經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第六版）（上冊(cè)）課件 顧靜相 第2章 導(dǎo)數(shù)與微分

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第7講2.1

導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)要求理解導(dǎo)數(shù)的概念；

了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系．導(dǎo)數(shù)概念

定義2.1設(shè)函數(shù)

y=f(x)在

x0

點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)

x0處取得增量

x(0)時(shí)，函數(shù)

f(x)取得相應(yīng)的增量

y=f(x0+

x)-f(x0)．如果當(dāng)

x0時(shí)，存在，那么稱此極限值為函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0的導(dǎo)數(shù)，記作

f

(x0)，或

，或

，或,導(dǎo)數(shù)概念如果當(dāng)

x0時(shí)，存在，則稱此極限值為函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0的導(dǎo)數(shù)，記作

f

(x0)，或

，或

，或,并稱函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0

可導(dǎo)；如果

不存在，則稱函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0

不可導(dǎo)．導(dǎo)數(shù)概念

定義2.2

若函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)任意一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱函數(shù)

f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)．導(dǎo)數(shù)概念

定義2.2

若函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)任意一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱函數(shù)

f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)．若f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則對(duì)于區(qū)間(a,b)內(nèi)每一個(gè)x值，都有一個(gè)導(dǎo)數(shù)值f

(x)與之對(duì)應(yīng)，所以

f

(x)也是

x的函數(shù)，叫做

f(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)．記作

f

(x)，或

y

，或

，或

．導(dǎo)數(shù)概念

顯然，f(x)的導(dǎo)數(shù)

f

(x)在點(diǎn)x=x0

處的函數(shù)值就是f(x)在點(diǎn)

x0處導(dǎo)數(shù)

f

(x0)．

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)

f(x)的導(dǎo)數(shù)的一般步驟如下：

1．寫出函數(shù)的增量

y=f(x

+

x)-f(x)；

2．計(jì)算比值

；

3．求極限

．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)1.常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

y=c(c為常數(shù))，由于無論

x取何值，

y=c恒成立．總有

y=c-c

=0，于是，所以

．即常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)2.冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

y=xn

(n為正整數(shù))，

y=(x+

x)n-

xn，由二項(xiàng)式定理可得，于是

，用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)2.冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

y=xn

(n為正整數(shù))，

y=(x+

x)n-

xn，……于是，所以

=nxn-1．即(xn

)=nxn-1．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)2.冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)于一般的冪函數(shù)

y=x

(

為實(shí)數(shù))，上面的導(dǎo)數(shù)公式也成立，即(x

)=

x

-1．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)例1設(shè)

y=x10，

，

，求

y

．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)例1設(shè)

y=x10，

，

，求

y

．解

y

=(x10)

=10x9

；；

．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)3.正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

y=sinx，則

y=sin(x+

x)

-sin

x=，于是

，所以=cosx．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)3.正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

y=sinx，則

……所以=cosx．即(sinx)=cosx．類似地可以得到：(cosx)=-sinx．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)4.對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

y=loga

x(x>0,a>0,a

0)，則

y=loga(x+

x)

-loga

x=，于是

，用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)4.對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

y=loga

x(x>0,a>0,a

0)，則

……所以

，即

．

用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)4.對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

特別地，當(dāng)a=e時(shí)，因?yàn)閘ne

=1，所以有

．

用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)例2設(shè)

y=log2x

，求

y

．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)例2設(shè)

y=log2x

，求

y

．解因?yàn)?/p>

a=2，由公式可得

．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)5.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

y=ax(a>0,a1)，則

y=ax+x

-ax=ax

(a

x

-1)，于是，所以

．令a

x

-

1=t，那么

x=loga(1+t)，用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)5.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

y=ax(a>0,a1)，則

……令a

x-

1=t，那么

x=loga(1+t)，且當(dāng)

x0時(shí)，

t0，故，即(ax)=axlna．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)

