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文檔簡介
第八章二元一次方程組(知識歸納+16題型突破)1.了解二元一次方程組及其解的有關(guān)概念;2.掌握消元法(代入或加減消元法)解二元一次方程組的方法;3.理解和掌握方程組與實際問題的聯(lián)系以及方程組的解;4.掌握二元一次方程組在解決實際問題中的簡單應(yīng)用;5.通過對二元一次方程組的應(yīng)用,培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的理念.知識點一二元一次方程組的相關(guān)概念1.二元一次方程的定義定義:方程中含有兩個未知數(shù)(一般用和),并且未知數(shù)的次數(shù)都是1,像這樣的方程叫做二元一次方程.特別說明:(1)在方程中“元”是指未知數(shù),“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).(2)“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(單項式)的次數(shù)是1.(3)二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.2.二元一次方程的解定義:使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值,叫做二元一次方程的解.特別說明:二元一次方程的每一個解,都是一對數(shù)值,而不是一個數(shù)值,一般要用大括號聯(lián)立起來,即二元一次方程的解通常表示為的形式.3.二元一次方程組的定義定義:把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起,就組成了一個二元一次方程組.此外,組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數(shù).例如,二元一次方程組.特別說明:(1)它的一般形式為(其中,,,不同時為零).(2)更一般地,如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù),那么它們組成一個二元一次方程組.(3)符號“”表示同時滿足,相當于“且”的意思.4.二元一次方程組的解定義:一般地,二元一次方程組的兩個方程的公共解,叫做二元一次方程組的解.特別說明:(1)方程組中每個未知數(shù)的值應(yīng)同時滿足兩個方程,所以檢驗是否是方程組的解,應(yīng)把數(shù)值代入兩個方程,若兩個方程同時成立,才是方程組的解,而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.(2)方程組的解要用大括號聯(lián)立;(3)一般地,二元一次方程組的解只有一個,但也有特殊情況,如方程組無解,而方程組的解有無數(shù)個.知識點二二元一次方程組的解法1.解二元一次方程組的思想2.解二元一次方程組的基本方法:代入消元法和加減消元法(1)用代入消元法解二元一次方程組的一般過程:①從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形,用含有(或)的代數(shù)式表示(或),即變成(或)的形式;②將(或)代入另一個方程(不能代入原變形方程)中,消去(或),得到一個關(guān)于(或)的一元一次方程;③解這個一元一次方程,求出(或)的值;④把(或)的值代入(或)中,求(或)的值;⑤用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值,就是方程組的解.特別說明:(1)用代入法解二元一次方程組時,應(yīng)先觀察各項系數(shù)的特點,盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形;(2)變形后的方程不能再代入原方程,只能代入原方程組中的另一個方程;(3)要善于分析方程的特點,尋找簡便的解法.如將某個未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個整體用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式來表示,代入另一個方程,或直接將某一方程代入另一個方程,這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一,它的運用可使運算簡便,提高運算速度及準確率.(2)用加減消元法解二元一次方程組的一般過程:①根據(jù)“等式的兩邊都乘以(或除以)同一個不等于0的數(shù),等式仍然成立”的性質(zhì),將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式;②根據(jù)“等式兩邊加上(或減去)同一個整式,所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì),將變形后的兩個方程相加(或相減),消去一個未知數(shù),得到一個一元一次方程;③解這個一元一次方程,求出一個未知數(shù)的值;④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中,求出另一個未知數(shù)的值;⑤將兩個未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可.特別說明:當方程組中有一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或同一個未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時,用加減消元法較簡單.知識點三實際問題與二元一次方程組特別說明:(1)解實際應(yīng)用問題必須寫“答”,而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義,檢查求得的結(jié)果是否合理,不符合題意的解應(yīng)該舍去;(2)“設(shè)”、“答”兩步,都要寫清單位名稱;(3)一般來說,設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組.【題型一二元一次方程的定義】例題:(2023下·湖南益陽·七年級校考期中)下列方程:①;②;③;④;⑤;⑥,其中是二元一次方程的是(
