數字電路與邏輯設計教程-第1章

第1章微型計算機系統(tǒng)概述1.1數字電路概述1.2數制和碼制1.3邏輯代數基礎本章小結1.1數字電路概述1.1.1數字信號和數字電路電子技術中的工作信號可以分為模擬信號和數字信號兩大類。模擬信號是指時間上和數值上都是連續(xù)變化的信號，如電視的圖像信號和伴音信號、生產過程中由傳感器檢測的由某種物理量(如溫度、壓力)轉化成的電信號等。傳輸、處理模擬信號的電路稱為模擬電路。數字信號是指時間和數值上都是斷續(xù)變化的離散信號，它們的變化發(fā)生在離散的瞬間，如電子表的秒信號、由計算機鍵盤輸入到計算機的信號等。它們的值也僅在有限個量化值間階躍變化，而數字電路就是傳送、處理這些數字信號的。這類信號在兩種穩(wěn)定狀態(tài)(如電位的高、低或脈沖的有、無)之間作階躍式變化，可以分別表示“0”和“1”兩種信號，如脈沖就是其典型的信號。下一頁返回1.1數字電路概述脈沖就是短時間內出現的電壓或電流，或者說間斷性的電壓或電流叫做脈沖電壓或脈沖電流。很明顯，前面提及的模擬信號—直流和正弦交流信號不是脈沖信號。廣義來講，按非正弦規(guī)律變化的電壓或電流稱為脈沖電壓或電流。數字信號是脈沖信號。正因為如此，有時把數字電路也叫做脈沖電路。但一般情況下，脈沖電路著重研究脈沖信號的產生、變換、放大和測量等。數字電路著重研究構成數字電路各單元之間的邏輯關系。脈沖參數指為了表征脈沖信號的特性，常用來描述的一些參數。現在以矩形脈沖電壓為例介紹脈沖參數。矩形脈沖電壓如圖1-1所示。上一頁下一頁返回1.1數字電路概述圖中:脈沖幅度Um——脈沖電壓變化的最大值;脈沖寬度tp-——脈沖前沿0.5Um至脈沖后沿0.5Um的一段時間，又稱脈沖的持續(xù)時間;脈沖周期T——周期性脈沖信號前后兩次出現的時間間隔;重復頻率f(1/T)—單位時間內脈沖重復的次數;上升時間tr——由0.1Um上升到0.9Um所需要的時間;下降時間tf——由0.9Um下降到0.1Um所需要的時間。上一頁下一頁返回1.1數字電路概述1.1.2數字電路的特點與分類數字電路的工作信號一般都是數字信號。在電路中，它往往表現為突變的電壓或電流，并且只有兩種可能的狀態(tài)。所以，數字電路中的半導體器件應工作在開關狀態(tài)。利用器件導通和截止這兩種不同的工作狀態(tài)代表不同的數字信息，來完成信號的傳輸、傳遞和處理任務。通常用0和1表示數字信號最為簡單，常用的數字信號是用電壓的高、低，脈沖的有、無，分別代表兩個離散數值1和0。所以，數字電路在結構、工作狀態(tài)、研究內容和分析方法等方面都與模擬電路不同，它具有以下特點:上一頁下一頁返回1.1數字電路概述(1)數字電路在穩(wěn)態(tài)時，半導體器件(如三極管)處于開關狀態(tài)，即工作在飽和區(qū)和截止區(qū)。這和二進制信號的要求是相對應的，因為飽和、截止兩種狀態(tài)的外部表現為電流的有、無，電壓的高、低，這種有和無、高和低相對應的兩種狀態(tài)分別用1和0兩個數碼來表示。(2)數字電路的基本單元電路比較簡單，對元器件的精度要求不高，允許有較大的誤差。因為數字信號的1和0沒有任何數量的含義，而只是狀態(tài)的含義，所以電路工作時只要能可靠地區(qū)分1和0兩種狀態(tài)即可。因此，數字電路便于集成化、系列化生產。它具有使用方便、可靠性高、價格低廉等優(yōu)點。上一頁下一頁返回1.1數字電路概述(3)在數字電路中，重點研究的是輸入信號和輸出信號之間的邏輯關系，以反映電路的邏輯功能。數字電路研究可以分為兩種:一種是對已有電路分析其邏輯功能，叫做邏輯分析;另一種是按邏輯功能要求設計出滿足邏輯功能的電數字信號，稱為邏輯設計。(4)數字電路的工作狀態(tài)、研究內容與模擬電路不同，所以分析方法也不相同。在數字電路中，常常是使用真值表、邏輯表達式、波形圖、卡諾圖、特性方程、狀態(tài)方程、狀態(tài)轉換表、時序圖以及狀態(tài)轉換圖等來表示電路功能。(5)數字電路能夠對數字信號進行各種邏輯運算和算術運算，所以在各種數控裝置、智能儀表以及計算機中得到廣泛應用。上一頁下一頁返回1.1數字電路概述數字電路按其組成結構的不同可分為分立元件電路和集成電路兩大類。其中，集成電路按集成度大小可分為小規(guī)模集成電路(SSI，集成度為1~10門/片)、中規(guī)模集成電路(MSI，集成度為10~100門/片)、大規(guī)模集成電路(LSI，集成度為100~1000門/片)和超大規(guī)模集成電路(VLSI，集成度大于1000門/片)。按電路所用元器件的不同，數字電路可分為雙極型電路和單極型電路。其中，雙極型電路又有TTL,DTL,ECL,IIL和HTL等多種，單極型電路有JFET,NMOS、PMOS和CMOS4種。按電路邏輯功能的不同特點，數字電路可分為組合邏輯電路和時序邏輯電路兩大類。上一頁返回1.2數制和碼制上一節(jié)介紹了數字信號的兩種取值，實際生活中的數字表示大多采用進位計數制。下一頁返回1.2數制和碼制1.2.1進位計數制與常用計數制用數字量表示物理量大小時，僅用一位數碼往往不夠用，經常需要用進位計數的方法組成多位數碼表示。把多位數碼中每一位的構成方法以及從低位到高位的進位規(guī)則稱為計數制。在生產實踐中除了人們最熟悉的十進制以外，還大量使用各種不同的進位計數制，如八進制、十六進制等。在數字設備中，機器只認識二進制代碼，由于二進制代碼書寫長，所以在數字設備中又常采用八進制代碼或十六進制代碼。無論使用哪種進位計數制，數值的表示都包含兩個基本要素:基數和位權。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制一種進位計數制允許使用的基本數字符號的個數，稱為這種進位計數制的基數。一般而言，J進制數的基數為J，可供使用的基本數字符號有J個，它們分別是0~(J-1)，每個數位計滿J就向其高位進1，即“逢J進1”。進位計數制中每位數字符號所表示的數值等于該數字符號值乘以一個與數字符號所處位置有關的常數，這個常數就稱為位權，簡稱權。位權的大小是以基數為底、數字符號所處位置的序號為指數的整數次冪。各數字符號所處位置的序號計法為:以小數點為基準，整數部分自右向左依次為0,1,2,…，小數部分自左向右依次為-1、-2,…。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制任何進制數的值都可以表示為該進制數中各位數字符號值與相應權乘積的累加和形式，該形式稱為按權展開的多項式之和。一個J進制數(N為按權展開的多項式的普遍形式可表示為:式中，K為任意進制數中第i位的系數，可以為0~(J-1)數碼中的任何一個;i是數字符號所處位置的序號;m和n為整數，m為小數部分位數(取負整數)，n為整數部分位數(取正整數);.J為進位基數，Ji為第i位的權值。例如，十進制數(123.75)10表示為:上一頁下一頁返回1.2數制和碼制1.十進制(Decimal)十進制是日常生活中最常用的進位計數制。在十進制數中，每一位有0~9共10個數碼，所以計數的基數是10。超過9的數必須用多位數表示，其中低位和相鄰高位之間的關系是“逢十進一”，故稱為十進制。根據式