特別地，當(dāng)

a=e時(shí)，因?yàn)閘ne=1，有(e

x)=

ex．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)例3設(shè)

y1=10

x

，

，求

y1

，y2

．用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)例3設(shè)

y1=10

x

，

，求

y1

，y2

．解

在

y1中，因?yàn)?/p>

a=10，由公式得

；而，，由公式得

．導(dǎo)數(shù)的幾何意義

設(shè)函數(shù)

y=f(x)的圖像如下圖所示，在其上任取兩點(diǎn)

M0(x0，y0)和

M(x0+

x，y0+

y)(

x

0)作割線

M0M，設(shè)其傾角為

，則割線的斜率為

．

當(dāng)點(diǎn)

M沿曲線

y=f(x)趨近于點(diǎn)

M0時(shí)，割線

M0M

趨于極限位置M0T，M0T就是曲線在點(diǎn)

M0

處的切線．

．導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)M0T的傾角為

，當(dāng)

x0時(shí)，點(diǎn)

M

M0，割線M0M

M0T，傾角

，于是

．這說明，函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0處的導(dǎo)數(shù)

f

(x0)，就是曲線

y=f(x)在點(diǎn)

M0(x0，y0)處的切線

M0T的斜率

k

=tan=

f

(x0)．導(dǎo)數(shù)的幾何意義

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程，很容易得到曲線

y=f(x)在點(diǎn)

M0(x0，y0)處的切線方程為

．導(dǎo)數(shù)的幾何意義例4求曲線

在點(diǎn)(1,1)處的切線方程．導(dǎo)數(shù)的幾何意義例4求曲線

在點(diǎn)(1,1)處的切線方程．解

因?yàn)?/p>

，且切線斜率為

，所以，切線方程為

，整理得

．可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理2.1如果函數(shù)

y=f(x)在

x0點(diǎn)處可導(dǎo)，則

y=f(x)在點(diǎn)

x0處一定連續(xù)．可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理2.1如果函數(shù)

y=f(x)在

x0點(diǎn)處可導(dǎo)，則

y=f(x)在點(diǎn)

x0處一定連續(xù)．

注意：定理的逆命題不成立，即

y=f(x)在點(diǎn)

x0處連續(xù)時(shí)，在點(diǎn)

x0不一定可導(dǎo)．

例如，函數(shù)

在

x=0點(diǎn)連續(xù)，但不可導(dǎo)．因?yàn)?，，所以，?/p>

x=0點(diǎn)連續(xù)，函數(shù)

，但不可導(dǎo).導(dǎo)數(shù)的概念謝謝大家！

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第8講2.2導(dǎo)數(shù)基本公式與運(yùn)算法則教學(xué)要求

掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則．四則運(yùn)算法則

設(shè)函數(shù)

u(x)，v(x)在點(diǎn)

x

處可導(dǎo)，C是常數(shù)，那么1．加減求導(dǎo)法則：

；即兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于它們導(dǎo)數(shù)的代數(shù)和．四則運(yùn)算法則

設(shè)函數(shù)

u(x)，v(x)在點(diǎn)

x

處可導(dǎo)，C是常數(shù)，那么1．加減求導(dǎo)法則：

，即兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于它們導(dǎo)數(shù)的代數(shù)和．2．乘法求導(dǎo)法則：

，即兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)，加上第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第一個(gè)函數(shù)．四則運(yùn)算法則

設(shè)函數(shù)

u(x)，v(x)在點(diǎn)

x

處可導(dǎo)，C是常數(shù)，那么1．加減求導(dǎo)法則：

．2．乘法求導(dǎo)法則：

．特別地，如果

v(x)=C，則

；

函數(shù)的加減、乘法求導(dǎo)法則也可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的加減、乘積求導(dǎo)的情形．如四則運(yùn)算法則

設(shè)函數(shù)

u(x)，v(x)在點(diǎn)

x

處可導(dǎo)，C是常數(shù)，那么3．除法求導(dǎo)法則：

；其中v(x)≠0．即兩個(gè)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)乘分母，減去分母的導(dǎo)數(shù)乘分子，再除以分母的平方．四則運(yùn)算法則

