2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-第三章 圓錐曲線的方程綜合拔高練

2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

綜合拔高練

五年高考練

考點(diǎn)1橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程

22

1.(2021新高考I,5)己知是橢圓C:?+91的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則

94

|MFJ?IMF2I的最大值為()

A.13B.12C.9D.6

2.(2021全國(guó)甲理，15)已知FbF2為橢圓C:g+的兩個(gè)焦點(diǎn),P,Q為C上關(guān)于

lo4

坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),_a|PQ|=|F.F2|,則四邊形PFQF2的面積為.

考點(diǎn)2橢圓的幾何性質(zhì)

3.(2021全國(guó)乙理，11)設(shè)B是橢圓C：W+]=l(a>b>0)的上頂點(diǎn)，若C上的任意一

a2b2

點(diǎn)P都滿足IPB|W2b,則C的離心率的取值范圍是()

A.怪1)BE，】！2"0,第0.(0.1

4.(2021浙江，16)已知橢圓馬+*l(a>b>0),焦點(diǎn)BQc,0),Fz(c,0)(c>0).若過(guò)

a2bz

日的直線和圓(%-相，+丫2=c2相切,與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P,且PF2±X軸，則該

直線的斜率是,橢圓的離心率是.

考點(diǎn)3直線與橢圓的位置關(guān)系

22

5.(2021新高考n,20)已知橢圓C的方程為,+*l(a>b>0),若右焦點(diǎn)為

F(V2,0),且離心率為￡

(1)求橢圓C的方程；

⑵設(shè)M,N是C上的兩點(diǎn),直線MN與曲線x2+y2=b2(x>0)相切,證明:M,N,F三點(diǎn)共線

的充要條件是|MN|二K.

6.(2021天津，⑻已知橢圓捺+^=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為B,離心率為

哈旦|BF|二相

(1)求橢圓的方程；

⑵直線1與橢圓有唯一的公共點(diǎn)M,與y軸的正半軸交于點(diǎn)N,過(guò)N與BF垂直的

直線交x軸于點(diǎn)P,若MP〃BF,求直線1的方程.

7.(2020新高考1,22)已知橢圓C：q+]=l(a>b>0)的離心率為4,且過(guò)點(diǎn)

a2b22

A(2,1).

(1)求C的方程；

⑵點(diǎn)M,N在C上,且AM±AN,AD±MN,D為垂足.證明：存在定點(diǎn)Q,使得IDQ|為定

值.

考點(diǎn)4雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用

22—

8.(2021北京,5)雙曲線版-過(guò)點(diǎn)(V2,A/3),離心率為2,則雙曲線的解析式為

()

%2y2

A.——y2=1B.x2--^l

3)3

9.（2020全國(guó)I文，11）設(shè)FI,F2是雙曲線C:x2-（=1的兩個(gè)焦點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P

在C上且10P|=2,則△PF1F2的面積為（）

A.=7B.3C;SD.2

22

考點(diǎn)5雙曲線的幾何性質(zhì)

10.（2021全國(guó)甲理,5）已知R,Fz是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且

NFFF2=60。"PF』二3|PF2|,則C的離心率為（）

A.yB.當(dāng)C.V7D.V13

11.（2021全國(guó)甲文,5）點(diǎn)（3,0）到雙曲線1一千1的一條漸近線的距離為（）

A-B-C-D-

氏5口5L，5U,5

12.（2021新高考n,13）已知雙曲線C:1—、=l（a〉0,b>0）,離心率e=2,則雙曲線

C的漸近線方程為,.

考點(diǎn)6直線與雙曲線的位置關(guān)系

13.（2021新高考I,21）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)H（-a7,0）,F2（g,0）,

點(diǎn)M滿足|MFj-lMF2|=2.記M的軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)T在直線上,過(guò)T的兩條直線分別交C于A,B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn),且

|TA?|TB|=|TP|?|TQ|,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

考點(diǎn)7拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

14.(2021新高考II,3)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到直線y=x+l的距離為四,則

p=()

A.1B.2C.2V2D.4

15.(2020全國(guó)I,4)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距

離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則p=()

A.2B.3C.6D.9

16.(2021北京，12)已知拋物線C:yMx,C的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上，且|FM|=6,則M

的橫坐標(biāo)是;作MN±x軸于N,則SAFMN=.

17.(2021新高考1,14)已知0為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P

為C上一點(diǎn),PF與x軸垂直,Q為x軸上一點(diǎn),且PQ1OP.若|FQ|=6,則C的準(zhǔn)線方

程為.

