16-第一章第六節(jié)(概率統(tǒng)計)

第一章隨機事件與概率

1.6事件的獨立性

第一章隨機事件與概率

1.6事件的獨立性

內(nèi)容簡介:

事件B發(fā)生的概率受事件A發(fā)生的影響,這是條件概率問題.如果事件B發(fā)生的概率不受事件A發(fā)生的影響,那么會出現(xiàn)什么樣的結(jié)果呢？這就是事件獨立性問題.我們學(xué)習(xí)如何判定事件具有獨立性，并計算其概率.

1.6.1提出問題

“近朱者赤近墨者黑”說明什么呢？同班同學(xué)的學(xué)習(xí)風(fēng)氣是否有影響呢？射手比賽為什么要戴耳機？如果事件B發(fā)生的概率不受事件A發(fā)生的影響,這就是事件獨立性問題.

1.6.2預(yù)備知識

概率的性質(zhì)，逆事件概率計算公式，古典概型，超幾何分布.

1.6.3問題提出為此,先看下例：

引例設(shè)某盒中有5件產(chǎn)品,其中3件合格品,2件次品.現(xiàn)每次任取一件,不放回地取兩次.求：

(1)A={第一次取到合格品}的概率；(2)B={第一次取到合格品的條件下第二次又取到合格品}的概率；(3)C={第二次取到合格品}的概率.

可知，

由全概率公式得

可見，

P(C|A)≠P(C).

上述問題是不放回抽樣.如果抽取方式改變成“從中任取兩次,每次抽取一件”這樣的放回抽樣，

則可見

講評這說明事件A的發(fā)生不影響事件C的發(fā)生的概率.從直觀上講,這是很自然的,因為是放回抽樣,第一次抽到的產(chǎn)品實際上不影響第二次抽到的產(chǎn)品.在這種場合,可以說事件A與事件C的發(fā)生具有某種“獨立性”.

在上一節(jié)中,我們知道了條件概率這個概念,即在已知事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率為并且由此得到了概率乘法公式

P(AB)=P(A)P(B|A).

現(xiàn)在讓我們提出一個問題：如果事件B

發(fā)生與否不受事件A是否發(fā)生的影響,

那么會出現(xiàn)什么樣的結(jié)果呢？為此,需要把“事件B發(fā)生與否不受事件A是否發(fā)生的影響”這句話表達成數(shù)學(xué)的語言.事實上,事件B發(fā)生與否不受事件A的影響,也就意味著有

P(B|A)=P(B).

這時概率乘法公式就有了更自然的形式：

P(AB)=P(A)P(B).

定理2

如果事件A與B相互獨立,則下列各對事件A與,與B,與都是相互獨立的.

定義1

設(shè)A,B是兩個事件,如果滿足等式

P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與B是相互獨立的,簡稱A,B獨立.定理的正確性由兩個定義得到.

定理1

設(shè)A,B是兩事件,

且P(A)>0.若A,B相互獨立,則

P(B|A)=P(B).反之亦然.1.隨機事件獨立性

1.6.4建立理論

定理2還可敘述為：若四對事件A與B,A與,

與B,與中有一對獨立,則另外三對也獨立,即，這四對事件或者都獨立,或者都不獨立.證由于

P()=P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(),因此,A與相互獨立.關(guān)于

與B和

與

的獨立性同理可證.

講評關(guān)于獨立性還要注意兩點：

(1)

不要把兩個事件的獨立性與互不

相容混為一談,獨立與互斥事件之間沒有必然的互推關(guān)系.見2003年考研數(shù)(四)考題.但有結(jié)論:若A與B互斥,

且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨立.用定義即證.

(2)在實際應(yīng)用中,對于事件的獨立性,我們常常不是根據(jù)定義來判斷,而是根據(jù)一事件的發(fā)生是否影響另一事件的發(fā)生來判斷.

