湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2022—2023學(xué)年度下學(xué)期期中聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試卷試卷滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)z滿足，為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)模長公式結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：，由，可得.故選：B.2.已知向量，，．若與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】首先求出坐標(biāo)，依題意，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又且與垂直，所以，解得.故選：A3.下列說法正確的是（）A.各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體B.球的直徑是連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段C.以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐D.用一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對于A：雖然各側(cè)面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以該四棱柱不一定是正方體，故A錯(cuò)誤；對于B：球的直徑的定義即為“連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段”，故B正確；對于C：以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，以直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)共底面的圓錐組成的幾何體，故C錯(cuò)誤；對于D：用一個(gè)平行于底面的平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái)，故D錯(cuò)誤；故選：B.4.如圖所示，點(diǎn)為的邊的中點(diǎn)，為線段上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖像將用、表示，即可得出答案.【詳解】解：.故選：C.5.如圖，四邊形的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形．已知，，則下列說法正確的是（

）A.B.C.四邊形的周長為D.四邊形的面積為【答案】D【解析】【分析】利用斜二測畫法將圖形還原計(jì)算幾何圖形的面積與周長以及相關(guān).【詳解】如圖可知，四邊形的周長為，四邊形的面積為.故選:D.6.已知角滿足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換結(jié)合齊次式問題運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，整理得，即，則.故選：C.7.如圖，一個(gè)矩形邊長為1和4，繞它的長為的邊旋轉(zhuǎn)二周后所得如圖的一開口容器（下表面密封），是中點(diǎn)，現(xiàn)有一只媽蟻位于外壁處，內(nèi)壁處有一米粒，若這只螞蟻要先爬到上口邊沿再爬到點(diǎn)處取得米粒，則它所需經(jīng)過的最短路程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】畫出圓柱側(cè)面展開圖，根據(jù)對稱性，求出的最小值就是的長，求解即可．【詳解】解：依題意可得圓柱的底面半徑，高將圓柱的側(cè)面（一半）展開后得矩形，其中，，問題轉(zhuǎn)化在上找一點(diǎn)，使最短，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，令與交于點(diǎn)，則得的最小值就是為．故選：A8.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的方程在上所有實(shí)數(shù)解之和為（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，判斷函數(shù)的最小正周期為；再由其奇偶性，得到關(guān)于直線對稱，畫出函數(shù)和在上的圖像，結(jié)合圖像，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因此函?shù)的最小正周期為；又因?yàn)楹瘮?shù)是定義域在上的偶函數(shù)，所以，即函數(shù)關(guān)于直線對稱，函數(shù)的最小正周期，且函數(shù)圖象關(guān)于，對稱，畫出函數(shù)和在上的圖像如下，由圖像可得，函數(shù)和在有個(gè)交點(diǎn)，除，其余兩兩關(guān)于直線對稱，因此關(guān)于的方程在上所有實(shí)數(shù)解之和為.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，再將所得圖象向右平移是個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)是奇函數(shù) B.函數(shù)的一個(gè)對稱中心是C.若，則 D.函數(shù)的一個(gè)對稱中心是【答案】AC【解析】【分析】對于A、B選項(xiàng)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判定；對于C、D選項(xiàng)，利用三角函數(shù)圖像變換求解析式，再利用其性質(zhì)判定選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，故A正確；正弦函數(shù)的對稱中心為，故B錯(cuò)誤；根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換可得：，令，故其對稱軸為，若，由對稱性可得，顯然成立，故C正確；令，故其對稱中心為，顯然無論k取何值，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知的內(nèi)角，，的對邊為，，，下列說法中正確的是（）A.若，則一定是銳角三角形B.若，則一定是等邊三角形C.若，則一定是等腰三角形D.若，則一定是等腰三角形【答案】BD【解析】【分析】利用余弦定理即可判斷A；利用正弦定理化邊為角即可判斷B；利用正弦定理化邊為角結(jié)合二倍角的正弦公式即可判斷C；利用正弦定理化邊為角結(jié)合兩角和的正弦公式及三角形內(nèi)角和定理即可判斷D.【詳解】對于A，若，則，則為銳角，但是、兩角無法判斷其是否為銳角，如當(dāng)，，時(shí)，，，為鈍角三角形，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)椋?，所以，且，所以，所以為等邊三角形，故B正確；對于C，因?yàn)椋?，所以，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，所以，即，則，又因?yàn)椋曰颍ㄉ崛ィ?，所以為等腰三角形，故D正確.故選：BD.11.歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋．依據(jù)歐拉公式，下列說法中正確的是（）A.對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B.為純虛數(shù)C.的模長等于 D.的共軛復(fù)數(shù)為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)概念與運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對于A項(xiàng)：由題意可得：，則其對應(yīng)的點(diǎn)為，∵，則，∴對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)：由題意可得：為實(shí)數(shù)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)：由題意可得：，則，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)：由題意可得：，則的共軛復(fù)數(shù)為，故D項(xiàng)正確；故選：ACD.12.假設(shè)，且．