專題28 軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn) 知識(shí)精講-一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題28軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)核心知識(shí)點(diǎn)精講1.理解軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形概念；2.掌握?qǐng)D形的平移的性質(zhì)及有關(guān)計(jì)算；3.掌握?qǐng)D形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)并運(yùn)用其性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算；4.掌握位似的性質(zhì)?？键c(diǎn)1：軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形定義如果一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸如果兩個(gè)圖形對(duì)折后，這兩個(gè)圖形能夠完全重合，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸性質(zhì)對(duì)應(yīng)線段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′對(duì)應(yīng)角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分區(qū)別(1)軸對(duì)稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，只對(duì)一個(gè)圖形而言；(2)對(duì)稱軸不一定只有一條(1)軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，必須涉及兩個(gè)圖形；(2)只有一條對(duì)稱軸關(guān)系(1)沿對(duì)稱軸對(duì)折，兩部分重合；(2)如果把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成“兩個(gè)圖形”，那么這“兩個(gè)圖形”就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱(1)沿對(duì)稱軸翻折，兩個(gè)圖形重合；(2)如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形拼在一起，看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形1．常見的軸對(duì)稱圖形:等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓．2．折疊的性質(zhì):折疊的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱，折疊前后的兩圖形全等，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．3．作某點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)的一般步驟1）過(guò)已知點(diǎn)作已知直線（對(duì)稱軸）的垂線，標(biāo)出垂足；2）在這條直線另一側(cè)從垂足除法截取與已知點(diǎn)到垂足的距離相等的線段，那么截點(diǎn)就是這點(diǎn)關(guān)于該直線的對(duì)稱點(diǎn)．4．作已知圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形的一般步驟1）作出圖形的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)；2）把這些對(duì)稱點(diǎn)順次連接起來(lái)，就形成了一個(gè)符合條件的對(duì)稱圖形．考點(diǎn)2：圖形的平移1．定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形由一個(gè)位置沿某個(gè)方向移動(dòng)到另一個(gè)位置，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移．平移不改變圖形的形狀和大?。?．三大要素：一是平移的起點(diǎn)，二是平移的方向，三是平移的距離．3．性質(zhì)：1）平移前后，對(duì)應(yīng)線段平行且相等、對(duì)應(yīng)角相等；2）各對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行(或在同一條直線上)且相等；3）平移前后的圖形全等．4．作圖步驟：1）根據(jù)題意，確定平移的方向和平移的距離；2）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3）按平移方向和平移距離平移各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；4）按原圖形依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到平移后的圖形．考點(diǎn)3：圖形的旋轉(zhuǎn)1．定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向(順時(shí)針或逆時(shí)針)轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫旋轉(zhuǎn)．這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)過(guò)的這個(gè)角叫做旋轉(zhuǎn)角．2．三大要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度．3．性質(zhì)：1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；2）每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等．4．作圖步驟：1）根據(jù)題意，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角；2）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3）連接關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角將它們旋轉(zhuǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；4）按原圖形依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形．