例1.6.1

甲、乙兩射手在同樣條件下進行射擊,他們擊中目標(biāo)的概率分別是0.9和0.8.如果兩個射手同時發(fā)射,問擊中目標(biāo)的概率是多少？

又C=A∪B,且A,B相互獨立,故

P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98.解設(shè)A={甲擊中目標(biāo)},B={乙擊中目標(biāo)},C={擊中目標(biāo)}.于是P(A)=0.9,P(B)=0.8.

定義2

設(shè)A1,A2,…,An是n(n≥2)個事件,如果對于任意的兩個不同事件Ai,Aj(i≠j)有

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),則稱這n個事件是兩兩獨立的.

事件的獨立性概念,可以推廣到三個和三個以上的事件的情形.

定義3

設(shè)A1,A2,…,An是n(n≥2)個事件,如果對于任意的k(k≤n)個事件

都有則稱這n個事件相互獨立.

定理3

(1)若事件A1,A2,…,An(n≥2)相互獨立,則其中任意k(2≤k≤n)個事件也是相互獨立的.

(2)若n個事件A1,A2,…,An(n≥2)相互獨立,則將A1,A2,…,An中任意多個事件換成它們的對立事件,所得的n個事件仍相互獨立.

證(1)由獨立性定義可直接推出.

(2)對于n=2時,在定理2已作了證明,一般的情況用數(shù)學(xué)歸納法容易證得,此處略.

對于三個事件A1,A2,A3兩兩獨立,僅要求下面三個等式同時成立：

P(A1A2)=P(A1)P(A2);P(A1A3)=P(A1)P(A3);P(A2A3)=P(A2)P(A3).

若A1,A2,A3相互獨立,除了上面三個等式外還要滿足P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)

成立.2.試驗獨立性與伯努利試驗定義4設(shè)表示第i次隨機試驗出現(xiàn)的隨機事件，即Ci=Ai或i，若

則說n次試驗是相互獨立的，簡稱試驗獨立.如果n重獨立重復(fù)試驗中，每次試驗的可能結(jié)果為兩個：A或，則稱這種試驗為n重伯努利試驗.例1.6.2

假設(shè)每次試驗成功的概率為p(0<p<1).(1)計算n次獨立重復(fù)試驗至少有一次成功的概率

；(2)要求“獨立重復(fù)試驗直到至少有一次成功為止”的把握不低于概率qn，計算所需試驗的次數(shù)n.解記Ai={第i次試驗成功}(i=1,2,…,n),A={n次試驗至少有一次成功}.于是P(Ai)=p,P()==1-p,且A1,A2,…,An相互獨立.(1)由于

由定理3的結(jié)論(2)知也是相互獨立的,所以(2)設(shè)所需試驗的次數(shù)為.注意到A=A1∪A2∪…∪An,于是問題要求n滿足

αn=P(A)=P(A1∪A2∪…∪An)≥qn.由問題(1)知P(A)=1-(1-

p)n,即要求1-(1-

p)n≥qn，也就是(1-

p)n≤1-

qn.解之,得由此可見，當(dāng)時，αn→1.這說明，只要一個事件A的概率不是0，甚至非常小，當(dāng)試驗次數(shù)無限增大時，它(以概率1)遲早會出現(xiàn).如果考慮每次試驗成功的概率p=0.15，“至少成功一次”的把握不低于95%，則即至少需要進行19次試驗.講評

1.小概率事件怎樣認識才可以符合客觀實際呢？

2.“設(shè)計試驗”要考慮哪些因素呢？

1.6.6小結(jié)與思考

我們講了兩個概念：事件的兩兩獨立和相互獨立.對于這些概念,要正確理解獨立性的含義.獨立性理論在概率論中占有重要的地位，實際問題往往需要應(yīng)用獨立性理論來分析和解決。

1.兩兩獨立一定相互獨立嗎？反之如何？

2.獨立一定互斥嗎？反之如何？

1.6.7習(xí)題布置

習(xí)題1.62、5、7、8.參考文獻與聯(lián)系方式[1]鄭一,王玉敏,馮寶成.概率論與數(shù)理統(tǒng)計.大連理工大學(xué)出版社，2015