設(shè)函數(shù)

u(x)，v(x)在點(diǎn)

x

處可導(dǎo)，C是常數(shù)，那么3．除法求導(dǎo)法則：

；其中v(x)≠0．即兩個(gè)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)乘分母，減去分母的導(dǎo)數(shù)乘分子，再除以分母的平方．特別地，如果

u(x)=C，則

．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則4．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

定理2.2設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

x處有導(dǎo)數(shù)

，函數(shù)

在點(diǎn)

u處有導(dǎo)數(shù)

，則復(fù)合函數(shù)

在該點(diǎn)

x也有導(dǎo)數(shù)，且或或．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)等于復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)．例1

求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．四則運(yùn)算法則例1

求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．解：因?yàn)椋此猿朔ㄇ髮?dǎo)法則四則運(yùn)算法則例2

求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．

t

為常數(shù)四則運(yùn)算法則例2

求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．

t

為常數(shù)解：等號(hào)右邊第一項(xiàng)是兩個(gè)函數(shù)的商，用除法求導(dǎo)法則求之；也可以寫成

，用乘法求導(dǎo)法則求之．第二項(xiàng)是常數(shù)

與對(duì)數(shù)函數(shù)

的乘積，用公式

求之．因?yàn)?/p>

減法求導(dǎo)法則四則運(yùn)算法則而除法求導(dǎo)法則四則運(yùn)算法則而除法求導(dǎo)法則四則運(yùn)算法則所以例3

求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則例3

求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．解：令

，

，

，則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則例3

求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．解：令

，

，

，則利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則對(duì)

u、v、t

求導(dǎo)，最后進(jìn)行復(fù)合．因?yàn)?，，，?fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則解：令

，

，

，則

．因?yàn)?，，，，所以，由?fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，得復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則例3

求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．解：熟練后可直接用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求之．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則例4

求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則例4

求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則解利用對(duì)數(shù)性質(zhì)先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)，即

，則

．隱函數(shù)求導(dǎo)方法

稱由未解出因變量的方程

F(x,y)=0所確定的

y與

x之間的關(guān)系為隱函數(shù)．例如：，，

．隱函數(shù)求導(dǎo)方法

稱由未解出因變量的方程

F(x,y)=0所確定的

y與

x之間的關(guān)系為隱函數(shù)．例如：，，

．

隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法：方程兩端同時(shí)對(duì)

x

求導(dǎo)，遇到含有

y

的項(xiàng)，先對(duì)

y求導(dǎo)，再乘以

y對(duì)

x的導(dǎo)數(shù)

，得到一個(gè)含有

y

的方程式，然后從中解出

y

即可．隱函數(shù)求導(dǎo)方法例5求隱函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．隱函數(shù)求導(dǎo)方法例5求隱函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．隱函數(shù)求導(dǎo)法：在該方程兩端同時(shí)對(duì)自變量

x求導(dǎo)，得到一個(gè)含有函數(shù)

y

的一次方程，再解出

y

．解

因?yàn)閷?dǎo)數(shù)加減運(yùn)算法則隱函數(shù)求導(dǎo)方法隱函數(shù)求導(dǎo)法：在該方程兩端同時(shí)對(duì)自變量

x求導(dǎo)，得到一個(gè)含有函數(shù)

y

的一次方程，再解出

y

．解

因?yàn)閷?dǎo)數(shù)加減運(yùn)算法則復(fù)合、乘法運(yùn)算法則例5求隱函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．隱函數(shù)求導(dǎo)方法解

因?yàn)樗詫?dǎo)數(shù)加減運(yùn)算法則復(fù)合、乘法運(yùn)算法則例5求隱函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．隱函數(shù)求導(dǎo)方法例6求曲線

在點(diǎn)

處的切線方程．隱函數(shù)求導(dǎo)方法例6求曲線

在點(diǎn)

處的切線方程．解先求由

所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．即在方程等號(hào)兩邊同時(shí)對(duì)

x求導(dǎo)，得，即，解出

y

，得

．隱函數(shù)求導(dǎo)方法解出

y

，得

．在點(diǎn)

M(1,1)處，

．于是，在點(diǎn)