18.(2021全國(guó)乙文,20)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2.

(1)求C的方程；

⑵已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足PQ=9QF,求直線0Q斜率的最大值.

考點(diǎn)8直線與拋物線的位置關(guān)系

19.(2020新高考I,13)斜率為舊的直線過(guò)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A,B

兩點(diǎn),則IAB|=.

20.(2021全國(guó)乙理，21)己知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且F與圓

M:x2Hy+4)2=l上點(diǎn)的距離的最小值為4.

⑴求P；

⑵若點(diǎn)P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn),求aPAB面積的最大值.

21.(2021浙江,21)如圖，已知F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),M是拋物線的準(zhǔn)線

與x軸的交點(diǎn)，且|MF|=2.

(1)求拋物線的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若斜率為2的直線1與直線MA,MB,AB,x

軸依次交于點(diǎn)P,Q，R，N,且滿足|RN「2=|PN|?|QN|,求直線1在X軸上截距的取值

范圍.

三年模擬練

應(yīng)用實(shí)踐

1.（2021江西南昌二中月考）已知Fl,F2分別為橢圓W+3=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn),

a2b2

點(diǎn)P在橢圓上,APOFz是面積為國(guó)的正三角形,則b?的值為（）

A.V3B.2V3C.3V3D.4V3

2.（2022重慶一中期中）過(guò)點(diǎn)（4,6）且與雙曲線x2-^=l有相同漸近線的雙曲線方

程是（）

A.4_E=I

2442

V?42y2

a——1

4224

3.（2022河南洛陽(yáng)嵩縣一中月考）已知直線y二kx與雙曲線C:^—[=1（a>0,b>0）

a2b2

的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn),F為雙曲線的右焦點(diǎn)，其中NABFW，NBAF=￡

Z0

則雙曲線C的離心率e=（）

A.2B.V34-1C.V3D.V7

2

4.（2022四川成都七中開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓Cv:^+

a2

y,2

9=l（a〉b>0）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)A（-2,0）,B⑵0）分別為C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C

上一點(diǎn),且PF±x軸,過(guò)點(diǎn)A的直線交線段PF于點(diǎn)M,交y軸于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)

過(guò)0E上靠近點(diǎn)0的三等分點(diǎn)N,則|PF|二（）

3

A4-C2D3

?2*

5.（多選）（2022河北保定曲陽(yáng)一中期中）如圖，兩個(gè)橢圓■+5=1總+卷=1內(nèi)部

zbyzby

重疊區(qū)域的邊界記為曲線c,P是曲線C上的任意一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的為（）

A.P到Fi(-4,0),F2(4,0),Ei(0,-4),E2(0,4)四點(diǎn)的距離之和為定值

B.曲線C關(guān)于直線y=x,y=-x均對(duì)稱

C.曲線C所圍區(qū)域的面積必小于36

D.曲線C的總長(zhǎng)度不大于6n

6.(2022江蘇南通如東期中)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F與雙曲線

浮-4y2=l的右焦點(diǎn)相同，過(guò)點(diǎn)F作兩條直線lb12,直線L與拋物線C交于A,B兩

點(diǎn),直線k與拋物線C交于D,E兩點(diǎn),若L與L的斜率的平方和為1,則IAB|+1DE|

的最小值為()

A.16B.20C.24D.32

7.(2021江西臨川一中期中)已知拋物線y=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線1與x軸交

于點(diǎn)H,過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),分別過(guò)點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線1的垂線,垂足

分別為A,Bi,如圖所示.

①以線段AB為直徑的圓與準(zhǔn)線1相切；

②以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F;

③A,0,Bi(其中點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn))三點(diǎn)共線；

④若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為xo,且T(-xo,0),則直線TA與拋物線相切.

以上說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

&(2。22遼東南協(xié)作體期中)雙曲線C《一^l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為

F1,F2,過(guò)Fz作線段F2P與C交于點(diǎn)Q,且而二話,若等腰三角形PFE的底邊PF?的

長(zhǎng)等于C的半焦距，則C的離心率為.

9.(2021浙江麗水五校共同體段考)已知橢圓/+(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2,上頂

點(diǎn)為A,左頂點(diǎn)為B,左、右焦點(diǎn)分別是件,F2,且△FAB的面積為/，點(diǎn)P為橢圓

上的任意一點(diǎn),則/+/的取值范圍是

IPF1|\PF2I

10.(2021新高考八省(市)聯(lián)考)雙曲線C:1一(a>0,b>0)的左頂點(diǎn)為A,右焦

azb2

點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)B在C上.當(dāng)BF_LAF時(shí)，|AF|=|BF|.