任何一個十進制數均可展開并計算其數值的大小。例如:上一頁下一頁返回1.2數制和碼制2.二進制(Binary)目前在數字電路中應用最多的是二進制。在二進制數中每一位數有0和1兩個可能，所以計數基數為2。低位和相鄰高位間的進位關系是“逢二進一”，故稱為二進制。例如:上式中使用下腳注的2和10表示括號里的數是二進制數和十進制數，有時也用B(Binary)和D(Decimal)代替2和10這兩個腳注。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制計算機內部采用二進制表示，具有以下幾個優(yōu)點。1)技術容易實現因為組成計算機的電子器件本身具有可靠穩(wěn)定的“開”和“關”兩種狀態(tài)，用于表示二進制數位上的0,1時，易于存放、傳送和處理。2)運算規(guī)則簡單兩個一位二進制數的和、積運算組合各僅有3種:0+0=0,0+1=1+0=1,1+1=0(向高位進1)及0·0=0,0·1=1,0=0,1·1=1。而兩個一位十進制數和、積運算組合各有55種之多。二進制數運算規(guī)則簡單，有利于簡化計算機內部結構，并提高運算速度。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制3)與邏輯量吻合邏輯量1,0表示一個事物的正、反兩個方面，如是/非、真/假、對/錯等。雖然邏輯量并不具有數值概念，但形式上正好與進制代碼相吻合，為計算機進行邏輯運算提供了條件。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制3.十六進制(Hexadecimal)十六進制數的每一位有16個不同的數碼，分別用0~9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)表示。根據式

，任意一個十六進制數可展開并計算其大小。例如:上一頁下一頁返回1.2數制和碼制式中的下腳注16表示括號里的數是十六進制數，有時也用H(Hexadecimal)代替這個腳注。另外，以前也常用八進制(Octadic)作為計算機應用中數據的書寫形式。八進制數與二進制數也有簡單的對應關系。表1-1給出了進制數(K2,K1,K0,K-1)，當J分別為2,8,10,16時的各位權值的對照。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制1.2.2數制轉換1.非十進制數轉換成十進制數如前所述，任何進制數只要求出其按權展開的多項式之和，該和值便是對應的十進制數。非十進制數只要利用它們按權展開的多項式再逐項相加，所得的值便是對應的十進制數?！纠?-1】求二進制數(l0l1.011)2所對應的十進制數。解

把二進制數(l0l1.011)2按權展開得(1011.011)2=1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2+1x2-3=8+2+1+0.25+0.125=(11.375)10。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制【例1-2】求八進制數(153.07)8所對應的十進制數。解

把八進制數(153.07)8按權展開得(153.07)8=1x82+5x81+3x80+0x8-1+7x8-2=64+40+3+0.109375=(103.109375)10?！纠?-3】求十六進制數(E93.A)16所對應的十進制數。解

把十進制數(E93.A)16按權展開得(E93.A)16=14x162+9x161+3x160+10x16-1=3584+144+3+0.0625=(3731.0625)10。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制2.十進制數轉換成其他進制數十進制數轉換成其他進制數相對于非十進制數轉換成十進制數要復雜一點。其中，十進制數的整數部分和小數部分要用不同的方法加以處理。整數轉換采用基數除法，即將待轉換的十進制數除以新進位制的基數并取其余數，其步驟如下。(1)將待轉換的十進制數除以新進位制的基數R，使其余數作為新進位制數的最低位。(2)將步驟(1)所得的商再除以新進位制基數R，記下余數，作為新進位制數的次低位。(3)重復步驟(2)，將每次所得的商除以新進位制基數，記下余數，得到新進位制數相應的各位，直到最后相除的商為0，這時的余數即為新進位制數的最高位。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制【例1-4】求十進制數(26)10所對應的二進制數。因此(26)10=(11010)2。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制【例1-5】求十進制數(357)10所對應的八進制數。解因此(357)10=(545)8。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制【例1-6】求十進制數(367)10所對應的十六進制數。解因此(367)10=(16F)16。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制純小數部分的轉換則采用基數乘法，即將待轉換的十進制的純小數逐次乘以新進位制基數R，取乘積的整數部分作為新進位制的有效數字。①待轉換的十進制純小數乘以新進位制基數R，取其整數部分作為新進位制純小數的最高位K-1。②將上步①所得的小數部分再乘以新進位制基數R，取其積的整數部分作為新進位制小數的次高位K-2。③重復前一步，直到小數部分變成0時，轉換結束?；蛘咝挡糠蛛m未變成0，但新進位制小數的位數已達到預定的要求(如位數的要求或者精度的要求)為止，最后一位積的整數部分作為二進制小數最低位的系數K-m。積的整數部分序列K-1K-2…K-m+1K-m。便構成了對應的二進制數。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制【例1-7】求十進制數(0.875)10所對應的二進制數。解因此(0.875)10=(0.111)2。如果是一個有整數又有小數的數，則整數小數應分開轉換，再相加即可得到轉換結果。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制【例1-8】求十進制數52.375)10所對應的二進制數。解

