專題12 角平分線定理應用的4種常見壓軸題型全攻略（解析版）

專題12角平分線定理應用的4種常見壓軸題型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用角平分線定理求線段的大小】 1【考點二利用角平分線定理求角的大小】 2【考點三利用角平分線定理求三角形面積大小】 2【考點四利用角平分線定理求三角形面積之比】 3【過關檢測】 4【典型例題】【考點一利用角平分線定理求線段的大小】【例題1】如圖，在中，，是的角平分線，若，，則點到的距離為（

）

A．9 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)定理的應用，本題過作于，再證明，從而可得答案．【詳解】解：如圖，過作于，

∵，是的角平分線，∴，∵，，∴，∴，∴點到的距離為4．故選D【變式1】如圖，在中，，是的角平分線，是邊上一點，若，則的長可能是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】D【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，過點作于點，利用角平分線的性質(zhì)可求出的長，結合點到直線垂直線段最短即可得出，再對照四個選項即可得出結論．【詳解】解：過點作于點，如圖所示平分，，，．又是邊上一點，，．故選：D．【變式2】如圖，在中，，平分，交于點，，，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作于，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，然后利用的面積列式計算即可得解．【詳解】解：如圖，過點作于，∵，平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴的長為．故選：C．

【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、三角形的面積公式的運用．解題的關鍵是作輔助線，利用角平分線的性質(zhì)進行計算．【變式3】如圖，是的角平分線，于點，，，，則的長是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】過D點作于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)即可求出的長．【詳解】如圖，過D點作于F，平分，，，，，，解得．故選：C【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，熟練掌握這一性質(zhì)是解題的關鍵．【考點二利用角平分線定理求角的大小】【例題2】如圖，中，，，是上一點，且于點，連接，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查三角形中求角度，涉及直角三角形性質(zhì)、角平分線的判斷與性質(zhì)等知識，熟記“到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上”是解決問題的關鍵．【詳解】解：中，，，，，，且，平分，，故選：A．【變式1】如圖，在中，，，點在的延長線上，的平分線與的平分線相交于點，連接，則度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平線的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)，過點分別作，，，可證到，得到平分，再利用三角形外角性質(zhì)即可求解，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：過點分別作，，，垂足分別是點，

∵平分，，，∴，同理可得，，∴，∵，，∴平分，∵，，∴，∴，故選：．【變式2】如圖，在中，，，點，是內(nèi)角與外角的三等分線的交點，則．

【答案】．【分析】過點作于點，于點，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，再由內(nèi)角和即可求解．【詳解】如圖，過點作于點，于點，，交的延長線于點，

∵點，是內(nèi)角與外角的三等分線的交點，∴是的平分線，又∵，，∴，同理可得，∴，又∵，，∴是的平分線，∵，，∴，∵點，是內(nèi)角與外角的三等分線的交點，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的的性質(zhì)定理和判定定理，解題的關鍵是熟練掌握三角形外角的性質(zhì)．【變式3】如圖，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，則下列結論正確的是：．（填序號）①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．【答案】①②④【分析】根據(jù)已知∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，想到構造一個等腰三角形，所以延長CD，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交CD的延長線于點F，則BF＝BC，就得到∠FBC＝2∠DBC，然后再證明△FAB≌△CBE，就可以判斷出BC平分∠DCE，再由角平分線的性質(zhì)想到過點B作BG⊥CE，交CE的延長線于點G，從而證明△ABD≌△EBG，即可判斷．【詳解】解：延長CD，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交CD的延長線于點F，則BF＝BC，過點B作BG⊥CE，交CE的延長線于點G，∵FB＝BC，BD⊥AC，∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝∠FBC，∵∠DBC＝∠ABE，∴∠FBC＝∠ABE，∴∠FBA＝∠CBE，∵AB＝AE，∴△FAB≌△CBE（SAS），∴∠F＝∠BCE，∵BF＝BC，∴∠F＝∠BCD，∴∠BCD＝∠BCE，∴BC平分∠DCE，故①正確；∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠DCE＝180°，故②正確；∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC，∴△BDC≌△BGC（AAS），∴AD＝GE，CD＝CG，∵AC＝AD+DC，∴AC＝AD+CG＝AD+GE+CE＝2GE+CE，∵GE≠BE，∴AC≠2BE+CE，故③錯誤；∵AC＝CF﹣AF，∴AC＝2CD﹣CE，故④正確；故答案為：①②④．【點睛】本題主要是考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，綜合運用全等三角形的判定和性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，是求解該類問題的關鍵．【考點三利用角平分線定理求圖形三角形面積大小】【例題3】如圖，在中，是的平分線，若，則的面積是（

）

A．15 B．24 C．12 D．10【答案】A【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，過點作于，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等求出，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案即可．【詳解】解：如圖所示，過點作于，是的角平分線，，，，．故選：A．