)A.①⑥ B.①②⑥ C.①②④ D.①②④⑥【答案】A【分析】根據(jù)二元一次方程的定義,即含有兩個未知數(shù),且兩個未知數(shù)的次數(shù)都為1的整式方程叫二元一次方程逐一判斷即可.【詳解】解:①;⑥是二元一次方程,故符合題意;②,不是整式方程,不合題意;③,④,⑤;次數(shù)不為1,不是二元一次方程,不合題意;故選:A.【點睛】本題主要考查了二元一次方程的定義,熟練掌握含有兩個未知數(shù),且兩個未知數(shù)的次數(shù)都為1的整式方程是二元一次方程是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2023下·江蘇泰州·七年級??茧A段練習(xí))下列方程中①;②;③;④;⑤是二元一次方程的有()個.A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)二元一次方程的定義逐一判斷即可.含有兩個未知數(shù),且含未知數(shù)的項的最高次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程.【詳解】解:①、是二元一次方程,故①符合題意;②、不是二元一次方程,故②不符合題意;③、不是二元一次方程,故③不符合題意;④、不是方程,故④不符合題意;⑤、不是二元一次方程,故⑤不符合題意,故選A.【點睛】本題考查了二元一次方程的定義,熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵.2.(2023下·湖南衡陽·七年級??计谥校┫铝懈魇街校海?);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8).屬于二元一次方程的個數(shù)有(
)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義判斷逐項分析即可,方程的兩邊都是整式,含有兩個未知數(shù),并且未知數(shù)的項的次數(shù)都是1次的方程叫做二元一次方程.【詳解】(1)是二元一次方程;(2)含二次項,不是二元一次方程;(3)是二元一次方程;(4)含二次項,不是二元一次方程;(5)不是方程;(6)分母含未知數(shù),不是二元一次方程;(7)含3個未知數(shù),不是二元一次方程;(8)是二元一次方程.故選C.【點睛】本題考查了二元一次方程的定義,熟練掌握二元一次方程組的定義是解答本題的關(guān)鍵.【題型二根據(jù)二元一次方程的定義求參數(shù)的值】例題:若是關(guān)于的二元一次方程,則的值是(
)A.2 B.2或0 C.0 D.任何數(shù)【答案】C【分析】從二元一次方程滿足的條件:含有2個未知數(shù)和最高次項的次數(shù)是1這兩個方面考慮.【詳解】解:∵是關(guān)于的二元一次方程,∴且,解得:,故選:C.【點睛】本題主要考查二元一次方程的定義,二元一次方程必須符合以下三個條件:(1)方程中只含有2個未知數(shù);(2)含未知數(shù)項的最高次數(shù)為一次;(3)方程是整式方程.【變式訓(xùn)練】1.(2023上·陜西西安·八年級校考階段練習(xí))若關(guān)于,的方程是二元一次方程,則.【答案】2【分析】本題主要考查二元一次方程的概念,二元一次方程滿足的條件:含有2個未知數(shù),含未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程,據(jù)此解答即可.【詳解】解:根據(jù)題意得:,解得.故答案為:.2.(2023上·江西撫州·八年級江西省撫州市第一中學(xué)校考期中)已知關(guān)于x,y的方程是二元一次方程,則.【答案】1【分析】本題主要考查了二元一次方程的定義,解題的關(guān)鍵是根據(jù)含有兩個未知數(shù),且兩個未知數(shù)的次數(shù)都為1,這樣的整式方程叫二元一次方程可得,然后求解即可解答.【詳解】解:∵關(guān)于x,y的方程是二元一次方程,∴,解得:,∴,故答案為:1.【題型三判斷是否是二元一次方程的解】例題:(2024上·福建寧德·八年級統(tǒng)考期末)下列四組數(shù)值是二元一次方程的解的是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】此題考查了二元一次方程的解,方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.將各項中x與y的值代入方程檢驗即可.【詳解】解:A、把代入方程得:左邊,右邊,左邊右邊,不符合題意;B、把代入方程得:左邊,右邊,左邊=右邊,符合題意;C、把代入方程得:左邊,右邊,左邊右邊,不符合題意;D、把代入方程得:左邊,右邊,左邊右邊,不符合題意;故選:B.【變式訓(xùn)練】1.(2024上·甘肅蘭州·八年級統(tǒng)考期末)下列二元一次方程的其中一個解是的是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】本題考查了二元一次方程的解,能使二元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程的解.把分別代入各選項驗證即可.【詳解】解:A.當時,,故不符合題意;B.當時,,故不符合題意;C.當時,,故符合題意;D.當時,,故不符合題意;故選C.2.(2023上·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末)下列4組數(shù)值中,不是二元一次方程的解的是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】本題科考查了二元一次方程的解,能使二元一次方程左右兩邊相等的值,即為二元一次方程的解,據(jù)此即可作答.【詳解】解:A、把代入,則,故不是二元一次方程的解;B、把代入,則,故是二元一次方程的解;C、把代入,則,故是二元一次方程的解;D、把代入,則,故是二元一次方程的解;故選:A【題型四二元一次方程的整數(shù)解】例題:(2023上·河北保定·八年級統(tǒng)考階段練習(xí))在二元一次方程中,若,均為正整數(shù),則該方程的解的組數(shù)有(