整數為52按整數轉換方法——基數除法得

(52)10=(110100)2;小數為(0.375)10按基數乘法轉換得(0.375)10=(0.011)2;因此(52.375)10=(110100.011)2。至于十進制數轉換為八進制數、十六進制數，可根據上述方法自己練習。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制3.二進制與八進制和十六進制的相互轉換由于二進制與八進制和十六進制之間正好滿足23和24關系，因此它們之間的轉換十分方便。二進制轉換為八進制、十六進制分整數和小數兩個部分進行。以小數點為界，整數部分向左、小數部分向右每3位或每4位一組，若遇到最高或最低位一組不足位，則在有效位兩邊補0，然后按每組二進制數轉換為八進制數和十六進制數。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制【例1-9】求十進制數(1110110101.01101)2所對應的八進制數和十六進制數。解因此(1110110101.01101)2=(1665.32)8;(1110110101.01101)2=(3B5.68)16。八進制數和十六進制數轉換為二進制數是上述過程的逆過程，分別將每位八進制數或十六進制數用二進制代碼寫出來，然后寫成相應的二進制數。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制【例1-10】分別求八進制數(563.4)8和十六進制數(563.4)16所對應的二進制數。解(563.4)8=(101110011.100)2;(563.4)16=(010101100011.0100)2。當要將八進制數和十六進制數相互轉換時，借二進制數作為過渡，用十六進制數轉換為二進制數，再轉換為八進制數(或相反)的轉換方法來實現。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制1.2.3碼制和常用代碼在數字設備中，任何數據和信息都是用代碼來表示的。在二進制中只有兩個符號n和1，如有n位二進制，它有2n種不同的組合，即可以代表2n種不同的信息。指定某一組合去代表某個給定的信息，這一過程就是編碼，將表示給定信息的這組符號叫做碼或代碼。實際上，前面討論數制時，用一組符號來表示數，這就是編碼過程。由于指定可以是任意的，故存在多種編碼方案。本節(jié)介紹幾種常用的編碼。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制1.二-十進制碼(BCD碼)由于二進制計數容易實現，所以數字設備中廣泛采用二進制。但是，人們對十進制熟悉，而對二進制不習慣，兼顧兩者，故采用一組二進制數來表示十進制數，這就是用二進制碼表示的十進制數，簡稱BCD(BinaryCodedDecimals)碼。一位十進制數有0~9共10個數符，必須用4位二進制數來表示，而4位二進制數有16種組合，指定其中的任意10個組合來表示十進制的10個數，其編碼方案有很多，但較常用的只有有權BCD碼和無權BCD碼。在有權BCD碼中，每一個十進制數符均用一個4位二進制碼來表示，這4位二進制碼中的每一位均有固定的權值。常見的BCD碼見表1-2。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制表中所列出的權值就是該編碼方式相應各位的權，如8421BCD碼，各位權值為8,4,2,1。如代碼為1001，其十進制數值為8+1=9。而同一代碼1001,對應其他代碼所表示的數就不同了，如5421碼為6;2421碼為3;631-1碼為5;余3碼為6;7321碼則是8。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制2.可靠性編碼代碼在產生和傳輸過程中難免會發(fā)生錯誤，為減少或者在發(fā)生錯誤時能迅速地發(fā)現或糾正，在工程應用中普遍采用了可靠性編碼技術。利用該技術編制出來的代碼叫可靠性代碼，最常用的有格雷碼和奇偶校驗碼。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制1)格雷碼格雷(Gray)碼又稱循環(huán)碼，它的編碼方案有多種(表1-3所列為格雷碼的一種編碼方案)，但它們都有一個共同的特點，即任意兩個相鄰數對應的代碼只有一位不同，而且整個二進制碼的首、尾格雷碼之間也只相差一位二進制數碼。用普通二進制碼表示的數則沒有這個特點。例如，相鄰的十進制數7和8,它們的二進制碼分別0111和1000，相互之間有4位不同。當進行加1計數時，4位都要變化，但事實上計數器的各位輸出不可能完全同時變化，這樣在變化過程中就可能出現其他代碼，并將形成干擾，這在有些應用中是不允許的。而格雷碼從編碼形式上杜絕了這種情況出現的可能。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制2)奇偶校驗碼數碼在存取、傳送和運算過程中難免會發(fā)生一些錯誤，即有的“1”錯成“0”或有的“0”錯成“1"，奇偶校驗碼是一種能夠檢驗出這種差錯的可靠性編碼。奇偶校驗碼由信息位和校驗位兩部分組成，信息位是要傳輸的原始信息，校驗位則是附加的冗余位。奇偶校驗碼分奇校驗和偶校驗兩種，校驗位產生的規(guī)則是:對于奇校驗，若信息位中有奇數個“1”，則校驗位為“0”;若信息位中有偶數個“1”，則校驗位為“1”。對于偶校驗，若信息位中有奇數個“1”，則校驗位為“1”;若信息位中有偶數個“1”，則校驗位為“0”;即通過調節(jié)校驗位的“0”或“1”，使傳輸出去的代碼中“1”的個數恒為奇數或偶數。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制接收方對收到的加有校驗位的代碼進行校驗。信息位和校驗位中“1”的個數的奇偶性符合約定的規(guī)則，則認為信息沒有發(fā)生差錯，否則可以確定信息已經出錯。表1-4列出了8421BCD碼的奇校驗和偶校驗碼。這種奇偶校驗只能檢測出錯誤，但不能確定是哪一位出錯，也無糾錯能力。但由于其實現起來容易，信息傳送率也高，所以仍被廣泛應用于數字系統(tǒng)中。上一頁下一頁返回1.2數制和碼制3)字符碼字符碼是對各個字母和符號都編碼的代碼。字符碼的種類繁多，目前廣泛使用的字符碼是ASCII碼，其次還有電傳碼和EBCDIC碼。表1-5所列為常用的幾種字符碼。“邏輯”一詞首先在邏輯學里出現。邏輯學屬于哲學領域，它研究邏輯思維與邏輯推理的規(guī)律，涉及問題產生的條件和結果。表示條件的邏輯變量就是輸入變量，表示結果的邏輯變量就是輸出變量，而描述輸入、輸出變量之間邏輯關系的表達式就稱為邏輯函數或邏輯表達式。數字電路的輸入量和輸出量之間的因果關系可用來實現各種邏輯關系，所以數字電路也稱邏輯電路。上一頁返回1.3邏輯代數基礎“邏輯”一詞首先在邏輯學里出現。邏輯學屬于哲學領域，它研究邏輯思維與邏輯推理的規(guī)律，涉及問題產生的條件和結果。表示條件的邏輯變量就是輸入變量，表示結果的邏輯變量就是輸出變量，而描述輸入、輸出變量之間邏輯關系的表達式就稱為邏輯函數或邏輯表達式。數字電路的輸入量和輸出量之間的因果關系可用來實現各種邏輯關系，所以數字電路也稱邏輯電路。下一頁返回1.3邏輯代數基礎1.3.1基本邏輯運算與復合邏輯運算基本的邏輯關系有“與”邏輯、“或”邏輯及“非”邏輯3種。復合邏輯是由與、或、非3種基本邏輯運算復合而成，主要有“與非”“或非”“與或非”“異或”和“同或”等幾種。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎1.邏輯“與”只有決定一事件結果的全部條件同時具備時，結果才會發(fā)生。這種條件和結果的關系就稱為邏輯“與”(AND)或邏輯“乘”，在邏輯代數中也稱為“與運算”。在圖1-2所示的邏輯“與”關系的電路中，設燈亮為邏輯“1”，燈滅為邏輯“0”;開關閉合為邏輯“1”，開關斷開為邏輯“0”，則燈亮的條件是:開關A,B都閉合議種關系也可以寫成邏輯裘認式:L=A·B或L=AB這里的“·”是“與”運算符，讀作“與”或者“邏輯乘”，在不引起誤解的前提下可省略。邏輯“與”的含義是:只有輸入變量A和B都為1時，輸出變量L才為1;反之，只要A和B中有一個為0,L便為0。換句話說，就是“有0出0，全1出1”。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎根據定義可以得出邏輯與的基本運算規(guī)則為:0·0=0，0·1=01·0=0，1·1=1運用代數方法可以進一步推導出以下關系:A·0=0，A·1=A，A·A=A邏輯關系還可以用列表方式來描述，表中列出了全部輸入變量的所有取值組合和輸出變量的一一對應關系，這種列表稱為“真值表”。表1-6給出仁變量與運算L=AB的真值表。其邏輯符號如圖1-2(b)所示。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎2.邏輯“或”在決定事物結果的諸條件中只要有任何一個或一個以上滿足，結果就會發(fā)生。這種條件和結果的關系就稱為邏輯“或”(OR)或邏輯“加”，在邏輯代數中也稱為“或運算”。在圖1-3所示的具有邏輯“或”關系的電路中，燈亮的條件是:開關A和B中至少有一個閉合，這種關系也可以寫成邏輯表達式:L=A+B這里的“+”是或運算符，讀作“或”或者“邏輯加”。邏輯或的含義是:只要輸入變量A和B中有一個或一個以上為1，則輸出變量L就為1;反之，只有A和B全為0時，L才為0。換句話說，就是“有1出1，全0出0”。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎由此可以得出邏輯或的基本運算規(guī)則為:0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1運用代數方法可以進一步推導出以下關系:A+0=A，A+1=1，A+A=A表1-7給出了二變量或運算L=A+B的真值表。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎3.邏輯“非”只要條件具備了，結果便不會發(fā)生;而條件不具備時，結果一定會發(fā)生。這種條件和結果的關系就稱為邏輯“非”(NOT)或者邏輯“反”，在邏輯代數中也稱為“非運算”。在圖1-4所示的具有邏輯“非”關系的電路中，燈L亮的條件是:開關A斷開。這種關系也可以寫成邏輯表達式:L=