【注意】旋轉(zhuǎn)是一種全等變換，旋轉(zhuǎn)改變的是圖形的位置，圖形的大小關(guān)系不發(fā)生改變，所以在解答有關(guān)旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘相等線段、角，因此特殊三角形性質(zhì)的運(yùn)用、銳角三角函數(shù)建立的邊角關(guān)系起著關(guān)鍵的作用．考點(diǎn)4：中心對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形定義如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與它自身重合，我們就把這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心如果一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與另一個(gè)圖形重合，我們就把這兩個(gè)圖形叫做成中心對(duì)稱性質(zhì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)D點(diǎn)A與點(diǎn)A′，點(diǎn)B與點(diǎn)B′，點(diǎn)C與點(diǎn)C′對(duì)應(yīng)線段AB=CD，AD=BCAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′對(duì)應(yīng)角∠A=∠C∠B=∠D∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′區(qū)別中心對(duì)稱圖形是指具有某種特性的一個(gè)圖形中心對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的關(guān)系聯(lián)系把中心對(duì)稱圖形的兩個(gè)部分看成“兩個(gè)圖形”，則這“兩個(gè)圖形”成中心對(duì)稱把成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)“整體”，則“整體”成為中心對(duì)稱圖形常見的中心對(duì)稱圖形平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形、圓等．注意：圖形的“對(duì)稱”“平移”“旋轉(zhuǎn)”這些變化,是圖形運(yùn)動(dòng)及延伸的重要途徑,研究這些變換中的圖形的“不變性”或“變化規(guī)律”.考點(diǎn)5：坐標(biāo)變換的規(guī)律（1）P(a，b)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,－b)；（2）P(a，b)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－a,b)；（3）P(a，b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－a,－b)．【題型1：平移、旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱的識(shí)別】【典例1】（2023?蘇州）古典園林中的花窗通常利用對(duì)稱構(gòu)圖，體現(xiàn)對(duì)稱美．下面四個(gè)花窗圖案，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、原圖不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B、原圖既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C、原圖既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；D、原圖不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．【變式1-1】（2023?泰州）書法是我國(guó)特有的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，其中篆書具有象形特征，充滿美感．下列“?！弊值乃姆N篆書圖案中，可以看作軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A，B，D選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；C選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；故選：C．【變式1-2】（2023?廣西）下列數(shù)學(xué)經(jīng)典圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、圖形是中心對(duì)稱圖形，符合題意；B、圖形不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；C、圖形不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；D、圖形不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意．故選：A．【變式1-3】（2023?宜昌）我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)明都曾在世界上有重要影響．下列圖形“楊輝三角”“中國(guó)七巧板”“劉徽割圓術(shù)”“趙爽弦圖”中，中心對(duì)稱圖形是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：選項(xiàng)A、B、C都不能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來(lái)的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱圖形．選項(xiàng)D能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來(lái)的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形．故選：D．【題型2：平移、旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用】【典例2】（2023?無(wú)錫）如圖，△ABC中，∠BAC＝55°，將△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．當(dāng)α＝40°時(shí)，點(diǎn)D恰好落在BC上，此時(shí)∠AFE等于（）A．80° B．85° C．90° D．95°【答案】B【解答】解：∵將△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜55°），得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝40°，AB＝AD，∠C＝∠E，∴∠B＝70°，∴∠C＝∠E＝55°，∴∠AFE＝180°﹣55°﹣40°＝85°，故選：B．【變式2-1】（2023?