上海市靜安區(qū)2025屆數(shù)學(xué)八年級第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

上海市靜安區(qū)2025屆數(shù)學(xué)八年級第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題平測試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．若關(guān)于的方程有正數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．且2．下列運(yùn)算中錯誤的是（）①；②；③；④；⑤A．②③ B．①④ C．②④ D．③⑤3．《九章算術(shù)》中有一道“盈不足術(shù)”問題，原文為：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)，物價各幾何?設(shè)該物品的價格是x錢，共同購買該物品的有y人，則根據(jù)題意，列出的方程組是（

）A．

B．

C．

D．4．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，點(diǎn)P在AD邊上以每秒1cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動，點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在CB間往返運(yùn)動，兩個點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時停止(同時點(diǎn)Q也停止)，在運(yùn)動以后，以P、D、Q、B四點(diǎn)組成平行四邊形的次數(shù)有()A．4次 B．3次 C．2次 D．1次5．下列各式中正確的是()A． B． C．±4 D．36．下列條件中，不能判定三角形全等的是（）A．三條邊對應(yīng)相等B．兩邊和一角對應(yīng)相等C．兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等D．兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等7．下列四位同學(xué)的說法正確的是()A．小明 B．小紅 C．小英 D．小聰8．某一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，-2），且y隨x的增大而減小，則這個函數(shù)的表達(dá)式可能是（）A．y=2x-4 B．y=3x-1 C．y=-3x+1 D．y=-2x+49．如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為1，過點(diǎn)作直線垂直于，在上取點(diǎn)，使，以點(diǎn)為圓心，以為半徑作弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)所表示的數(shù)為（）A． B． C． D．10．20190等于（）A．1 B．2 C．2019 D．011．若函數(shù)是正比例函數(shù)，則的值是（）A．-3 B．1 C．-7 D．312．已知點(diǎn)，均在雙曲線上，下列說法中錯誤的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則二、填空題（每題4分，共24分）13．如果，則__________．14．分解因式：＝________________．15．若無理數(shù)a滿足1<a<4，請你寫出一個符合條件的無理數(shù)________．16．如圖，一塊含有角的直角三角板，外框的一條直角邊長為，三角板的外框線和與其平行的內(nèi)框線之間的距離均為，則圖中陰影部分的面積為_______(結(jié)果保留根號)17．如圖，在中，，分別垂直平分邊和，交于點(diǎn)，．若，則______．18．當(dāng)x為_____時，分式的值為1．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，BD=CD，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且BE=CF．求證：AB=AC．20．（8分）如圖，在△ABC的一邊AB上有一點(diǎn)P．（1）能否在另外兩邊AC和BC上各找一點(diǎn)M、N，使得△PMN的周長最短．若能，請畫出點(diǎn)M、N的位置，若不能，請說明理由；（2）若∠ACB=40°，在（1）的條件下，求出∠MPN的度數(shù)．21．（8分）如圖，在中，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn).(1)如圖1，若，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，求周長的最小值.(2)如圖2，若，，是否存在點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請直按寫出線段的長度：若不存在，請說明理由.22．（10分）某商貿(mào)公司有、兩種型號的商品需運(yùn)出，這兩種商品的體積和質(zhì)量分別如下表所示：體積（立方米/件）質(zhì)量（噸/件）型商品1．81．5型商品21（1）已知一批商品有、兩種型號，體積一共是21立方米，質(zhì)量一共是11．5噸，求、兩種型號商品各有幾件？（2）物資公司現(xiàn)有可供使用的貨車每輛額定載重3．5噸，容積為6立方米，其收費(fèi)方式有以下兩種：①按車收費(fèi)：每輛車運(yùn)輸貨物到目的地收費(fèi)611元；②按噸收費(fèi)：每噸貨物運(yùn)輸?shù)侥康牡厥召M(fèi)211元．現(xiàn)要將（1）中商品一次或分批運(yùn)輸?shù)侥康牡兀绻麅煞N收費(fèi)方式可混合使用，商貿(mào)公司應(yīng)如何選擇運(yùn)送、付費(fèi)方式，使其所花運(yùn)費(fèi)最少，最少運(yùn)費(fèi)是多少元？23．（10分）計算下列各題（1）（2）24．（10分）先化簡：，然后從－2，－1，0，1，2中選取一個你喜歡的值代入求值．25．（12分）若買3根跳繩和6個毽子共72元；買1根跳繩和5個毽子共36元．（1）跳繩、毽子的單價各是多少元？（2）元旦促銷期間，所有商品按同樣的折數(shù)打折銷售，買10根跳繩和10個毽子只需180元，問商品按原價的幾折銷售？26．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1cm的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t＞0）．（1）若點(diǎn)P在AC上，且滿足PA=PB時，求出此時t的值；（2）若點(diǎn)P恰好在∠BAC的角平分線上（但不與A點(diǎn)重合），求t的值．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出x，根據(jù)方程有正數(shù)根列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍．【詳解】去分母得：2x+6=1x+1k，解得：x=6﹣1k，根據(jù)題意得：6﹣1k＞0，且6﹣1k≠﹣1，6﹣1k≠﹣k，解得：k＜2且k≠1．∴k＜2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．2、C【分析】根據(jù)平方根、立方根及算術(shù)平方根的定義，即可求解．【詳解】解：①，正確；②，錯誤；③，正確；④，錯誤；⑤，正確；本題錯誤的有：②④，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了立方根、算術(shù)平方根、平方根的定義，解題注意平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別：一個非負(fù)數(shù)的平方根有兩個，算術(shù)平方根有一個，是非負(fù)數(shù)．3、D【分析】設(shè)該物品的價格是x錢，共同購買該物品的有y人，由“每人出8錢，則多3錢；每人出7錢，則差4錢”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：根據(jù)題意可知，故答案為：D.【點(diǎn)睛】此題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．4、B【詳解】試題解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD=12，AD∥BC，∵四邊形PDQB是平行四邊形，∴PD=BQ，∵P的速度是1cm/秒，∴兩點(diǎn)運(yùn)動的時間為12÷1=12s，∴Q運(yùn)動的路程為12×4=48cm，∴在BC上運(yùn)動的次數(shù)為48÷12=4次，第一次PD=QB時，12-t=12-4t，解得t=0，不合題意，舍去；