A這里變量上的“-”是“非”運算符，讀作“非”或者“反”。含義是:只要輸入變量A為0,輸出變量L就為1;反之，A為1時，換句話說，就是“見0出1，見1出0”。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎由此可以得出邏輯非的基本運算規(guī)則為:

0=1，

1=0邏輯非的L便為0運用代數方法可以進一步推導出以下關系:A·A=0，A+

A=1，A=A表1-8給出了非運算L=

A的真值表。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎4.“與非”邏輯“與”和“非”的復合邏輯稱為“與非”邏輯，邏輯符號如圖1-5(a)所示。邏輯函數式是:L=AB由此可見，“與非”邏輯實際就是“與”邏輯之“非”。其邏輯功能見真值表表1-9，輸入變量只要有一個為“0”，輸出就是“1”;只有當全部變量輸入為“1”時，輸入才為“0”，即“有0出1，全1出0”。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎5.“或非”邏輯“或”和“非”的復合邏輯稱為“或非”邏輯，邏輯符號如圖1-5(b)所示。邏輯函數表達式是:L=A+B可見，“或非”邏輯實際上就是“或”邏輯之“非其邏輯功能見真值表表1-10，輸入變量只要有一個為“1”，輸出L=0。只有當輸入變量全部為“0”時L才為“1”，即“見1出1，全0出1”。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎6“與或非”邏輯與”“或”“非”3種邏輯的復合邏輯稱為“與或非”邏輯，邏輯符號如圖1-5(c)所示。邏輯函數表達式是:L=AB+CD“與或非”邏輯的邏輯關系描述為:當各組“與”中至少有一組輸入均為1”時，輸出才為“0”;反之，當所有組“與”的輸入中，都至少有一個為“0”，則輸出才為“1”。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎7.“異或”邏輯和“同或”邏輯若兩個輸入變量A和B的取值相異，則輸出變量L為“1”;若A和B的取f直相同，則L為“0”。這種邏輯關系叫“異或”(XOR)邏輯，邏輯符號如圖1-6(a)所示。其邏輯函數式是:可見，“異或”邏輯也是由“與”邏輯、“或”邏輯和“非”邏輯復合而成的，讀作“L等于A異或B",其邏輯功能見表1-11。輸入變量相同則輸出L=0;相異則輸出L=1。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎若兩個輸入變量A和B的取值相同，則輸出變量L為“1";若A和B的取值相異，則L為0，這種邏輯關系叫“同或”邏輯，也叫“符合”邏輯，其邏輯符號如圖1-6(b)所示。其邏輯函數表達式是:讀作“L等于A同或B"，其邏輯功能見真值表表1-11。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎1.3.2邏輯代數基本定律及基本規(guī)則邏輯代數也稱為開關代數或布爾代數，它用于研究邏輯電路的輸出量與輸入量之間的因果關系，是邏輯分析和設計的主要數學工具。它雖然與普通代數一樣也用字母(A，B,C…)表示變量，但變量的取值只有“1”和“0”兩種，即所謂的邏輯“1”和邏輯“0”。它們不是數學符號，而是代表兩種相反的邏輯狀態(tài)。邏輯代數所表示的邏輯關系無數量關系，這是它與普通代數的本質區(qū)別。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎1.邏輯的基本定律在邏輯代數中只有與、或、非3種基本運算，在函數式中它們的運算優(yōu)先級別依次為非、與、或根據與、或、非運算的定義和運算規(guī)則，可推導出一系列邏輯運算定律和規(guī)則。這些定律和規(guī)則是邏輯函數化簡和邏輯電路分析、設計的數學基礎。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎1)基本運算法則(1)0·A=0;(2)1·A=A;(3)A·A=A;(4)A·0=0;(5)0+A=A;(6)1+A=1;(7)A+A=A;(8)A+A=1;(9)A=A。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎2)交換律(1)AB=BA;(2)A+B=B+A。3)結合律(1)ABC=(AB)C=A(BC);(2)A+B+C=A+(B+C)=(A+B)+C。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎4)分配律(1)A(B+C)=AB+AC;(2)A+BC=(A+B)(A+C)。證(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC(分配律)=A+AB+AC+BC(基本運算法則)=A(1+B+C)+BC(分配律)=A+BC(基本運算法則)上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎5)吸收律(1)A(A+B)=A;證A(A+B)=AA+AB(分配律)=A+AB(基本運算法則)=A(1+B)(分配律)=A(基本運算法則)(2)A(