(1)求C的離心率;

⑵若B在第一象限,證明：NBFA=2NBAF.

11.(2021山東濱州博興期中)從①離心率e§；②橢圓C過(guò)點(diǎn)(1,|);③△PFF2面積

的最大值為百這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面橫線處,并解答.

設(shè)橢圓C：q+'=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)K且斜率為k的直線1

交橢圓于P,Q兩點(diǎn),橢圓C的短軸長(zhǎng)為2V3,.

⑴求橢圓C的方程；

⑵若線段PQ的中垂線與x軸交于點(diǎn)N,求證:陪為定值.

12.(2021四川樂(lè)山期末)已知點(diǎn)M(2,1),點(diǎn)F/2分別為雙曲線透一*1的左、

耐?MF[_F2FI?~MF^

右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(x0,yo)(x0>0,y0>0)在雙曲線C上且滿足司=銃，

SAPMFJS叢PMF?的值.

遷移創(chuàng)新

13.(2020上海浦東新區(qū)月考)某同學(xué)觀看了2019年春節(jié)檔非常熱門的電影《流浪

地球》后引發(fā)了他的思考:假定地球（設(shè)為質(zhì)點(diǎn)P,半徑忽略不計(jì)）借助原子發(fā)動(dòng)機(jī)

開(kāi)始“流浪”的軌道是以木星（看作球體,其半徑R約為7萬(wàn)千米）的中心F為右

焦點(diǎn)的橢圓C.已知地球的近木星點(diǎn)A（軌道上離木星表面最近的點(diǎn)）到木星表面的

距離為1萬(wàn)千米，遠(yuǎn)木星點(diǎn)B（軌道上離木星表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）到木星表面的距離為

25萬(wàn)千米.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若地球在“流浪”的過(guò)程中，由A第一次逆時(shí)針“流浪”到與軌道中心。的距

離為屬（a,b分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)）萬(wàn)千米時(shí)，由于木星引力，部分

原子發(fā)動(dòng)機(jī)突然失去了動(dòng)力，此時(shí)地球向著木星方向開(kāi)始變軌（如圖所示），假定

地球變軌后的軌道為一條直線L,稱該直線的斜率k為“變軌系數(shù)”.當(dāng)“變軌系

數(shù)”k的取值為-2或1時(shí),地球與木星會(huì)不會(huì)發(fā)生碰撞？

答案全解全析

五年高考練

1.CVM在橢圓C:^+匕1上,且a=3,

94

二|MF』+|MF2|=6.

?.?MF]:MF2?IMF2I,

2

AII?IMF?]W（MB；MF?）二%

當(dāng)且僅當(dāng)IMF』=|MF2|=3時(shí),等號(hào)成立.故選C.

2.答案8

解析解法一：如圖，設(shè)|PFd=m,|PF2|=n,由橢圓方程三+。=1可

164

得，2a=lPFj+1PF2|=m+n=8,2c=|FRI=4班.

由P,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得IOPI=IOQI,又IOFJ=IOF21,故四邊形PF.QF2為平行四邊形.

又|FF2=PQl,所以平行四邊形PF1QF2為矩形,故PF|J_PF2.

O222

在RtAF,PF2中，ZF2PFF90,則m+n=(4V3)=48.

由(m+n)2=64得m2+n2+2mn=48+2mn=64,解得mn=8,所以四邊形PFiQF2的面積為8.

解法二：由解法一知四邊形PFQF2為矩形，所以由焦點(diǎn)三角形面積公式得

S四邊形PF1QF2=2b2tan^2X4X>8.

3.C由題意知B(0,b).設(shè)P(xo,y0),則去嚕=1,

?..x廣￡(1一居).??.1PB/=W+(yo-b)邑￡(1一居)+yQ2by°+bJ—盤羽一

2byo+a2+b2.

VC上任意一點(diǎn)P都滿足任8|52匕丫。￡[-13,13],???當(dāng)y0=-b時(shí)"PB『取得最大

值,當(dāng)W-b,即b22c：又a2=b2+c2,/.a2-c2^c2,即a2^2c2,Ae2^-,又

2

VeE(0,1),.\eG(0,y].故選C.

4答案警冷

oo

解析解法一:設(shè)切點(diǎn)為B,圓心為A,連接AB.

