專題14 倍長中線法與截長補短法構(gòu)造全等三角形（解析版）

專題14倍長中線法與截長補短法構(gòu)造全等三形模型歸納模型歸納模型一：倍長中線法構(gòu)造全等三角形模型二：截長補短法構(gòu)造全等三角形【典例分析】【模型一：倍長中線法構(gòu)造全等三角形】△ABC中,AD是BC邊中線方式1：直接倍長延長AD到E，使DE=AD，連接BE方式2：間接倍長（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E（2）延長MD到N，使DN=MD，連接CN倍長中線法原理：延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點，則對應(yīng)角對應(yīng)邊都對應(yīng)相等。此法常用于構(gòu)造全等三角形，利用中線的性質(zhì)、輔助線、對頂角一般用“SAS”證明對應(yīng)邊之間的關(guān)系。（在一定范圍中）延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點，則對應(yīng)角對應(yīng)邊都對應(yīng)相等。此法常用于構(gòu)造全等三角形，利用中線的性質(zhì)、輔助線、對頂角一般用“SAS”證明對應(yīng)邊之間的關(guān)系。（在一定范圍中）【典例1】（2021春?吉安縣期末）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故選B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故選C．（3）證明：延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，∵AD是△ABC中線，∴BD＝DC，∵在△ADC和△MDB中，∴△ADC≌△MDB（SAS），∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF．【變式1-1】（2021秋?肥西縣期末）一個三角形的兩邊長分別為5和9，設(shè)第三邊上的中線長為x，則x的取值范圍是（）A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7【答案】D【解答】解：如圖，AB＝5，AC＝9，AD為BC邊的中線，延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，CE，∵AD＝x，∴AE＝2x，在△BDE與△CDA中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝9，在△ABE中，AB+BE＞AE，BE﹣AB＜AE，即5+9＞2x，9﹣5＜2x，∴2＜x＜7，故選：D．【變式1-2】如圖，AE是△ABD的中線AB＝CD＝BD．求證：AB+AD＞2AE；【解答】證明：（1）延長AE到M，使AE＝EM，連接DM，∵AE為△ABD的中線，∴BE＝DE，在△AEB和△MED中∴△AEB≌△MED（SAS），∴AB＝DM，在△AMD中，AD+DM＞AM，即AB+AD＞2AE；【變式1-3】（2021秋?齊河縣期末）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點D是BC的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【解答】解：（1）1＜AD＜5．∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．證明：（2）延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF．（3）如圖③，延長AE，DF交于點G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中，CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．【模型二：截長補短法構(gòu)造全等三角形】截長：1.過某一點作長邊的垂線；2.在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。截長：1.過某一點作長邊的垂線；2.在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。補短：1.延長短邊；2.通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起【典例2】（2020秋?富縣期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，AB＞AC，求證：AB﹣AC＞BD﹣CD．【答案】略【解答】證明：如圖，在AB上截取AE＝AC，連接DE，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠CAD＝∠EAD．在△ADC和△ADE中，∴△ADC≌△ADE（SAS）．∴DC＝DE．∵在△BDE中，BE＞BD﹣ED，∵AB﹣AE＝BE，∴AB﹣AC＞BD﹣CD．【變式2-1】（2020秋?順慶區(qū)校級期中）如圖：銳角△ABC中，∠C＝2∠B，AD是高，求證：AC+CD＝BD．【答案】略【解答】解：甲：截長法，如圖1，在DB上截取DE＝DC，連AE，∵DE＝DC，AD⊥BC，∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠C，且∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠B，且∠AEC＝∠B+∠BAE，∴∠B＝∠BAE，∴AE＝BE＝AC，∴BD＝BE+DE＝AC+CD【變式2-2】如圖所示，在△ABC中，∠1＝∠2，AB＝AC+CD．試判斷∠B與∠C之間的關(guān)系．