2022新教材高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式 課后練習題含答案解析

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

1、不等關(guān)系與比較大小...................................................1

2、不等式的性質(zhì).........................................................4

3、基本不等式...........................................................7

5、基本不等式的應(yīng)用....................................................15

5、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式.....................................23

6、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的應(yīng)用...............................27

1、不等關(guān)系與比較大小

一、選擇題（每小題5分，共30分）

1.小輝準備用自己節(jié)省的零花錢買一臺學(xué)習機，他現(xiàn)在已存60元.計劃從現(xiàn)在

起以后每個月節(jié)省30元，直到他至少有400元.設(shè)x個月后他至少有400元，

則可以用于計算所需要的月數(shù)x的不等式是（）

A.30^-60^400B.30x4-60^400

C.30^-60^400D.30x4-40^400

【解析】選B.x個月后他至少有400元，可表示成30x+602400.

2.完成一項裝修工程，請木工共需付工資每人500元，請瓦工共需付工資每人

400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則工人滿足的

關(guān)系式是（）

A.5^+4X200B.5x+4y2200

C.5x+4y=200D.5x+4j<200

【解析】選D.根據(jù)題意知，500^+400j<20000,即5x+4j<200.

3.若力a>0,冰一a,設(shè)￥=",丫=空，則（）

aa-rm

A.X>YB.X<Y

C.X=YD.X與y的大小關(guān)系不確定

■AT—....e、，bb+mm（Z?-a）

【解析】達A.因為V=一一二「=―..,

aa-vma（d+加）

因為力a>0,所以6—&>0,

m（ba）

又因為正一a,所以力（力一a）<0,a+欣0,a（a+勿）<0,所以>一Y=-7~工—I>0?

a（a+7）

所以上匕

4.若丘一2且則1U/+/+4x—2y的值與一5的大小關(guān)系是()

A.粉一5B.M-5

C.心一5D.儂一5

【解析】選A.M—(—5)=V+y+4x—2y+5=(x+2)?+(y—I)2,因為任一2,

yWL所以(X+2)2>0,(y-l)2>0,Silt(x+2)2+(y-l)2>0,故粉一5.

5.設(shè)@=巾,b=y/7—y/3,c=y/6—y[2,則8b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

4

【解析】選B.b=*—y/3

于+4

因為小+因＞乖+小，

44

所以布下＜標八'所以"VC

因為鏡(^6+72)=2餡+2>4,

所以m:斕＜yf2,即cVa綜上，b＜c＜a.

6.(多選題)若46WR,且a+|6|<0,則下列選項錯誤的是()

A.a-b>0B.a+tf>0

C.a~^<0D.a+伙0

【解析】選A、B、C.a+|b|＜0知水0,且|?。緗引,當620時，a+伙0成立,

當從0時，a+從0成立，所以a+從0.

二、填空題（每小題5分，共10分）

7.如果a￡R,且才+水0,則a,，，—a,一才的大小關(guān)系是______.

【解析】由才+水0得水一一，所以水0且a＞—1,所以水一我我一a

答窠：水一才＜才＜一a

8.已知43^一葉3,『仁2/+3X一1,則機/V的大小關(guān)系是______.

［解析］M=3y—x+3,A—2y+3x—1＞因為M—.V—（3產(chǎn)——+3）—（2/+3才一

1)=3f—x+3—2/—3x+1=x?—4x+4=(x—2)220,所以A

答案：

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.某汽車公司由于發(fā)展的需要需購進一批汽車，計劃使用不超過1000萬元的

資金購買單價分別為40萬元、90萬元的力型汽車和6型汽車，根據(jù)需要，力型

汽車至少買5輛，8型汽車至少買6輛，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式

（組）.

【解析】設(shè)購買4型汽車和△型汽車分別為x輛、y輛，

p0x+90j<l000,

I*25,

則〈j

j/GN*.

px+9j<100,

I*25,

即《

/6,

10.下面為某省農(nóng)運會官方票務(wù)網(wǎng)站分布的幾種球類比賽的門票價格，某球迷賽

前準備1200元，預(yù)訂15張下表中球類比賽的門票.

類比賽門票，其中籃球比賽門票數(shù)與乒乓球比賽門票數(shù)相同，且籃球比賽門票的

費用不超過足球比賽門票的費用，求可以預(yù)訂的足球比賽門票數(shù).