南充）如圖，將△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC＝5，BE＝2，則CF的長(zhǎng)是（）A．2 B．2.5 C．3 D．5【答案】A【解答】解：由平移的性質(zhì)可知：CF＝BE＝2，故選：A．【變式2-2】（2023?牡丹江）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某位同學(xué)進(jìn)行了如下操作：第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形ABEF，然后把紙片展平；第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)F處，得到折痕MN，如圖②．根據(jù)以上的操作，若AB＝8，AD＝12，則線段BM的長(zhǎng)是（）A．3 B． C．2 D．1【答案】C【解答】解：如圖①，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝12，∴DC＝AB＝8，BC＝AD＝12，∠BAD＝∠B＝90°，由折疊得∠AFE＝∠B＝90°，∴四邊形ABEF是矩形，∵AF＝AB＝8，∴四邊形ABEF是正方形，∴BE＝EF＝AB＝8，∠BEF＝90°，如圖②，由折疊得FM＝CM，∵EM2+EF2＝FM2，且EM＝8﹣BM，F(xiàn)M＝CM＝12﹣BM，∴（8﹣BM）2+82＝（12﹣BM）2，解得BM＝2，故選：C．【變式2-3】（2023?寧夏）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2．點(diǎn)D在BC上，且BD：CD＝1：3．連接AD，線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接BE，DE．則△BDE的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠EAB+∠BAD＝90°，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠C＝∠ABC＝45°，∴∠EAB＝∠CAD，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠C＝∠ABE＝45°，CD＝BE，∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝90°，∵BC＝2，BD：CD＝1：3，∴BD＝，CD＝BE＝，∴＝，故選：B．【題型3：圖形變化與點(diǎn)坐標(biāo)變化】【典例3】（2023?海南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），將△ABO繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（3，3） B．（3，3） C．（6，3） D．（3，6）【答案】B【解答】解：作CM⊥x軸于M，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），∴BC＝OB＝6，∵∠OBC＝60°，∴BM＝，CM＝＝3，∴OM＝OB﹣BM＝6﹣3＝3，∴C（3，3）．故選：B．【變式3-1】（2023?金華）如圖，兩盞燈籠的位置A，B的坐標(biāo)分別是（﹣3，3），（1，2），將點(diǎn)B向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)B′，則關(guān)于點(diǎn)A，B′的位置描述正確的是（）A．關(guān)于x軸對(duì)稱 B．關(guān)于y軸對(duì)稱 C．關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱 D．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱【答案】B【解答】解：∵點(diǎn)B′由點(diǎn)B（1，2）向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到∴此時(shí)B′坐標(biāo)為（3，3）．∴A與B′關(guān)于y軸對(duì)稱．故選：B．【變式3-2】（2023?青島）如圖，將線段AB先向左平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，再將所得線段繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到線段A′B′，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）【答案】A【解答】解：如圖，由題意可知，點(diǎn)A（0，3），B（2，0），由平移的性質(zhì)得：A''（﹣2，3），點(diǎn)B'（0，0），由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：點(diǎn)A'與A''關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴A′（2，﹣3），故選：A．【變式3-3】（2023?聊城）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC各點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC關(guān)于x軸成軸對(duì)稱的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），則點(diǎn)A2坐標(biāo)為（）A．（1，5） B．（1，3） C．（5，3） D．（5，5）【答案】B【解答】解：∵A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A1（﹣2，﹣1），B1（﹣1，﹣3），C1（﹣4，﹣4），又∵B2（2，1），∴平移規(guī)律為向右平移3個(gè)單位，向上平移4個(gè)單位，∴點(diǎn)A2坐標(biāo)為（﹣2+3，﹣1+4），即（1，3）．故選：B．【變式3-4】（2023?朝陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，2），B（4，1），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（1，1） B．（4，4）或（8，2） C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）【答案】D【解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），故選：D．【題型4：與平移、旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱相關(guān)的網(wǎng)格作圖】【典例4】（2023?達(dá)州）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)均在小正方形的格點(diǎn)上．