高等數(shù)學(xué)（第五版）課件 陳如邦 第五章 定積分

第五章定積分第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)

實(shí)例1(求曲邊梯形的面積)一、問題的提出abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）

第一步：分割

任意引入分點(diǎn)

稱為區(qū)間的一個(gè)分法T第二步：取近似

第三步：求和

第四步：取極限

思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對(duì)時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值．

實(shí)例2(求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程)(1)分割

部分路程值某時(shí)刻的速度(3)求和

(4)取極限

路程的精確值(2)取近似上述兩個(gè)問題的共性:

解決問題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限”

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限二、定積分的定義

被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式積分上限積分下限積分和注意關(guān)于定積分定義的說明：

曲邊梯形的面積

曲邊梯形的面積的負(fù)值

各部分面積的代數(shù)和三、定積分的幾何意義

定積分的性質(zhì)以下性質(zhì)都是要求被積函數(shù)在相應(yīng)的積分區(qū)間上是可積的.

性質(zhì)1可以推廣到有限個(gè)可積函數(shù)作和或者作差的情況.

證

例2

比較下列各對(duì)定積分值的大小.

第五章定積分第二節(jié)微積分基本公式從定積分的定義可以看出，直接用定義計(jì)算定積分的值,盡管被積函數(shù)很簡(jiǎn)單,也是一件十分困難的事,有些定積分幾乎不可能用定義來計(jì)算,所以,需要找到簡(jiǎn)便而有效的計(jì)算方法。17世紀(jì)60～70年代,牛頓與萊布尼茨他們各自獨(dú)立地將定積分計(jì)算問題與原函數(shù)聯(lián)系起來,從而使定積分的計(jì)算變得簡(jiǎn)捷、方便,也推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,這就是牛頓—萊布尼茨公式或稱微積分基本公式。xybaxOy=f(x)Φ(x)Φ(x)

一、變上限積分

將其稱為變上限積分或積分上限函數(shù)。

證明：

由積分中值定理得

變限積分求導(dǎo)公式

例1

例2

例3

例4

洛必達(dá)法則例5解

這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性.引例：在變速直線運(yùn)動(dòng)中，已知位置函數(shù)s(t)與速度函數(shù)v(t)之間有關(guān)系

這里s(t)是v(t)的原函數(shù)二、牛頓–萊布尼茲公式去掉問題的實(shí)際意義，上式表明，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的定積分等于它的一個(gè)原函數(shù)在積分上限的函數(shù)值與積分下限函數(shù)值的差（即被積函數(shù)的原函數(shù)的增量）牛頓–萊布尼茲公式

定理2

稱此公式為牛頓—萊布尼茲公式，也稱為微積分基本公式。這個(gè)公式揭示了定積分與原函數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，同時(shí)為我們計(jì)算定積分提供了一個(gè)簡(jiǎn)便而有效的方法。

證:

記作

公式的核心思想：如果能夠找到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，則定積分的值即為原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量。

例6

求下列定積分.

解

說明：若被積函數(shù)是分段函數(shù)，當(dāng)分段點(diǎn)在積分區(qū)間內(nèi)時(shí)，計(jì)算定積分要用定積分對(duì)區(qū)間的可加性將定積分拆開。

解:

例8

下列做法是否有問題

強(qiáng)調(diào)：在利用牛頓—萊布尼茨公式的時(shí)候，驗(yàn)證定理?xiàng)l件是否滿足是必要的！

解第五章定積分第三節(jié)定積分的計(jì)算一、定積分的換元積分法

【引例分析】根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式，要計(jì)算該定積分，必須先求被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，

計(jì)算過程是先求原函數(shù)，再使用牛頓—萊布尼茲公式，顯得較為復(fù)雜。再看下面的計(jì)算過程：從結(jié)果上看是一樣的，但計(jì)算過程顯得更簡(jiǎn)捷。

【引例分析】被積函數(shù)是無理式，無法直接計(jì)算，可采用下面的辦法來解決：

定積分的換元積分法

上述等式稱為定積分的換元公式。說明：（1）從左到右應(yīng)用該公式時(shí)，相當(dāng)于不定積分的第二換元法（如引例2），使用時(shí)要引入新的變量，同時(shí)切記：換元必?fù)Q限。換限時(shí)原上限對(duì)新上限，原下限對(duì)新下限，換元后變量不用回代。（2）從右到左應(yīng)用該公式時(shí)，相當(dāng)于不定積分的第一換元法（如引例1），使用時(shí)不引入新的變量，因而積分的上、下限不變，只要求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，直接使用牛頓—萊布尼茲公式。例1

例1

例3求下列定積分

解

解

例3求下列定積分

解

例3求下列定積分

規(guī)律

利用函數(shù)的對(duì)稱性,有時(shí)可簡(jiǎn)化計(jì)算.

