高中數(shù)學新教材人教A版選擇性必修培優(yōu)練習：01 空間向量及其運算、空間向量基本定理（學生版+解析版）

專題01空間向量及其運算、空間向量基本定理

一、單選題

1.（2019,全國高二課時練習）已知。，5,3是不共面的三個向量，則能構(gòu)成一個基底的一組向量是（）

A.2a,3-b,萬+2gB.2力，b-G，b+2萬

C.a,2b,h-cD.c,a+c,a-c

2.（2020?貴州省銅仁第一中學高二開學考試）如圖所示，在平行六面體ABC。一A4GA中，設(shè)麗=&，

AB=b^AD^c>N是8c的中點，試用石，￡表示電（）

一1__1-1

A.—cl+Z?H—CB.—+Z?+cC.-bT—CD.67-Z?H—C

222

3.（202。山東省章丘四中高二月考）如圖，在四面體OABC中，。是8C的中點,G是4D的中點，則而等于

)

1―.

A.—OA+-OB+-OCB.-OA+-OB+-OC

333234

1―.1—.1-.1—.

C.-OA+-OB+-OCD.-OA+-OB+-OC

244446

4.（2020?河南省高二期末）如圖在平行六面體ABCO-44G。中，E為AA的中點，設(shè)通=￡，

AD=b^旃="，則分=（)

A.—ci—b+cB.ci—b+cC.ci—b—cD.ciH—b—c

2222

5.（202。廣東省紅嶺中學高二期末）而與前共線是直線48〃。。的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

1一|一1一

6.（2020?廣東省紅嶺中學高二期末）。為空間任意一點,三點不共線，若/=++

326

則A,8,C,尸四點

A.一定不共面B.不一定共面

C.一定共面D.無法判斷

7.（2019?隨州市第一中學高二期中）空間A、B、C,。四點共面，但任意三點不共線，若P為該平面外

—■5—■--1-.

一點且=-xPC——PD,則實數(shù)x的值為（）

33

1122

A.-B.----C.-D.----

3333

8.（2020?甘肅省高二期末）如圖，空間四邊形OABC中，OA=a>OB=b'OC=c>且=

BN=NC,則麗等于（）

1-11-

B.—ci4—b7c

222

1_21_

D.—a——br+—c

232

9.（2020.廣西壯族自治區(qū)高二期末）在平行六面體ABC。—44GR中，M為A￡與BQi的交點.若

AB=a>AD=b>旃=c，則下列向量中與麗相等的向量是（）.

11,11,11,11,

A.—a+—b+cB.——a+—b+cC.——a——b+cD.—a——b+c

22222222

10.（2019?新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇市實驗中學高二月考）在平行六面體ABCD-EFGH中，若而=x^-

2y阮+3z麗，，則x+y+z等于（）

D.1

二、多選題

11.（2019?山東省濟南一中高二期中）已知平行六面體ABCO-AB'C'。'，則下列四式中其中正確的有

（）

A.AB-CB=ACB.AC=AB+WC+CC

C.AA=CCD.AB+BB'+BC+CC^AC

uuu

12.（2020?江蘇省高二期末）如圖，在正方體ABC。-44GA中，下列各式中運算的結(jié)果為AC|的有（）

A.AB+BC+CDB.

C.AB-C[C+B]C[D.麗+反+對

13.（2020?山東省高二期末）已知A,B,C三點不共線，。為平面ABC外的任一點，則“點M與點A,B,

C共面”的充分條件的是（）

A.OM=2OA-OB-OCB.OM=OA+OB-OC

C.OM=OA+-OB+-OCD.OM=-OA+-OB+-OC

23236

三、填空題

14.（2019?江蘇省高二期末）直三棱柱ABC-A,4G中，若a=C方="網(wǎng)'=1，則甌=

15.（2019?新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇市實驗中學高二月考）已知非零向量B，且麗=1+2以

BC=-5a+6b-CD=la-2b<則AB,C,。中一定共線的三點是.

16.（2019?浙江省諸暨中學高二期中）已知三棱錐O-ABC,點D是BC中點，P是AD中點，設(shè)

L1LUIUULOIllLUll

。尸=x（M+yOB+zOC，則x+）'+z=；產(chǎn)

17.（2019?江蘇省高二期中）如圖在正方體ABC?！?4GA中，已知串=￡，4瓦=反箱=2,。為

底面的A8CO的中心，G為口AGO的重心，則而=

四、解答題

18.（2018?全國高二課時練習）如圖，在長方體A8C￡?-A|8CiOi中48=34）=2,AA|=1,以長方體的八個頂點

中的兩點為起點和終點的向量中.