【變式1】如圖所示，點O是內(nèi)一點，平分，于點D，連接，若，，則的面積是（）A．20 B．30 C．50 D．100【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出，最后用三角形的面積公式即可解答．【詳解】解：過O作于點E，∵平分，，∴，∴的面積，故選：C．【點睛】此題考查角平分線的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到．【變式2】如圖，在中，平分，延長至點，使，連接．若，則為（

）．A．12 B．16 C．18 D．20【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、三角形面積公式，作于，于，利用角平分線的性質(zhì)可得，再運用等高的兩個三角形面積比等于底之比即可得出答案．【詳解】解：如圖，作于，于，平分，，，，，，，，，，故選：C．【變式3】如圖，在中，平分，點E是的中點，于點F，若．則（

）

A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】過點D作于點H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，得到，，由中線得到，利用即可得到答案；熟練掌握角平分線的性質(zhì)、三角形中線平分三角形面積等知識，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關鍵【詳解】解：過點D作于點H，

∵平分，于點F，∴，∴，，∵點E是的中點，∴，∴，故選：A【考點四利用角平分線定理求三角形面積之】【例題4】如圖，在中，，是的平分線，若，，則(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、三角形的面積計算，過點作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案，掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．【詳解】解：過點作于，∵，，∴，∵平分，，，∴，∴：，故選：D．【變式1】如圖，在中，是的平分線，，，則為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)及三角形的面積公式，由角平分線的性質(zhì)及三角形的面積公式作出輔助線是解答此題的關鍵．作于，于，由角平分線的性質(zhì)可知，，再由三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：作于，于，

是的平分線，，．故選：D．【變式2】如圖，的三邊、，的長分別是、、，點為三內(nèi)角平分線的交點，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了角平分線上的一點到兩邊的距離相等的性質(zhì)及三角形的面積公式；利用角平分線上的一點到角兩邊的距離相等的性質(zhì)，可知三個三角形高相等，底分別是、、，所以面積之比就是．【詳解】過點作于，于，于，

點是內(nèi)心，，∴：：：：，故選：B．【變式3】如圖，平分，，則圖中的全等三角形有對．【答案】5【分析】由平分推出，從而證明出，得到，，從而證明出，得到，從而證明出，得到，從而證明出，得到，從而證明出，即可得到答案．【詳解】解：平分，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，在和中，，，，在和中，，，，在和中，，，全等三角形共有5對，故答案為：5．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定定理有，全等三角形的對應角相等，對應邊相等．【過關檢測】一、單選題1．如圖，在中，的平分線交于點，連接，過點作的面積是16，周長是8，則的長是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，先過點作于點，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，證明，然后根據(jù)的面積的面積的面積的面積，求出答案即可．【詳解】如圖所示：過點作于點，

，分別是和的角平分線，，，，，，，，，，，故選：D．2．如圖，的平分線與的平分線相交于點，過點作，且交于點．若，則點到的距離為（

）A．4 B．3 C．2.5 D．2【答案】D【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)．根據(jù)，，得到，過點作，得到，即可得出結果；掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等，是解題的關鍵．【詳解】解：∵，，∴，過點作，∵的平分線與的平分線相交于點，∴，∴，∴，即：點到的距離為；故選D．3．如圖，在中，，平分，，，則（）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】過D點作，垂足為E，由已知，，可求，再利用角平分線性質(zhì)證明即可，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題關鍵．【詳解】解：過D點作，垂足為E，

∵∴，∵，解得，∵平分，，，∴．故選D．4．如圖，在中，平分，于點，交于點，若，，則的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，求解即可．此題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．【詳解】解：過點作，如圖：

∵平分，于點，，∴，∴，故選：B5．如圖，是的角平分線，于點E，，，，則（）

A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．作于F，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，再利用三角形面積公式得到，然后解方程即可．【詳解】解：作于F，如圖，

∵是的角平分線，，，∴，∵，∴∴．故選：C．6．如圖，在中，是角平分線，，則P到的距離是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】過P作于D，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，即可求出點P到邊的距離．【詳解】解：過P作于D，∵，∴，∴平分，∴，∵，∴，∴點P到邊的距離是2，故選：A．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟記角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解決問題的關鍵．7．如圖，在中，，以點為圓心，適當長為半徑作弧，分別交，于點，，再分別以點，，為圓心，以大于的長度為半徑作弧，兩弧交于點，作射線交于點，若，，則的面積是（

）

A．36 B．24 C．20 D．18【答案】D【分析】本題考查角分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)；過點作于點，根據(jù)題意得，是的角平分線，得，根據(jù)三角形面積公式，即可求出的面積．【詳解】解：過點作于點，

根據(jù)題意得，是的角平分線，，，，，，，故選：D．8．如圖，中，是的角平分線，，是中點，連接，若，，，則為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)．過點作于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，從而得到，再由是中點，即可求解．熟練掌握角平分線上點到角兩邊的距離是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，過點作于點，∵是的角平分線，，，∴，∵，，∴，∵是中點，∴．故選：C．