易知|&A|音，|FE|=2c,|AB|二c,|BFj考，

|PF21二f,J直線PF.的斜率k=tanNPFE二碧二等二乎.

a|BF115

,I尤廣

在△PFR中，tan/PFFz=萼=或辿,EPV5bMac,BPA/5(a2-c2)=4ac,方程兩邊同

IF1F2I2C5

時(shí)除以a2,整理可得除2+4e—6=0,解得e亭或e=-遙(舍)，.建亭.

解法二：:tan/PFFz=等，，在RtZMTFz中，可令|PF21=2,〔FFzkVS,貝U|PF」二3,

故e=—=———--.

2a\PF1\+\PF2\5

(c=V2,2

5.解析(1)由題意得［?=￡=漁，解得=：

Ia3W￡=1,

\a2=b2+c2,

故橢圓C的方程為?+y2=l.

(2)證明：設(shè)M(xi,yi),N(X2,y2).

①先證必要性.

易知直線MN的斜率不為0.

因?yàn)镸,N,F三點(diǎn)共線，

所以設(shè)直線MN:x=my+V2.

由題意知0(0,0)到直線MN的距離d=解得啟1,故m=±l,所以直線

Vm2+1

MN:x±y-V2=0.

根據(jù)對(duì)稱性,不妨設(shè)直線MN:y=x-V2.

由卜=三?消去并整理得4X2_6&X+3=0.

[x2+3y2=3,

22=

故X1+X2=乎,X1X2=^,所以|MN|=V1+l?|X「X21=V2XJ(xt+x2)-4x1x2V3,即

必要性成立.

②再證充分性.

易知直線MN的斜率存在,設(shè)其方程為尸kx+t.

由題意得彳4/b=l,即t2=l+k2.

V1+/C2

y=kx+I,

由產(chǎn),21消去y并整理，得(l+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0,則

匕+y=1，

6kt3d-3

x/xk—77^，X[X2

22

所以|MN|=J(1+k)[(%i+X2)-4X1X21

22

J\(6kt\3t~312(件-13H)(i+H)

(1+k2)(-——-4Ax--

[Il+3k2Jl+3fc2(l+3fc2)2

_124k2(i+肉

q(14-3/c2)2'

因?yàn)閨MN|=?3,所以萼詈1,解得片二1,貝I]t'2.

(l+3fc2)

因?yàn)閄I+X=--^7>0,即kt<0,

21IoK

所以k=l,t=-&或k=-l,t=V2,

所以直線MN的方程為y=x-&或y=-x+V2.

無(wú)論哪一種情況,直線MN恒過(guò)焦點(diǎn)F,所以M,N,F三點(diǎn)共線.

故M,N,F三點(diǎn)共線的充要條件是IMN|=V3.

6.解析⑴由題意得a二|BF|二遍.又離心率e=J乎,所以c=2,所以b2=a2-c2=l,

a5

2?

所以橢圓的方程為言v+y'L

⑵解法一：由題意知直線1的斜率存在且不為0,設(shè)其方程為y=kx+m.

“22x

由-5+'->^#(l+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0.

=kx+m,

因?yàn)橹本€1與橢圓有唯一的公共點(diǎn)M,所以A=0,BP(10km)2-4(l+5k2)(5m2-5)=0,

22

化簡(jiǎn)得m-5k-l=0.①

由？=kx+mf得所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0,m).

(%=0,

由⑴知B(0,1),F(2,0),所以ks尸藝二一

0-22

由題意知NP_LBF,所以k后2,

所以直線NP的方程為y=2x+m.

由憂/+犯得x號(hào)所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-晟，0).

因?yàn)镸P〃BF,所以k產(chǎn)kBF二3，

所以直線MP的方程為尸苫1+三).

5m

由片-XT)，'=一訴,

得-km+2m

、y=kx+V=----

：4A+2

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-黑，誓誓所以卜守+(聶魯)2=1,即

\4k+24k+2

(k2-4k+9)m2=(4k+2)2.?

(舍去).

由①②解得憶)或｛IE

所以直線1的方程為尸x+痣.

解法二：設(shè)M（x。,y。）（y0>0）,則直線1的方程為暫x+y0y=L

由（自，+尢丫=1，得yA所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0,三）.

G=0,丫。'姬

由⑴知B（0,1）,F（2,0）,所以%七二一去

由題意知NPLBF,所以1<痔2,

所以直線NP的方程為y=2x+-.

yo

0=2*+^x=_；,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一3_,o）.

{y=0,2y。I2y。J

因?yàn)镸P〃BF,所以整理得2x0yo+4%+l=O.③

小麗2

v2

又？+y廣i④，

（5歷

聯(lián)立③④,解得彳一二6'

V6

3。=丁，

所以直線1的方程為產(chǎn)X十遍.