【解析】設(shè)預(yù)訂籃球比賽門票數(shù)與乒乓球比賽門票數(shù)都是〃張，則足球比賽門票

預(yù)訂（15—2〃）張，

r80/?+60/?+100(15-2/?)W1200,

由題意得｛80〃W100(15-2/7),

5

解得,由〃wM知，27=5,

所以15-2/7=5,

故可預(yù)訂足球比賽門票5張.

2、不等式的性質(zhì)

一、選擇題（每小題5分，共30分）

1.若aVbVO,則下列不等式不成立的是（）

C.\a\>\b\D.

【解析】選A.取a=-2,Z?=—1,則一L不成立.

a—ba

2.若，g<3有下面四個不等式：①|(zhì)印>|引；②aVb；③a+bVab；④，

>凡不正確的不等式的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【解析】選C.由：g<0,可得0>a>6,所以|a|v|b|,故①②不成立；

所以a+Z?V0Va6,都成立，故③④一定正確.

3.（多選題）已知實數(shù)&b,。滿足WAa,且a~0,則下列不等式一定成立的

是（）

A.ab>acB.c（b~a）>0

C.ac{a—c）<0D.

【解析】選ABC.因為實數(shù)a,b,。滿足?！椿颽,且aHO,所以a>0,*0,由力c,

a>0,得ab>ac,故A正確；由叢a,c<0,得c（b—a）>0,故B正確；由a>c,

ac<0,得dcQ—c）<0,故C正確；由a>c,下20,得cbM",當b=。時，

等號成立，故D錯誤.

4.若一1<。<￡<1,則下列各式中恒成立的是()

A.—2〈。一￡<0B.—2<。一￡<-1

C.一1<。一￡<0D.一1<。一￡<1

【解析】選A.由一1〈萬<1,得一1<一尸<1,又一所以一2<。一￡<2,

而。<￡,所以一2〈。一尸<0.

5.己知&b,c,d￡R,則下列命題中必成立的是()

A.若a>b,6>b,則a>c

B.若a>—b,則c—a<.c+b

,,「盧b

C.若a>b,Xd,則1>-

D.若才>況則一水一，

【解析】選B.選項A,若I,0=2,c=5,顯然不成立；選項C不滿足倒數(shù)

不等式的條件，如a>b>0,K0〈d時，不成立；選項D只有石>。>0時才成立.否

則如a=—1,6=0時不成立，故選B.

ab

(多選題)若eVd<0,則卜列命題：⑵二+-<

6.a>0>6>—a,dc

0.(3)a—c>Z?—tZ(4)a?(d—c)>6(d—c)中能成立的是()

A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)

【解析】選B、C、D.因為a>0>6,cVdVO,所以adVO,bc>0,所以ad<bc,

所以⑴錯誤.

因為加>0>。>一多

所以d>—6>0,因為cVdVO,所以一c>一">0,

所以d(—c)>(―6)(一中,

所以四十bdVO,所以曰+也=受歲<0,所以⑵正確.

dccd

因為cVd,所以一c>—d,因為a>b,

所以乃+(一。)>力+(一中，即所以⑶正確.

因為d—c>0,所以aid—c)>b(d—c),所以(4)正確.

二、填空題(每小題5分，共10分)

7.給出下列命題：

①若劭>0,a>b,則一V）；

ab

②若a>b,c>d,則a—c>b-d；

③對于正數(shù)a,b,m,若3。，則1.

其中真命題的序號是.

【解析】對于①,若ab>0,a>bt則辦b>0或0>a>8,

所以,<7，所以①正確；對于②，不妨令3=2,b=l,c=—1,d=-3,貝ija

ab

—c=3,b—d=4.

所以3-C>b—d不成立，②錯誤；

對于③，對于正數(shù)a,b,/〃，

若水b,則a成bm,所以ab+a口Kab+bm,即a（/?+勿）<6（a+%），所以（,

綜上，正確的命題序號是①③.

答案：①@

X

8.已知60<水84,28<y<33,則x—y的取值范圍為，一的取值范圍為

【解析】x-y=x+（一。，所以需先求出一夕的范圍；j=xX^,所以需先求

出;的范圍.因為28<旅33,

所以一33<一正-28,=<-得.

60x8420x

又60<K84,所以27<x—水56,~<_<_,即77<一<3.

JJy11y

答案：{（x-y）|27<x-y<56}<?柒：<3’

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.若不等式0Wx+lW2成立時，關(guān)于x的不等式x-a—1>0也成立，求實數(shù)a

的取值范圍.