M(1,1)處的切線方程為，即．反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.3設(shè)函數(shù)

x=

(y)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且

(y)≠0，則其反函數(shù)

y=f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且

，或記作

．即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)．反函數(shù)的求導(dǎo)法則例7求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．反函數(shù)的求導(dǎo)法則例7求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．解

因?yàn)?/p>

是

的反函數(shù)，且

，

，即．反函數(shù)的求導(dǎo)法則例7求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．解

因?yàn)?/p>

是

的反函數(shù)，且

，

，即．由導(dǎo)數(shù)除法運(yùn)算法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則例7求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．由導(dǎo)數(shù)除法運(yùn)算法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則例7求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．由導(dǎo)數(shù)除法運(yùn)算法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則例7求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．由得其中，對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法

形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù)．

冪指函數(shù)如何求導(dǎo)數(shù)呢？

一般先對(duì)函數(shù)的兩邊取對(duì)數(shù)，得到一個(gè)隱函數(shù)，然后在等式兩邊同時(shí)對(duì)自變量

x求導(dǎo)，最后解出

y

x．這種方法稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法．對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法

形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù)．

冪指函數(shù)如何求導(dǎo)數(shù)呢？

一般先對(duì)函數(shù)的兩邊取對(duì)數(shù)，得到一個(gè)隱函數(shù)，然后在等式兩邊同時(shí)對(duì)自變量

x求導(dǎo)，最后解出

y

x．這種方法稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法．

對(duì)數(shù)求導(dǎo)法除用于求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)外，用來求多個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)也是比較方便的．對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法例8設(shè)

，求

y

．對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法例8設(shè)

，求

y

．解

對(duì)原函數(shù)的兩邊取對(duì)數(shù)，得等式兩邊對(duì)

x求導(dǎo)，得，對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法例3設(shè)

，求

y

．解

對(duì)原函數(shù)的兩邊取對(duì)數(shù)，得等式兩邊對(duì)

x求導(dǎo)，得，對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法例9設(shè)

，求

y

．對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法例9設(shè)

，求

y

．解

對(duì)原函數(shù)的兩邊取對(duì)數(shù)，得等式兩邊對(duì)

x求導(dǎo)，得對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法解

對(duì)原函數(shù)的兩邊取對(duì)數(shù)，得等式兩邊對(duì)

x求導(dǎo)，得于是導(dǎo)數(shù)基本公式與運(yùn)算法則謝謝大家！

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第9講2.3高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)要求

了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握初等函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法．高階導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)f

(x)仍是x的函數(shù)，且

f

(x)在點(diǎn)x處對(duì)x的導(dǎo)數(shù)存在，則稱導(dǎo)函數(shù)f

(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù)，記作

f

(x)，或y

(x)，或，或．高階導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)f

(x)仍是x的函數(shù)，且

f

(x)在點(diǎn)x處對(duì)x的導(dǎo)數(shù)存在，則稱導(dǎo)函數(shù)f

(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù)，記作

f

(x)，或y

(x)，或，或．

類似地，二階導(dǎo)數(shù)

f

(x)的導(dǎo)數(shù)稱為

f(x)的三階導(dǎo)數(shù)，記作

，…，(n

1)階導(dǎo)數(shù)

f(n

1)(x)的導(dǎo)數(shù)稱為

f(x)的

n階導(dǎo)數(shù)，記作

f

(n)(x)，或y(n)(x)，或，或．高階導(dǎo)數(shù)

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處具有

n階導(dǎo)數(shù)，也稱

n階可導(dǎo)．二階及二階以上各階導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)．四階或四階以上的導(dǎo)數(shù)記作

f

(n)(x)(n≥4)．高階導(dǎo)數(shù)

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處具有

n階導(dǎo)數(shù)，也稱

n階可導(dǎo)．二階及二階以上各階導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)．四階或四階以上的導(dǎo)數(shù)記作

f

(n)(x)(n≥4)．

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

處的各階導(dǎo)數(shù)就是其各階導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)

x0處的函數(shù)值，即

．高階導(dǎo)數(shù)

