初中數(shù)+學(xué)+等腰（邊）三角形的判定（課件）+冀教版數(shù)學(xué)八年級上冊

17.1.2等腰（邊）三角形的判定●

考點(diǎn)清單解讀●

重難題型突破■考點(diǎn)一

等腰三角形的判定定理內(nèi)容判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形.其中，兩個相等的角所對的邊相等（簡稱“等角對等邊”）符號語言如圖，在△ABC中，若∠B=∠C，則AB=AC

第二課時等腰（邊）三角形的判定續(xù)表其他方法定義法：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形“三線合一”中的兩線合一第二課時等腰（邊）三角形的判定歸納總結(jié)未判定三角形是等腰三角形時，不能用“底角”“腰”等名詞.第二課時等腰（邊）三角形的判定典例1

如圖，在△AOB中，點(diǎn)C在

OA上，點(diǎn)E，D在OB上，且AB=AD，CD∥AB，CE∥AD，求證：△CDE是等腰三角形.對點(diǎn)典例剖析第二課時等腰（邊）三角形的判定［答案］

證明：∵CD∥AB，∴∠CDE=∠B，又∵CE∥AD，∴∠CED=∠ADB，又∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，∴∠CDE=∠CED，∴△CDE是等腰三角形．第二課時等腰（邊）三角形的判定■考點(diǎn)二

等邊三角形的判定定理內(nèi)容符號語言圖示判定定理1三個角都相等的三角形是等邊三角形如圖，在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，則△ABC是等邊三角形第二課時等腰（邊）三角形的判定續(xù)表第二課時等腰（邊）三角形的判定內(nèi)容符號語言圖示判定定理2有一個角等于

60°的等腰三角形是等邊三角形如如圖，在△ABC中，若AB=AC，∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60°），則△ABC是等邊三角形定義法三邊都相等的三角形叫做等邊三角形歸納總結(jié)第二課時等腰（邊）三角形的判定典例2

如圖，△ABO是等邊三角形，CD∥AB，分別交AO，BO的延長線于點(diǎn)C，D.求證：△OCD是等邊三角形.對點(diǎn)典例剖析第二課時等腰（邊）三角形的判定［解題思路］［答案］證明：∵△ABO是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠AOB=60°，∵AB∥CD，∴∠C=∠A=60°，∠D=∠B=60°，又∵∠COD=∠AOB=60°，∴△OCD是等邊三角形．第二課時等腰（邊）三角形的判定■題型一

等腰三角形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用例1在△ABC中，AB≠AC，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，MN經(jīng)過點(diǎn)O，與AB，AC相交于點(diǎn)M，N，且MN∥BC．（1）如圖1，直接寫出圖中所有的等腰三角形；猜想：MN與BM，CN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系；第二課時等腰（邊）三角形的判定（2）如圖2，△ABC中，∠ABC的平分線BO與三角形外角平分線CO交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM∥BC交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N．圖中有等腰三角形嗎？如果有，分別指出它們，并直接寫出MN與BM，CN之間的數(shù)量關(guān)系．第二課時等腰（邊）三角形的判定［答案］

解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，∴BM=OM，CN=ON，∴△BMO，△CNO是等腰三角形，即圖中等腰三角形有△BMO，△CNO；∵M(jìn)N=OM+ON，∴MN=BM+CN.即MN與BM，CN之間的數(shù)量關(guān)系是MN=BM+CN；第二課時等腰（邊）三角形的判定（2）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACH，∴∠MBO=∠CBO，∠NCO=∠OCH，∵OM∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCH，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，∴BM=OM，CN=ON，∴△BMO，△CNO是等腰三角形，即圖中等腰三角形有△BMO，△CNO；MN與BM，CN之間的關(guān)系是MN=BM-CN．第二課時等腰（邊）三角形的判定變式衍生1

如圖，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G，F(xiàn)，若FG=2，ED=5，則BE+DC的值為（