【解析】由0Wx+lW2,得一1W后1,則不等式0Wx+lW2成立時，關(guān)于x

的不等式x—a—1>0也成立，即一IWxWl時，x>a+l成立，所以一l>a+l,解

得水一2,

故實數(shù)a的取值范圍是U|水一2}.

10.若a>b>0,c<cK0fe<0.求證：—&,>,,.

(a-c)kb—a)

【證明】因為*水0,所以一c>—d>0.

又因為a>Z?>0,所以a—c〉b-d>Q

所以("一°)2>(。一近2>().

…11

所以0<-----—<————.

ka—c)(b-d)

又因為K0,所以>(J42?

(a-。)(b—a)

3、基本不等式

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1,下列不等式中，正確的是])

4

A.a+—24B.6》4ab

a

C.y[aib。弓臺D.x22m

4

【解析】選D.水0,則a+-24不成立，故A錯；a=lb=l,B<Aab,故

af

B錯，a=4,6=16,則，泰〈色"，故C錯；由基本不等式可知D項正確.

2.若0WxW6,則4)=,(8-x)的最大值為()

164m

A.—B.4C.D.小r

uo

【解析】選B.因為0WxW6,所以8—x>0,所以f[x)=yjx(8—x)

v-l-(8—v)

=4,當且僅當x=8—x,即x=4時，等號成立.故f(x)的最大

<；乙

值為4.

3.若『3=*+七(入>2)在x=〃處取得最小值，則〃=()

x—Z

5.八1

A.-B.3C.-D.4

乙乙

【解析】選B.由f{x)=x-\，=(x—2)+」可+224,當且僅當x—2=

x~2x~2

>0,即x=3時，取得等號.

x~2

4.若》0,力0,貝IJ“a+bW4”是“abW4”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分又不必要條件

【解析】選A.當〃>0,6>0時,二+622，/，則當a+6W4時有2，元

解得劭W4,充分性成立,當a=l,6=4時滿足數(shù)W4,但此時a+6=5>4,必

要性不成立，綜上所述，“a+Z<4”是“助W4”的充分不必要條件.

5.若實數(shù)a,。滿足1+7=y[ab，則瑟的最小值為()

ab、

A.y/2B.2C.2yf2D.4

_1OIO1o

【解析】選c.由，^=7+三/—,得他22蛆,當且僅當一=7時取

aD\iaoau

6.已知x,y為正實數(shù)，且孫=4,則x+4y的最小值是()

A.4B.8C.16D.32

4

【解析】選B.由題意，正實數(shù)*,y且xy=4,可得尸一，

X

則*+4了=*+個22\xX個=8,當且僅當時，即彳=4時等號成立,

所以x+4y的最小值是8.

二、填空題（每小題5分，共10分）

oQ

7.設(shè)入＞0,則函數(shù)尸什或了7一5的最小值為.

乙71IX乙

23r1、1

【解析】尸?！?x+5+-22

乙XI1乙、乙）1

葉5

2/義+m?=-[—2=0,當且僅當天+^='"7，即時等號成立.所

\1"5

以函數(shù)的最小值為0.

答案：0

19

若a,是正實數(shù)且則-+的最小值為

8.6a+6=Lab7

+

【解析】因為a+b=lt所以，+7=+7）（"〃=~+T

ababab

322^1^^+3=3+2蛆，

僅+b=1

當且僅當《b2a,

即12=:-1,b=2一m時，等號成立.

答案：3+24

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.設(shè)a,b、。都是正數(shù)，求證一-\~~T+匚2a+6+c.

abc

【證明】因為a,）。都是正數(shù)，所以如,-也都是正數(shù)，所以"+華

abcab

、caciabbe、ab、「,

22c,—b+——ca22ac,——+—226,

三式相加得2隹+（+當22（a+力+c）.

\aUCJ

即如+與+―2a+6+c,當且僅當a=6=c時取等號.

abc

10.(1)己知才>0,y>0,且2x+3y=6,求燈的最大值.

1Q

(2)己知x>0,y>0,-4--=1,求x+y的最小值.

【解析】⑴因為x>0,y>0,2x+3y=6,

所以盯=((2x?3力4?=(?圖=2，當且僅當2x=3y,

33

即乙，y=l時，燈取到最乙大值另?