)A.組 B.組 C.組 D.組【答案】C【分析】本題考查了二元一次方程的解,熟練掌握求二元一次方程正整數(shù)解的方法是解答本題的關(guān)鍵.根據(jù)題意得,二元一次方程,變形得到,利用已知條件,均為正整數(shù),得到滿足條件的解有,,,由此選出答案.【詳解】解:由已知得:二元一次方程,,又,均為正整數(shù),,,,二元一次方程的解的組數(shù)有組,故選:.【變式訓(xùn)練】1.(2023下·江蘇·七年級專題練習(xí))方程在自然數(shù)范圍內(nèi)的解.【答案】,,,【分析】此題考查了解二元一次方程,將y看作已知數(shù)求出x是解本題的關(guān)鍵.用y表示出x,令y為自然數(shù)求出x的值,即可確定出方程的自然數(shù)解.【詳解】解:方程變形得:,當時,;時,;時,;時,,則方程在自然數(shù)范圍內(nèi)的解為,,,.故答案為:,,,.2.(2023上·甘肅張掖·八年級??茧A段練習(xí))二元一次方程的正整數(shù)解有.【答案】【分析】本題考查了二元一次方程的解,先求出的范圍,再求出答案即可,能求出的范圍是解題的關(guān)鍵.【詳解】∵,∴,∵是正整數(shù),∴解得:,∴,∴的正整數(shù)解為,代入,∴二元一次方程的正整數(shù)解為,故答案為:.【題型五判斷是否是二元一次方程組】例題:下列方程組中,是二元一次方程組的是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】含有兩個未知數(shù),且每個未知數(shù)的最高次數(shù)都是1的整式方程組是二元一次方程組,根據(jù)定義判斷.【詳解】解:A、C、D均不符合二元一次方程組的定義,B是二元一次方程組,故選B.【點睛】此題考查了二元一次方程組的定義,正確掌握二元一次方程組的定義的三要點:(1)共有兩個未知數(shù);(2)未知數(shù)的項最高次數(shù)都應(yīng)是一次;(3)都是整式方程,是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.下列方程組是二元一次方程組的有(
)①
②
③
④A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義求解即可.【詳解】解:經(jīng)過觀察可發(fā)現(xiàn)方程組③有三個未知數(shù),不是二元一次方程組,方程組①②④都是二元一次方程組,共有3個.故選:C.【點睛】本題考查了二元一次方程組,利用二元一次方程組的定義是解題關(guān)鍵.二元一次方程組的定義:由兩個一次方程組成,并含有兩個未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組.2.方程組(1),(2),(3),(4)中,屬于二元一次方程組有(
)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義:把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起,就組成了一個二元一次方程組進行判定即可.【詳解】解:符合二元一次方程組的定義;中含有、、三個未知數(shù),不是二元一次方程組;符合二元一次方程組的定義;中含有未知項的最高次數(shù)為2,不是二元一次方程組;綜上,是二元一次方程組的有2個,故選:B.【點睛】本題考查了二元一次方程組的定義:由兩個一元一次方程所組成的方程組稱為二元一次方程組.【題型六判斷是否是二元一次方程組的解】例題:(2024下·全國·七年級假期作業(yè))下列方程組中,以為解的是(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】略【變式訓(xùn)練】1.(2023下·四川資陽·七年級??计谥校┙鉃榈姆匠探M是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)二元一次方程組解的定義可知,將代入原方程組,則必須能使原方程組成立,將依次代入各選項計算,即可解答.【詳解】解:把分別代入四個方程組:A、,∴不是方程組的解,故此選項不符合題意;B、,∴是方程組的解,故此選項符合題意;C、,∴不是方程組的解,故此選項不符合題意;D、,∴不是方程組的解,故此選項不符合題意;故選:B.【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解的概念;一般地,使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值,叫做二元一次方程的解;一般地,二元一次方程組兩個方程的公共解,叫做二元一次方程組的解;熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.2.(2023下·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期末)解為的方程組是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)方程組的解的定義,將方程組的解代入各個選項中的方程組,判斷其是否成立即可.【詳解】解:當,時,,,,故是方程組的解.故選:D.【點睛】本題考查二元一次方程組的解,理解二元一次方程組的解的意義是正確判斷的前提.【題型七利用代入/加減消元法解二元一次方程組】例題:(2024上·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期末)解方程組:(1);(2).