云南省玉溪市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月一調(diào)考試數(shù)學(xué)試卷

2024—2025學(xué)年度上學(xué)期高二年級一調(diào)考試數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、考號等填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，，則（）A. B. C. D.2.在平行六面體中，為AC與BD的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量為（）A. B.C. D.3.若函數(shù)在上單調(diào)遞減且對任意滿足，則不等式的解集是（）A. B. C. D.4.在四棱錐中，底面是邊長為3的正方形，底面，，點(diǎn)在側(cè)棱PB上，且滿足，則異面直線PC和DG的距離為（）A. B. C. D.5.空間中有三點(diǎn)，，，且為平面的一個法向量，則以AB、AC為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B. C.3 D.6.在矩形中，，，沿對角線AC將矩形折成一個大小為的二面角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為3時，（）A. B. C. D.7.邊長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，是DB靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，在正方體內(nèi)部或表面，，則的最大值是（）A.1 B. C. D.8.已知點(diǎn)A，B，C，D，P，Q都在同一個球而上，為正方形，若直線PQ經(jīng)過球心，且平面.則異而直線PA，QB所成的角的聶小值為（）A.60° B.45° C.30° D.15°二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.已知，，則在上的投影向量為B.若兩個不同平面，的法向量分別是，，且，，則C.若，則A，B，C，G四點(diǎn)共面D.若向量，（x，y，z都是不共線的非零向量）則稱在基底下的坐標(biāo)為，若在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為10.如圖所示是一個以AB為直徑，點(diǎn)S為圓心的半圓，其半徑為4，F(xiàn)為線段AS的中點(diǎn)，其中C、D、E是半圓圓周上的三個點(diǎn)，且把半圓的圓周分成了弧長相等的四段，若將該半圓圍成上一個以S為頂點(diǎn)的圓錐的側(cè)面，則關(guān)于此圓錐，下列說法不正確的是（）A.為正三角形 B.平面C.平面 D.點(diǎn)到平面的距離為11.如圖，點(diǎn)是邊長為2的正方體的表面上一個動點(diǎn)，則（）A.當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面上時，四棱錐的體積為定值B.存在這樣的點(diǎn)，使得C.當(dāng)直線AP與平面所成的角為45°時，點(diǎn)的軌跡長度為D.當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡長度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)滿足，則___________.13.空間內(nèi)四點(diǎn)，，，可以構(gòu)成正四面體，則___________.14.如圖，在正方體中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得截面面積為___________，動點(diǎn)滿足，且，則當(dāng)取得取小值時二面角的余弦值為___________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個正方形框架，的邊長都是2，且它們所在的平面互相垂直.活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且MA和NF的長度保持相等，記.（1）求MN的長；（2）當(dāng)MN的長最小時，求平面與平面夾角的余弦值.16.（本小題滿分15分）如圖，已知多面體的底面是菱形，側(cè)棱底面，且.（1）證明：；（2）若，，，求直線BC與平面所成的角的正弦值.17.（本小題滿分15分）如圖所示，在長方體中，，，為棱的中點(diǎn).（1）若是線段BM上的動點(diǎn)，試探究：是否為定值？若是，求出該定值；否則，請說明理由；（2）過作該長方體外接球的截面，求截面面積的取值范圍.18.（本小題滿分17分）如圖，三棱臺，，，平面平面，，，，與相交于點(diǎn)，，且平面.（1）求三棱錐的體積；（2）平面與平面所成角為，與平面所成角為，求的值.19.（本小題滿分17分）如圖1，在平行四邊形中，，，E為CD的中點(diǎn)，將沿AE折起，連接BD與CD，得到的四棱錐如圖2.圖1圖2（1）當(dāng)BD為何值時，平面平面？（2）設(shè)，當(dāng)時，是否存在實(shí)數(shù)，使得直線AF與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)三棱錐的體積最大時，求三棱錐的內(nèi)切球的半徑.月考卷參考答案一、選接題1.C【解析】將中的元表依次代入驗(yàn)證，只有，0，滿足，所以.故選C.2.C【解析】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，，所以，故選C.3.D【解祈】因?yàn)椋缘膶ΨQ軸為，在單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞增，又因?yàn)椋蓪ΨQ性可得，所以，，.故選D.4.A【解析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，分別作為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.所以，，，設(shè)為直線PC和DG的公垂線的方向向量，則有，可取，所以異面直線PC和DG的距離為.故選A.5.D【解析】平面的一個法向量為，則，解得，故，，，則，則，則平行四邊形面積為.故選D.6.B【解析】分別作，，垂足為E，F(xiàn)，則.由，，可得，所以，，.因?yàn)?，則，即，故.故選B.7.B【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，則，因?yàn)椋?，所以，即，所以，又，，所?當(dāng)且僅當(dāng)，此時時，等號成立，所以的最大值是.故選B.8.A【解析】設(shè)球的半徑為，記中心為，因?yàn)闉檎叫?，直線PQ經(jīng)過球心，且平西.所以PQ過點(diǎn)且PQ的中點(diǎn)為球心，設(shè)球心為，以為原點(diǎn)，OB、OC、OP分別為x，y，z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，所以，，所以，所以，，又，即.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，設(shè)直線PA，QB所成的角為則，又，所以.故選A.二、選擇題9.BD【解析】對于A，由于，，則在的投影向量為，故A錯誤；對于B：若兩個不同平面，的法向量分別是，，且，，，則，故B正確；對于C：由于，對于，故A，B，C，G四點(diǎn)不共面，故C錯誤；對于D：p在單位正交基底下的坐標(biāo)為（1，2，3），即，所以在基底下滿足，故，，，解得，，，則在基底下的坐標(biāo)為，故D正確.故選BD.10.ABD【解析】選項(xiàng)A，該半圓圍成的圓錐，如圖所示，設(shè)四棱底面半徑為，則，，，為AS的中點(diǎn)，為AD的中點(diǎn)，，且，，為等腰直角三角形，選項(xiàng)A錯誤；選項(xiàng)B，若平面，則，直角中，，，選項(xiàng)B錯誤；選項(xiàng)C，，平面，平面，選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，，，平面，平面平面，到直線FO的距離即為到平面的距離，又，到直線FO的距離等于到直線SD的距離，為，選項(xiàng)D錯誤，故選ABD.11.ACD【解析】略12.【解析】略13.【解析】由已知正四西體的棱長為1，所以的豎坐標(biāo)為正四面體的高，的外接圓半徑為，所以正四面體的高為，而橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)即底面三角形的重心坐標(biāo)，，，所以，故答案為.[只寫對一個不給分]14.18；【解析】略四、解答題15.解：（1）由題意可知，直線BC、BE、BA兩兩垂直，以B原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)?，所以?所以.（2），當(dāng)時，最小.此時，M，N為AC、BF的中點(diǎn)，則，，取MN的中點(diǎn)，連接AG，BG，則，因?yàn)?，，所以?所以是平面與平面的夾角或其補(bǔ)角，因?yàn)椋?所以，所以平面與平面夾角的余弦值是.16.解：（1）因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)樗倪呅问橇庑危?，又因?yàn)?，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?（2）設(shè)AC交BD于，以為原點(diǎn)，以O(shè)B為軸，OC為軸，過作為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由圖可知，，，，.，則，，設(shè)平