1Q9、

(2)因為一+-=1,所以x+尸(x+y)?~+~

xyy)

=1H-—+-+9=』+~+10,又因為x>0,y>0,

yxxy

所以』+—+1022、/」.見+10=16,

XyXy

yQX

當且僅當］=—,即尸3x時，等號成立.

xy

fy=3%,

?x=4,

*V.9得

匕+尸，〔尸⑵

即當x=4,y=12時，x+y取得最小值16.

能力提升

一、選擇題(每小題5分，共20分)

1.己知x>0,y>0,貝ij“盯=1”是“x+y22”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】選A.若xy=l,由基本不等式，知x+y22y=2；反之，取x=3,

y=l,則滿足x+y22,但孫=3W1,所以“孫=1”是“x+y22”的充分不必

要條件.

2Y

2.當x>0時，函數(shù)/'(⑼=7百有()

A.最小值1B.最大值1

C.最小值2D.最大值2

2

【解析】選B.因為x>0,所以〃x)=--WL

x-\—

x

3.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)

家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖

形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點尸在半圓〃上，點。

在直徑力8上，且明148設(shè)6,則該圖形可以完成的無字證明為()

A.-y-(z?>0,Z?>0)

B.4十方222旅(a>0,b>0)

C.—TTw寂(a>0,Z?>0)

a-\-bY

D.皇?糜貴(a〉。，b〉。)

hb

【解析】選D.由AC=a,BC=b、可得圓0的半徑r=F~,又

乙OC=OB—BC=F乙

,a—b.八*，八*(a—6)2,(a+Z?)2目+N

-b=-z~,貝IJFC=OC+Of=-------+---;---=——，再根據(jù)題圖

乙qd乙

知FKFC,即券?十產(chǎn)，當且僅當時取等號.

4.(多選題)規(guī)定：“③”表示一種運算，即a③贏+a+b(a"為正實數(shù)).

若女=3,函數(shù)/,lWx<4,則下列說法正確的是()

A.1(*)的最小值為3

B.汽X)的最小值為2

7

C.f(x)的最大值為方

D.f(x)的最大值為5

【解析】選AC.由題意得1③攵=5+1+4=3,即k+yj~k—2=0,解得5=

1或5=—2(舍去)，故女的值為1.

心

x+x+1=1+6+-p21+2=3,當且僅當/=

一尸,即x=l時取等號，故函數(shù)Ax)的最小值為3.由函數(shù)單調(diào)性知：f(x)=

y]x

&

=魚早±2=1+5++在X=4時有最大值為;.

二、填空題(每小題5分，共20分)

5.函數(shù)(x〉l)的最小值為.

x—1

【解析】因為Cr>l),所以y=2x+-=25—1)+」+222

X—1X—1X—1

2(Li)』=2/+2.

當且僅當x=l+當時取等號，故函數(shù)y=2x+占(x>l)的最小值為2$+

2.

答案：272+2

6.定義運算""：x0y=——(x,y￡R,xyWO).當力0,y>0時，x@y+

(2y)③x的最小值為_______.

-4^-/

【解析】因為牙>0,y>0,所以x?y+(2y)0x=-----+七---=-----=

xy2xy2xy

噂+用2/，當且僅當j=§，即y時取等號.故g+(2y)③x

的最小值為鏡.

答案：小

7.已知正數(shù)a,，滿足2d+N=3,則外匠P1的最大值為.

【解析】八兩幣=乎X第八嚴TW半x1（2，+"-1）=平X（3+l）

乙乙乙I

=4，當且僅當蛆a=p.+l,且2a?+/?2=3,

即，=1,^=1時，等號成立.故八嚴i的最大值為4.

答案：y[2

8.己知x,y￡R+,且2x+y=4,則盯的最大值是.

【解析】因為x,HR卡,由基本不等式可得4=2入+/22，57^,得xyW2,

當且僅當2x=y,即x=l,尸2時，等號成立.

因此孫的最大值是2.

答案：2

三、解答題（共30分）

9.（10分）若正數(shù)a,6滿足初=a+A+3,

求：（Dab的取值范圍.

（2）a+6的取值范圍.

【解析】⑴因為a6=a+6+322，^+3,

令t=y[^b>0,所以干一2L3N0所以（L3）*+1）20.所以e3即施23,

所以劭29,當且僅當a=b=3時取等號.