9．在中，線段是的角平分線、是邊上的中線，垂直于，已知：，則長是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了三角形面積公式．過點作于點，如圖，先利用三角形面積公式得到，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形面積公式，利用可求出的長．【詳解】解：過點作于點，如圖，∵是邊上的中線，∴，∴，∵線段是的角平分線，，∴，∵，∴，解得．故答案為：A．10．如圖，在中，和的平分線相交于點G，過點G作交于E，交于點F，過點G作于D；①；②；③點G到各邊的距離相等；④設，則．其中正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】本題考差了角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及三角形內(nèi)心的性質(zhì)，掌握定理及性質(zhì)是解題的關鍵．①根據(jù)角平分線定義及平行可得出，，由此可得出結論；②先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結論；③根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結論；④連接，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結論．【詳解】解：①和的平分線相交于點G，，，，，，，，，，，即，故①正確；②和的平分線相交于點G，，，故②正確；③和的平分線相交于點G，點G是的內(nèi)心，點G到各邊的距離相等，故③正確；④連接，點G是的內(nèi)心，，，，故④正確．故選：D．11．如圖，是的平分線，于點E，，則的長是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】過點D作于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求，然后根據(jù)求解即可．【詳解】解：過點D作于點F，∵是的平分線，于點E，∴，又，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，掌握角平分線上一點到角兩邊的距離相等是解題的關鍵．12．如圖，在中，平分，平分，且，若的周長是6，則的長是（

）A．6 B．3 C．12 D．9【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義以及兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，，再由等角對等邊得到，然后利用的周長是6，可得，進而求得即可．【詳解】解：∵平分，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵的周長是6，∴，∴．故選A．13．如圖，的三邊，，的長分別是10，15，20，其三條角平分線相交于點O，連接OA，OB，OC，將分成三個三角形，則等于．【答案】2：3：4【分析】過點O分別向三邊作垂線段，通過角平分線的性質(zhì)得到三條垂線段長度相等，再通過面積比等于底邊長度之比得到答案．【詳解】解：過點O分別向BC、BA、AC作垂線段交于D、E、F三點．∵CO、BO、AO分別平分∴∵，，∴故答案為：2：3：4【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，往三角形的三邊作垂線段并得到面積之比等于底之比是解題關鍵．14．如圖，在中，已知和的平分線相交于點．過點作，交于點，交于點．若，則線段的長為．【答案】3【分析】根據(jù)△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F，可得∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，再利用兩直線平行內(nèi)錯角相等，得出∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，根據(jù)等角對等邊可得BD=DF，F(xiàn)E=CE，然后利用線段差可求出線段CE的長．【詳解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，∵DF∥BC，交AB于點D，交AC于點E．∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，∴BD=DF=2，F(xiàn)E=CE，∴CE=DE﹣DF=5﹣2=3．故答案為3．【點睛】本題考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確把握相關性質(zhì)是解題的關鍵．15．如圖，中，，，分別平分，交于點，過點作直線平行于，分別交于點，則的周長為．【答案】18【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得：，，然后由平行線的性質(zhì)及角的等量代換可得：，，根據(jù)等角對等邊得出：，，由此求三角形的周長，同時進行等量代換即可得出結果．【詳解】解：∵BO平分，CO平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴的周長為：，，，，，．故答案是：18．【點睛】題目主要考查角平分線和平行線的性質(zhì)定理，等腰三角形的判定，熟練掌握角平分線和平行線的性質(zhì)是解題關鍵．16．如圖，在中，，是的平分線，，垂足為，若和的周長分別為和，則的長為．【答案】12【分析】由BD平分∠ABC，可得∠EBD=∠CBD，可證Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS），可得BE=BC，ED=CD，可求AC+AE=6，可求2BC+AE+AC=30即可．【詳解】解：∵，，∴∠BED=∠BCD=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠CBD，在Rt△EBD和Rt△CBD中，，Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS），∴BE=BC，ED=CD，∵的周長為，∴AD+ED+AE=AD+DC+AE=AC+AE=6，∵的周長為，∴AB+BC+AC=AE+BE+BC+AC=2BC+AE+AC=30，∴2BC=30-（AE+AC）=30-6=24，∴BC=12．故答案為12．【點睛】本題考查角平分線定義，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形周長，掌握角平分線定義，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形周長是解題關鍵．三、解答題17．如圖，在中，，，平分交AD于點D．(1)求證：；(2)若，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)的面積為6【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得，，再利用角平分線的定義可得，從而可得，最后利用對頂角相等可得，從而利用等量代換即可解答；（2）過點作，垂足為，利用角平分線的性質(zhì)可得，然后利用三角形的面積進行計算即可解答．【詳解】（1）證明：，，，，，平分，，，，；（2）解∶過點作，垂足為，平分，，，，，的面積，的面積為6．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．18．如圖，四邊形中，，平分，于點．(1)