【寒假自學(xué)課】2024年八年級數(shù)學(xué)寒假提升學(xué)與練（滬教版）專題02 正比例函數(shù)與反比例函數(shù)全章復(fù)習(xí)攻略（9大考點）與難點強化訓(xùn)練（原卷版）

專題02正比例函數(shù)與反比例函數(shù)全章復(fù)習(xí)攻略（9大考點）與難點強化訓(xùn)練考點一：函數(shù)的概念（1）在問題研究過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量；保持?jǐn)?shù)值不變的量叫做常量；（2）在某個變化過程中有兩個變量，設(shè)為和，如果在變量允許的取值范圍內(nèi)，變量隨著變化而變化，他們之間存在確定的依賴關(guān)系，那么變量叫做變量的函數(shù)，叫做自變量．函數(shù)用記號表示，表示時的函數(shù)值；（3）表示兩個變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)式子稱為函數(shù)解析式．考點二：函數(shù)的定義域和函數(shù)值（1）函數(shù)自變量允許取值的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域．（2）函數(shù)自變量取遍定義中的所有值，對應(yīng)的函數(shù)值的全體叫做這個函數(shù)的值域．考點三：正比例函數(shù)的概念(1)如果兩個變量的每一組對應(yīng)值的比值是一個常數(shù)（這個常數(shù)不等于零），那么就說這兩個變量成正比例，用數(shù)學(xué)式子表示兩個變量、成正比例，就是，或表示為（不等于0），是不等于零的常數(shù)．(2)解析式形如（是不等于零的常數(shù)）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中常數(shù)叫做比例系數(shù)．正比例函數(shù)的定義域是一切實數(shù)．確定了比例系數(shù)，就可以確定一個正比例函數(shù)的解析式考點四：正比例函數(shù)的圖象(1)一般地，正比例函數(shù)(是常數(shù),)的圖象是經(jīng)過，這兩點的一條直線，我們把正比例函數(shù)的圖象叫做直線；(2)圖像畫法：列表、描點、連線．考點五：正比例函數(shù)的性質(zhì)(1)當(dāng)時，正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、三象限；自變量x的值逐漸增大時，y的值也隨著逐漸增大．(2)當(dāng)時，正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、四象限；自變量x的值逐漸增大時，y的值則隨著逐漸減小．考點六：反比例函數(shù)的概念1、如果兩個變量的每一組對應(yīng)值的乘積是一個不等于零的常數(shù)，我們就說這兩個變量成反比例．用數(shù)學(xué)式子表示兩個變量、成反比例，就是，或表示為，其中是不等于0的常數(shù)． 2、解析式形如（是常數(shù)，）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中叫做比例系數(shù)．反比例函數(shù)的定義域是不等于零的一切實數(shù)．考點七：反比例函數(shù)的圖像反比例函數(shù)（是常數(shù)，）的圖像叫做雙曲線，它有兩支．考點八：反比例函數(shù)的性質(zhì) 1、當(dāng)時，函數(shù)圖像的兩支分別在第一、三象限；在每個象限內(nèi)，當(dāng)自變量的值 逐漸增大時，的值隨著逐漸減?。?2、當(dāng)時，函數(shù)圖像的兩支分別在第二、四象限；在每個象限內(nèi)，當(dāng)自變量的值 逐漸增大時，的值隨著逐漸增大． 3、圖像的兩支都無限接近于軸和軸，但不會與軸和軸相交．考點九：函數(shù)的表示法1．解析法：用等式來表示一個變量與另一個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法，這個等式稱為函數(shù)的解析式（或函數(shù)關(guān)系式）．簡單明了，能從解析式了解函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，便于理論上的分析與研究，但求對應(yīng)值時需要逐個計算，且有的函數(shù)無法用解析式表示．2.列表法：用表格形式來表示一個變量與另一個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法；從表格中直接找到自變量對應(yīng)的函數(shù)值，查找方便，但無法將自變量與函數(shù)值的全部對應(yīng)值都列出來，且難以看出規(guī)律．3.圖像法：用圖像來表示一個變量與另一個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法；函數(shù)與自變量的對應(yīng)關(guān)系、函數(shù)的變化情況及趨勢能夠很直觀地顯示出來，但從圖像上找自變量與函數(shù)的對應(yīng)值一般只能是近似的，且只能反映出變量間關(guān)系的一部分而不是全體．4.三種表示法的相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化：由函數(shù)的解析式畫函數(shù)的圖像，一般分為“列表、描點、連線”三個步驟，通常稱作描點作圖法；同樣，函數(shù)圖像中點的坐標(biāo)或表格中自變量與函數(shù)的對應(yīng)值，也是函數(shù)解析式所表示的方程的一個解．題型一：反比例函數(shù)和幾何圖形的綜合1.