蘇科版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)2.1圓(知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)（含答案解析）

專題2.1圓（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】圓的概念1、描述性定義：如圖，在平面內(nèi)把線段OP繞著端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)1周，端點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形叫做圓.其中，點(diǎn)O叫做圓心，線段OP叫做半徑.以點(diǎn)0為圓心的圓，記作“⊙0”，讀作“圓0”.2、集合性定義：在平面內(nèi)，圓是到定點(diǎn)（圓心）的距離等于定長(zhǎng)（半徑）的點(diǎn)的集合由圓的集合性定義可以得出：(1)圓上的點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑；(2)到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)都在圓上.【要點(diǎn)提示】同一個(gè)圓的所有半徑都相等，所以圓上任意兩點(diǎn)和圓心構(gòu)成的三角形都是等腰三角形.【知識(shí)點(diǎn)二】點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系：由于平面上圓的存在，就把平面上的點(diǎn)分成了三個(gè)集合，即圓內(nèi)的點(diǎn)，圓上的點(diǎn)和圓外的點(diǎn)，這三類點(diǎn)各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則有點(diǎn)P在圓內(nèi)d<r;（2）點(diǎn)P在圓上d=r;（3）點(diǎn)P在圓外d>r;【知識(shí)點(diǎn)三】與圓有關(guān)的概念1.弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦；直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑；弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.2.弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.

半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)??；

劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧.

【要點(diǎn)提示】①半圓是弧，而弧不一定是半圓；②無(wú)特殊說(shuō)明時(shí)，弧指的是劣弧.

3.同心圓與等圓

同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓.

等圓：圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.

4.等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.

【要點(diǎn)提示】①等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中；②圓中兩平行弦所夾的弧相等.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】與圓相關(guān)概念的認(rèn)識(shí)【例1】（23-24九年級(jí)上·河北廊坊·期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．長(zhǎng)度相等的弧是等弧B．相等的圓心角所對(duì)的弧相等C．劣弧一定比優(yōu)弧短D．圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸【變式1】（2023九年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的有（）①圓中的線段是弦；②直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；③經(jīng)過(guò)圓心的線段是直徑；④半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；⑤長(zhǎng)度相等的兩條弧是等??；⑥弧是半圓，半圓是?。瓵．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式2】（23-24九年級(jí)上·河北廊坊·期中）下列說(shuō)法，不正確的是（

）A．過(guò)圓心的弦是圓的直徑 B．長(zhǎng)度相等的弧是等弧C．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)圓是等圓 D．半圓是弧，但弧不一定是半圓【題型2】由圓的概念確定圓的位置與大小【例2】（2024九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，，是的高，求證：，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．【變式1】（2024·河北邯鄲·二模）如圖，直線，相交于點(diǎn)，則在直線，上到點(diǎn)的距離為的點(diǎn)有（

）A．0個(gè) B．2個(gè) C．4個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)【變式2】（2024九年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）已知點(diǎn)A，B之間的距離為，現(xiàn)在畫一個(gè)半徑為、且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B的圓，則這樣的圓能畫出個(gè)．【題型3】判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系【例3】（23-24九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點(diǎn)為圓心，5為半徑作，已知三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．試判斷三點(diǎn)與的位置關(guān)系．【變式1】（2024·黑龍江大慶·二模）已知的半徑是4，點(diǎn)到圓心的距離為方程的一個(gè)根，則點(diǎn)在（

）A．的外部 B．的內(nèi)部 C．上 D．無(wú)法判斷【變式2】（23-24九年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，中，，，，于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，5為半徑作，則點(diǎn)在．（填“外”“內(nèi)”或“上”）．【題型4】利用直徑是圓中最長(zhǎng)的弦求值【例4】（2019九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，為的一條弦，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，若的半徑為7，求的最大值.【變式1】（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）在平面內(nèi)，在中，過(guò)點(diǎn)A作邊上的垂線平面內(nèi)一點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離，若最長(zhǎng)為，則（