（1）將△ABC向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；（2）將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2；（3）在（2）的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中請(qǐng)計(jì)算出△ABC掃過(guò)的面積．【答案】（1）見解答；（2）見解答；（3）+．【解答】解：（1）△A1B1C1如圖所示；（2）△A2B2C2如圖所示；（3）＝，∵AC＝，∴＝＝，∴在（2）的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中△ABC掃過(guò)的面積＝＝+．【變式4-1】（2023?宜昌）如圖，在方格紙中按要求畫圖，并完成填空．（1）畫出線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的線段OB，連接AB；（2）畫出與△AOB關(guān)于直線OB對(duì)稱的圖形，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是C；（3）填空：∠OCB的度數(shù)為45°．【答案】（1）（2）見解答；（3）45°．【解答】解：（1）如圖，OB為所作；（2）如圖，△COB為所作；（3）∵線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的線段OB，∴OB＝OA，∠AOB＝90°，∴△OAB為等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°，∵△COB與△AOB關(guān)于直線OB對(duì)稱，∴∠OCB＝∠OAB＝45°．故答案為：45°．【變式4-2】（2023?寧波）在4×4的方格紙中，請(qǐng)按下列要求畫出格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．（1）在圖1中先畫出一個(gè)以格點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形PAB，再畫出該三角形向右平移2個(gè)單位后的△P′A′B′．（2）將圖2中的格點(diǎn)△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，畫出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的△A′B′C．【答案】圖形見解答．【解答】解：（1）如圖1，△P′A′B′即為所求；（2）如圖2，△A′B′C即為所求．【變式4-3】（2023?黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．（1）將△ABC向上平移4個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到△A1B1C1，請(qǐng)畫出△A1B1C1；（2）請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A2B2C2；（3）將△A2B2C2繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A3B3C3，求線段A2C2在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積（結(jié)果保留π）．【答案】（1）圖形見解答；（2）圖形見解答；（3）．【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求；（3）將△A2B2C2繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A3B3C3，如圖，連接OC3交于D，連接OC2交于E，∵A2（﹣2，﹣1），B2（﹣1，﹣2），C2（﹣3，﹣3），∴OA2＝＝，OB2＝＝，OC2＝＝3，∴OA2＝OB2＝OD＝OE＝，由旋轉(zhuǎn)得：OA2＝OA3，OB2＝OB3，OC2＝OC3，A2C2＝A3C3，∠C2OC3＝∠DOE＝90°，∴△OA2C2≌△OA3C3（SSS），∴＝，∴線段A2C2在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積＝S﹣S扇形DOE＝﹣＝．一．選擇題（共8小題）1．在學(xué)習(xí)圖案與設(shè)計(jì)這一節(jié)課時(shí)，老師要求同學(xué)們利用圖形變化設(shè)計(jì)圖案，下列設(shè)計(jì)的圖案中既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）A．B． C．D．【答案】B【解答】解：A、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．2．在《生活中的平移現(xiàn)象》的數(shù)學(xué)討論課上，小明和小紅先將一塊三角板描邊得到△ABC，后沿著直尺BC方向平移3cm，再描邊得到到△DEF，連接AD．如圖，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)△ABC的周長(zhǎng)為16cm，則四邊形ABFD的周長(zhǎng)為（）A．16cm B．22cm C．20cm D．24cm【答案】B【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，∴CF＝AD＝3cm，AC＝DF，∵△ABC的周長(zhǎng)為16cm，∴AB+BC+AC＝16cm，∴四邊形ABFD的周長(zhǎng)＝AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+CF+AD＝16+3+3＝22（cm）．故選：B．3．如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，連接AA'，BB'，CC'，其中BB′分別交AC，A′C于點(diǎn)D，D'，下列結(jié)論：①AA'∥BB'；②∠ADB＝∠A′D′B′；③直線l垂直平分AA'；④直線AB與A'B'的交點(diǎn)不一定在直線l上．其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【解答】解：∵△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，∴AA'∥BB'，故A正確，∴∠ADD′＝∠A′D′D，∴∠ADB＝∠A′D′B′，故B正確，；∵△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，∴線段AA′、BB′、CC'被直線l垂直平分，正確，不符合題意；∵△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，∴直線l垂直平分AA'，故C正確；∵△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，∴線段AC、A'C'所在直線的交點(diǎn)一定在直線l上，故D錯(cuò)誤，故選：A．4．