第二次PD=QB時，Q從B到C的過程中，12-t=4t-12，解得t=4.8；

第三次PD=QB時，Q運(yùn)動一個來回后從C到B，12-t=31-4t，解得t=8；

第四次PD=QB時，Q在BC上運(yùn)動3次后從B到C，12-t=4t-31，解得t=9.1．

∴在運(yùn)動以后，以P、D、Q、B四點(diǎn)組成平行四邊形的次數(shù)有3次，

故選：B．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)5、B【分析】根據(jù)算術(shù)平方根定義、性質(zhì)及立方根的定義逐一判斷即可得．【詳解】解：A．2，故選項(xiàng)錯誤；B．1，故選項(xiàng)正確；C．4，故選項(xiàng)錯誤；D．3，故選項(xiàng)錯誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查立方根與算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根定義、性質(zhì)及立方根的定義．6、B【解析】三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL，B中“一角”如果不是兩邊夾角則不能判定全等，故選B7、C【分析】根據(jù)平方根、立方根、相反數(shù)的概念逐一判斷即可．【詳解】解：9的平方根是±3，故小明的說法錯誤；-27的立方根是-3，故小紅的說法錯誤；-π的相反數(shù)是π，故小英的說法正確，因?yàn)?，所以是有理?shù)，故小聰?shù)恼f法錯誤，故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根、立方根、相反數(shù)的概念，掌握上述的概念及基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8、C【分析】根據(jù)一次函數(shù)的增減性可得k＜0，排除A，B，然后將點(diǎn)（1，-2）代入C，D選項(xiàng)的解析式驗(yàn)證即可.【詳解】解：根據(jù)一次函數(shù)y隨x的增大而減小可得：k＜0，排除A，B，把x=1代入y=-3x+1得y=-2，即該函數(shù)圖象過點(diǎn)（1，-2），符合題意，把x=1代入y=-2x+4得y=2，即該函數(shù)圖象過點(diǎn)（1，2），不符合題意，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.．9、B【分析】由數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為1，得PA=2，根據(jù)勾股定理得，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】∵數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為1，∴PA=2，又∵l⊥PA，，∴，∵PB=PC=，∴數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)為：．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)與勾股定理，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離求法，是解題的關(guān)鍵．10、A【分析】任意一個非零數(shù)的零次冪都等于1，據(jù)此可得結(jié)論．【詳解】20190等于1，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了零指數(shù)冪，任意一個非零數(shù)的零次冪都等于1．11、A【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)可得,解得即可.【詳解】解:根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)可得.解得.故選:A.【點(diǎn)睛】此題主要考察了正比例函數(shù)的定義,解題的關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)的定義條件:,為常數(shù)且,自變量次數(shù)為1.12、D【分析】先把點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）代入雙曲線，用y1、y2表示出x1，x2，據(jù)此進(jìn)行判斷．【詳解】∵點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）均在雙曲線上，∴，．