佗+2=1，

7.解析（1）由題意得（￡=立，

la2=b2+c2,

解得償=，所以C的方程為=+4二L

S'=3.63

⑵證明:設(shè)M（xbyi）,N（x2,y2）.

工2y2

了+石=L得

y=kx+m

(f

222=

(l+2k)x+4kmx+2m-6=0.則Xi+x~——z,IQ

2l+2k2XX=―l+2—kz

由AM±AN知前?麗二0,故(x「2)3—2)+3-1)。2-1)=0,即

22

(k+l)X1X2+(km-k-2)(Xi+x2)+(m-1)+4=0,所以

(k2+1)2m(km-k-2)4fcm+(m-1)2+4=0,整理得(2k+3m+l)(2k+mT)=0.

1+2/c21+2/c2

因?yàn)锳(2,1)不在直線MN上，所以2k+m-lWO,

所以2k+3m+l=0,kWl.

于是MN的方程為尸k(%-|)T(kWl).

所以直線MN過(guò)點(diǎn)P(|,

若直線MN與x軸垂直，則N3,-Y1).

由福?前二0W(x-2)(x-2)+(y-l)(-y-l)=0.又凈L所以3xf-8Xl+4=0,解

得x尸2(舍去)或XL|.所以直線MN過(guò)點(diǎn)Pg,-i).

令Q為AP的中點(diǎn)，即Qg,i).

若D與P不重合,則由題設(shè)知AP是RtAADP的斜邊，故|DQ|三|AP|普.

若D與P重合,PIIJ|DQ|=||AP|.

綜上,存在點(diǎn)，3,使得IDQI為定值.

2__2_=1

{e=|=2,解得仁：二\則雙曲線的解析式為x2-^=l.

c2=a2+b2,

9.B由題易知a=l,b=V3,Ac=2,又Y|OP|=2,，△PFE為直角三角形，易知

||PFd-|PF2||=2,

222

???|PFF+1PF2|-2IPFJ-IPF21=4,X|PF』2+1PF2|=|F,F2|Mc=16,

AIPFiI?IPF21=^=6,/.SAPF1F2=1IPFiI?防|=3.故選k

10.A設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為q-3=l(a>0,b>0),由題意知

a2b2

IPEHPF21=2a,|PFJ=31PF21,兩式聯(lián)立解得|PFd=3a,|PF」=a,又|FEI=2c,所以

在ZXPFF2中，由余弦定理得|FF2|2二|PF/2+|PF2|2-2|PF』IPF2ICOSNF1PF2,即

4c2=9a2+a2-2X3a?

a-cos60°,可得J1,所以雙曲線C的離心率e二空故選A.

a2a2

11.A雙曲線的漸近線方程為尸土白,根據(jù)對(duì)禰性，不妨取yj,即

16944

3乂-4尸0,點(diǎn)(3,0)到直線3x-4y=0的距離d二譽(yù)望=4,故選A.

K+e4產(chǎn)5

12.答案y=V3x;y=-V3x

P=￡=2j.2

解析由題意得?。一’所以2=3,

(2=@2+82,a

所以雙曲線的漸近線方程為y=±-x=±V3x.

a

13.解析⑴由題意知IFF2U2VU,因?yàn)閨MFJTMF2|=2〈|FF2|二2VT7,所以結(jié)合

雙曲線定義知，點(diǎn)M的軌跡C是以F],F2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.設(shè)其方程為

《-3=l(a>0,b>0,x^a),則2a=2,2c=2V17,解得a=l,c=y/17,則

b2=c2-a2=(V17)-12=16,所以M的軌跡C的方程為x2-^l(x^l).

(2)解法一:如圖，設(shè)Tg,m),直線AB的方程為

(y=^1+

由｛J

x2-y-=l(x>1),

得(16-照)x?+(好-2km)x-i好+kim-心16=0.

設(shè)A（xi,設(shè)，B（X2,y2）,

則X1+X2與筌，XIXk嗎關(guān)T

AO汽1XO

則|TA|=J1+好(%勺,ITB|=71+fci(x2-|)，

所以|TA|,|TB=(1+好)(x「??叱尸七黑十畸

設(shè)直線PQ的方程為y-m=k2(x-i),

同理，得|TP|?向仁田+乎(1+彪).