正方形OAPB、ADFE的頂點A、D、B在坐標(biāo)軸上，點E在AP上，點P、F在函數(shù)的圖像上，已知正方形OAPB的面積是16．求k的值和直線OP的函數(shù)解析式；求正方形ADEF的邊長．yyABPFOxED2.如圖，已知正方形OABC的面積是9，點O為坐原點，A在x軸上，C在y軸上，B在函數(shù)的圖像上，點P（m，n）在的圖像上異于B的任意一點，過點P分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別是E、F．設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積是S．求點B的坐標(biāo)；當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；寫出S關(guān)于m的函數(shù)解析式．AABCPEFyOx題型二：正反比例函數(shù)綜合1.如圖，直線l和雙曲線交于A、B兩，P是線段AB上的點（不與A、B重合），過點A、B、P分別向x軸作垂線，垂足分別是C、D、E，連接OA、OB、OP，設(shè)△AOC面積是，△BOD面積是，△POE面積是，試比較的大小關(guān)系．FFABCDEPxyOL2.已知：關(guān)于x的一元二次方程的兩根滿足，雙曲線經(jīng)過Rt△OAB斜邊OB的中點D，與直角邊AB交于點C，求．AABCDOxy3.已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分別以O(shè)B，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．F是邊BC上的一個動點（不與B，C重合），過F點的反比例函數(shù)的圖像與AC邊交于點E．（1）求出滿足題意的k的取值范圍；（2）記，求S關(guān)于k的函數(shù)解析式；（3）是否存在這樣的實數(shù)k，使△OEF和△ECF面積相等？若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．xxABCOyEF4.如圖，已知直線與雙曲線交于A、B兩點，且點A的橫坐標(biāo)是4，過原點O的另一條直線L交雙曲線于P、Q兩點（點P在第一象限），若由點A、B、P、Q為頂點組成的四邊形的面積是24，求點P的坐標(biāo)．AABOxy題型三：函數(shù)的表示法1.小強利用星期日參加了一次社會實踐活動，他從果農(nóng)處以每千克3元的價格購進(jìn)若干千克草莓到市場上銷售，在銷售了10千克時，銷售收入是50元，余下的他每千克降價1元出售，全部售完，兩次共銷售收入70元，已知在降價前銷售收入y（元）與銷售重量x（千克）之間成正比例關(guān)系．請你根據(jù)以上的信息解答下列問題：求降價前銷售收入y（元）與售出草莓重量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式；小強共批發(fā)購進(jìn)多少千克的草莓；小強決定將這次賣草莓賺的錢全部捐給汶川地震災(zāi)區(qū)，那么小強共捐款多少元?2.某市全面推行農(nóng)村合作醫(yī)療，農(nóng)民每年每人只拿出10元就可以享受合作醫(yī)療：住院費（元）報銷費（%）不超過3000元部分153000~4000254000~5000305000~1000035100000~2000040超過2000045設(shè)報銷的費用是y元求住院費不超過3000元時，報銷費y與住院費x元之間的關(guān)系；求住院費不超過4000時，報銷費y與住院費x之間的關(guān)系；某人住院費報銷了805元，求花費的總費用．3.如圖，在甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行400米跑步比賽中，路程s（米）與時間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系的圖像分別為折線OAB和線段OC，請根據(jù)圖上信息回答下列問題：（1）________先到達(dá)終點；（2）第________秒時，_________追上__________；（3）比賽全程中，____________的速度始終保持不變；（4）寫出優(yōu)勝者在比賽過程中所跑的路程s（米）與時間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式__________．ss（米）t（秒）400300200100O405055ABC甲乙3525104.如圖，在長方形ABCD中，以對角線AC與BD的交點O為原點，建立直角坐標(biāo)系，使x軸和y軸分別與兩組對邊平行，已知長方形的長為25，寬為16，分別求直線AC和BD所對應(yīng)的函數(shù)解析式．5.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8cm，矩形MNPQ的長和寬分別為9cm和2cm，點P和點A重合，NP和AC在同一條直線上（如圖所示），Rt△ABC不動，矩形MNPQ沿射線NP以每秒1cm的速度向右移動，設(shè)移動x（0<x≤9）s后，矩形MNPQ與△ABC重疊部分的面積為ycm2，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．一．選擇題（共6小題）1．（2023秋?金山區(qū)校級月考）下列函數(shù)中，自變量的取值范圍是的是A． B． C． D．2．（2023秋?靜安區(qū)校級期中）如果關(guān)于的函數(shù)是正比例函數(shù)，那么的取值范圍是A． B． C．一切實數(shù) D．不能確定3．（2023秋?黃浦區(qū)期中）下列各圖象中，表示函數(shù)的大致圖象是A． B． C． D．4．（2023秋?