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處具有

n階導(dǎo)數(shù)，也稱

n階可導(dǎo)．二階及二階以上各階導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)．四階或四階以上的導(dǎo)數(shù)記作

f

(n)(x)(n≥4)．

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

處的各階導(dǎo)數(shù)就是其各階導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)

x0處的函數(shù)值，即

．

求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，就是利用

2.2節(jié)中的求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，對(duì)函數(shù)一次一次地連續(xù)求導(dǎo)．高階導(dǎo)數(shù)例1設(shè)f(x)=xcosx，求．高階導(dǎo)數(shù)例1設(shè)f(x)=xcosx，求．解

因?yàn)?/p>

f

(x)=cosx

xsinx，導(dǎo)數(shù)乘法運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)例1設(shè)f(x)=xcosx，求．解

因?yàn)?/p>

f

(x)=cosx

xsinx，

f

(x)=

sinx

sinx

xcosx=

2sinx

xcosx，導(dǎo)數(shù)乘法運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)例1設(shè)f(x)=xcosx，求．解

因?yàn)?/p>

f

(x)=cosx

xsinx，

f

(x)=

sinx

sinx

xcosx=

2sinx

xcosx，，導(dǎo)數(shù)乘法運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)例1設(shè)f(x)=xcosx，求．解

因?yàn)?/p>

f

(x)=cosx

xsinx，

f

(x)=

sinx

sinx

xcosx=

2sinx

xcosx，，所以．導(dǎo)數(shù)乘法運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)例2設(shè)y=exsinx，試證y

(x)2y

(x)

+2y=0．高階導(dǎo)數(shù)例2設(shè)y=exsinx，試證y

(x)2y

(x)

+2y=0．證

因?yàn)?/p>

y

(x)

=exsinx+excosx，導(dǎo)數(shù)乘法運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)例2設(shè)y=exsinx，試證y

(x)2y

(x)

+2y=0．證

因?yàn)?/p>

y

(x)

=exsinx+excosx，y

(x)=exsinx+excosx+excosx

exsinx

=2excosx，導(dǎo)數(shù)乘法運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)例2設(shè)y=exsinx，試證y

(x)2y

(x)

+2y=0．證

因?yàn)?/p>

y

(x)

=exsinx+excosx，y

(x)=exsinx+excosx+excosx

exsinx

=2excosx，所以y

(x)2y

(x)

+2y

=2excosx2(exsinx+excosx)+2exsinx

=0．導(dǎo)數(shù)乘法運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)例3設(shè)y(x)=lnx，求y(n)(x)．高階導(dǎo)數(shù)例3設(shè)y(x)=lnx，求y(n)(x)．解

因?yàn)椋?/p>

，

，

高階導(dǎo)數(shù)例3設(shè)y(x)=lnx，求y(n)(x)．解

因?yàn)椋?/p>

，

，

，…，

高階導(dǎo)數(shù)例3設(shè)y(x)=lnx，求y(n)(x)．解

因?yàn)椋?/p>

，

，

，…，

所以．高階導(dǎo)數(shù)例4設(shè)y=y(x)由方程

所確定，求

．高階導(dǎo)數(shù)例4設(shè)y=y(x)由方程

所確定，求

．解由原方程得，高階導(dǎo)數(shù)例4設(shè)y=y(x)由方程

所確定，求

．解由原方程得，對(duì)方程兩端同時(shí)關(guān)于

x求導(dǎo)，得

高階導(dǎo)數(shù)例4設(shè)y=y(x)由方程

所確定，求

．解由原方程得，即

對(duì)方程兩端同時(shí)關(guān)于

x求導(dǎo)，得

高階導(dǎo)數(shù)即

于是（7.1）

高階導(dǎo)數(shù)即

于是（7.1）

再對(duì)

x求導(dǎo)，得高階導(dǎo)數(shù)即

于是（7.1）

再對(duì)

x求導(dǎo)，得把（7.1）式代入，得

．高階導(dǎo)數(shù)謝謝大家！

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第10講2.4函數(shù)的微分教學(xué)要求

理解微分的概念；

了解可導(dǎo)、可微與連續(xù)之間的關(guān)系；

掌握微分的運(yùn)算法則．微分的概念

若給定函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x處可導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義有