）A．4 B．2 C． D．2【變式2】（23-24九年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知的半徑為3，且A，B是上不同的兩點(diǎn)，則弦的范圍是．【題型5】利用點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求半徑或半徑的取值范圍【例5】（21-22九年級(jí)上·陜西安康·期末）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，以A為圓心，r為半徑作，若點(diǎn)B，D，C均在外，求r的取值范圍．【變式1】（2024·云南昭通·二模）在同一平面內(nèi)，點(diǎn)P在⊙O外，已知點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最大距離為a，最小距離為b，則⊙O的半徑為（）A． B． C． D．【變式2】（2024·廣東江門·一模）在同一平面內(nèi)，點(diǎn)不在上，若點(diǎn)到上的點(diǎn)的最大距離是，最小距離是5，則的半徑是．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在O點(diǎn)，另一端綁一重物．將此重物拉到A點(diǎn)后放開，讓此重物由A點(diǎn)擺動(dòng)到B點(diǎn)．則此重物移動(dòng)路徑的形狀為（

）

A．傾斜直線 B．拋物線 C．圓弧 D．水平直線【例2】（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿，向終點(diǎn)B，D運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作直線l，過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為G，則的最大值為（

）

A． B． C．2 D．12、拓展延伸【例1】（2024·陜西漢中·二模）如圖，在中，利用尺規(guī)作圖法求作，使得與的交點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離最短．（不寫作法，保留作圖痕跡）【例2】（23-24九年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，、是的弦，連接、并延長(zhǎng)，分別交弦、于點(diǎn)、，．求證：．專題2.1圓（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】圓的概念1、描述性定義：如圖，在平面內(nèi)把線段OP繞著端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)1周，端點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形叫做圓.其中，點(diǎn)O叫做圓心，線段OP叫做半徑.以點(diǎn)0為圓心的圓，記作“⊙0”，讀作“圓0”.2、集合性定義：在平面內(nèi)，圓是到定點(diǎn)（圓心）的距離等于定長(zhǎng)（半徑）的點(diǎn)的集合由圓的集合性定義可以得出：(1)圓上的點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑；(2)到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)都在圓上.【要點(diǎn)提示】同一個(gè)圓的所有半徑都相等，所以圓上任意兩點(diǎn)和圓心構(gòu)成的三角形都是等腰三角形.【知識(shí)點(diǎn)二】點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系：由于平面上圓的存在，就把平面上的點(diǎn)分成了三個(gè)集合，即圓內(nèi)的點(diǎn)，圓上的點(diǎn)和圓外的點(diǎn)，這三類點(diǎn)各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則有點(diǎn)P在圓內(nèi)d<r;（2）點(diǎn)P在圓上d=r;（3）點(diǎn)P在圓外d>r;【知識(shí)點(diǎn)三】與圓有關(guān)的概念1.弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦；直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑；弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.2.?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.

半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧；

劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧.

【要點(diǎn)提示】①半圓是弧，而弧不一定是半圓；②無(wú)特殊說(shuō)明時(shí)，弧指的是劣弧.

3.同心圓與等圓

同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓.

等圓：圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.

4.等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.

【要點(diǎn)提示】①等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中；②圓中兩平行弦所夾的弧相等.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】與圓相關(guān)概念的認(rèn)識(shí)【例1】（23-24九年級(jí)上·河北廊坊·期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．長(zhǎng)度相等的弧是等弧B．相等的圓心角所對(duì)的弧相等C．劣弧一定比優(yōu)弧短D．圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸【答案】D【分析】本題考查了圓的相關(guān)性質(zhì)；根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．解：A.在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的弧是等?。还时具x項(xiàng)錯(cuò)誤；B.同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故錯(cuò)誤；C.在同圓或等圓中，劣弧一定比優(yōu)弧短．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸．故選：D．【變式1】（2023九年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的有（）①圓中的線段是弦；②直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；③經(jīng)過(guò)圓心的線段是直徑；④半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；⑤長(zhǎng)度相等的兩條弧是等??；⑥弧是半圓，半圓是?。瓵．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】利用圓的有關(guān)定義和性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).解：①連接圓上任意兩點(diǎn)的線段是弦，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；②直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，正確，符合題意；③經(jīng)過(guò)圓心的線段不一定是直徑，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；④半徑相等的兩個(gè)圓是等圓，正確，符合題意；⑤長(zhǎng)度相等的兩條弧不一定是等弧，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；⑥弧不一定是半圓，但半圓是弧，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意，正確的有2個(gè)，故選：A．【點(diǎn)撥】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義和性質(zhì)，難度不大.【變式2】（23-24九年級(jí)上·河北廊坊·期中）下列說(shuō)法，不正確的是（