普陀區(qū)校級期中）函數(shù)和，且的圖象大致是A． B． C． D．5．（2023秋?崇明區(qū)期中）若點，，在反比例函數(shù)的圖象上，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．6．（2023秋?崇明區(qū)期中）關(guān)于反比例函數(shù)，下列結(jié)論錯誤的是A．圖象位于二四象限 B．隨的增大而增大 C．圖象關(guān)于原點對稱 D．點在這個函數(shù)圖象上二．填空題（共12小題）7．（2023秋?普陀區(qū)校級期中）函數(shù)中的自變量的取值范圍是．8．（2023秋?楊浦區(qū)期中）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，函數(shù)的圖象在同一個象限內(nèi)經(jīng)過、兩點，且．過點作軸垂線，垂足為點，聯(lián)結(jié)、、，若，則點的坐標(biāo)是．9．（2023秋?崇明區(qū)期中）如圖，已知正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點，點是正比例函數(shù)圖象上的一點，過點作軸的垂線，垂足為，交反比例函數(shù)的圖象于點，過點作軸的垂線，垂足為，交正比例函數(shù)的圖于點．當(dāng)點的縱坐標(biāo)為9時，則的面積是．10．（2023秋?黃浦區(qū)校級期中）函數(shù)的定義域為．11．（2023秋?松江區(qū)期中）如果函數(shù)是正比例函數(shù)，且的值隨的值的增大而增大，那么的值．12．（2023秋?黃浦區(qū)期中）已知是的正比例函數(shù)，且當(dāng)時，；那么關(guān)于的函數(shù)解析式為．13．（2023秋?長寧區(qū)校級期中）如果反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，那么的取值范圍是．14．（2023秋?松江區(qū)期中）已知函數(shù)，則．15．（2023秋?長寧區(qū)校級期中）點是反比例函數(shù)圖象上一點，聯(lián)結(jié)，并將線段繞點旋轉(zhuǎn)，此時點的對應(yīng)點恰也落在這個反比例函數(shù)圖象上，已知點的橫坐標(biāo)為4，那么的值為．16．（2023秋?靜安區(qū)校級期中）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則當(dāng)時，自變量的取值范圍．17．（2023秋?靜安區(qū)校級期中）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點，其橫坐標(biāo)分別為1和5，則關(guān)于的不等式的解集是．18．（2023秋?普陀區(qū)校級期中）如圖，點是雙曲線在第一象限上的一動點，連接并延長交另一分支于點，以為斜邊作等腰，點在第二象限，隨著點的運動，點的位置也不斷的變化，但始終在一函數(shù)圖象上運動，則這個函數(shù)的解析式為．三．解答題（共9小題）19．（2023秋?靜安區(qū)校級期中）已知，其中與成正比例，與成反比例，并且當(dāng)時，當(dāng)時，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．20．（2023秋?崇明區(qū)期中）如圖，已知正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點為軸正半軸上一點，過點作軸，交反比例函數(shù)的圖象于點，交正比例函數(shù)的圖象于點，且．（1）求、的值；（2）聯(lián)結(jié)，求的面積；（3）為射線上一點，若的面積為9，求點的坐標(biāo)．21．（2023秋?靜安區(qū)校級期中）如圖，已知正方形的面積為9，點為坐標(biāo)原點，點在軸上，點在軸上，點在函數(shù)圖象上，點是函數(shù)圖象上異于點的任意一點，過點分別作軸、軸的垂線，垂足分別為點、．設(shè)矩形和正方形不重合部分的面積為．（1）點的坐標(biāo)是，；（2）當(dāng)，求點的坐標(biāo)；（3）求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．22．（2023秋?普陀區(qū)校級期中）如圖，已知正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點為軸正半軸上一點，過點作軸，交反比例函數(shù)的圖象于點，交正比例函數(shù)的圖象于點．（1）求、的值；（2）聯(lián)結(jié)，如果，求的面積．23．（2023秋?浦東新區(qū)期中）若正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點；（1）求出這個函數(shù)的解析式；并畫出它的圖象；（2）點的坐標(biāo)為，上述正比例函數(shù)圖象上有一動點，若點在第二象限內(nèi)，且設(shè)的面積為，當(dāng)?shù)闹禐?時，求出點的坐標(biāo)．24．（2023秋?長寧區(qū)校級期中）如圖，在中，直角頂點在軸正半軸上，反比例函數(shù)的圖象分別與邊、邊交于點、．（1）如果點的坐標(biāo)為，且，求的值及點的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)，如果，求的值．25．（2023秋?楊浦區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在反比例函數(shù)上的圖象上，將點先向右平移1個單位長度，再向下平移個單位長度后得到，點恰好落在反比例函數(shù)的圖象上．（1）求點、的坐標(biāo)．（2）聯(lián)結(jié)