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝5，BC＝3，將長(zhǎng)方形沿BE折疊，使得點(diǎn)A落在CD邊上F處，則AE的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．2【答案】B【解答】解：∵將長(zhǎng)方形沿BE折疊，使得點(diǎn)A落在CD邊上F處，∴AB＝BF＝5，AE＝EF，∴CF＝＝4，∴DF＝1，∴AE＝EF＝＝，解得AE＝，故選：B．5．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△AB′C′，若∠C′＝45°，且AB′⊥BC于點(diǎn)E，則∠BAC的度數(shù)為（）A．60° B．75° C．45° D．50°【答案】B【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△AB′C′，∴∠BAE＝30°，∠C＝∠C'＝45°，又∵AB′⊥BC，∴∠EAC＝45°，∴∠BAC＝75°，故選：B．6．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置．若四邊形AECF的面積為36，DE＝2，則AF的長(zhǎng)為（）A．6 B． C．8 D．【答案】D【解答】解：∵把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABF的位置，∴△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于36，∴AD＝DC＝6，∵DE＝2，∴Rt△ADE中，AE＝，∴AE＝AF＝，故選：D．7．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△A'BC'，若點(diǎn)C'在AB上，則AA'的長(zhǎng)為（）A． B．4 C． D．5【答案】A【解答】解：如圖，連接AA'，∵將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△A′BC'，∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，AB＝A'B，根據(jù)勾股定理得：AB＝＝5，∴A'B＝AB＝5，∴AC'＝AB﹣BC'＝1，在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：AA'＝＝，故選：A．8．如圖，在等腰△AOB中，OA＝AB，∠OAB＝120°，OA邊在x軸上，將△AOB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到△A'OB'，若，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，） C．（﹣1，2） D．（﹣1，）【答案】B【解答】解：過(guò)B作BC⊥OA于C，直線A'B'交y軸于D，∵OA＝AB，∠OAB＝120°，∴∠AOB＝30°，∴∠DOB＝60°，∵，∴，∴OA＝AB＝2，∵將△AOB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到△A'OB'，∴∠B'＝30°，A'O＝OA＝2，，∠BOB'＝120°，∴∠DOB'＝60°，∴∠ODB'＝90°，∴，∴B'D＝3，∴A'D＝B'D﹣A'B'＝1，∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為，故選：B．二．填空題（共7小題）9．若點(diǎn)A（2，﹣3）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，3）．【答案】（﹣2，3）．【解答】解：∵點(diǎn)A（2，﹣3）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，3），故答案為：（﹣2，3）．10．如圖，已知四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，點(diǎn)E、F分別在線段AB、CD上，將四邊形AEFD沿EF翻折得到四邊形A'EFD'，若∠CFD'＝36°，則∠DFE＝108°．【答案】108°．【解答】解：∵∠CFD'＝36°，∴∠DFD′＝180°﹣∠CFD′＝180°﹣36°＝144°，由翻折得∠D′FE＝∠DFE，∴2∠DFE+144°＝360°，∴∠DFE＝108°，故答案為：108°．11．如圖，將長(zhǎng)為6，寬為4的長(zhǎng)方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到長(zhǎng)方形A'B'CD'，則陰影部分的面積為12．【答案】12．【解答】解：由題意可得，陰影部分是矩形，長(zhǎng)B'C＝6﹣2＝4，寬A'B'＝4﹣1＝3，∴陰影部分的面積＝4×3＝12，故答案為：12．12．線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（5，2），若將線段AB平移，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C（3，﹣1）．則平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵B（5，2），點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C（3，﹣1）．∴變化規(guī)律是橫坐標(biāo)減2，縱坐標(biāo)減3，∵A（2，4），∴平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），故答案為（0，1）．13．如圖，有一塊長(zhǎng)方形區(qū)域，AD＝2AB，現(xiàn)在其中修建兩條長(zhǎng)方形小路，每條小路的寬度均為1米，設(shè)AB邊的長(zhǎng)為x米，則圖中空白區(qū)域的面積為2x2﹣3x+1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：AD＝2AB，設(shè)AB邊的長(zhǎng)為x米，則AD＝2x米，空白區(qū)域的面積為：（x﹣1）（2x﹣1）＝2x2﹣3x+1，故答案為：2x2﹣3x+1，14．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝3，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB′C′，則BB′＝6．【答案】6．【解答】解：∵在△ABC中，BC＝3，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝6，∵將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB′C′，∴∠∠BAB′＝90°，AB＝AB′＝6，∴BB′＝＝6．故答案為：6．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P（2，3）繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P′，則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（3，﹣2）或（﹣3，2）．