．由定理1.2知，

，其中

是當(dāng)

x0時(shí)的無窮小量，上式可寫作

．

（10.1）微分的概念

．

(10.1)(10.1)式表明函數(shù)的增量可以表示為兩項(xiàng)之和.第一項(xiàng)

是

x

的線性函數(shù)，第二項(xiàng)

x，當(dāng)

x0時(shí)是比

x高階的無窮小量．因此，當(dāng)

x很小時(shí)，我們稱第一項(xiàng)

為

y的線性主部，并叫做函數(shù)

f(x)的微分．微分的概念

定義2.3設(shè)函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0

處有導(dǎo)數(shù)，則稱為y=f(x)在點(diǎn)

x0

處的微分，記作dy，即dy=f

(x0)

x，(10.2)此時(shí)，稱

在點(diǎn)

處是可微的．微分的概念

定義2.3設(shè)函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0

處有導(dǎo)數(shù)，則稱為y=f(x)在點(diǎn)

x0

處的微分，記作dy，即dy=f

(x0)

x，(10.2)此時(shí)，稱

在點(diǎn)

處是可微的．

函數(shù)

y=f(x)在任意點(diǎn)

x的微分，叫做函數(shù)的微分，記作dy=f

(x)

x．(10.3)微分的概念

函數(shù)

y=f(x)在任意點(diǎn)

x的微分，叫做函數(shù)的微分，記作dy=f

(x)

x．(10.3)

如果將自變量

x當(dāng)作自己的函數(shù)

y=x則有dx=dy=(x)

x=

x，說明自變量的微分dx就等于它的增量

，于是函數(shù)的微分可以寫成dy=f

(x)dx，(10.4)即

，(10.5)微分的概念也就是說，函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，導(dǎo)數(shù)又叫微商．

如果將自變量

x當(dāng)作自己的函數(shù)

y=x則有dx=dy=(x)

x=

x，說明自變量的微分dx就等于它的增量

，于是函數(shù)的微分可以寫成dy=f

(x)dx，(10.4)即

，(10.5)可導(dǎo)與可微的關(guān)系

如果函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x處可導(dǎo)，則

y=f(x)在點(diǎn)

x處可微；反之，如果

y=f(x)在點(diǎn)

x處可微，則

y=f(x)在點(diǎn)

x處可導(dǎo)．微分公式

求函數(shù)的微分只須求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后再乘上自變量的dx即可．

由求導(dǎo)公式和求導(dǎo)運(yùn)算法則，我們可以建立基本初等函數(shù)的微分公式和微分運(yùn)算法則．微分公式

求函數(shù)的微分只須求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后再乘上自變量的dx即可.

結(jié)合教材中的求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則，可以建立基本初等函數(shù)的微分公式和微分運(yùn)算法則.2．

（

為任意實(shí)數(shù)）；3．

（a>0,a

1）；4．

；5．

（a>0,a

1）；?微分四則運(yùn)算法則設(shè)

u(x)，v(x)都是可微函數(shù)，則1．

；2．

；

3．

；4．

．復(fù)合函數(shù)的微分法則

設(shè)

y=f(u)，u=

(x)，且函數(shù)

(x)

在點(diǎn)

x處可導(dǎo)，函數(shù)

f(u)在相應(yīng)的點(diǎn)

u處可導(dǎo)，則以u(píng)

為中間變量的復(fù)合函數(shù)

y=f[

(x)]

的微分dy=f

(u)

(x)dx，(10.6)復(fù)合函數(shù)的微分法則

設(shè)

y=f(u)，u=

(x)，且函數(shù)

(x)

在點(diǎn)

x處可導(dǎo)，函數(shù)

f(u)在相應(yīng)的點(diǎn)

u處可導(dǎo)，則以u(píng)

為中間變量的復(fù)合函數(shù)

y=f[

(x)]

的微分