【答案】(1)(2)【分析】本題考查了代入消元法、加減消元法解二元一次方程組.熟練掌握代入消元法、加減消元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.(1)利用代入消元法解二元一次方程組即可;(2)利用加減消元法解二元一次方程組即可.【詳解】(1)解:,將代入得,,解得,,將代入①得,,∴;(2)解:,①整理得,,得,,解得,,將代入②得,,解得,,∴.【變式訓(xùn)練】1.(2023上·遼寧沈陽·八年級沈陽市南昌初級中學(xué)(沈陽市第二十三中學(xué))??计谥校┙庀铝卸淮畏匠探M:(1).(2).【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解二元一次方程組,熟練掌握消元法是解題關(guān)鍵.(1)利用代入消元法解二元一次方程組即可得;(2)利用加減消元法解二元一次方程組即可得.【詳解】(1)解:,將①代入得:,解得,將代入①得:,所以方程組的解為.(2)解:,由①②得:,解得,將代入①得:,解得,所以方程組的解為.2.(2023上·全國·八年級專題練習(xí))解方程:(1);(2).【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解二元一次方程組,解決本題的關(guān)鍵是掌握加減消元法和代入消元法解二元一次方程組.(1)根據(jù)代入法解二元一次方程組即可;(2)方程組整理后,根據(jù)加減法解二元一次方程組即可.【詳解】(1)解:,由①可得:③,把③代入②,可得,解得,把代入③,可得,所以,該方程組的解為;(2)解:,將方程組整理得,由①②,得,,解得,把代入①,可得,解得,所以,該方程組的解為.3.(2023上·遼寧丹東·八年級??计谥校┙夥匠探M:(1);(2).【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查解二元一次方程組,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法與加減消元法.(1)由方程②代入方程①求得x的值,再代回即可得;(2)原方程組整理為,①+②求得x的值,②①求得y的值,據(jù)此可得.【詳解】(1)解:,②代入①得:,∴,∴,解得:,將代入②得:,∴方程組的解為:;(2),原方程組整理為,①+②,得:,②①,得:,則方程組的解為.4.(2023上·全國·八年級專題練習(xí))用指定的方法解下列方程組:(1)(代入法)(2)(加減法)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了二元一次方程組的解法,其基本思路是消元,消元的方法有:加減消元法和代入消元法兩種,靈活選擇合適的方法是解答本題的關(guān)鍵.(1)將②變形為,然后代入①式求出y的值,從而得出x的值;(2)將將y的系數(shù)化成相同,然后進行做差消去y,求出x的值;(3)將兩式相加消去y,從而得出x的值,然后代入任何一個式子求出y的值;(4)首先將①進行去分母,將②進行去括號,然后利用加減消元法進行計算求解.【詳解】(1)由②得:,將③代入①得:,解得:將代入③得∴方程組的解為;(2)②×2得:,得:,解得:,將x=2代入①得:,解得:,∴方程組的解為:(3)得:,解得:,將代入①得:,解得:y=,∴方程組的解為:;(4)將原方程組變形得:得:,解得:,將代入②得:,解得:,∴方程組的解為:.【題型八二元一次方程組的錯解復(fù)原問題】例題:(2024上·山西忻州·八年級校聯(lián)考期末)下面是淇淇同學(xué)解二元一次方程組的過程,請認真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).解方程組:解:由,得.③………………第一步,得.………………第二步將代入①,解得.………………第三步所以,原方程組的解為………………第四步(1)這種求解二元一次方程組的方法叫做________法;以上求解步驟中,第一步的依據(jù)是________.(2)第________步開始出現(xiàn)錯誤,具體錯誤是________;(3)直接寫出該方程組的正確解:________.【答案】(1)加減消元,等式的基本性質(zhì)(2)一,等式①的右邊漏乘3(3)【分析】此題考查了解二元一次方程組,掌握代入消元法與加減消元法是關(guān)鍵.(1)根據(jù)加減消元法,解二元一次方程組的步驟進行解答;(2)根據(jù)加減消元法判斷即可;(3)根據(jù)加減消元法,解二元一次方程組求解.【詳解】(1)解:這種求解二元一次方程組的方法叫做加減消元法;以上求解步驟中,第一步的依據(jù)是等式的基本性質(zhì).故答案為:加減消元;等式的基本性質(zhì);(2)解:第一步開始出現(xiàn)錯誤,等式①的右邊漏乘3;故答案為:一;等式①的右邊漏乘3;(3)解方程組:,,得③,,得,將代入①,得,解得:,∴原方程組的解為.【變式訓(xùn)練】1.(2023下·七年級課時練習(xí))下面是馬小虎同學(xué)解二元一次方程組的過程,請認真閱讀并完成相應(yīng)的問題:解方程組:解:①×2,得6x-2y=8.③…第一步②-③,得-y=2,…第二步解得y=-2.…第三步把y=-2代入①,得3x-(-2)=4.…第四步解得x=2.…第五步∴(1)這種求解二元一次方程組的方法叫做________法,以上求解步驟中,馬小虎同學(xué)從第________步開始出現(xiàn)錯誤;(2)請寫出此題正確的解答過程.【答案】(1)加減消元,五(2)【詳解】(1)加減消元
五(2)①×2,得6x-2y=8,③②-③,得-y=2,解得y=-2.把y=-2代入①,得3x-(-2)=4,解得,故原方程組的解為2.(2024上·山西晉中·八年級統(tǒng)考期末)下面是小瑩同學(xué)解二元一次方程組的過程,請認真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).解方程組解:得.③
…………第一步得.
…………第二步解得.把代入得.解得.