A+B)=AB;(3)A+AB=A;(4)A+

AB=A+B;證A+

AB=(A+

A)(A+B)(分配律)=A+B(基本運算法則)上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎(5)AB+A

B=A;(6)(A+B)(A+

B)=A。證(A+B)(A+

B)=AA+AB+A

B+B

B(分配律)=A+A(B+

B)(基本運算法則、結合律)=A+A(基本運算法則)=A上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎6)多余項律(7)AB+

AC+BC=AB+

AC證

左邊=AB+

AC+(A+

A)BC(基本運算法則)=AB+ABC+

AC+

ABC(分配律、結合律)=AB(1+C)+

AC(1+B)(分配律)=AB+

AC(基本運算法則)(8)(A+B)(

A+C)(B+C)=(A+B)(

A+C)。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎7)反演律(也稱為摩根定律)(1)AB=

A+

B結果見表1-12。(2)A+B=

A

B結果見表1-13。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎2.邏輯代數的基本規(guī)則邏輯代數有3個基本規(guī)則，即代人規(guī)則、反演規(guī)則和對偶規(guī)則。它們和基本定律一起構成完整的邏輯代數系統(tǒng)，可以用來對邏輯函數進行描述、推導和變換。1)代入規(guī)則任何邏輯函數和邏輯變量都只能取值0或1。因此，一個含有邏輯變量X的等式若用邏輯函數F去置換等式中所有的X，則等式仍然成立。這就是邏輯代數的代入規(guī)則。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎【例1-11】證明F=C+D置換等式A+B=AB中的B后，等式仍然成立。證置換后:左邊=A+C+D=

A

C

D;右邊=

AC+D=

A

C

D。所以左邊=右邊，F置換B后等式仍然成立。它也證明了摩根定律的正確性。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎2)反演規(guī)則已知函數F,要求其反函數F時，只要將

F中所有原變量變?yōu)榉醋兞?，反變量變?yōu)樵兞?與運算變成或運算，或運算變成與運算;0變成1,1變成0，便得到了

F。這就是反演規(guī)則?！纠?-12】求函數F=AB+

CD的反函數

F。解由代入規(guī)則和反演律可以得到:

F=AB+

CD=AB

CD=(

A+

B)(C+

D)。比較函數F和

F的內容可以看出，該例求解結果與直接用反演規(guī)則求得的結果相同。運用反演規(guī)則時，要注意運算符號的優(yōu)先次序及括號的正確使用方法。若函數比較復雜，特別是遇到多重非運算時，可將函數中的某一部分看做一個變量，然后再求反函數。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎【例1-13】求函數F=A+

BC的反函數

F。解

令X=

BC,F=A+X，則:

F=A+X=

A

X=

A

BC=

A

BC。該例也可先將原函數中的多重非運算運用反演規(guī)則化簡后再求反函數。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎3)對偶規(guī)則函數F中變量保持不變，而所有與運算變?yōu)榛蜻\算，或運算變?yōu)榕c運算;0變?yōu)?,1變?yōu)椤?，便得到了一個新函數F',F'就稱為原函數的對偶函數。這就是對偶規(guī)則。對偶關系是相互的。所以，若F'是F的對偶函數，那么F也是尸的對偶函數。由代入規(guī)則和反演規(guī)則可知，若F=G，則

F=

G。而

F與F',

G與G'，區(qū)別在于:求反函數時變量要求反，求對偶函數時變量不要求反。只要將

F和

G中的所有變量取反代入，便可得到F'和G'。所以若兩個函數相等，則它們各自的對偶函數也必然相等，即F=G，則F'=G'。這一點可以用真值表來證明。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎例如:A+(B+C)=(A+B)+C，則A(BC)=(AB)C。上一行兩式正是分配律的或運算和與運算的形式。進一步觀察前面介紹過的基本定律，可以看出:每一個基本定律的或運算形式的對偶式就是該定律的與運算形式。利用這個規(guī)則，基本定律的記憶時間可以減少一半。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎1.3.3邏輯函數的表示及化簡常用的邏輯函數表示方法有邏輯真值表(簡稱真值表)、邏輯函數式(簡稱邏輯式或函數式)、邏輯圖和卡諾圖等。不同的表示方法之間可相互轉換。1)真值表將輸入變量所有的取值下對應的輸出值找出來，列成表格，即可得到真值表。例如，3人表決某事件，根據少數服從多數的原則，全部不同意，事件不通過;只有一人同意，事件不通過;只有2人或3人都同意事件才可通過。若用“0”表示不同意意見;用“1”表示同意意見;用“0”表示事件不通過，用“1”表示事件通過，則可以列出真值表表1-14。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎2)邏輯函數式把邏輯函數的輸出、輸入關系寫成與、或、非等邏輯運算的組合式，稱邏輯函數式。在真值表中，挑出那些使函數值為1的輸入變量組合，變量為1的寫成原變量，為0的寫成反變量，對應于使函數值為1的每一種組合可以寫出一個乘積項(與關系)，將這些乘積項相加(或關系)，即可得到邏輯函數的與或關系式?！纠?-14】寫出上題中3人表決事件被通過的邏輯函數表達式。解A,B,C有4種變量組合使F為1，即011,101,110和111，則可得4個乘積項為

ABC,A

BC,AB

C和ABC,該函數的與或表達式為:F=

ABC+A

BC+AB

C+ABC。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎3)邏輯圖用邏輯符號表示基本單元電路以及由這些基本單元組成的邏輯部件，按邏輯函數的要求畫出的圖形稱為邏輯圖。由于邏輯代數中的基本運算都有相對應的門電路，用這些門電路的邏輯符號代替邏輯函數式中的各項組成的圖形就是邏輯圖?！纠?-15】畫出函數F=AB+

C的邏輯圖。解該函數包括與、或、非3種關系，用與其對應的邏輯符號組成邏輯圖，如圖1-7所示。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎2.各種表示方法間的相互轉換既然同一個邏輯函數可以用3種不同的方法來描述，那么這3種方法之間必能互相轉換。經常用到的轉換方法有以下幾種。1)從真值表寫出邏輯函數式從真值表寫出邏輯函數式的一般方法如下。①找出真值表中使邏輯函數F=1的那些輸入變量取值的組合。②每組輸入變量取值的組合對應一個乘積項，其中取值為1的寫人原變量，取值為0的寫人反變量。③將這些乘積項相加，即可得到F的邏輯函數式。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎【例1-16】已知一個奇偶判別函數的真值表見表1-15，試寫出它的邏輯函數式。解