【答案】（3，﹣2）或（﹣3，2）．【解答】解：將點(diǎn)P（2，3）繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P′，如圖：分別過(guò)點(diǎn)P和P′作PM⊥y軸于點(diǎn)M，作P′N⊥x軸于點(diǎn)N，∵將點(diǎn)P繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P′，∴∠POM+∠P′OM＝90°，∴∠P′OM+∠P′ON＝90°，∴∠POM+∠P′ON，在△POM和△P′OM中，，∴△POM≌△P′OM（AAS），∴OM＝ON＝3，PM＝P′N＝2，由圖可知：點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（3，﹣2）或（﹣3，2）；故答案為：（3，﹣2）或（﹣3，2）．三．解答題（共3小題）16．如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）請(qǐng)畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A1B1C1，并寫出A1的坐標(biāo)；（2）求（1）中C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C1點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．【答案】（1）畫圖見解答；A1（﹣4，2）．（2）．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（﹣4，2）．（2）由勾股定理得，OC＝＝5，∴C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C1點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為＝．17．如圖所示，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，連接OA，OB，OC，∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC．（1）求∠DAO的度數(shù)；（2）用等式表示線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）90°；（2）OA2+OB2＝OC2．【解答】解：（1）∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，∴∠AOC＝90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠OCD＝60°，∠ADC＝∠BOC＝120°，∴∠DAO＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°；（2）線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系是OA2+OB2＝OC2．如圖，連接OD．∵△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD＝60°．∴CD＝OC，∠ADC＝∠BOC＝120°，AD＝OB，∴△OCD是等邊三角形，∴OC＝OD＝CD，∠COD＝∠CDO＝60°，∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，∴∠AOC＝90°，∴∠AOD＝30°，∠ADO＝60°．∴∠DAO＝90°．在Rt△ADO中，∠DAO＝90°，∴OA2+AD2＝OD2．∴OA2+OB2＝OC2．18．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D與A，B不重合），連結(jié)CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，連接BE．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）當(dāng)∠BDE＝25°時(shí)，求∠BEF的度數(shù)．【答案】（1）見解析過(guò)程；（2）65°．【解答】（1）證明：∵將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，∴∠ACD＝∠BCE，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠CAD＝45°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∵∠BDE＝25°，∴∠BEF＝65°．一．選擇題（共7小題）1．如圖，將長(zhǎng)方形ABCO放置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A，C分別在y軸和x軸上，點(diǎn)B（8，4），連接BO，并將△ABO沿BO翻折至長(zhǎng)方形ABCO所在平面，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：設(shè)BE交OC于點(diǎn)F，作EH⊥OF于點(diǎn)H，則∠OHE＝90°，∵四邊形ABCO是矩形，B（8，4），∴OA＝BC＝4，OC＝AB＝8，AB∥OC，∴∠ABO＝∠FOB，由翻折得EB＝AB＝8，OE＝OA＝4，∠ABO＝∠FBO，∠OEB＝∠OAB＝90°，∴∠FOB＝∠FBO，∴BF＝OF，∴EF＝8﹣BF＝8﹣OF，∵OE2+EF2＝OF2，∴42+（8﹣OF）2＝OF2，解得OF＝5，∴EF＝8﹣5＝3，∵OF?EH＝OE?EF＝S△OEF，∴×5EH＝×4×3，解得EH＝，∴OH＝＝＝，∴E（，），故選：A．2．如圖，將周長(zhǎng)為8的△ABC沿BC方向向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到△DEF，則四邊形ABFD的周長(zhǎng)為（）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到△DEF，∴DF＝AC，AD＝CF＝2，∴四邊形ABFD的周長(zhǎng)＝AB+BF+DF+AD＝AB+BC+CF+AC+AD＝△ABC的周長(zhǎng)+AD+CF＝8+2+2＝12．故選：B．3．如圖，正方形ABCD，邊長(zhǎng)AB＝2，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，三角板兩邊足夠長(zhǎng)，與BC、CD交于E、F兩點(diǎn)，當(dāng)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段EF的最小值為（）A．1 B．2 C． D．2【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴OC＝OD，∠ODC＝∠OCB＝45°，OC⊥OD，∵∠EOF＝90°＝∠COD，∴∠DOF＝∠COE，且OC＝OD，∠ODC＝∠OCB＝45°，∴△OEC≌△OFD（ASA）∴OE＝OF，且∠EOF＝90°，∴EF＝OE，∴OE取最小值，EF有最小值，當(dāng)OE⊥BC時(shí)，OE有最小值，∵OB＝OC，∠BOC＝90°，OE⊥BC，∴OE＝BC＝1，∴EF的最小值為，故選：C．