…………第三步所以該方程組的解是任務(wù):(1)這種解二元一次方程組的方法是_________;在解方程的過程中體現(xiàn)了______的數(shù)學(xué)思想.(填正確的序號)加減消元
代入消元
數(shù)形結(jié)合
④轉(zhuǎn)化(2)小瑩的解法在第一步出現(xiàn)錯誤,寫出正確的步驟__________;正確步驟的依據(jù)是________________________.(3)請直接寫出原方程組的解__________.【答案】(1)①④(2)得,等式的性質(zhì)2(3)【分析】本題考查了加減消元法解二元一次方程組,等式的性質(zhì).熟練掌握加減消元法解二元一次方程組,等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)題意作答即可;(2)根據(jù)等式的性質(zhì)進行判斷作答即可;(3)利用加減消元法解二元一次方程組即可.【詳解】(1)解:由題意知,這種解二元一次方程組的方法是加減消元;在解方程的過程中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.故答案為:①④;(2)解:由題意知,小瑩的解法在第一步出現(xiàn)錯誤,正確的步驟為得;正確步驟的依據(jù)是等式的性質(zhì)2,故答案為:得,等式的性質(zhì)2.(3)解:,得,③得.解得.把代入得.解得.∴該方程組的解是,故答案為:.【題型九構(gòu)造二元一次方程組求解】例題:(2023下·貴州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí))已知,則,.【答案】23【分析】由非負性可得關(guān)于,的方程組,求解即可得,得值.【詳解】解:∵,,,∴,解得:,故答案為:2,3.【點睛】本題考查絕對值的非負性,解二元一次方程組,利用非負性得到關(guān)于,的方程組是解決問題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2023上·江西吉安·八年級統(tǒng)考階段練習(xí))已知,則.【答案】12【分析】本題考查絕對值的非負性,二元一次方程組的解法,掌握加減消元法是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:∵,∴②①得:,故答案為:12.2.(2023下·湖南張家界·七年級統(tǒng)考期末)已知,則.【答案】3【分析】已知中的絕對值以及二次方都是非負數(shù),兩個非負數(shù)的和是0,則每個非負數(shù)都是0,即可求得,的值.【詳解】解:根據(jù)題意,得,解,得.∴,故答案為:3.【點睛】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)及解二元一次方程組,解決問題的關(guān)鍵在于掌握幾個非負數(shù)的和是0,則每個非負數(shù)都是0.【題型十二元一次方程組中同解方程組】例題:(2023春·河南南陽·七年級??茧A段練習(xí))方程組與有相同的解,求a,b的值.【答案】【分析】利用二元一次方程組同解可得,解得,再將代入即可求解.【詳解】解:由題意得:,解得:,把代入,則有,解得:.【點睛】本題考查了二元一次方程組的解,根據(jù)二元一次方程組同解聯(lián)立新的二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2023春·黑龍江哈爾濱·七年級??计谥校┮阎P(guān)于x,y的方程組與的解相同,則.【答案】25【分析】根據(jù)同解方程組,得到方程組的解與兩個方程組的解也相同,求出的值,代入方程組,求出的值,再進行計算即可.【詳解】解:由題意,得:方程組的解與兩個方程組的解也相同,解,得:;將代入,得:,解得:,∴;故答案為:.【點睛】本題考查同解方程組.解題的關(guān)鍵是將兩個方程組中不含參數(shù)的兩個一次方程組成新的方程組,求出未知數(shù)的值.2.(2023下·云南昭通·七年級統(tǒng)考階段練習(xí))已知方程組,與方程組的解相同.(1)求這個相同的解;(2)求方程的解.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)兩方程組解相同,聯(lián)立②和③,再用加減消元法求解即可;(2)將(1)所求的解代入①,④,求得a和b的值,再代入中求解即可.【詳解】(1)解:∵方程組,與方程組的解相同,∴聯(lián)立②③可得,解得;(2)將代入①,④,并聯(lián)立可得方程組,解得,代入方程,得,∴.【點睛】本題考查同解方程組,解二元一次方程,解一元一次方程.理解同解方程組的定義和掌握解二元一次方程的方法和步驟是解題關(guān)鍵.【題型十一二元一次方程組解決年齡問題】例題:(2023下·陜西寶雞·七年級統(tǒng)考期末)六年前,甲的年齡是乙的年齡的3倍,現(xiàn)在甲的年齡是乙的年齡的2倍,則甲比乙大歲.【答案】12【分析】設(shè)甲、乙兩人現(xiàn)在的年齡分別為x歲、y歲,根據(jù)題意列出二元一次方程組并求解即可計算甲比乙大多少歲.【詳解】解:設(shè)甲、乙兩人現(xiàn)在的年齡分別為x歲、y歲,根據(jù)題意,可得,解得,∴甲比乙大24-12=12歲.故答案為:12.【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是根據(jù)題意正確列出二元一次方程組.【變式訓(xùn)練】1.(2023上·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期末)學(xué)生問老師:“您今年多大了”老師風趣地說:“我像你這么大的時候,你才出生,你到我這么大時,我已經(jīng)36歲了,”那么老師和學(xué)生的年齡分別是(
