1.1.2空間向量的數(shù)量積運算課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性2

1.1.2空間向量的數(shù)量積運算第一章1.1人教A版

數(shù)學

選擇性必修第一冊自主預習新知導學一、空間向量的夾角1.空間兩個向量的夾角(1)定義:如圖,已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點O,作,則∠AOB叫做向量a,b的夾角,記作<a,b>.(2)范圍:<a,b>∈[0,π].如果<a,b>=0,那么向量a,b同向共線;如果<a,b>=π,那么向量a,b反向共線,所以若a∥b,則<a,b>=0或π;如果<a,b>=,那么向量a,b互相垂直,記作a⊥b.2.如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,下列各對向量的夾角為135°的是(

)B二、空間向量的數(shù)量積及其性質(zhì)1.空間向量的數(shù)量積及其性質(zhì)

2.(1)（多選題）下列式子正確的是(

)A.|a|a=a2

B.(a·b)2=a2b2C.a(a·b)=b·a2 D.|a·b|≤|a||b|(2)已知向量a和b的夾角為120°,且|a|=2,|b|=5,則(2a-b)·a=(

)BDD三、向量的投影

1.(1)如圖①,在空間,向量a向向量b投影,先將它們平移到同一個平面α內(nèi),利用平面上向量的投影,得到與向量b共線的向量c,c=|a|cos<a,b>,向量c稱為向量a在向量b上的投影向量.類似地,可以將向量a向直線l投影,如圖②所示.2.已知|a|=4,|b|=6,a與b的夾角為60°,則向量a在向量b上的投影向量是

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合作探究釋疑解惑探究一空間向量的數(shù)量積的計算【例1】

如圖,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E,F分別是AB,AD的中點,計算:分析:求出每組向量中每個向量的模以及它們的夾角,根據(jù)數(shù)量積的定義進行計算.反思感悟1.在幾何體中進行向量的數(shù)量積運算時,要充分利用幾何體的性質(zhì),把待求向量用已知夾角和模的向量表示后再進行運算.在解題過程中要注意兩向量的夾角,正確運用兩向量夾角的定義.2.有關數(shù)量積的運算應注意的問題:(1)與向量的數(shù)乘運算區(qū)分開,向量的數(shù)乘運算的結(jié)果仍是向量,數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量.(2)書寫規(guī)范:不能寫成a×b,也不能寫成ab.解:(1)∵∠BAA1=60°,∴a·b=|a||b|cos<a,b>=2×2×cos

60°=2.探究二利用數(shù)量積證明空間中的垂直關系【例2】

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,D1B1的中點,求證:EF⊥平面B1AC.同理可證,EF⊥B1C.∵AB1∩B1C=B1,且AB1,B1C?平面B1AC,∴EF⊥平面B1AC.反思感悟當直接證明線線垂直但條件不易利用時,常?？紤]證明兩線段所對應的向量的數(shù)量積等于零.利用向量證明垂直的一般方法是把線段轉(zhuǎn)化為向量,并用已知向量表示未知向量,然后通過向量的運算以及數(shù)量積和垂直條件來完成位置關系的判定.【變式訓練2】

如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,CD'與DC'相交于點O,連接AO,求證:(1)AO⊥CD';(2)AC'⊥平面B'CD'.所以AC'⊥B'C.同理可證,AC'⊥B'D'.又B'C,B'D'?平面B'CD',且B'C∩B'D'=B',所以AC'⊥平面B'CD'.探究三利用數(shù)量積求向量的夾角反思感悟求兩個非零向量夾角的途徑(1)轉(zhuǎn)化為求平面角:把所求向量平移到同一個起點上,轉(zhuǎn)化為平面幾何中的對應角,利用解三角形的知識求解.(2)利用數(shù)量積的定義求向量夾角的余弦值,進而確定向量夾角的大小.【變式訓練3】

如圖,在空間四邊形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,

∠OAC=45°,∠OAB=60°,求向量

的夾角的余弦值.探究四利用數(shù)量積求距離(即線段長度)反思感悟求兩點間的距離或線段長度的方法(1)將此線段用向量表示.(2)用其他已知夾角和模的向量表示該向量.(3)利用|a|=,通過計算求出|a|,即得所求距離