當(dāng)時(shí)，定義平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系，在仿射坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)P的斜坐標(biāo)這樣定義：分別為x軸，y軸正方向上的單位向量，若，則記為，那么下列說法中正確的是（）A.設(shè)，則B.設(shè)，若//，則C.設(shè)，若，則D.設(shè)，若與的夾角為，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合平面向量的相關(guān)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可得：，對于A：若，則，可得，所以，故A正確；對于B：∵，則，若//，則有：當(dāng)或時(shí)，則或，可得成立；當(dāng)且時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，則，可得，整理得；綜上所述：若//，則，故B正確；對于C：∵，則，可得，若，則，故C錯(cuò)誤；對于D：∵，由選項(xiàng)A可得：，由選項(xiàng)C可得：，若與的夾角為，則，即，解得，∵，則，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為__________（用坐標(biāo)表示）．【答案】【解析】【分析】利用投影向量的定義結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得向量在向量上的投影向量.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故答案為：.14.在中，，O為三角形的外心，則為______．【答案】8【解析】【分析】作出圖形，利用余弦定理求出角的余弦值，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，再利用正弦定理得到外接圓的半徑，再次利用余弦定理求出與的夾角即可求解.【詳解】如圖，連接，在中，由余弦定理可得，，則，在中，由正弦定理可得，，則，所以，在中，由余弦定理可得，，所以，故答案為：.15.如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱．若側(cè)面水平放置時(shí)，液面恰好過的中點(diǎn)．當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面高為__________．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用柱體體積公式求出水的實(shí)際體積，再由兩種情況的放置水的體積相同求解作答.【詳解】設(shè)的面積為a，底面ABC水平放置時(shí)，液面高為h，側(cè)面水平放置時(shí)，水的體積為當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水的體積為，于是，解得，所以當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面高為12.故答案為：1216.若為一個(gè)三角形的三邊長，則稱函數(shù)在區(qū)間A上為“三角形函數(shù)”．已知函數(shù)在區(qū)間上是“三角形函數(shù)”，請解決以下問題：（1）在區(qū)間上的值域?yàn)開_______；（2）實(shí)數(shù)m的取值范圍為_____________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在區(qū)間上的值域；再根據(jù)三角函數(shù)的定義列式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，令，由可得，則函數(shù)可化為，且，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取最小值，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取最大值，所以函數(shù)在區(qū)間上值域?yàn)?；因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是“三角形函數(shù)”，所以，解得，故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知．（1）若為銳角，求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意先求，再利用兩角和的余弦公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)倍角公式結(jié)合兩角差的正切公式運(yùn)算求解.【小問1詳解】∵，且，為銳角，解得，所以．【小問2詳解】由（1）可知：，可得，所以，所以．18.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：0x0200（1）請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并根據(jù)表格數(shù)據(jù)作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；（2）將的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象，若的圖象關(guān)于y軸對稱，求的最小值．【答案】（1）表格見解析，圖象見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)表格，分別求得，即可得到函數(shù)的解析式，從而得到其函數(shù)圖像；（2）根據(jù)題意，由函數(shù)圖像變換，列出方程即可求得的最小值.【小問1詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，，所以，則，且，解得，當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以.分別令，解得，據(jù)此可得表格為：0x0200由表格作出圖象，如下圖所示.【小問2詳解】由題意可得：，因?yàn)榈膱D象關(guān)于y對稱，則，解得，且，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值．19.如圖，在中，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，．（1）若，求；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將用表示，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律以及定義求解作答.（2）取基底，用兩種方式表示出，再利用平面向量基本定理求解作答.【小問1詳解】在中，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，則，因此，所以．【小問2詳解】在中，不共線，因?yàn)椋瑒t，而在上，即有，即，于是，而，因此，解得，所以的值為.20.如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖，試根據(jù)獎(jiǎng)杯的三視圖計(jì)算：（1）求下部四棱臺(tái)的側(cè)面積；（2）求獎(jiǎng)杯的體積．（尺寸如圖，單位：，取3）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意直接運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)相關(guān)體積公式分析運(yùn)算.【小問1詳解】獎(jiǎng)杯底座的側(cè)面梯形的高分別等于和．故．【小問2詳解】.21.已知的內(nèi)角，A，B，C的對邊為a，b，c，且．（1）求；（2）若的面積為為內(nèi)角A的角平分線，交邊于點(diǎn)D，求線段長的最大值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化邊以及余弦定理求解；（2）根據(jù)面積公式求得，再根據(jù)等面積得，從而有，利用基本不等式即可求解.【小問1詳解】由正弦定理，得，即，故.【小問2詳解】由（1）知，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，又因?yàn)?，所以．于?那么．所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）故的最大值為2．22.如圖，已知與的夾角為，點(diǎn)C是的外接圓優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)A，B），記與的夾角為．（1）求外接圓直徑；（2）試將表示為的函數(shù)；（3）設(shè)點(diǎn)M滿足，若，其中，求的