A、當(dāng)x1=x2時，-=-，即y1=y2，故本選項(xiàng)說法正確；B、當(dāng)x1=-x2時，-=，即y1=-y2，故本選項(xiàng)說法正確；C、因?yàn)殡p曲線位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，所以當(dāng)0＜x1＜x2時，y1＜y2，故本選項(xiàng)說法正確；D、因?yàn)殡p曲線位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，所以當(dāng)x1＜x2＜0時，y1＞y2，故本選項(xiàng)說法錯誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、；【分析】先利用平方差公式對原式進(jìn)行變形，然后整理成的形式，再開方即可得出答案．【詳解】原式變形為即∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式和開平方，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．14、【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解即可．【詳解】解：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是提公因式法與利用平方差公式進(jìn)行因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．15、π【分析】估計一個無理數(shù)a滿足1＜a＜4，寫出即可，如π、等．【詳解】解：∵1＜a＜4∴1＜a＜∴a=π故答案為：π.【點(diǎn)睛】此題考查估算無理數(shù)的大小，解題關(guān)鍵在于掌握其定義．16、【分析】過頂點(diǎn)A作AB⊥大直角三角形底邊，先求出CD，然后得到小等腰直角三角形的底和高，再利用大直角三角形的面積減去小直角三角形面積即可【詳解】如圖：過頂點(diǎn)A作AB⊥大直角三角形底邊由題意：∴=cm∴小等腰直角三角形的直角邊為cm∴大等腰直角三角形面積為10×10÷2=50cm2小等腰直角三角形面積為=36-16cm2∴【點(diǎn)睛】本題主要考查陰影部分面積的計算，涉及到直角三角形的基本性質(zhì)，本題關(guān)鍵在于做出正確的輔助線進(jìn)行計算17、1【分析】依據(jù)DM、EN分別垂直平分AB和AC，即可得到AD=BD，AE=EC，進(jìn)而得出∠B=∠BAD，∠C=∠EAC，依據(jù)∠BAC=110°，即可得到∠DAE的度數(shù)．【詳解】解：∵∠BAC=110°，

∴∠B+∠C=180°-110°=70°，

∵DM是線段AB的垂直平分線，

∴DA=DB，

∴∠DAB=∠B，

同理，EA=EC，

∴∠EAC=∠C，

∴∠DAE=∠BAC-∠DAB-∠EAC=∠BAC-（∠B+∠C）=1°，

故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．18、2【解析】分式的值是1的條件是，分子為1，分母不為1．【詳解】∵3x-6=1，

∴x=2，

當(dāng)x=2時，2x+1≠1．

∴當(dāng)x=2時，分式的值是1．

故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是分式為1的條件，解題關(guān)鍵是注意的是分母不能是1.三、解答題（共78分）19、證明見解析.【解析】欲證明AB=AC，只要證明∠ABC=∠ACB即可，根據(jù)“HL”證明Rt△BDE≌Rt△CDF，由全等三角形的性質(zhì)可證∠EBD=∠FCD，再由等腰三角形的性質(zhì)∠DBC=∠DCB，從而可證∠ABC=∠ACB.【詳解】∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠EBD=∠FCD，∵BD=CD，∴∠DBC=∠DCB，∴∠DBC+∠EBD=∠DCB+∠FCD，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．20、（1）詳見解析.（2）100°.【分析】（1）如圖：作出點(diǎn)P關(guān)于AC、BC的對稱點(diǎn)D、G，然后連接DG交AC、BC于兩點(diǎn)，標(biāo)注字母M、N；

（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)，易求得∠C+∠EPF=180°，由∠ACB=48°，易求得∠D+∠G=48°，即而求得答案．【詳解】解：（1）①作出點(diǎn)P關(guān)于AC、BC的對稱點(diǎn)D、G，