證:由定積分的區(qū)間可加性，得

將式（2）代入式（1），得

結(jié)論：

二、定積分的分部積分法

該公式稱為定積分的分部積分公式。對(duì)于由兩個(gè)不同函數(shù)組成的被積函數(shù)，因其不便于進(jìn)行換元，可以考慮使用分部積分法。其原理是對(duì)導(dǎo)數(shù)乘法法則的逆用。

證:

規(guī)律1：當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（反三角函數(shù)）的積時(shí)，要用分部積分法，且要用冪函數(shù)湊微分。

定積分的分部積分公式可以多次使用。

規(guī)律2：當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與指對(duì)數(shù)函數(shù)（正弦函數(shù)、余弦函數(shù)）的積時(shí)，要用分部積分法，且不能用冪函數(shù)湊微分。

規(guī)律3：

當(dāng)被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)（余弦函數(shù)）的積時(shí)，要用兩次分部積分公式，任何一種函數(shù)均能用來湊微分，但兩次湊微分時(shí)要用同一種類型的函數(shù)。第五章定積分第四節(jié)反常積分一、無窮區(qū)間的反常積分

定積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣反常積分(廣義積分)

二、無界函數(shù)的反常積分

其含義可理解為

故反常積分發(fā)散.

解

第五章定積分第五節(jié)

定積分在幾何上的應(yīng)用

什么問題可以用定積分解決?

定積分定義一、定積分的微元法如何應(yīng)用定積分解決問題?

上述兩步解決問題的方法稱為微元法。二、平面圖形的面積

于是所求平面圖形的面積為

故所求的平面圖形的面積為

解兩曲線的交點(diǎn)

分割為兩部分之和

故

由此我們看到，積分變量選取適當(dāng)，則可使計(jì)算簡(jiǎn)便.三、立體的體積1.

平行截面面積為已知的立體體積如果一空間立體被垂直于某直線的平面所截的截面面積可求，則該立體的體積可用定積分進(jìn)行計(jì)算。

例4求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、h為高的正劈錐體的體積。解

于是，所求正劈錐體的體積為

2.旋轉(zhuǎn)體的體積

于是利用旋轉(zhuǎn)體的體積的計(jì)算公式可求得旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為

類似地，橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)而得旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為

解

故所求平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為

故所求平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為

第五章定積分第六節(jié)定積分在物理上的應(yīng)用一、變力所作的功

用微元法解決：

例1

設(shè)有一圓柱形水桶盛滿了水，桶高5米，底圓半徑為3米，現(xiàn)要將水全部抽出，需作多少功？解

如圖建立直角坐標(biāo)系

解

根據(jù)題設(shè)，媒質(zhì)的阻力為

于是該物體克服阻力所作的功為

如果將平薄板鉛直地放置在液體中，由于水深不同，薄板一側(cè)在不同深度處所受到的壓強(qiáng)不同，因而薄板一側(cè)所受到的壓力不均勻，可用定積分來計(jì)算薄板一側(cè)所受到的壓力。二、液體的側(cè)壓力例3

一底為8m，高為6m的等腰三角形薄片，鉛直沉在水中，頂在下，底在上且底與水面平齊，試求它的側(cè)面所受的壓力。解

如圖建立直角坐標(biāo)系

例4

一水平橫放的半徑為R的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為

的液體,求桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力。解:建立如圖直角坐標(biāo)系.利用對(duì)稱性,側(cè)壓力微元為

故桶的一個(gè)端面所受側(cè)壓力為

三、函數(shù)平均值

“平均”這個(gè)概念概念經(jīng)常出現(xiàn)于生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中