4．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B′作B′H⊥y軸于H．在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°＝，∴OH＝2+1＝3，∴B′（﹣，3），故選：A．5．如圖，菱形ABCD，點(diǎn)A，B，C，D均在坐標(biāo)軸上，∠ADC＝120°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是OC上的一動(dòng)點(diǎn)，則PD+PE的最小值是（）A．4 B． C． D．【答案】A【解答】解：根據(jù)題意得，E點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是BC的中點(diǎn)E'，連接DE'交AC與點(diǎn)P，此時(shí)PD+PE有最小值為DE'，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，點(diǎn)A（﹣4，0），∴OA＝OC＝4，∠DBC＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴DE'＝OC＝4，即PD+PE的最小值是4，故選：A．6．如圖，將正方形紙片ABCD沿PQ折疊，使點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)E落在邊AB上，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，EF為交AD于點(diǎn)G，連接CG交PQ于點(diǎn)H，連接CE．下列四個(gè)結(jié)論中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四邊形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ?GD，正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【答案】B【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．由折疊可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．∴∠BEP+∠AEG＝90°，∵∠A＝90°，∴∠AEG+∠AGE＝90°，∴∠BEP＝∠AGE．∵∠FGQ＝∠AGE，∴∠BEP＝∠FGQ．∵∠B＝∠F＝90°，∴△PBE∽△QFG．故①正確；②過(guò)點(diǎn)C作CM⊥EG于M，由折疊可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，在△BEC和△MEC中，，∴△BEC≌△MEC（AAS）．∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．∵CG＝CG，∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），∴S△CMG＝S△CDG，∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四邊形CDQH，∴②不正確；③由折疊可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，即EC平分∠BEG．∴③正確；④連接DH，MH，HE，如圖，∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，∵EC⊥HP，∴∠CHP＝45°．∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．由折疊可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，∴EH⊥CG．∴EG2﹣EH2＝GH2．由折疊可知：EH＝CH．∴EG2﹣CH2＝GH2．∵CM⊥EG，EH⊥CG，∴∠EMC＝∠EHC＝90°，∴E，M，H，C四點(diǎn)共圓，∴∠HMC＝∠HEC＝45°．在△CMH和△CDH中，，∴△CMH≌△CDH（SAS）．∴∠CDH＝∠CMH＝45°，∵∠CDA＝90°，∴∠GDH＝45°，∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．∵∠HGQ＝∠DGH，∴△GHQ∽△GDH，∴＝，∴GH2＝GQ?GD，∴GE2﹣CH2＝GQ?GD．∴④正確；綜上可得，正確的結(jié)論有：①③④．故選：B．7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△BEF沿EF折疊，若點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)G處，設(shè)EF＝x，則x的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：當(dāng)點(diǎn)F在C點(diǎn)，將△BEF沿EF折疊，使得點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)G處，此時(shí)EF最小，如圖，由折疊可知：CG＝BC＝10，BE＝GE，在Rt△DCG中，DC＝8，∴DG＝＝6，∴AG＝AD﹣DG＝10﹣6＝4，設(shè)BE＝t，則EG＝t，AE＝8﹣t，在Rt△AEG中，∵AE2+AG2＝EG2，∴（8﹣t）2+42＝t2，解得t＝5，∴BE＝t＝5，∴EF＝＝＝5；∴此時(shí)EF的長(zhǎng)為5；②當(dāng)點(diǎn)E在A點(diǎn)，將△BEF沿EF折疊，使得點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)G處，此時(shí)EF最大，由折疊可知：四邊形ABFG是正方形，∴AB＝BF＝8，∴EF＝＝8，∴x的取值范圍為5≤x≤8．故選：C．二．填空題（共6小題）8．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝65°，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△EBD，使點(diǎn)C落在邊AC上的D處，則∠EBA＝50°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由旋轉(zhuǎn)可知，BD＝BC，又∵點(diǎn)D落在邊AC上，∠C＝65°，∴∠BDC＝∠C＝65°，∴∠CBD＝180°﹣2×65°＝50°，即旋轉(zhuǎn)角為50°，所以∠EBA＝∠CBD＝50°．故答案為：50°．9．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，若線段AB＝5，則BE的長(zhǎng)度為5．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△AEB是等邊三角形，∴BE＝AB，∵AB＝5，∴BE＝5．故答案為：5．10．