)A.24、12 B.24、11 C.25、11 D.26、10【答案】A【分析】設(shè)老師現(xiàn)在的年齡是歲,學(xué)生現(xiàn)在的年齡是歲,抓住年齡差不變,根據(jù)此等量關(guān)系可列方程組求解.【詳解】解:設(shè)老師現(xiàn)在的年齡是歲,學(xué)生現(xiàn)在的年齡是歲,由題意可得:,解得:.故老師現(xiàn)在的年齡是24歲,學(xué)生現(xiàn)在的年齡是12歲.故選:A.【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用,關(guān)鍵是知道年齡差是不變的量從而可列方程求解.2.(2022上·全國·八年級專題練習(xí))根據(jù)小頭爸爸與大頭兒子的對話,求出大頭兒子現(xiàn)在的年齡.小頭爸爸:兒子,現(xiàn)在我的年齡比你大23歲.大頭兒子:5年后,您的年齡比我的年齡的2倍還多8歲.【答案】大頭兒子現(xiàn)在的年齡為10歲【分析】設(shè)大頭兒子現(xiàn)在的年齡是x歲,爸爸的年齡是y歲,根據(jù)題意列出二元一次方程組解得即可.【詳解】解:設(shè)大頭兒子現(xiàn)在的年齡是x歲,爸爸的年齡是y歲,由題意得:,解得:,答:大頭兒子現(xiàn)在的年齡為10歲.【點睛】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出二元一次方程組.【題型十二二元一次方程組解決古代問題】例題:(2023·安徽·九年級專題練習(xí))《九章算術(shù)》中記載:今有共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.問人數(shù)、羊價各幾何?其大意是:今有人合伙買羊,若每人出5錢,還差45錢;若每人出7錢,還差3錢.問合伙人數(shù)、羊價各是多少?【答案】合伙人數(shù)為21人,羊價為150錢【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用.設(shè)合伙人數(shù)為,羊價為錢,根據(jù)題意可得方程組,據(jù)此求解即可.【詳解】解:設(shè)合伙人數(shù)為,羊價為錢.根據(jù)題意,得,解得.答:合伙人數(shù)為21人,羊價為150錢.【變式訓(xùn)練】1.(2024上·陜西西安·九年級西安市曲江第一中學(xué)??计谀┪覈糯鷶?shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題:“今有共買物,人出八,盈三;人出七,不足四.問人數(shù)、物價各幾何?”其大意是:今有幾個人共同出錢購買一件物品.每人出9錢,利余4錢;每人出7錢,還缺6錢.問人數(shù)、物品價格各是多少?【答案】人數(shù)為人,物品價格為每個錢【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用,等量關(guān)系式為:個人出錢總數(shù)物品的價格錢,個人出錢總數(shù)錢物品的價格,據(jù)此列出方程組,即可求解;找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:設(shè)人數(shù)為人,物品價格為每個錢,由題意得,解得:,答:人數(shù)為人,物品價格為每個錢.2.(2023上·山東青島·八年級校考階段練習(xí))古代有一個官兵分布的問題:“一千官兵一千布,一官四尺無零數(shù),四兵才得布一尺,請問官兵多少數(shù)?”大意如下:一千名軍官和士兵分一千尺布,一名軍官分四尺,四名士兵分一尺,正好分完.問軍官和士兵各有多少名?【答案】軍官有名,士兵有名【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用,設(shè)軍官有名,士兵名,根據(jù)共有名,得方程;根據(jù)共有尺布,得方程,聯(lián)立方程組即可.【詳解】解:設(shè)軍官有名,士兵名,根據(jù)題意,得:解得:答:軍官有名,士兵有名.3.(2023下·吉林長春·七年級??计谥校┝蟹匠探M解古算題:“今有甲、乙二人持錢不知其數(shù),甲得乙半而錢六十,乙得甲太半而亦錢六十,甲、乙持錢各幾何?”題目大意是:甲、乙兩人各帶了若干錢,如果甲得到乙所有錢的一半,那么甲共有錢60.如果乙得到甲所有錢的,那么乙也共有錢60.甲、乙兩人各帶了多少錢?【答案】甲帶了45錢,乙?guī)Я?0錢.【分析】設(shè)甲帶了x錢,乙?guī)Я藋錢,利用等量關(guān)系“甲得到乙所有錢的一半,那么甲共有錢60.如果乙得到甲所有錢的,那么乙也共有錢60.”列方程組求解即可.【詳解】解:設(shè)甲帶錢x,乙?guī)уXy,根據(jù)題意,得,解得.∴甲帶了45錢,乙?guī)Я?0錢.