（1）單位向量共有多少個?

（2）試寫出模為6的所有向量.

（3）試寫出與AB相等的所有向量.

（4）試寫出A、的相反向量.

19.（2020?全國高一課時練習）如圖，已知一點。到平行四邊形ABC。的三個頂點A,B,C的向量分別為

小弓，與，求詼.

20.（2019,三亞華僑學校高二期中）如圖，在平行六面體ABCD—44GA中，AB,AO,A4,兩兩夾角為60。,

長度分別為2,3,1,點P在線段BC上，且38尸=BC,記2=荏石=而三=麗\

（1）試用a,反c表示￡）尸;

（2）求石產(chǎn)模.

21.（2018?全國高二課時練習）在四棱錐P-ABCD中,ABCD為平行四邊形,AC與BD交于O,G為BD上一

點,BG=2GD,樂=[,麗=6,PC=c，試用基底｛￡,九2｝表示向量而.

22.（2019?全國高一課時練習）設(shè)e1,e2是不共線的空間向量，已知麗=2e1+ke2,CB=ei+3e2,CD=2ei-e2.

若A,B,D三點共線，求k的值.

23.（2018?全國高二課時練習）已知｛生咫向｝是空間的一個基底，且

次=5+262弋3,麗=-3ei+e2+2e3，G^=ei+e2-e3,試判斷｛方，麗，無｝能否作為空間的一個基底喏能,試以此

基底表示向量歷=2ef+3e3；若不能，請說明理由.

專題01空間向量及其運算、空間向量基本定理

一、單選題

1.(2019?全國高二課時練習)已知b,0是不共面的三個向量，則能構(gòu)成一個基底的一組向量是()

A.2a,G-b，6+2hB.2b，b-，b+23

C.a,2b>b-cD.c,a+c,a-c

【答案】C

【解析】

42

對于A,因為2萬=§(a-b)+-(a+2b)，得2萬、a-h,1+2$三個向量共面，故它們不能構(gòu)成

一個基底，A不正確；

42

對于B,因為25=1(b-a)+-(B+2萬)，得2日、B-、5+2匯三個向量共面，故它們不能構(gòu)成

一個基底，B不正確；

對于C,因為找不到實數(shù)Q卬使方=Q2B+M(b-c)成立，故萬、2B、B--三個向量不共面,

它們能構(gòu)成一個基底，C正確；

對于D,因為0=?(a+c)(a-c),得1、a+c,萬-3三個向量共面，故它們不能構(gòu)成一個基

22

底，D不正確

故選：C.

2.(2020?貴州省銅仁第一中學高二開學考試)如圖所示，在平行六面體ABCD—44G。中，設(shè)羽="，

荏=5，蒞=己，N是BC的中點，試用萬，工表示硒()

B.-a+h+ca-b+-c

2

【答案】A

【解析】

QN是的中點,

A^N=AJA+^B+BN=-a+b+-BC=-a+b+-AD=-a+b+-c.

故選：A.

3.（2020.山東省章丘四中高二月考）如圖，在四面體0A3C中，。是8C的中點,G是AZ）的中點，則礪等于

（）

1—,1—.1—.1—,1—.1—.

A.-OA+-OB+-OCB.-OA+-OB+-OC

333234

1—,1—.1—.1—.1—.1—.

C.-OA+-OB+-OCD.-OA+-OB+-OC

244446

【答案】C

【解析】

???在四面體OABC中，。是的中點,G是的中點

OG=OA+-AD

2

—?1I―.—-

=OA+-x-(AB+AC)

22

=OA+^x(OB-OA+OC-OA)

1—.1—.1—.

=-OA+-OB+-OC

244

故選:C.

4.（2020?河南省高二期末）如圖在平行六面體ABC?！?4GA中，E為AA的中點，設(shè)麗=￡，

A.—ci—b+cB.ci—b+cC.ci—b—cD.a+-b-c

2222

【答案】A

【解析】

由題意結(jié)合平行六面體的性質(zhì)可得CE=CQ+QDj+D^E

=CC]+C[D]H—D]A=AA1-AB—AD=-ci—。+c.

故選：A.

5.（2020?廣東省紅嶺中學高二期末）而與①共線是直線AB〃CZ）的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

根據(jù)向量共線的定義，可知若會與前共線，則它們所在的直線可能平行，也可能重:合；

若A8〃CO,則反官與①共線；

根據(jù)充分條件和必要條件的概念，可知而與①共線是直線48〃C。的必要不充分條件，

故選B

點睛：向量共線的定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線

向量或平行向量.