）A．過(guò)圓心的弦是圓的直徑 B．長(zhǎng)度相等的弧是等弧C．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)圓是等圓 D．半圓是弧，但弧不一定是半圓【答案】B【分析】本題考查了圓的相關(guān)概念，根據(jù)圓的相關(guān)概念逐項(xiàng)分析即可，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)概念是解此題的關(guān)鍵．解：A、過(guò)圓心的弦是圓的直徑，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；B、在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的弧是等弧，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；C、周長(zhǎng)相等的兩個(gè)圓是等圓，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；D、半圓是弧，但弧不一定是半圓，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；故選：B．【題型2】由圓的概念確定圓的位置與大小【例2】（2024九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，，是的高，求證：，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．【分析】本題考查了四點(diǎn)共圓，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)．求證，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，是直角三角形，則三個(gè)頂點(diǎn)在斜邊中點(diǎn)為圓心的圓上，因而只要再證明到得中點(diǎn)的距離等于的一半就可以．證明：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，．，是的高，和都是直角三角形．，分別為和斜邊上的中線，．，，，四點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上．【變式1】（2024·河北邯鄲·二模）如圖，直線，相交于點(diǎn)，則在直線，上到點(diǎn)的距離為的點(diǎn)有（

）A．0個(gè) B．2個(gè) C．4個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)【答案】C【分析】本題考查了圓的定義．以點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓，該圓與兩直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．解：如圖，以點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓，該圓與兩直線有個(gè)交點(diǎn)，則滿足條件的點(diǎn)有個(gè)，故選C．【變式2】（2024九年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）已知點(diǎn)A，B之間的距離為，現(xiàn)在畫一個(gè)半徑為、且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B的圓，則這樣的圓能畫出個(gè)．【答案】2【分析】本題考查確定圓．作線段的垂直平分線l，則所求圓心在直線l上，直線l上到點(diǎn)A的距離為的點(diǎn)即為所求圓心，據(jù)此即可解答．解：如圖，作線段的垂直平分線l，再以點(diǎn)A為圓心，為半徑長(zhǎng)作圓，交l于點(diǎn)和點(diǎn)，然后分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，以為半徑長(zhǎng)作圓，則和為所求，∴這樣的圓能畫出2個(gè)．故答案為：2．【題型3】判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系【例3】（23-24九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點(diǎn)為圓心，5為半徑作，已知三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．試判斷三點(diǎn)與的位置關(guān)系．【答案】點(diǎn)在上，點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外【分析】本題考查了平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，先根據(jù)平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式求出、、的長(zhǎng)度，再與半徑進(jìn)行比較，即可得出答案．解：∵，，，∴點(diǎn)在上，點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外．【變式1】（2024·黑龍江大慶·二模）已知的半徑是4，點(diǎn)到圓心的距離為方程的一個(gè)根，則點(diǎn)在（

）A．的外部 B．的內(nèi)部 C．上 D．無(wú)法判斷【答案】B【分析】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解一元二次方程，若點(diǎn)與圓心的距離d，圓的半徑為，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)，據(jù)此解方程求出即可得到答案．解：解方程得，∴，∴點(diǎn)在的內(nèi)部，故選：B．【變式2】（23-24九年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，中，，，，于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，5為半徑作，則點(diǎn)在．（填“外”“內(nèi)”或“上”）．【答案】?jī)?nèi)【分析】本題考查了勾股定理，三角形面積公式和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再由三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．解：∵在中，，，，∴，∵，∴∵，∴點(diǎn)D在圓C內(nèi)．故答案為：內(nèi)．【題型4】利用直徑是圓中最長(zhǎng)的弦求值【例4】（2019九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，為的一條弦，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，若的半徑為7，求的最大值.【答案】的最大值為.【分析】由和組成的弦，在中，弦最長(zhǎng)為直徑14，而可求，所以的最大值可求.解：連結(jié)，，∵