Q+ZA2

⑵因為aA=a+6+3,所以a+6+3W―—\.令￡=a+b>0,所以￡—41—

12N0,所以（￡-6）（t+2）N0.所以2N6即a+力廿6,當且僅當z=O=3時取等

號.

4

10.（10分）（1）若x〉0,求函數(shù)尸x+一的最小值，并求此時x的值.

X

⑵設(shè)0<水5,求函數(shù)y=4M3—2x）的最大值.

4

（3）己知x>2,求x+----的最小值.

x~2

4/4

【解析】（1）當x>0時，x+-22、/x?-=4,

x\1x

4

當且僅當彳=一，即f=4,義=2時取等號.

X

4

所以函數(shù)尸x+-(x＞0)在x=2時取得最小值4.

X

3

(2)因為0＜求5，所以3—2心＞0,

所以y=4x(3—2x)

2x+（3-2B12_9

=2[2x（3—2x）]W2

2=2,

當且僅當2x=3—2x,即*=彳時，等號成立.

4

因走3￡

所以函數(shù)y=4x(3—2力(0＜水,的最大值為￡9.

44

⑶因為》2,所以、一2>0,所以x+—=>—2+=+

4

（L2）+2=6,

4

當且僅當L2=..即x=4時，等號成立.

4

所以x+f的最小值為6.

X—2.

11.（10分）已知々＞0,8＞0,a-\~b=1,求證:

111

/I\++28

(X)--獲

\/ab

11111

明--

證-

+-+=++啜=2停+3因為a+fa>0,核0,

aba

b-

所印.1a-\~b冷=2+怖+522+2=4,

+%=丁

所以5+1+128(當且僅當卡武義時等號成立).

(2)方法一：因為，＞0,力0,a+b=L

.1,a+b八,b

所以1+-=1+=2+-，

aaa

ia

同理，l+工=2+T，

bb

所以(1+9(1+3=(2+§(2+3

(b,a\

=54-21-+-^I25+4=9.

所以(1+j(1+,29(當且僅當時等號成立).

11l

+-

方法二:I1+M=XI++-+

ab

az?

111

-

+-+8

由（1）知,ab如

故（i+31+力n+5+R七卻，當且僅當此等號成立?

5、基本不等式的應(yīng)用

一、選擇題（每小題5分，共30分）

1.已知00,y>0,且x+y=8,則（1+x）（1+力的最大值為（）

A.16B.25C.9D.36

【解析】選B.因為x>0,y>0,且x+y=8,

所以（1+x）?（1+y）=l+x+y+xy=9+xyW9+（^^B=9+42=25,

因此當且僅當x=y=\時等號成立，（1+x）（1+。取最大值25.

2.設(shè)x,y為正數(shù)，則（才+。&+胃的最小值為（）

A.6B.9C.12D.15

【解析】選B.（什叱A1+"41=「1十4亍xtv+二，4=1+4十74y+-v海十

3.若正實數(shù)必y,z滿足3燈+4/—z=0,則當過取得最大值時，~+~

zxy

2

—的最大值為（）

Z

9

A.0B.1C.TD.3

4

【解析】選B.由己知得2=^—3燈+47,（*）

則子=^_3^+4y=T\7~0，當且僅當x=2y時取等號，把x=2y代

~+——3

yx

919111（\A2

入（*）式，得Z=2",所以一+----=一+--7=---1+1W1.

xyzyyyV/）

4.將一根鐵絲切割成三段做一個面積為2m\形狀為直角三角形的框架，在下

列四種長度的鐵絲中，選用最合理（夠用且浪費最少）的是（）

A.6.5mB.6.8mC.7mD.7.2m

【解析】選C.設(shè)兩直角邊分別為a,b,直角三角形的框架的周長為1,貝岑ab

=2,所以ab=4,才+方^21\[ab+y/2ab=4—2^^6.828（m）.

因為要求夠用且浪費最少，所以選71n最合理.

V

5.若對任意x>0,x，+3v+.Wa恒成立，則乃的取值范圍是（）

A.a22B.a>~C.D.

5555

【解析】選A.因為對任意x>0,片+3彳+1Wa恒成立,所以對x>0,

1

JX1X1

=----

啟Q+3x+Jmax'而對"°時，（+34+1I15

-+3

X

當且僅當x=-時等號成立，所以a^-.

X0

6.若a0,垃0,且w+b=4,則下列不等式恒成立的是()

C.y[ab22D.