【答案】∠C＞∠B【解答】解：（1）在AB上截取AE＝AC，連接DE，如圖1，在△ADE與△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED＝∠C，ED＝CD，∵AB＝AC+CD，∴AB＝AE+BE＝AC+CD＝AC+ED，∴BE＝ED，∴∠AED＝2∠B，∴∠AEC＝2∠B，∴∠C＞∠B；【典例3】把兩個全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個四邊形ACBD以D為頂點作∠MDN，交邊AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，當∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)時，AM、MN、BN三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）當∠ACD+∠MDN＝90°時，AM、MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）如圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在CA、BC的延長線上，完成圖3，其余條件不變，則AM、MN、BN之間有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不必證明）【答案】（1）AM+BN＝MN；（2）AM+BN＝MN；（3）BN﹣AM＝MN【解答】（1）AM+BN＝MN，證明：延長CB到E，使BE＝AM，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠EBD＝90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，∵∠MDN＝∠ADC＝60°，∴∠ADM＝∠NDC，∴∠BDE＝∠NDC，∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（2）AM+BN＝MN，證明：延長CB到E，使BE＝AM，連接DE，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠DBE＝90°，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠MDN＝∠BDC，∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE，∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，∵∠CDM＝∠NDB∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（3）BN﹣AM＝MN，證明：在CB截取BE＝AM，連接DE，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠ADN＝∠ADN，∴∠MDA＝∠CDN，∵∠B＝∠CAD＝90°，∴∠B＝∠DAM＝90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE，∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，∴∠MDN＝∠EDN，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM，∴BN﹣AM＝MN．【變式3-1】（2012?昌平區(qū)模擬）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD．求證：EF＝BE+FD；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）（1）中的結(jié)論EF＝BE+FD仍然成立（3）結(jié)論EF＝BE+FD不成立，應(yīng)當是EF＝BE﹣FD【解答】證明：（1）延長EB到G，使BG＝DF，連接AG．∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG＝AF，∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．又∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（2）（1）中的結(jié)論EF＝BE+FD仍然成立．（3）結(jié)論EF＝BE+FD不成立，應(yīng)當是EF＝BE﹣FD．證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD【變式3-2】（2021春?北碚區(qū)校級期末）如圖，已知凸五邊形ABCDE中，EC，EB為其對角線，EA＝ED．（1）如圖1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求證：EC平分∠BCD；（2）如圖2，∠A與∠D互補，∠DEA＝2∠CEB，若凸五邊形ABCDE面積為30，且CD＝AB＝4．求點E到BC的距離．【答案】（1）略（2）點E到BC的距離為3【解答】（1）證明：延長CD到T，使得DT＝BA，連接ET．∵∠CDE＝120°，∴∠EDT＝180°﹣120°＝60°，∵∠A＝60°，∴∠A＝∠EDT，在△EAB和△EDT中，，∴△EAB≌△EDT（SAS），∴EB＝ET，∴CB＝CD+BA＝CD+DT＝CT，在△ECB和△ECT中，，∴△ECB≌△ECT（SSS），∴∠ECB＝∠ECD．（2）解：延長CD到Q，使得∠QED＝∠AEB，過點E作EH⊥BC于H．∵∠A+∠CDE＝180°，∠CDE+∠EDQ＝180°，∴∠A＝∠EDQ，在△AEB和△DEQ中，，∴△AEB≌△DEQ（ASA），∴EB＝EQ，∵∠AED＝2∠BEC，∴∠AEB+∠CED＝∠BEC，∴∠CED+∠DEQ＝∠BEC，∴∠CEB＝∠CEQ，在△CEB和△CEQ中，，∴△ECB≌△ECQ（SAS），∵S五邊形ABCDE＝S四邊形EBCQ＝2S△EBC＝30，∴S△EBC＝15，∵CD＝AB＝4，∴AB＝6，CD＝4，∴BC＝CD+QD＝CD+AB＝10，∴×10×EH＝15，∴EH＝3，∴點E到BC的距離為3【夯實基礎(chǔ)】1．（2021秋?新城區(qū)校級期中）已知AD是△ABC的邊BC上的中線，AB＝12，AC＝8，則中線AD的取值范圍是（）A．2＜AD＜10 B．4＜AD＜20 C．1＜AD＜4 D．以上都不對【解答】解：如圖，延長AD至點E，使AD＝DE，連接BE，∵AD是△ABC的邊BC上的中線，∴BD＝CD，又∠ADC＝∠BDE，AD＝DE∴△ACD≌△EBD，∴BE＝AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即AB﹣AC＜AE＜AB+AC，12﹣8＜AE＜12+8，∴4＜AE＜20，∴2＜AD＜10．故選：A．2．（2021秋?南充期末）如圖，AD是△ABC的中線，F(xiàn)為AD上一點，E為AD延長線上一點，且DF＝DE．求證：BE∥CF．