1_.1一1一

6.（2020.廣東省紅嶺中學高二期末）。為空間任意一點,A,5,C三點不共線，若麗=彳。4+；。5+工。（7,

326

則A5,C,尸四點

A.一定不共面B.不一定共面

C.一定共面D.無法判斷

【答案】C

【解析】：點P在平面ABC內(nèi)，O是平面ABC外的任意一點，則

OP^xOA+yOB+zOCRx+y+z=i.利用此推論可直接證明一定共面.

詳解:

1一1一1一111

因為麗=；04+7。3+:0。，且彳+7+:=1,所以A,3,C,P四點共面.

326326

7.（2019?隨州市第一中學高二期中）空間A、B、C,。四點共面，但任意三點不共線，若P為該平面外

—■5—■—■1—.

一點且P4=-PB-xPC——產(chǎn)。，則實數(shù)x的值為（）

33

1122

A.-B.—C.一D.--

3333

【答案】A

【解析】

因為空間A、B、C、￡>四點共面，但任意三點不共線，對于該平面外一點尸都有

--5—■―-1—.511

PA=—PB-xPC一一PD,所以——無一一=1,解得x=—.

33333

故選A

8.（2020?甘肅省高二期末）如圖，空間四邊形OABC中，OA=a<OB=b>OC=c<且=

BN=NC,則麗等于（）

]_11一

B.一ClH—07C

222

1_21-

D.—a——br+—c

232

【答案】C

【解析】

——1—.---2—

?；BN=NC,:.ON=-(OB+OC),\-OM=2MA,:.OM=-OA,

..一i.一2.911

：.MN=ON-OM=-(OB+OC)一一OA=一一a+-b+-c,故選：C.

23322

9.（2020?廣西壯族自治區(qū)高二期末）在平行六面體ABC?！?4GR中，”為4G與印烏的交點.若

AB=a>AD=b<M=c）則下列向量中與兩相等的向量是（）.

A.-ci4—b+cB.—a-i—>+cC.—a—b+cD.—a—Z>+c

22222222

【答案】B

【解析】

西=西+甌=甌+；（麗'一麗）=?+^（5—&）=-3萬+；5+}

故選B.

10.（2019?新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇市實驗中學高二月考）在平行六面體ABCD-EFGH中，若而=x^-

2y錠+3zDti，，貝！jx+y+z等于（）

【答案】C

【解析】

在平行六面體ABCD-EFGH中，AG=Ag+fiC+CG-

,?1AG=^AB-2yBC+3zDH>W=DH

x=l,-2y=1,3z=1,

??x—?y—1,z-1i

-23

5

/.x+y+z=—,

故選：C.

二、多選題

11.(2019?山東省濟南一中高二期中)已知平行六面體ABCO-AB'C'。'，則下列四式中其中正確的有

()

A.AB-CB=ACB.AC=AB+BrC+CC

C.AA=CCD.AB+BB>+BC+CC=AC

【答案】ABC

【解析】

作出平行六面體ABCD-A'B'C'D'的圖像如圖，可得而一行=旗+覺=/，則A正確;

AB+BFC+CC=AB+BC+CCi=AC'則B正確：C顯然正確;

AB+BB>+BC+CC=AB+BC=AC>則D不正確.綜上，正確的有ABC.

故選：ABC

UUU

12.（2020?江蘇省高二期末）如圖，在正方體ABC。-A4GA中，下列各式中運算的結(jié)果為AG的有（）

A.AB+BC+CDB.麗+南+和

C.AB-QC+B^D.麗+反+居

【答案】BCD

【解析】

A.AB+BC+CD=AD^AQ，故錯誤：

B.麗+46+D￡=羽+AA+=^*,故正確；

C.AB-QC+B^=AB+CQ+B^=AB+BB^+B^Ci=AQ,故正確:

D.羽+反+耳，=麗*+麗+函=次',故正確.

故選：BCD.

13.（2020?山東省高二期末）已知A,B,C三點不共線，。為平面ABC外的任一點，貝U“點M與點A,B,

C共面”的充分條件的是（）

A.OM=2OA-OB-OCB.OM=OA+OB-OC

___一1一1一___1—1——1——

C.OM=OA+-OB+-OCD.OM=-OA+-OB+-OC

23236

【答案】BD

【解析】

當幅=加旃+〃碇時，可知點M與點A8,C共面,

所以血+西=加（而++〃（礪+元），

所以(x+y-l)OM=-OA+xOB+yOC.

=-OA+mOB+nOC=——1京+」_麗+」_灰,

加+〃-1m4-72-1m+n-1m+n-1

Imvi

不妨令--------7=x，-------------=y，------------=z，且止匕時x+y+z=l,

m+n—1m+n—1m+n—\

111

因為2+(-l)+(-l)=0wl,l+l+(-l)=l.1+LLU,+—=1

236236

由上可知：BD滿足要求.