【解析】選D.4=a+Z?22，^(當且僅當d=A時，等號成立)，即，W2,aAW4,

A-，選項A,C不成立；-+1=土￥=；21,選項B不成立；a2+ff

ab4ababab

=(a+b)2—2a6=16—2ab28.

二、填空題(每小題5分，共10分)

7.已知正數(shù)a,6滿足a+6—a6+3=0,則成的最小值是______.

【解析】因為a+力一筋+3=0,所以a+6=ab—3,

因為a6為正實數(shù)，所以a+b，2寸品，

當且僅當a=b時取等號，所以就一322、團,

所以ab—2yf^)—320,BP(yfab—3)+1)20,

解得岐23或迎W—1(舍去)，

所以劭29,當且僅當a=6=3時取等號，即助的最小值是9.

答案：9

8.若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是

________m2.

【解析】設(shè)矩形的一邊為xm,矩形場地的面積為ym2,則另一邊為)X(20-

乙

2A)=(10—A)(m),

F%+(10—x)"12

則j=x(10—x)<-----------=25,

當且僅當x=10—x,即x=5時,%x=25.

答案：25

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.已知正實數(shù)x,y滿足4x+4y=L

(1)求xy的最大值；

41

(2)若不等式2+15a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

xy

【解析】(l)4x+4y=l,所以［,

解得xjW二，

當且僅當x=y=J取等號,

O

所以孫的最大值為1?

04

⑵3+：=",(4x+4y)=20+?220+2^^^=36,

當且僅當,尸白取等號，

所以，+5aW36,解得一9Wa《4.

即a的取值范圍是一9<aS4.

10.運貨卡車以每小時萬千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制

50WxW100(單位：千米/時).假設(shè)汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油

L+君升，司機的工資是每小時14元?

IOOUI

(1)求這次行車總費用y關(guān)于x的表達式.

⑵當x為何值時，這次行車的總費用最低？并求出最低費外的值.

130

【解析】(D設(shè)所用時間為(11),

X

no(x\no

y=—X2X2+—+14X—(50^X100).

x1360Jx

1on\z1o，義1Qf)

所以，這次行車總費用y關(guān)于x的表達式是尸乜上+胃冷x(50W/100)

xobU

(或尸三+￡乂(5?！?1。。)).

130X182X130r-

⑵尸360x/26y/ld,

x

當且僅當g2X130

=x即才=18四時等號成立.

X360

故當X=18，T5千米/時，這次行車的總費用最低，最低費用的值為26m元?

能力提升

一、選擇題（每小題5分，共20分）

1.已知/'（x）=x+1-2（xV0）,貝1」/5）有（）

x

A.最大值0B.最小值0

C.最大值一4D.最小值一4

【解析】選C.因為xVO,

所以/V）=-（—X）+J、-2W-2—2=-4,當且僅當一x=L,即

*=-1時取等號.

所以/'（X）有最大值一4.

1Q

2.函數(shù)/（>）=]x+—r（D1）的最小值為（）

4x~\

1379

A.-B.3C.-D.-

A乙d

【解析】選A.因為彳>1,所以x—1>0,

xQ1Q1

所以f（x）=：+號=}a—D+告+[2

4X—14X—14

c[x-i9".113

2A\]-r4~?-X-—---1-4=4v，

x—19

當且僅當丁=--,即x=7時等號成立，

4X—1

13

所以F（x）的最小值為7.

3.（多選題）已知a>0,力0,且a+b+-+）=5,則己+6的（）

ab

A.最大值是3B.最大值是4

C.最小值是2D.最小值是1

【解析】選BD.因為a+Z?4--+7=（a+Z?Jl+；]=5,又a〉0,Z?>0,所以a

ab\ab）

55

+6=----W----—，當且僅當a=6時，等號成立，即（a+6）2—5（a+A）

+4W0,解得lWa+6W4.

4.已知彳>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

【解析】選C.方法一：由已知得xy=9—（x+3y）,即3燈=27—3（x+

3。乏傳紅）2，當且僅當L3y,即x=3,y=l時取等號，令x+3尸入則

t>0,且1+1210820,得626.即什3介6.

方法二：因為x+3y=9一燈22,3燈，所以（JbT+Z4?y[xy—9^0,所

以+3?。?（r\[xy一事）<0,所以0〈孫W3,所以刀+3y=9—

二、填空題（每小題5分，共20分）

5.若實數(shù)必y滿足0=1,則爐+27的最小值為.