【點睛】本題考查列二元一次方程組解應(yīng)用題,掌握列二元一次方程組解應(yīng)用題步驟與解法,抓住等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.【題型十三二元一次方程組解決行程問題】例題:(2023下·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期末)某城市規(guī)定:出租車起步價允許行駛的最遠路程為千米,超過千米的部分按每千米另收費,甲說:“我乘這種出租車走了千米,付了元”;乙說:“我乘這種出租車走了千米,付了元”請你算一算這種出租車的起步價是多少元?以及超過千米后,每千米的車費是多少元?【答案】這種出租車的起步價是元,超過千米后,每千米的車費是元.【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用,設(shè)這種出租車的起步價是元,超過千米后,每千米的車費是元,根據(jù)“乘車千米,付了元;乘車千米,付了元”,即可得出關(guān)于、的二元一次方程組,解之即可得出結(jié)論,找準等量關(guān)系,正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:設(shè)這種出租車的起步價是元,超過千米后,每千米的車費是元,由題意得:,解得:,答:這種出租車的起步價是元,超過千米后,每千米的車費是元.【變式訓(xùn)練】1.(2023下·七年級課時練習(xí))小勇和哥哥在環(huán)形跑道上練習(xí)長跑.他們從同一起點沿相反方向同時出發(fā),每隔25秒鐘相遇一次.現(xiàn)在,他們從同一起跑點沿相同方向同時出發(fā),經(jīng)過25分鐘哥哥追上了小勇,并且比小勇多跑了20圈.求:(1)哥哥的速度是小勇速度的多少倍?(2)哥哥經(jīng)過25分鐘追上小勇時,小勇跑了多少圈?【答案】(1)2倍(2)20圈【詳解】(1)設(shè)哥哥的速度為米/秒,小勇的速度為米/秒,環(huán)形跑道的周長為米,依題意,得∴.答:哥哥的速度是小勇速度的2倍.(2)設(shè)哥哥經(jīng)過25分鐘追上小勇時,小勇跑了圈,則哥哥跑了圈,依題意,得,解得.答:哥哥經(jīng)過25分鐘追上小勇時,小勇跑了20圈.2.(2024·全國·七年級競賽)甲乙兩人分別從兩地出發(fā)相向而行(不同時),甲騎自行車,乙步行.兩人在距地450米處第一次相遇,甲繼續(xù)騎車到地后返回地拿東西,同時將速度提高,在距地350米處追上乙.到達地后立即前往地,在距地250米處再次與乙相遇,最后兩人同時到達目的地.求兩地的距離.【答案】1100米【分析】本題考查二元一次方程組,設(shè)乙的速度為,甲的速度為,距地450米處與地相距米,根據(jù)題意列出方程組,再設(shè)到的距離為米,再列出方程,即可求出答案.【詳解】解:設(shè)乙的速度為,甲的速度為,距地450米處與地相距米.則,解得:,再設(shè)到的距離為米,則,解得:.答:兩地的距離為1100米.3.(2023下·浙江杭州·七年級??茧A段練習(xí))從王老師家到學(xué)校有一段上坡路、一段的平路和一段下坡路,王老師每天步行上、下班,如果上坡路的平均速度為,平路的平均速度為,下坡路的平均速度為,那么王老師從家到學(xué)校需,從學(xué)校到家需.求從王老師家到學(xué)校的上坡路和下坡路的路程.【答案】從王老師家到學(xué)校的上坡路的路程為,下坡路的路程為【分析】設(shè)從王老師家到學(xué)校的上坡路的路程為,下坡路的路程為,根據(jù)題意列出方程組,解方程組,即可求解.【詳解】解:設(shè)從王老師家到學(xué)校的上坡路的路程為,下坡路的路程為,根據(jù)題意得,解得:答:從王老師家到學(xué)校的上坡路的路程為,下坡路的路程為.【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用,根據(jù)題意列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.【題型十四二元一次方程組解決工程問題】例題:(2023下·云南昆明·七年級??茧A段練習(xí))巴川河是銅梁的母親河,為打造巴川河風光帶,現(xiàn)有一段長為米的河道整治任務(wù)由A、兩個工程隊先后接力完成.工程隊每天整治米,工程隊每天整治米,共用時天.(1)求A、兩工程隊分別整治河道多少天?(2)若A工程隊整改一米的工費為元,工程隊整改一米的工費為元,求完成整治河道時,這兩工程隊的工費共是多少?【答案】(1)工程隊整治河道天,工程隊整治河道天(2)元【分析】(1)設(shè)工程隊整治河道天,工程隊整治河道天,根據(jù)工程隊每天整治米,工程隊每天整治米,共用時天完成認為列出方程組進行求解即可;(2)分別求出A、B兩個工程隊的工費,然后求和即可.【詳解】(1)解:設(shè)工程隊整治河道天,工程隊整治河道天,根據(jù)題意得:,解得:.答:工程隊整治河道天,工程隊整治河道天;(2)解:根據(jù)題意得:元.答:完成整治河道時,這兩工程隊的工費共是元.【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用,有理數(shù)四則混合計算的實際應(yīng)用,正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程組求解是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2023上·山西太原·八年級山西實驗中學(xué)??