率即為

f

(

1)，因?yàn)閮蓷l直線(xiàn)平行，所以f

(

1)與直線(xiàn)AB的斜率

kAB相等，即

f

(

1)=kAB．而

，拉格朗日中值定理的幾何說(shuō)明而，于是有

，其中

1就是滿(mǎn)足定理結(jié)論的點(diǎn)．拉格朗日中值定理的推論

推論1如果函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)

f

(x)都等于零，則在(a,b)內(nèi)f(x)是一個(gè)常數(shù).

推論2如果函數(shù)

f(x)與函數(shù)

g(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)處處相等，即f

(x)=g

(x)，則

f(x)與

g(x)在區(qū)間

內(nèi)只相差一個(gè)常數(shù)．即

f

(x)=g(x)=C．

．柯西(Cauchy)中值定理

定理3.3

如果

f(x)與

g(x)都在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，而且在

(a,b)內(nèi)

g

(x)0,那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

，使得

．柯西(Cauchy)中值定理

定理3.3

如果

f(x)與

g(x)都在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，而且在

(a,b)內(nèi)

g

(x)0,那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

，使得

．

上式中，如果

g(x)=x，就是拉格朗日定理，所以拉格朗日定理是柯西定理的特例．兩種未定式

在求極限過(guò)程中，常常遇到這樣的情形：

如

，當(dāng)

x

0時(shí)分子、分母同時(shí)趨于0，稱(chēng)為

型未定式．

又如

，當(dāng)

x

+

時(shí)分子、分母同時(shí)趨于+

，稱(chēng)為

型未定式．洛必達(dá)法則（一）設(shè)函數(shù)

f(x)與

g(x)滿(mǎn)足條件:（1）

；（2）f(x)與

g(x)在點(diǎn)

x0的某個(gè)鄰域內(nèi)(點(diǎn)

x0可除外)可導(dǎo)，且

；（3）

（或

）.則(或

).(11.1)洛必達(dá)法則（一）例2

求

．洛必達(dá)法則（一）例2

求

．解

當(dāng)

x

0時(shí)，有

x-xcosx

0和

x-sinx

0，這是

型未定式．用洛必達(dá)法則（一）由于仍是

型未定式，再用洛必達(dá)法則（一）洛必達(dá)法則（一）解

當(dāng)

x

0時(shí)，有

x-xcosx

0和

x-sinx

0，這是

型未定式．用洛必達(dá)法則（一）由于仍是

型未定式，再用洛必達(dá)法則（一）洛必達(dá)法則（二）設(shè)函數(shù)

f(x)與

g(x)滿(mǎn)足條件:（1）

；（2）f(x)與

g(x)在點(diǎn)

x0的某個(gè)鄰域內(nèi)(點(diǎn)

x0可除外)可導(dǎo)，且

；（3）

（或

）.則(或

).

(11.2)洛必達(dá)法則（二）例3

求

．洛必達(dá)法則（二）例3

求

．解

當(dāng)

x

0+時(shí)，有l(wèi)ncotx∞和lnx∞，這是

型未定式．用洛必達(dá)法則（二）洛必達(dá)法則

若把

x

x0改為

x

，法則(I)和法則(II)仍然成立.洛必達(dá)法則

若把

x

x0改為

x

，法則(一)和法則(二)仍然成立.例4

求

．洛必達(dá)法則例4

求

．解

當(dāng)

x

+∞時(shí)，有

0和

0，這是

型未定式．用洛必達(dá)法則(一)洛必達(dá)法則例5

求

（

n為自然數(shù)）．洛必達(dá)法則例5

求

（

n為自然數(shù)）．解

當(dāng)

n>0時(shí)，由

x

+∞，得ex∞和

xn∞，這是

型未定式．用洛必達(dá)法則(二)洛必達(dá)法則用洛必達(dá)法則求極限時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):（1）洛必達(dá)法則只適用于求

和

型未定式的極限，因此每次用法則(一)和法則(二)時(shí)必須檢查所求極限是否為

和

型未定式；（2）如果

仍是

和

型，則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則；洛必達(dá)法則（3）如果

不存在且不是

∞，并不表明

不存在，只表明洛必達(dá)法則失效，這時(shí)應(yīng)該用其它方法來(lái)求極限．洛必達(dá)法則（3）如果

不存在且不是

∞，并不表明

不存在，只表明洛必達(dá)法則失效，這時(shí)應(yīng)該用其它方法來(lái)求極限．

例如

，由于

不存在，故洛必達(dá)法則失效．但可以通過(guò)簡(jiǎn)單的恒等變換來(lái)求極限：

．其它類(lèi)型的未定式

除

型和

型未定式外，還有另外五種未定式極限：

．這幾種未定式極限的計(jì)算，可把它們化為

型或

型，再用洛必達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算．其它類(lèi)型的未定式例6

求

．其它類(lèi)型的未定式例6

求

．解

這是

型未定式，它可以先化為

型未定式，再用洛必達(dá)法則(二)求解．已化為

型其它類(lèi)型的未定式例6

求

．解

這是

型未定式，它可以先化為

型未定式，再用洛必達(dá)法則(二)求解．已化為

型一般地，有

，α>0．其它類(lèi)型的未定式例7

求

．其它類(lèi)型的未定式例7

求

．解

這是

型未定式，它可以先化為

型未定式，再用洛必達(dá)法則(一)求解．已化為

型其它類(lèi)型的未定式例8

求

．其它類(lèi)型的未定式例8

求

．解

這是

型未定式．由于被求極限的函數(shù)是冪指形式，故先設(shè)：

，然后取對(duì)數(shù)

，并取極限

，

化為

型未定式，