）A．5

B．6C．7

D．8C第二課時等腰（邊）三角形的判定思路點(diǎn)撥

第二課時等腰（邊）三角形的判定■題型二

等邊三角形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用例2如圖，C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM，△CBN都是等邊三角形，連接AN交MC于點(diǎn)E，連接BM交CN于點(diǎn)F，連接EF．（1）求證：AN=BM；（2）求證：△CEF為等邊三角形.第二課時等腰（邊）三角形的判定［答案］

證明：（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形，∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=∠NCB=60°，∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，即∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN=BM；第二課時等腰（邊）三角形的判定（2）∵△ACN≌△MCB，∴∠CAN=∠CMB，又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，∴∠MCF=∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE=CF，∴△CEF為等腰三角形，又∵∠ECF=60°，∴△CEF為等邊三角形．第二課時等腰（邊）三角形的判定變式衍生2

如圖，△ABC是等邊三角形，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA上的點(diǎn)，且AD=BE=CF，求證：△DEF是等邊三角形．第二課時等腰（邊）三角形的判定第二課時等腰（邊）三角形的判定證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，∵AD=BE=CF，∴BD=CE=AF，在△ADF和△BED中，AD=BE，∠A=∠B，AF=BD，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF=DE，同理DE=EF，∴DE=DF=EF，∴△DEF是等邊三角形.解題通法

等邊三角形三邊相等，三角相等的性質(zhì)常與全等三角形結(jié)合證明邊或角相等.第二課時等腰（邊）三角形的判定■題型三

探究性問題例3如圖1，A，D，B三點(diǎn)在同一條直線上，△ADC，△BDO為等腰直角三角形.第二課時等腰（邊）三角形的判定

（1）在圖1中，延長AO交BC于點(diǎn)E，AO與BC有何關(guān)系？證明你的結(jié)論.（2）當(dāng)△BDO繞頂點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)任意角度到如圖2所示的位置時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.第二課時等腰（邊）三角形的判定［答案］

解：AO與BC相等且互相垂直.證明如下：∵△ADC，△BDO為等腰直角三角形，∴AD=DC，∠ADO=∠CDB=90°，DO=DB，∴△ADO≌△CDB（SAS），∴AO=BC，∠OAD=∠BCD.又∵∠BCD+∠CBD=90°，∴∠OAD+∠CBD=90°，∴在△ABE中，∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∴AO與BC相等且互相垂直；第二課時等腰（邊）三角形的判定（2）（1）中的結(jié)論仍然成立.理由如下：∵△ADC，△BDO為等腰直角三角形，∴AD=DC，DO=DB，∠ADC=∠ODB=90°，∴∠ADC+∠CDO=∠ODB+∠CDO，即∠ADO=∠CDB.在△ADO和△CDB中，∵AD=CD，∠ADO=∠CDB，DO=DB，∴△ADO≌△CDB（SAS），∴AO=CB，∠AOD=∠CBD，∵在△BDE中，∠DBE+∠BED=180°-∠ODB=90°，又∵∠GEO=∠BED，∴∠GEO+∠AOD=90°，∴∠OGB=180°-（∠GEO+∠AOD）=90°.∴AO與BC相等且互相垂直.第二課時等腰（邊）三角形的判定變式衍生3如圖1，等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA上的點(diǎn)，且AD=BE=CF．（1）如圖1，M為線段BC上一點(diǎn)，連接FM，在FM的右側(cè)作等邊三角形FMN，連接DM，EN．求證：DM=EN；（2）如圖2，將上題中“M為線段

BC上一點(diǎn)”改為“M為CB延長線上一點(diǎn)”，其余條件不變，求證：DM=EN．第二課時等腰（邊）三角形的判定第二課時等腰（邊）三角形的判定第二課時等腰（邊）三角形的判定證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，又∵AD=BE=CF，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DE=EF=DF，∴∠DFE=60°，∵△FMN為等邊三角形,∴MF