【解答】證明：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴∠BED＝∠CFD，∴BE∥CF．3．（2021秋?濱湖區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，已知：點D是BC中點，連接AD并延長到點E，連接BE．（1）請你添加一個條件使△ACD≌△EBD，并給出證明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【解答】（1）結(jié)論：若要使△ACD≌△EBD，應(yīng)添上條件：AC∥BE或AD＝DE；證明：當AC∥BE時，∵AC∥BE，∴∠CAD＝∠E，∠ACD＝∠EBD，又∵D為BC的中點，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（AAS）；當AD＝DE時，∵點D是BC中點，∴BD＝DC，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS），（2）解：∵△ACD≌△EBD，∴AC＝BE＝3，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即5﹣3＜2AD＜5+3，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4．4．（2021秋?漢陽區(qū)校級月考）（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．（2）受到（1）啟發(fā)，請你證明下面的問題：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．求證：BE+CF＞EF.【解答】解：（1）延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE，∵AD是BC邊的中線，∴BD＝DC，∵∠ADC＝∠BDE，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝3，在△ABC中，AB＝5，∴5﹣3＜AE＜5+3，∴2＜AE＜8，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4；（2）延長FD到點G，使GD＝DF，連接BG，EG，∵D是BC邊上的中點，∴BD＝DC，∵∠BDG＝∠CDF，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF，∵DE⊥DF，∴ED是GF的垂直平分線，∴EG＝EF，在△BEG中，BE+BG＞EG，∴BE+CF＞EF．5．（2021秋?南召縣期末）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第69頁的部分內(nèi)容：（1）【方法應(yīng)用】如圖①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，則BC邊上的中線AD長度的取值范圍是．（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E是BC的中點，若AE是∠BAD的平分線，試猜想線段AB、AD、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）【拓展延伸】如圖③，已知AB∥CF，點E是BC的中點，點D在線段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接寫出線段DF的長．【解答】解：（1）延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝BE＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5．（2）結(jié)論：AD＝AB+DC．理由：如圖②中，延長AE，DC交于點F，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠F，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FEC（AAS），∴CF＝AB，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠FAD＝∠F，∴AD＝DF，∵DC+CF＝DF，∴DC+AB＝AD．（3）如圖③，延長AE交CF的延長線于點G，∵E是BC的中點，∴CE＝BE，∵AB∥CF，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB＝GC，∵∠EDF＝∠BAE，∴∠FDG＝∠G，∴FD＝FG，∴AB＝DF+CF，∵AB＝5，CF＝2，∴DF＝AB﹣CF＝3．6．已知，如圖，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，求證：AD+BC＝AB．【答案】略【解答】證法一：在AB上截取AF＝AD，連接EF，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠FAE，由AF＝AD，∠DAE＝∠FAE，AE＝AE，可得△ADE≌△AFE（SAS），∴∠DEA＝∠FEA，∵AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，∴∠EAB+∠EBA＝（∠DAB+∠CBA）＝×180°＝90°，∠CBE＝∠FBE，∴∠AEB＝90°，∴∠AED+∠BEC＝90°，∠AEF+∠BFE＝90°，∴∠BEC＝∠BEF，由∠BEC＝∠BEF，BE＝BE，∠CBE＝∠FBE，可得△BFE≌△BCE，∴BF＝BC，∴AB＝AF+BF＝AD+BC；7.（2020秋?建華區(qū)期末）閱讀下面文字并填空：數(shù)學(xué)習(xí)題課上李老師出了這樣一道題：“如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠C．求證：AB+BD＝AC．”李老師給出了如下簡要分析：要證AB+BD＝AC，就是要證線段的和差問題，所以有兩個方法：方法一：“截長法”．如圖2，在AC上截取AE＝AB，連接DE，只要證BD＝即可，這就將證明線段和差問題為證明線段相等問題，只要證出△≌△，得出∠B＝∠AED及BD＝，再證出∠＝，進而得出ED＝EC，則結(jié)論成立．此種證法的基礎(chǔ)是“已知AD平分∠BAC，將△ABD沿直線AD對折，使點B落在AC邊上的點E處”成為可能．方