由真值表可見，只有當A,B,C3個輸入變量中兩個同時為1時，F才為1。因此，F的邏輯函數應當等于這3個乘積項之和，即F=

ABC+A

BC+AB

C。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎2)從邏輯式列出真值表將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代入邏輯式求出函數值，并列成表，即可得到真值表?！纠?-17】已知邏輯函數F=AB+

ABC，求它所對應的真值表。解將A,B,C的各種取值逐一代入F式中計算，將計算結果列表。初學者為避免出差錯可先將AB和

ABC兩項算出，然后將它們的值相加求出F的值，見表1-16。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎3)從邏輯式畫出邏輯圖用圖形符號代替邏輯式中的運算符號，就可以畫出邏輯圖了?！纠?-18】已知邏輯函數為F=(A+B)(B+C),畫出邏輯圖。解將式中所有的與、或、非運算符號用圖形符號代替，并根據運算優(yōu)先順序把這些圖形符號連接起來，就得到了圖1-8所示的邏輯圖。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎4)從邏輯圖寫出邏輯式從輸入端到輸出端逐級寫出每個圖形符號對應的邏輯式，就可以得到對應的邏輯函數式了?！纠?-19】已知函數的邏輯圖如圖1-9所示，試求它的邏輯函數式。解

從輸入端A和B開始逐個寫出每個圖形符號輸出端的邏輯式，得到F=(A+B)+A+B。將該式變換后可得F=(A+B)+A+B=(A+B)(

A+

B)=A

B+A

B=AB?？梢?，輸出F和A,B之間是異或邏輯關系。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎1.3.4邏輯函數的化簡通常由真值表給出的邏輯函數式還可以進一步化簡，使由此設計的電路更為簡單。因此，組成邏輯電路以前，需要將函數表達式化為最簡，通常是將函數化為最簡與或表達式。所謂最簡與或表達式指的是與項項數最少，每個與項中變量的個數也是最少的與或表達式。邏輯函數常用的化簡方法有兩種:公式化簡法和卡諾圖化簡法。在介紹邏輯化簡之前，先了解一下邏輯函數表達式的表示形式，這是邏輯函數化簡的基礎。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎1.邏輯函數表達式的表示形式1)邏輯函數最簡表達式的基本形式與、或、非等運算表示的函數中的各個變量之間的邏輯關系的代數式可以有多種形式。例如:上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎在上述多種表示形式中，“與-或”表達式和“或-與”表達式是邏輯函數的兩種最基本表達形式?！芭c-或”表達式是指一個函數表達式由若干個“與”項相或構成，每個“或”項是一個或者多個原變量或反變量的與運算式?！盎?與”表達式是指一個函數表達式由若干個“或”項相與構成，每個“或”項是一個或者多個原變量或反變量的或運算式。利用邏輯代數的定律、公式和規(guī)則，可以將任何一種形式的邏輯函數表達式簡化成“與-或”表達式和“或-與”表達式這兩種基本的形式，其詳細的過程將在后續(xù)內容介紹。下面簡要介紹由與-或形式變換為其他形式的方法。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎

(1)與-或形式變換為與非-與非形式。利用反演律將整個與-或式兩次求反，即可將與-或形式化為與非-與非形式?！纠?-20】將下面的邏輯函數化為與非-與非形式。F=AB+

AC;解

應用反演律(也稱為摩根定律)將上式兩次求反，可得到這樣就把函數式化成了全部由與非運算組成的形式。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎

(2)與-或形式變換為與-或-非形式。根據邏輯代數的基本公式和代入定理可知，任何一個邏輯函數都遵守公式F+

F=1。又知所有最小項之和恒等于1，所以若將不包含在F式中的所有最小項相加，得到的就是

F。將這些最小項之和再求反，也可得到F。因此，將不包含在函數式中的那些最小項相加，然后求反，得到的就是函數式的與-或-非形式。【例1-21】將例1-20的邏輯函數化為與-或-非形式。解將不包含在F式中的所有最小項

A

B

C,

AB

C,A

B

C和A

BC相加，得到的就是

F，將這些最小項之和再求反，也得到Fo

F=

A

B

C+

AB

C+A

B

C+A

BC=

A

C+A

B。如果畫在卡諾圖中，則只需將圖中填0的那些最小項相加，再求反，就可得到與-或-非形式邏輯函數式了。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎

(3)與-或形式變換為或非-或非形式。先按上述方法將與-或式轉換為與-或-非形式;再將與-或-非式中的每個乘積項化為或非的形式，即可得到或非-或非形式的函數式?！纠?-22】將例1-21的邏輯函數化為或非-或非形式。解上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎2)邏輯表達式的標準形式實際上，把一個函數寫成某一類型的表達式時，其表達式并不是唯一的。這給邏輯問題的研究帶來了某些不便，例如:F=AB+

AC=AB+

AC+BC=ARC+AB

C+

ABC+

A

BC=…下面介紹邏輯函數表達式的標準形式，這種表達形式是唯一的。邏輯函數表達式的標準形式有兩種:標準“與-或”表達式和標準“或-與”表達式。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎(1)標準“與-或”表達式。最小項的定義:有n個變量的邏輯函數的最小項是n個變量的乘積。每個變量以它的原變量或反變量的形式在乘積項中出現一次并且僅出現一次，則這個“與”項就被稱為最小項。以一個3變量的邏輯函數F(A,B,C)為例，它可以有多種形式的乘積，如

A

B

C,

AB

C,ABC,AB,BC,A等。其中，

A

B

C,

AB

C和ABC就是最小項。顯然，n個變量有2n個最小項，為書寫方便，通常用mi表示最小項。確定下標i的規(guī)則是:當變量按序(A，B，C，…)排列后，令“與”項中的所有原變量用1表示，反變量用0表示，則可得到一個1序列組成的二進制數，該二進制數即為下標G的值。為了進一步說明最小項的性質，以3變量函數F(A,B,(:)為例，列出所有8個最小項的真值表見表1-17。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎從表1-17中可以看出，最小項的性質如下:①對于任何一個最小項，只有一組變量的取值使它的值為1，并且最小項不同，使其值為1的變量組合也不相同。②任意兩個最小項之積恒為0,即mi·mj=0(i≠j)。③n個變量的全部最小項之和恒為1，記為