抬-16

因?yàn)閨TA|?|TB|=|TP|?|TQ|,

所以空黨產(chǎn)二空嘿誓,所以占9黑,即四二四，

fc￡-16gT6kf-16fc^-16x4

由題意知k.^k2,所以L+k2=0,即直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

解法二：設(shè)Tm),直線AB的傾斜角為0I,直線PQ的傾斜角為

02,\TA\=th\TB\=Uf

則直線AB的參數(shù)方程為卜=ticos%，

y=771+CiSin%.

2

因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線上，所以16G+tiCOS/)-(m+3sin0)2=16,即

(16cos2?！竤ir?。Jt^+(16cos?！?msin。i)ti-(m2+12)=0.

22

同理,可得（16COS?。-sin0J,+（16cos0「2m?sin01）t2-（m+12）=

0.

22

所以tbt2為方程（16cos?0「sin,01）t+（16cos。「2msin01）t-（m+

12)=0的兩個(gè)根,

則|TA|?|TB|二t￡-上,

22

16cos01-sin01

一的)

同理，2+12

|TP|?|TQ|=2_2

16cos02sin2

22

結(jié)合|TA|-|TB|=|TP|?|TQ|,#COS01=00802,

又因?yàn)锳B與PQ是不同直線，所以cosei=-coso2,于是e1+e2=4，則kAB+kPQ=0,

即直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

14.B拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是0),由點(diǎn)仁，0)到直線x-y+l=0的距

離為魚,可得吃魚,即卜+1卜2,解得p=2或p=-6,又???p>0,??.p=-6不合題意,

V212I

舍去,???p=2.故選B.

15.C設(shè)焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(xo,y0),由拋物線定義得lAFkxo+a??,點(diǎn)A到y(tǒng)

軸的距離為9,

Ax0=9,A9+￡=12,Ap=6.故選C.

16.答案5;4西

解析設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xo,y。)，則|FM|=x0+l=6,解得x°=5,所以M的橫坐標(biāo)是5.將

x0=5代入y2=4x,得|y0|=2而，由題意得S△刖二打(5-1)義2遙二4遍.

17.答案x=-|

解析???點(diǎn)P在拋物線上且PF±x軸，不妨設(shè)點(diǎn)P位于x軸上

方，，P&p)???OP，PQ,???由平面幾何知識(shí)可得|PF「=|OF|?|FQ|,

又??,|FQ|=6,，p2=2X6,???p=3或p=0(舍)，

AC的準(zhǔn)線方程為x=-|.

FQ

18.解析(1)由已知得p=2,所以C的方程為y2=4x.

⑵由⑴知F(l,0).設(shè)P傳,y0)，Q(xi,yi),

則由已知得(工「*，%-九)二9(l-xb-yi),

所以看磊(9+*,y超.

于是直線0Q的斜率心生.

9+4

4

當(dāng)yWO時(shí)，k<0.

當(dāng)y<>0時(shí)，

-L.ZO

yo4

當(dāng)且僅當(dāng)2二個(gè)，即y°=6時(shí)取等號(hào).

yo4

所以直線0Q斜率的最大值為去

19.答案y

2

解析解法一:設(shè)A(xbyi),B(x2,y2),由已知可得拋物線y=4x的焦點(diǎn)為F(l,0),

過(guò)點(diǎn)F且斜率k二b的直線方程為y=V3(x-1).

—4乂

由一屋八消去y得3X2T0X+3=0,

(y=V3(x-1),

.?.X1+X2Fxix2=l,

22

/.IAB|=V1+kJ(%i+上)~4x1x2=y/l+3XJ等-4=y.

解法二:在拋物線y2=4x中,2p=4,斜率為遮的直線的傾斜角0=今??.過(guò)焦點(diǎn)的弦

4

20.解析(1)由題設(shè)知F(0,Q,圓M的圓心為(0,-4),半徑為1,F與圓M上點(diǎn)的

距離的最小值為表3,由題設(shè)解得p=2.

(2)由(1)知C:x?=4y.

設(shè)P(xo,y0),A(xi,yi),B(x2,y2)?

因?yàn)镃在A處切線的斜率為其所以直線PA的方程為xix-2y-2廳0.

因?yàn)镻在直線PA上，所以x1xo-2yo-2yFO,所以A在直線xox-2y-2yo=O上.

同理,B也在直線xox-2y-2yo=O上.

所以直線AB的方程為xox-2y-2yo=O.

由國(guó)-2尸=0x2.20)

=4y,

故Xi+x2-2xo,X1X2-4y().

2

因此IABI=J1+停)(xt-x2)(就+4)(X-—4y()).