如圖，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AED的位置，使CD∥AB，則∠BAE的度數(shù)為40°．【答案】40°．【解答】解：∵DC∥AB，∴∠ACD＝∠CAB＝70°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AD＝AC，∠DAE＝∠CAB＝70°，∴∠ADC＝∠CAB＝70°，∴∠CAD＝40°，∴∠CAE＝30°，∴∠BAE＝40°，故答案為：40°．11．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACQ，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，連接DQ，則DQ的最小值是．【答案】．【解答】解：如圖，由旋轉(zhuǎn)可得∠ACQ＝∠B＝60°，又∵∠ACB＝60°，∴∠BCQ＝120°，∵點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，∴CD＝3，當(dāng)DQ⊥CQ時(shí)，DQ的長(zhǎng)最小，此時(shí)，∠CDQ＝30°，∴CQ＝CD＝，∴DQ＝＝，∴DQ的最小值是，故答案為：．12．如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)P為射線AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接BP，把△ABP沿BP折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'剛好落在線段BC的垂直平分線上時(shí)，AP的長(zhǎng)為或．【答案】或．【解答】解：點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)，故分兩種情況；情況一：當(dāng)點(diǎn)A'落在圖①的位置時(shí)，由正方形ABCD可知，BC＝AB＝4，∵點(diǎn)A'落在BC的垂直平分線EF上，∴，由折疊可知，A'B＝AB＝4．在Rt△A'FB中，由勾股定理可得，，∴，∵∠PEA′＝∠PA′B＝∠A′FB＝90°，∴∠EA′P+∠BA′F＝90°，∠FBA′+∠BA′F＝90°，∴∠EA′P＝∠FBA′，∴△PEA'∽△A'FB，∴，∴解得，∴．情況二：當(dāng)點(diǎn)A'若在圖②的位置時(shí)，由正方形ABCD可知，BC＝AB＝4，∵點(diǎn)A'落在BC的垂直平分線上，∴，由折疊可知，A'B＝AB＝4，在Rt△A'FB中，由勾股定理可得，，∴．由折疊可知，AP＝A'P，設(shè)AP＝A'P＝x，則EP＝x﹣2．在Rt△A'EP中，由勾股定理可得，A′P2＝A′E2+EP2，即，解得x＝，∴，∴．綜上，AP＝或．13．如圖，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，連接DE，將△DCE沿DE翻折得到△DC'E，連接AC′，則AC′的長(zhǎng)為．【答案】．【解答】解：如圖，連接BC′，CC′，過(guò)點(diǎn)C′作C′G⊥AB于點(diǎn)G，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是BC邊的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝2，在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得DE＝＝2，由翻折可知：DE垂直平分CC′，∴DE?CH＝CE?CD，∴2CH＝2×4，∴CH＝，∴CC′＝，由折疊可得，CE＝C′E＝BE，∴△BCC′是直角三角形，∴BC′＝＝，BC′⊥CC′，∴∠C′BG＝90°﹣∠CBC′＝∠BCC′，∵∠C′GB＝∠CC′B＝90°，∴△C′GB∽△BC′C，∴＝＝，∴＝＝，∴C′G＝，BG＝，∴AG＝AB﹣BG＝，∴AC′＝＝．故答案為：．三．解答題（共2小題）14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，連接AE．求證：AB＝AE．【答案】證明見解析．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝30°，∠ACD＝60°，∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝30°，∴∠ACE＝∠ACB＝30°，又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACB（SAS），∴AB＝AE．15．[教材呈現(xiàn)]下面是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第76頁(yè)的部分內(nèi)容．如圖，E是矩形ABCD的邊CB上的一點(diǎn)，AF⊥DE于點(diǎn)F，AB＝3，AD＝2，CE＝1，證明△AFD∽△DCE，并計(jì)算點(diǎn)A到直線DE的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．結(jié)合圖①，完成解答過(guò)程．[拓展]（1）在圖①的基礎(chǔ)上，延長(zhǎng)線段AF交邊CD于點(diǎn)G，如圖②，則FG的長(zhǎng)為；（2）如圖③，E、F是矩形ABCD的邊AB、CD上的點(diǎn)，連結(jié)EF，將矩形ABCD沿EF翻折，使點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)D'與點(diǎn)B重合，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A'．若AB＝4，AD＝3，則EF的長(zhǎng)為．【答案】[教材呈現(xiàn)]證明見解答過(guò)程，點(diǎn)A到直線DE的距離AF＝；[拓展]（1）；（2）．【解答】解：[教材呈現(xiàn)]∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，∴DE＝＝，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠C＝90°，∴∠DAF+∠ADF＝∠ADF+∠CDE＝90°，∴∠DAF＝∠CDE，∴△ADF∽△DCE，∴，即，∴點(diǎn)A到直線DE的距離AF＝；[拓展]（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，∴DE＝＝，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠CDA＝90°，∴∠CDE+∠ADE＝∠DAG+∠ADE＝90°，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG∽△DCE，得∴，即，∴AG＝，∴FG＝AG﹣AF＝﹣＝；故答案為：；（2）如圖③，作FG⊥AD于G，設(shè)DF＝BF＝x，則CF＝4﹣x，∵將矩形ABCD沿EF翻折，使點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)D'與點(diǎn)B重合，∴