【解析】因為戈+2/2247丁7=2^2,當且僅當x=/y時取“=”,所

以f+2/的最小值為24.

答案:2y[2

6.當x>0時，方程a-4x—'=0有解，則實數(shù)a的取值范圍是______.

X

【解析】因為a=4x+522、4x?4=4,

當且僅當4x=-,即時等號成立，所以324.

X乙

答案：心4

7.若a,bGR,ab>0,則小?！钡淖钚≈禐?/p>

ab

【解析】因為a,b￡R,ab〉0,所以山、4一爐+1

2——;—=4.

abab

1——-產(chǎn)=2氏13=乎

9

=4,當且僅當《，工1即4r-

N,b143飄公立時取得等號.

答案：4

8.一批貨物隨17列貨車從/市以P千米/小時勻速直達6市，已知兩地鐵路線

長400千米，為了安全，兩列貨車的間距不得小于（用千米，那么這批貨物

全部運到6市，最快需要小時.

400+16閡2

【解析】設(shè)這批貨物從力市全部運到4市的時間為b則t=-----=—

+需第X嘿=8（小時），當且僅當華=蓋’即’=10°時等號成

立，此時￡=8小時.

答案：8

三、解答題（共30分）

9.（10分）若a>0,6>0,且14"7=y[ab.

abN

（1）求才+4的最小值.

⑵是否存在a,b,使得2d+3b=6?并說明理由.

當且僅當4=。=鏡時取等號.

因為（ab）322卷=4小,

當且僅當a=b=而時取等號，所以才+戶的最小值為4鏡.

⑵由（1）可知，2a+362242a?3b=2m另24小>6,

故不存在a,b,使得2d+36=6成立.

/-4-54

。（1°分）⑴已知x>。,求函數(shù)尸一^的最小值.

（2）已知，求函數(shù)y=x（l—3x）的最大值.

V+5x+44l4

【解析】（1）因為尸--------=x+-+522/+5=9,當且僅當X=一,即

xXXX

x=2時等號成立.

/+5x+4

(x〉0)的最小值為9.

所以y=x

(2)因為0<水；，所以l-3x>0.

所以y=x(l—3x)=；-3x(1-3x)

o

1["3x+l-3自21

^3[2J=12+

當且僅當3x=l—3%即時，等號成立.

0

所以當時、函數(shù)取得最大值

O1?乙

11.(10分)某食品廠定期購買面粉.已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的

價格為1800元，面粉的保管等其他費用為平均每噸每天3元，購買面粉每次需

支付運費900元.

(1)求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？

⑵若提供面粉的公司規(guī)定：當一次購買面粉不少于210噸時，其價格可享受9

折優(yōu)惠(即原價的90%),問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件？請說明理由.

【解析】(D設(shè)該廠每x天購買一次面粉，平均每天支付的總費用為y元.

所以購買面粉的費用為6X1800^=10800x元，

保管等其他費用為3X(6+12+…+6x)=9x(x+l).

叱「10800x+9x(x+1)+900

所以y=------------------------

,f,100

=10809+91x+—210809+9X2

=10989.

當x=—,即x=10時，有最小值

Xy10989.

所以該廠每10天購買一次面粉，才能使平均每天支付的總費用最少.

⑵因為不少于210噸，每天用面粉6噸，所以至少每隔35天購買一次面粉，

設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件后，每隔x(x235)天購買一次面粉，平均每天支付的總

費用為力元，則

y,=-[9x(x+l)+900]+6Xl800X0.90=—+9x+9729(xN35).

XX

令f{x}=^4——(x235),揚＞Xi，35,

X

e/、/、rJO°\(jo°\

則F(Xi)-f(x.)=^1+--^+—

kX\)kXz)

(用一Xi)(100—Xi%)

X\X2

因為X2＞為235,所以也一用＞o,

X、?尼＞0,100—乂至VO,

所以/'(乂)-F(X2)〈O,即m)〈f(x2),所以/'(x)=x+理，當x，35時為增函

x

數(shù)，

所以當x=35時，以力有最小值，此時必GO989,所以該廠應(yīng)接受此優(yōu)惠條件.

5、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1.(多選題)下列不等式中是一元二次不等式的是()

A.(〃+l)f>xB.—V+5x+6>0

C.(x+a)(x+d+1)VOD.2^-x>2

【解析】選BCD.由一元二次不等式的定義可知，BCD為一元二次不等式.

2.不等式5+