因?yàn)辄c(diǎn)P到直線AB的距離d=翠絲]

、爆+4

所以APAB的面積S=i|AB|Xd=1(xg-4y0)l

2

由就=「(y°+4)2得S=i[21-(y0+6)]l

因?yàn)閥°w-5,-3],所以當(dāng)y0=-5時(shí)，APAB的面積取得最大值,最大值為20V5.

21.解析(1)由題意知p=2,所以拋物線的方程是yMx.

⑵由題意可設(shè)直線AB的方程為x=ty+l(tw0,A(xby),B(X.2,y2).

將直線AB的方程代入y2=4x,得y2-4ty-4=0,

所以yi+y2=4t,yiy2=-4.

直線MA的方程為尸”=(x+l),

設(shè)直線1的方程為xgy+s.

t己P(xP,yP),Q(XQ,yQ),

,y=%i+i(x+1),2(S+1)%

由《得yp二

(2t-l)y+4

x=；y+s,1

2(s+l)y2

同理，得YQ='

(2t-i)y2+4

r

x=ty+1,2(-1)

記R(X,yj,由?1得YR=

R=-y+s,2t-l

由題意知MblyJ?樂(lè)|,化簡(jiǎn)得易知SA所以第二普葛

(2t-l)4tz+3(s-1)(2t-l)

因?yàn)槠?(念+當(dāng)僅得時(shí)，等號(hào)成立,所以智得s<-7-4遮或

sA7+4V5且sWl.

因此直線1在x軸上截距的取值范圍是(-8,_7—4b]u[-7+4V3,1)

U(1,+8).

三年模擬練

1.B,?.△POFz是面積為次的正三角形，???￥c2=V5,???c=2.不妨設(shè)P在第一象限,

4

則P(1,V5).

將(1,8)代入橢圓方程可得與a2=b2+4聯(lián)立,解得b2=2V3.故選B.

azbL

2

2.C設(shè)所求雙曲線方程為x?-(t(tWO).

因?yàn)辄c(diǎn)(4,6)在所求雙曲線上,所以16-18-t,解得t-2,所以所求雙曲線的方程為

[一翼1.故選C.

42

3.D不妨設(shè)k>0.設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為九連接AF.,BF.,如圖所示.

由題意知四邊形AFBR是平行四邊形.

易知|BF』二|AF|二2|BF|.

由雙曲線的定義知IBEHBF|=2a,所以|BF|=2a,則|AF|=4a,

|AB|=2V3a.

由雙曲線的對(duì)稱性知0A|=|0B|=||AB|=d5a.

在RtZiOBF中，|0B|=8a,|OF|=c,|BF|=2a,|0B『+|BF|2二|0F|2,即3a2+4a?=c：所以

c=V7a,所以e=^=V7.故選D.

a

4.B如圖所示.

設(shè)M(-c,t).易得直線AM的方程為y=4(x+2),

2-C

令x=0,得y=^,所以E(0,言)

易得直線BM的方程為尸-二(x-2),

2+c

令x=0,得y啜，所以N(。,給.

由題意得10E|二31ON|,所以3X2盧,解得c=l.

所以b2=a2-c2=4-l=3,所以|PF|二也2.故選B.

a2

2222

5.BC易知件,F2為橢圓曰*1的兩個(gè)焦點(diǎn),Ei,E2為橢圓白高二1的兩個(gè)焦點(diǎn),若

點(diǎn)P僅在橢圓冬+4=1上，則P到3(-4,0)產(chǎn)2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和為定值,到

日(0「4),E2(0,4)兩點(diǎn)的距離之和不為定值，故A中說(shuō)法錯(cuò)誤;兩個(gè)橢圓關(guān)于直線

y=x,y=-x均對(duì)稱，故曲線C關(guān)于直線y=x,y=-x均對(duì)稱，故B中說(shuō)法正確；曲線C

所圍區(qū)域在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)部,所以面積必小于36,故C中說(shuō)法正確;曲線C

所圍區(qū)域在半徑為3的圓外部,所以曲線的總長(zhǎng)度大于圓的周長(zhǎng)6%故D中說(shuō)法

錯(cuò)誤.故選BC.

6.C由雙曲線方程知F(l,0),所以即p=2,所以拋物線C的方程為y2=4x.

由題意設(shè)直線L的方程為尸k/x-1)(k1W0),直線b的方程為y=k2(x-l)(k2^0),

則呼+好=L

由消去「得股x2-(2好+4)x+四二0,

所以XA+XIF^^=2+2.同理,XD+XE=2+2

Ze】k]Ze2

由拋物線的定義口J得IAB|+1DE|=(當(dāng)+々+1)+(0+々+

%＞門質(zhì)網(wǎng)+2P=2+±+2+±+4=8+瞥=8+忌28+商=24,當(dāng)且僅當(dāng)

好=好號(hào)時(shí),AB|+|DE|取得最小值24.故選C.