。④n個變量的最小項有n個相鄰最小項。當兩個最小項只有一個變量不同，且這個變量互為反變量時，這兩項稱為相鄰項一邏輯相鄰。這一性質在卡諾圖化簡時將進一步介紹。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎最小項是組成邏輯函數的基本單元，任何邏輯函數都可以表示成最小項之和的形式。由最小項相“或”構成的邏輯表達式稱為標準“與-或”表達式，也稱為“最小項之和”表達式或最小項表達式。在“最小項之和”表達式的簡略形式中，必須在函數后邊的括號內按順序標出函數全部變量，因為變量個數不同，m的意義就不同。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎(2)標準“或-與”表達式。最大項的定義:有n個變量的邏輯函數的“或”項包含全部n個變量，每個變量都以原變量或反變量的形式出現，且僅出現一次，則這個“或”項被稱為最大項。以3變量的邏輯函數F(A,B,明為例，‘已可以有多種形式的“或”項:

A+

B+

C,A+B+

C,A+B+C,B+C,A等，其中

A+

B+

C,A+B+C和A+B+

C就是最大項。顯然，n個變量有2個最大項，為書寫方便，通常用M表示最大項。最大項M中的下標i與最小項m中的下標i的確定正好相反，即將“或”項中原變量用0表示，反變量用1表示，這樣組成的二進制數對應的十進制數即為最大項的下標i，如(A+B+

C)可記作m1。由此可得到的3變量最大項編號見表1-18。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎最大項的性質如下:①對于任何一個最大項，只有一組變量的取值使它的值為0，并且最大項不同，使其值為0的變量取值組合也不相同。②任意兩個最大項之和恒為1,Mi+Mj=1(i≠j)。③n個變量的全部最大項之積恒為0，記為④n個變量的最大項有n個相鄰最大項。最大項也是組成邏輯函數的基本單元，任何邏輯函數都可以表示成最大項之積的形式，即標準“或-與”表達式。由最大項相“與”構成的邏輯表達式稱為標準“或-與”表達式，又叫“最大項之積”表達式或最大項表達式。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎【例1-23】F(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+

C)(

A+

B+C)=M0·M1·M6=M(0，1，6)。從上面的討論可以發(fā)現，最小項mi和最大項Mi之間存在互補關系，mi=

Mi或M=

mi。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎3)邏輯函數表達式的轉換任何一個邏輯函數都可以表示成最小項之和或者最大項之積的形式。不管什么形式的表達式，總可以將其轉換成標準“與-或”表達式或者標準“或-與”表達式。轉換的方法有代數轉換法、真值表法和卡諾圖法。(1)代數轉換法就是利用邏輯代數的基本定律和常用公式進行轉換的。①求標準“與-或”表達式的步驟。第一步:將函數表達式化成“與-或”表達式。第二步:反復使用A=A(B+

B)將表達式中所有非最小項的“與”項擴展成最小項。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎【例1-24】將邏輯表達式F(A,B,C)=A(B+C)+

AB+A

B化為最小項之和的形式。解

第一步:將函數表達式化成“與-或”表達式，即F(A，B，C)=AB+AC+

AB+A

B;第二步:將上式中非最小項的“與”項擴展成最小項。F(A，B，C)=AB(C+

C)+A(B+

B)C+

AB(C+

C)+A

B(C+

C)=ABC+AB

C+ABC+A

BC+

ABC+

AB

C+A

BC+A

B

C=m2+m3+m4+m5+m6+m7=m(2,3,4,5,6,7)。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎②求標準“或-與”表達式的步驟。第一步:將函數表達式化成“或-與”表達式。第二步:反復選用A=(A+B)(A+

B)把表達式中所有非最大項擴展成最大項。【例1-25】將邏輯函數表達式

變換成“最大項之積”的形式。解第一步:將函數表達式化成“或-與”表達式，即上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎第二步:將上式中非最大項的“或”項擴展成最大項。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎(2)真值表轉換法。由真值表寫出的邏輯函數表達式，正是邏輯函數的最小項表達式。事實上，當要寫出某一邏輯函數的最小項表達式時，可以先列出該邏輯函數真值表，然后再寫出最小項表達式?！纠?-26】求邏輯函數F(A,B,C)=AB+BC+AC的最小項表達式。解F(A,B,C)表達式的真值表見表1-19。從真值表表1-19中，挑出那些使函數值為1的變量組合，每一個組合對應一個最小項，將這些最小項相加就可得到函數的標準“與-或”表達式，即上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎同樣，可以寫成最大項表達式。從真值表中挑出那些使函數值為0的變量組合，每一個組合對應一個最大項，將這些最大項相“與”就得到了函數的標準“或-與”表達式，即上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎

(3)卡諾圖轉換法。將該邏輯函數用卡諾圖表示，式中包含的項用“1"表示，不包含的項用“0”表示。若合并圖中的“1”項得到的表達式就是標準“與-或”式;若合并圖中的“0”項得到的表達式后求反，利用摩根定律展開就是標準“或-與”式。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎【例1-27】將下面給出的邏輯函數轉換為標準“與-或”式和標準“或-與”式。F=AC+

A

B+

A

C如圖1-10(a)所示，將所有的“1”相加，可得標準“與-或”式。如圖1-10(b)所示，將所有的“0”相加后，求反再展開，可得標準“或-與”式。由上面的例題可知，一個函數有廠最小項表達式就可直接寫出該函數的最大項表達式。事實上，最小項與最大項之間存在著互補的關系。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎2.函數的代數化簡法對邏輯函數的基本定律、公式和規(guī)則的熟悉應用，是化簡邏輯函數的基礎，反復使用這些定律、公式和規(guī)則，可以將復雜的邏輯函數轉換成等效的最簡形式。常用的代數化簡法有并項法、吸收法、消去法、配項法和取消法等。1)并項法假設A代表一個復雜的邏輯函數式，則運用布爾代數中的A+A=1這個公式，可將兩項合并為一項，消去一個邏輯變量。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎【例1-28】試用并項法化簡下列邏輯函數。F1=

AB

C+A

C+

B

C;F2=A

B+ACD+

A

B+

ACD。解(分配律)(結合律、反演律)(分配律)(吸收律)上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎2)吸收法利用A+AB=A,AB+

AC+BC=AB+

AC吸收多余因子。【例1-29】用吸收法化簡下列邏輯函數。解(結合律、分配律)(基本運算法則6)(分配律)(多余項定理)上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎3)消去法利用公式AB+

AC+BC=AB+

AC和A+

AB=A+B消去多余因子?！纠?-30】化簡下列邏輯函數。解(反演律)

(多余項定理)

(分配律)

(消去法)