②連接DG交AC、BC于兩點(diǎn)，

③標(biāo)注字母M、N；（2）∵PD⊥AC，PG⊥BC，

∴∠PEC=∠PFC=90°，

∴∠C+∠EPF=180°，

∵∠C=40°，

∴∠EPF=140°，

∵∠D+∠G+∠EPF=180°，

∴∠D+∠G=40°，

由對稱可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM，

∴∠GPN+∠DPM=40°，

∴∠MPN=140°-40°=100°．【點(diǎn)睛】此題考查了最短路徑問題以及線段垂直平分線的性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用．21、（1）；（2）存在，CD=1或8或或．【分析】（1）本小題是典型的“將軍飲馬”問題，只要作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)E，連接BE、DE，DE交AB于點(diǎn)M，如圖1，則此時的周長最小，且最小值就是CD+DE的長，由于CD易求，故只要計算DE的長即可，由軸對稱的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可得BE=BC=2，∠DBE=90°，然后根據(jù)勾股定理即可求出DE，問題即得解決；（2）由于點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，所以需分三種情況討論：①當(dāng)AB=AD時，如圖4，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可；②當(dāng)BD=BA時，如圖5，根據(jù)勾股定理和等腰三角形的定義求解；③當(dāng)DA=DB時，如圖6，設(shè)CD=x，然后在直角△ACD中根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)E，連接BE、DE，DE交AB于點(diǎn)M，連接CM，如圖1，則此時的周長最小．∵，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴∠CBA=45°，BD=CD=1，∵點(diǎn)C、E關(guān)于直線AB對稱，∴BE=BC=2，∠EBA=∠CBA=45°，∴∠DBE=90°，∴．∴的周長的最小值=CD+DE=；（2）由于點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，所以需分三種情況討論：①當(dāng)AB=AD時，如圖4，此時CD=CB=8；②當(dāng)BD=BA時，如圖5，在直線BC上存在兩點(diǎn)符合題意，即D1、D2，∵，∴，；③當(dāng)DA=DB時，如圖6，此時點(diǎn)D為線段AB的垂直平分線與直線BC的交點(diǎn)，設(shè)CD=x，則BD=AD=8－x，在直角△ACD中，根據(jù)勾股定理，得：，解得：x=1，即CD=1．綜上，在直線BC上存在點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，且CD=1或8或或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、兩線段之和最小、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識，屬于常考題型，正確分類、熟練掌握上述基本知識是解題的關(guān)鍵．22、（1）種型號商品有5件，種型號商品有8件；（2）先按車收費(fèi)用3輛車運(yùn)送18m3，再按噸收費(fèi)運(yùn)送1件B型產(chǎn)品，運(yùn)費(fèi)最少為2111元【分析】（1）設(shè)A、B兩種型號商品各x件、y件，根據(jù)體積與質(zhì)量列方程組求解即可；（2）①按車付費(fèi)=車輛數(shù)611；②按噸付費(fèi)=11.5211；③先按車付費(fèi)，剩余的不滿車的產(chǎn)品按噸付費(fèi)，將三種付費(fèi)進(jìn)行比較.【詳解】（1））設(shè)A、B兩種型號商品各x件、y件，，解得，答：種型號商品有5件，種型號商品有8件；（2）①按車收費(fèi)：（輛），但是車輛的容積=18<21，3輛車不夠，需要4輛車，（元）；②按噸收費(fèi)：21111.5=2111（元）；③先用車輛運(yùn)送18m3，剩余1件B型產(chǎn)品，共付費(fèi)3611+1211=2111（元），∵2411>2111>2111，∴先按車收費(fèi)用3輛車運(yùn)送18m3，再按噸收費(fèi)運(yùn)送1件B型產(chǎn)品，運(yùn)費(fèi)最少為2111元.【點(diǎn)睛】此題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵，（2）注意分類討論，分別求出費(fèi)用進(jìn)行比較解答問題.23、（1）；（2）【分析】（1）二次根式混合預(yù)算，先做乘法，化簡二次根式，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，然后合并同類二次根式；（2）多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加．【詳解】解：（1）（2）【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，整式乘法，掌握運(yùn)算順序和計算法則，正確計算是解題關(guān)鍵．24、，時，原式=－1．【解析】本題考查了分式的化簡求值，先把括號里面的通分，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法約分化簡，最后選取使分式有意義的x的值代入進(jìn)行計算即可.【詳解】原式∵x=﹣1，0，1，1時分母為0，無意義，∴x