7.D設(shè)|AF|二a"BF|=b,則|AAj=a,|BB/二b,

.,?線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為等二年，

???以線段AB為直徑的圓與準(zhǔn)線1相切,故①正確；

連接AF,BF,???|AA/二|AF|,|BB』二|BF|,

JNAFALNAAENBFB尸NBBF,又NBAAI+NABB尸180°,

A180°—2NAFAi+1800-2NBFB尸180°,.??NAFA]+NBFBL900,

...NAFB尸90°,??.以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F,故②正確；

設(shè)直線AB:x=my+pA(xbyj,B(x2,y2),

,x=my+一，g22

由｛2<y-2pmy-p=0,Ayiy2=-p9-,

3?=2px,

易知函二（xby）二償,％）,西二（-1,丫2），

??等?yz=竽?y尸%，，出〃西，???A,0,Bi三點(diǎn)共線，故③正確；

易知A（xo,癡焉），貝Ih?筍，，直線AT:x二&-Xo,與拋物線方程y2=2px聯(lián)立,

2Ko7P

得y2-2p怪y+2px0=0,???A=4p2xW"8pxo=O,???直線TA與拋物線相切，故④正確.

7Pp

故選D.

8.答案出正

解析連接QFi,由題意得QF」PF2,且|QF2《.

由雙曲線的定義知|QF」;2a+|.

在RtZ\FQF2中，(2a+：)2+(()2=(2c)2,艮08a2+4ac-7c2=0,BP8+4e-7e2=0,

e二等(負(fù)值舍去).

9.答案[1,4]

解析由已知得2b=2,故b=l.

VAF^B的面積為一,..，(a-c)b=???a-c=2一四.

又a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=l,Aa=2,c=V3.

?i十i_-J：+PF?：

iPFil\PF2\|PF1I\PF2\

_4________4_______

IPF11(4-1PRI)一出&|2+4p0「

易知2-百W|PFjW2+V5,

?K-lPFil+4|PF/W4,

?,”金+總會(huì)

故—+土的取值范圍為[1，4].

PF*I\PF2\

10.解析⑴當(dāng)BF_LAF時(shí)，|AF|=a+c"BF|二絲,

a

/.a+c-,又b2=c2-a2,/.a2+ac=c2-a2,

a

/.2a2+ac-c2=0,

.\e2-e-2=0,解得e=2(負(fù)值舍去).

(2)證明：設(shè)B(x,y),x>0,y>0.

當(dāng)xWc時(shí)，tanNBAF=k后一^-,kF=—,

x+aBx-c

2y

Atan2NBAF=?tan產(chǎn)廠嚴(yán)、右)y2(x+a)y2(x+a)yyy

z2

l-tan2zBAF卜(上)“(x+a)2-y2(x+d)2-3a2-2x+2ax+4a2a-xc-x

-kBF-tanZBFA.

ZBAF,ZBFAe[o,Qug,IT),

???NBFA=2NBAF.

當(dāng)x=c時(shí)，|BF|=|AF|,???NBFA=90。=2ZBAF.

綜上，ZBFA=2ZBAF.

11.解析（1）選①：

a2=b2+c2

由題意可得12b=2百，[Q=2,

c_1w=V3,

-2，

22

???橢圓c的方程為—+一=1

43

選②：

（2b=2A/3,

由題意得1i2解得

三+今=1，

故橢圓C的方程為

43

選③：

當(dāng)P在上(下)頂點(diǎn)時(shí),S&F/2最大，

Hltt|x2cXb=V3,即bc=V3.

V2b=2V3,Ab=V3,Ac=l,

???a2=l+3=4,???橢圓C的方程為。+《=L

43

(2)證明：(i)當(dāng)k=0Bt,(1)W|PQ|=2a=4,|NFj=c=l,.*.7^7=4.

1/vFiI

(ii)當(dāng)kWO時(shí)，由(1)可得B(-1,0),所以直線PF.的方程為y=k(x+l).

設(shè)P(xb設(shè)，Q(X2,y2),

y=fc(x+1),

由江+片得(3+410x2+8k2x+4k2-12=0,

=1,

\43

8k24k2-12_oj>3

則X1+X2=一，2X1X22,yi+y2=k(xi+1)+k(x+l)=k(xi+x)+2k=