故選：BD.

點睛：常見的證明空間中四點",4，民C共面的方法有：（1）證明礪=工麗+＞荻；（2）對于空間中任意一

點0,證明麗二次+工赤+》沅；（3）對于空間中任意一點0,證明

OM=xOA+yO3+zOC(x+y+z=l).

三、填空題

14.（2019?江蘇省高二期末）直三棱柱ABC-A4G中，若=%屈=匠乙=^,則甌=

【答案】a—b+c

【解析】

直三棱柱ABC-AB?中,若a=2屈=瓦Cf=

￡L4j=BA+AA]=CA—CB+CC\—a-b-\-c

故答案為a-B+c

15.（2019?新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇市實驗中學高二月考?）已知非零向量B，且而=￡+26，

BC=-5a+6b-CD=la-2b^則ARC,。中一定共線的三點是.

【答案】A,B,D

【解析】

由向量的加法原理：

BD=BC+CD=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2AB

又麗,而共點5,故A,B,。三點共線

故答案為：A,B,D

16.（2019?浙江省諸暨中學高二期中）已知三棱錐O-ABC,點D是BC中點，P是AD中點，設(shè)

LULIUUULUlULUL

OP=xOA+yOB+zOC>^]x+y+z^；卡.

【答案】1-

2

【解析】

如圖，

uim1/Uiruutti、i「wiuiinUUII、］

OP=-^OA+ODj=-OA+/（zOB+OCj

Iuur1uin1uuuuuruunuuii

=-OA-i--OB^-OC=xOA+yOB^zOC.

所以x=-,y=—,z=—,所以x+y+z=l,x=—.

2442

故答案為：1；—

2

17.（2019.江蘇省高二期中）如圖在正方體ABCD-44G。中，已知不=￡,不耳=反耳?=",0為

底面的A8C。的中心，G為口〃C。的重心，則而=

Dxi

2-1y5—

【答案】-a+-b+-c

326

【解析】

在正方體ABCD—AgCQi中，AiA=a.=b.A^Dx=c,

。為底面的ABC。的中心，G為口〃。1。的重心，

AG=AO+OG

=3+")+泉(麗+配)+西+；(通+珂+同

2-1-5-

故答案為：—a+—b+—c.

326

四、解答題

18.(2018?全國高二課時練習)如圖，在長方體48CEMICB中48=3出￡>=2,44|=1,以長方體的八個頂點

中的兩點為起點和終點的向量中.

(1)單位向量共有多少個?

(2)試寫出模為6的所有向量.

(3)試寫出與AB相等的所有向量.

(4)試寫出麗的相反向量.

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析：（4）答案見解析.

【解析】

分析：

（I）根據(jù)定義模為1的向量即為單位向量（2）在長方體中求出對角線長為逐，即可寫出所求向量（3）

根據(jù)大小相等，方向相同即為相等向量可寫出（4）大小相等，方向相反的向量即為相反向量.

詳解：

⑴模為］的向量有不，麗，耶，西，房，區(qū)■，麗，西，共8個單位向量.

（2）由于這個長方體的左右兩側(cè)的對角線長均為逐，因此模為石的向量為酒■，林麗，

取M，季M，E

（3）與向量AB相等的向量（除它自身之外）為刎,況及醞

（4）向量羽的相反向量為平,瓦及配，麗.

19.（2020?全國高一課時練習）如圖，已知一點O到平行四邊形ABC。的三個頂點A,B,C的向量分別為

小法與，求詼.

【答案】麗=彳+彳一彳

【解析】

因為麗=反+①，CD=BA=OA-OB-

所以O(shè)D=OC+OA—OB=q+八—弓.

20.（2019?三亞華僑學校高二期中）如圖，在平行六面體ABC?！?4GA中，AB,A2M兩兩夾角為60。,

長度分別為2,3,1,點P在線段BC上，且38P=BC,記￡=荏,5=而,"=麗

(1)試用a,5,c表示"P；

(2)求印模.

9

【答案】(1)a--b-c；(2)B

【解析】

(1)D^P=AP-A^=(,AB+BP)-(AD+A1\),

=(a+步)-(5+c)=a-^b—c.

(2)因為A8,AD,AA兩兩夾角為60。，長度分別為2,3,I.

------------------------3

所以,

2

網(wǎng)=g亨一.由『+料+年亨5-2H+步」

=74+4+1-4-2+2.

21.（2018?全國高二課時練習）在四棱錐P-AB