计谥校┓诤幼鳛樘械摹澳赣H河”,記錄著太原悠久的歷史,是太原具有里程碑意義的寶貴資源.為打造汾河太原段濱河區(qū)景觀,現(xiàn)有一段長為289米的河道治理任務(wù),分別由甲、乙兩個工程隊先后接力完成.甲工程隊每天治理13米,乙工程隊每天治理9米,共用時25天.(1)課堂上小宇和小軍兩位同學(xué)分別列出了尚不完整的方程組如下:小宇:,小軍:,請在上面方框中補全兩位同學(xué)所列的方程組;并根據(jù)小宇同學(xué)所列的方程組,指出未知數(shù),表示的意義.小宇:表示______;表示______.(2)請求出甲、乙兩工程隊分別治理河道多少米?(寫出完整的解答過程)【答案】(1)補全兩位同學(xué)見解析;甲工程隊工作的天數(shù);乙工程隊工作的天數(shù)(2)甲工程隊整治河道208米,乙工程隊整治河道81米【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用,運用不同設(shè)未知數(shù)的方法列出不同的方程組解決實際問題是解本題的關(guān)鍵.(1)此題蘊含兩個基本數(shù)量關(guān)系:甲工程隊用的時間乙工程隊用的時間天,甲工程隊整治河道的長度乙工程隊整治河道的長度米,由此進行解答即可;(2)選擇其中一個方程組解答即可.【詳解】(1)解:小宇同學(xué):設(shè)甲工程隊用的時間為x天,乙工程隊用的時間為y天,由此列出的方程組為;小軍同學(xué):甲工程隊整治河道的長度為x米,乙工程隊整治河道的長度為y米,由此列出的方程組為;故答案為:甲工程隊工作的天數(shù);乙工程隊工作的天數(shù).(2)解:選小宇同學(xué)所列方程組解答如下:設(shè)甲工程隊用的時間為x天,乙工程隊用的時間為y天,則,得,解得:,把代入①得,∴方程組的解為,甲工程隊整治河道的長度為:,乙工程隊整治河道的長度為:;答:甲工程隊整治河道208米,乙工程隊整治河道81米.2.(2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱德強學(xué)校??茧A段練習(xí))安居小區(qū)業(yè)主安先生準備裝修新居,裝修公司派來甲工程隊完成此項完程.由于工期過長,安先生要求裝修公司再派乙工程隊與甲隊共同工作.已知甲工程隊單獨完成此項工程需要天數(shù)恰好比乙工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)的3倍少5天,并且甲工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)與乙工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)之和為55天.(1)求甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需要多少天;(2)若甲工程隊工作10天后,與公司派來的乙工程隊再合作多少天可完成此項工程的;(3)甲、乙工程隊每天的施工費分別為800元和1000元,安先生裝修工程施工完成時費用正好為21800元,求甲工程隊參加工作多少天?【答案】(1)40,15(2)6(3)16【分析】(1)設(shè)乙隊單獨完成此項工程需要天,甲隊單獨完成此項工程需要天,依題意得,,解得,,則;(2)由(1)可知,甲的工作效率為,乙的工作效率為,設(shè)還需要再合作天可完成此項工程的,依題意得,,計算求解即可;(3)設(shè)甲單獨工作天,甲乙合作工作天,依題意得,,計算求出的值,然后根據(jù),計算求解甲工程隊參加工作的天數(shù).【詳解】(1)解:設(shè)乙隊單獨完成此項工程需要天,甲隊單獨完成此項工程需要天,依題意得,,解得,,∴,∴甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需要40、15天;(2)解:由(1)可知,甲的工作效率為,乙的工作效率為,設(shè)還需要再合作天可完成此項工程的,依題意得,,解得,,∴還要再合作6天可完成此項工程;(3)解:設(shè)甲單獨工作天,甲乙合作工作天,依題意得,,解得,,∵,∴甲工程隊參加工作16天.【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用,二元一次方程組的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列方程(組).【題型十五二元一次方程組解決數(shù)字問題】例題:(2023上·江蘇·七年級??贾軠y)一個兩位數(shù),個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的和為,若把個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字對調(diào),則所得的數(shù)比原數(shù)的倍小,求原來的兩位數(shù).【答案】原來的兩位數(shù)是.【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用,讀懂題意,找到合適的等量關(guān)系,列出方程組,是解答本題的關(guān)鍵.
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