上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎4)配項法利用公式A=A+A和A=A(B+B)=AB+AB將式擴展成兩項，用來與其他項合并。配項的原則是:其一，增加的新項不會影響原始函數的邏輯關系;其二，新增加的項要有利于其他項的合并。使用配項法要求有較高的技巧性，初學者可采用試探法來進行。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎【例1-31】化簡下列邏輯函數。解(配項法)(分配律)(交換律、結合律)

(配項法)(分配律)(交換律、結合律)上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎代數化簡法并沒有統(tǒng)一的模式，要求對基本定律、公式和規(guī)則比較熟悉，并具有一定的技巧。一般來說，化簡時要注意以下幾點。①盡可能先使用并項法、吸收法、消去法等簡單方法進行化簡，在這些方法不能直接奏效的情況下，再考慮使用配項法。②如果原函數不是“與或”式，需先將其轉換成“與或”式，然后再化簡。③化簡后得到的最簡表達式不一定是唯一的，但它們中的“與”項個數以及“與”項中的因子都應該是最少的。例如:上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎以上兩種結果都是正確的最簡表達式，不同之處只是結果①由A

B和B

C項消去A

C項，由A

B和

AC項消去

BC項，由B

C和

AC項消去

AB項得到;而結果②由A

C和

AB項消去B

C項，由A

C和

BC項消去A

B項，由

AB和

BC項消去

AC項得到。④根據化簡的需要，可添加適當的多余項。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎3.邏輯函數的卡諾圖化簡法用代數法化簡邏輯函數需要依賴經驗和技巧，有些復雜函數還不易求得最簡形式。下面要介紹的卡諾圖化簡法，是一種更加系統(tǒng)并有統(tǒng)一規(guī)則可循的邏輯函數化簡法。1)卡諾圖的構成前面已經介紹過:一個n變量的邏輯函數的“與或”式，若其中每個“與”項都包含廠，，個變量(每個變量或以其原變量、或以其反變量形式在“與”項中必須并且僅出現一次)，這種“與”項稱為最小項，全部最小項的個數應該有2n個。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎

卡諾圖實質上是將代表全部最小項的2n個小方格按相鄰原則排列構成的方塊圖。所謂相鄰原則，是指卡諾圖上鄰接的任意兩個小方格所代表的兩個最小項中，僅有一個變量互為反變量，其余變量均相同。這種相鄰關系既可以是上下相鄰、左右相鄰，也可以是首尾相鄰，即一列中最上格與最下格相鄰、一行中最左格與最右格相鄰。圖1-11至圖1-15給出廠根據相鄰原則構成的一變量至五變量的卡諾圖。圖1-11所示為一變量卡諾圖，圖中兩個小方格分別代表m0和m1兩個最小項，圖框外的“0”和“1”分別表示取變量A的反變量和原變量。一變量卡諾圖中，每個最小項僅有一個相鄰項。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎圖1-12所示為二變量卡諾圖，圖中小方格分別代表m0,m1,m2和m3這4個最小項，圖框外的“0”和“1”同樣表示取反變量和原變量。例如，小方格上方的“01"表示A取反變量、B取原變量，即m,=

AB。需要強調的是，為了符合相鄰原則，行內最小項的排列次序必須為m0,m1,m3和m2，即它們的取值組合為00,01,11和10。二變量卡諾圖中，每個最小項均有兩個相鄰項。圖1-13所示為三變量卡諾圖，圖中小方格分別代表m0~m7這8個最小項，每個最小項均有三個相鄰項。小方格所在的行和列上所標的“0”和“1”，確定了對應的最小項。例如，“0”行、“11”列交叉點的小方格，表示A取反變量、B和C分別取原變量，即m3=

ABC。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎圖1-14所示為四變量卡諾圖，圖中小方格分別代表m0~m15共16個最小項，每個最小項均有4個相鄰項。注意，行、列上的變量取值組合次序也必須為00,O1,11,10。同樣，小方格所在的行和列上所標的“0”和“1"，確定了對應的最小項。例如，"10”行、"O1”列交叉點的小方格，表示A,D取原變量，B,C取反變量，即m9=A

B

CD.圖1-15所示為五變量卡諾圖，圖中小分別代表m0~m31共32個最小項，每個最小項均有5個相鄰項。注意，若將該卡諾圖左右兩個半幅以中線基準折疊重合后，則前后相對的小方格也符合相鄰原則。因此，卡諾圖上方變量C,D,E取值組合次序就必須為000,001、011、010,110,111、101、100.上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎實際使用時，卡諾圖的小方格中只要標出最小項的下角標值即可。熟練以后，甚至連下角標值也可以省略。因為從卡諾圖行、列上變量取值組合中，就可以看出某小方格所對應的最小項。五變量以上的卡諾圖過于復雜，通常很少使用。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎2)邏輯函數在卡諾圖上的表示上面的卡諾圖描述了一至五變量卡諾圖的構成，但其中沒有填入具體內容，所以它們都是空的卡諾圖，并不表示任何邏輯函數。①若邏輯函數的表達式為最小項之和，則只要在卡諾圖上將最小項對應的小方格標以1(簡稱1方格)，把剩余的小方格標以0(簡稱0方格)即可。有時0方格可不標出，就能得到該函數所對應的卡諾圖。例如，函數則在四變量卡諾圖中對應的小方格內填入“1"，其余位置填入“0"，就得到了圖1-16所示的卡諾圖。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎②利用真值表與標準“與一或”式的對應關系，可以從真值表直接得到函數的卡諾圖。只要將真值表中輸出為“1”的最小項所對應的小方格填入“1",其余小方格填入“0”即可。③如果函數表達式是非標準的“與一或”式，可以先用互補律(A+A=1)對缺少因子的“與”項進行變量補全，然后再填畫卡諾圖。例如:其卡諾圖如圖1-17所示。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎實際上，根據卡諾圖構成特點，可將任意“與”項直接在卡諾圖中填入。上例三變量函數中的AC項所對應的最小項應該占有三變量卡諾圖的

A和C共有的區(qū)域，即m1和m3;AB項所對應的最小項，應該占有A和B共有的區(qū)域，即m6和m7。上一頁下一頁返回1.3邏輯代數基礎3)卡諾圖化簡邏輯函數的原理卡諾圖化簡邏輯函數的基本原理依據關系式AB+A

B=A。即兩個“與”項中，如果只有一個變量互反，其余變量均相同，則這兩個“與”項可以合并成一項，消去其中的互反變量。由于卡諾圖上兩個相鄰的小方格代表的最小項中，僅有一個變量互反，所以可以將它們合并成一個較大的區(qū)域，并用一個較簡單的“與”項來表示。找到的相鄰最小項區(qū)域越大函數的簡化程度就越高。最簡單的相鄰最小項區(qū)域是卡諾圖上相鄰的兩個“1”方格，