∴∴為等邊三角形，∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)∴，∵為的一條弦∴最大值為直徑14

∴的最大值為.【點(diǎn)撥】利用直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，可以解決圓中一些最值問題.【變式1】（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）在平面內(nèi)，在中，過(guò)點(diǎn)A作邊上的垂線平面內(nèi)一點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離，若最長(zhǎng)為，則（

）A．4 B．2 C． D．2【答案】B【分析】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，根據(jù)題意，得出點(diǎn)E的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，為半徑的圓上，并且結(jié)合勾股定理列式得，因?yàn)椋M(jìn)行計(jì)算，即可作答．解：∵在中，過(guò)點(diǎn)A作邊上的垂線平面內(nèi)一點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離，∴點(diǎn)E的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，為半徑的圓上，如圖：上圖，此時(shí)點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，滿足最長(zhǎng)為，設(shè)，∵在中，∴，∴，即，解得，∴，則，故選：B．【變式2】（23-24九年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知的半徑為3，且A，B是上不同的兩點(diǎn)，則弦的范圍是．【答案】【分析】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，掌握弦、直徑的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“連接圓上任意兩點(diǎn)之間的線段就是圓的弦，直徑是圓中最長(zhǎng)的弦”，可以求出弦的范圍．解：A、是上不同的兩點(diǎn)，，，的半徑為，，的直徑為，直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，，故答案為：．【題型5】利用點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求半徑或半徑的取值范圍【例5】（21-22九年級(jí)上·陜西安康·期末）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，以A為圓心，r為半徑作，若點(diǎn)B，D，C均在外，求r的取值范圍．【答案】0＜r＜5【分析】先根據(jù)勾股定理和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求得AB、AD，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可求解．解：∵在中，，∴，∵D是的中點(diǎn)，∴，∵5＜6＜8，∴AD＜AB＜AC，∵A為圓心，r為半徑，點(diǎn)B，D，C均在外，∴0＜r＜5．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓半徑為r，點(diǎn)與圓心的距離為d，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外．【變式1】（2024·云南昭通·二模）在同一平面內(nèi)，點(diǎn)P在⊙O外，已知點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最大距離為a，最小距離為b，則⊙O的半徑為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生分類的思想及對(duì)點(diǎn)到圓上最大距離、最小距離的認(rèn)識(shí)．點(diǎn)在圓外時(shí)，直徑為最大距離與最小距離的差，即可求解．解：由題意得，P到⊙O上的點(diǎn)的最大距離為a，最小距離為b，∴圓的直徑是，因而半徑是，故選：B．【變式2】（2024·廣東江門·一模）在同一平面內(nèi)，點(diǎn)不在上，若點(diǎn)到上的點(diǎn)的最大距離是，最小距離是5，則的半徑是．【答案】3或8【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．由題意知，分點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外兩種情況求解即可．解：由題意知，分點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外兩種情況求解；當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)，如圖1，∴，∴，∴半徑為8；當(dāng)點(diǎn)在外，如圖2，∴，∴，∴半徑為3；綜上所述，的半徑是3或8；故答案為：3或8．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在O點(diǎn)，另一端綁一重物．將此重物拉到A點(diǎn)后放開，讓此重物由A點(diǎn)擺動(dòng)到B點(diǎn)．則此重物移動(dòng)路徑的形狀為（

）

A．傾斜直線 B．拋物線 C．圓弧 D．水平直線【答案】C【分析】本題考查動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)軌跡，根據(jù)題意，易得重物移動(dòng)的路徑為一段圓