2023–2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊單元速記與巧練（人教版）第九章 不等式與不等式組知識突破（解析版）

第九章不等式與不等式組（知識歸納+13題型突破）1.理解不等式的有關(guān)概念，掌握不等式的三條基本性質(zhì)；2.理解不等式的解（解集）的意義，掌握在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法；3.會利用不等式的三個(gè)基本性質(zhì)，熟練解一元一次不等式或不等式組；4.會根據(jù)題中的不等關(guān)系建立不等式（組），解決實(shí)際應(yīng)用問題；5.通過對比方程與不等式、等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)等一系列教學(xué)活動，理解類比的方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要途徑.知識點(diǎn)一不等式1.不等式：用符號“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠連接的式子叫做不等式.特別說明：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：對于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個(gè)不等式的解集．解集的表示方法一般有兩種：一種是用最簡的不等式表示，例如，等；另一種是用數(shù)軸表示，如下圖所示：（3）解不等式：求不等式的解集的過程叫做解不等式．2.不等式的性質(zhì)：不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．知識點(diǎn)二一元一次不等式1.定義：不等式的左右兩邊都是整式，經(jīng)過化簡后只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，這樣的不等式叫做一元一次不等式，特別說明：：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式．2.解法：解一元一次不等式步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1.

特別說明：不等式解集的表示：在數(shù)軸上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定邊界點(diǎn)，二是定方向，三是定空實(shí).3.應(yīng)用：列不等式解應(yīng)用題的基本步驟與列方程解應(yīng)用題的步驟相類似，即：（1）審：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量；（2）設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；（3）找：找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超過”“超過”等關(guān)鍵詞的含義；（4）列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：檢驗(yàn)是否符合題意，寫出答案.特別說明：列一元一次不等式解應(yīng)用題時(shí)，經(jīng)常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超過”、“不大于”、“不小于”等表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語，弄清它們的含義是列不等式解決問題的關(guān)鍵.知識點(diǎn)三一元一次不等式組

關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成一個(gè)一元一次不等式組.

特別說明：（1）不等式組的解集：不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分叫做這個(gè)不等式組的解集.（2）解不等式組：求不等式組解集的過程，叫做解不等式組.

（3）一元一次不等式組的解法：分別解出各不等式，把解集表示在數(shù)軸上，取所有解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.

（4）一元一次不等式組的應(yīng)用：①根據(jù)題意構(gòu)建不等式組，解這個(gè)不等式組；②由不等式組的解集及實(shí)際意義確定問題的答案．【題型一根據(jù)題意列不等式】例題：（2024上·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）用不等式表示減去大于：．【答案】【分析】本題主要考查不等式，根據(jù)不等式的定義（用“>”或“<”表示不等關(guān)系的式子叫做不等式）即可求得答案．【詳解】用不等式表示減去大于為：．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）根據(jù)數(shù)量關(guān)系“x的2倍與y的差大于3”，列不等式：．【答案】【分析】本題考查了列不等式題，關(guān)鍵是理解“大于”用數(shù)學(xué)符號表示應(yīng)為“>”．表示出x的2倍與y的差，表示為，后用“>"與3連接即可．【詳解】解∶“x的2倍與y的差大于3”可表示為．故答案為∶．2．（2023下·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）某日我市最高氣溫是27℃，最低氣溫是22℃，則當(dāng)天氣溫℃的變化范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子表示即可得到答案．【詳解】解：由題意得當(dāng)天氣溫℃的變化范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查用不等式表示實(shí)際問題，讀懂題意是解決問題的關(guān)鍵．【題型二不等式的解集】例題：（2023下·湖南衡陽·七年級?？计谥校┫铝姓f法中，正確的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一個(gè)解C．不等式的整數(shù)解有無數(shù)個(gè) D．不等式的正整數(shù)解有4個(gè)【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再依次判斷解的情況．【詳解】解：A、該不等式的解集為，故錯(cuò)誤，不符合題意；B、∵，故錯(cuò)誤，不符合題意；C、正確，符合題意；D、因?yàn)樵摬坏仁降慕饧癁?，所以無正整數(shù)解，故錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)和不等式的解集的理解，解題關(guān)鍵是根據(jù)解集正確判斷解的情況．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）下列的值中，是不等式的解的是（

）A．4 B．2 C．0 D．【答案】A【解析】略2．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．是不等式的解 B．是不等式的解C．的解集是 D．的解集就是、、【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：A選項(xiàng)，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正確；B選項(xiàng)，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正確；C選項(xiàng)，的解集是，解不等式得，故正確；D選項(xiàng)，的解集就是、、，不是不等式的解，故錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)解一元一次不等式，掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型三不等式的基本性質(zhì)】例題：（2024上·浙江寧波·八年級寧波市第十五中學(xué)?？计谀┤?，則下列不等式不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，不等式兩邊加或減同一個(gè)數(shù)或式子，不等號的方向不變；不等式兩邊乘或除同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊乘或除同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變，由此逐項(xiàng)判斷即可求解，掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、∵，∴，故該選項(xiàng)成立，不合題意；、∵，∴，故該選項(xiàng)成立，不合題意；、∵，∴，∴，故該選項(xiàng)成立，不合題意；、∵，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不等式兩邊除以無意義；當(dāng)時(shí)，；故該選項(xiàng)不一定成立，符合題意；故選：．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）已知，則下列各式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．【詳解】A．不等式兩邊同時(shí)減，可得，選項(xiàng)一定不成立，不符合題意；B．當(dāng)時(shí)，可得，選項(xiàng)不一定成立，不符合題意；C．不等式兩邊同時(shí)除以2再減去1，可得，選項(xiàng)一定不成立，不符合題意；D．不等式兩邊同時(shí)乘，可得，選項(xiàng)一定成立，符合題意；故選：D．2．（2024上·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）已知，則下列各式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題考查了不等式性質(zhì)的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用該知識進(jìn)行辨別．運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行逐一辨別、求解．【詳解】解：∵，∴故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D錯(cuò)誤∴選項(xiàng)C符合題意．故選：C．【題型四一元一次不等式的辨別】例題：（2023下·上海寶山·六年級統(tǒng)考期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．0個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義，未知數(shù)的次數(shù)是1，對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：（1），是一元一次不等式；（2），含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次不等式；（3），是一元一次不等式；（4），未知數(shù)的最高次數(shù)為2，不是一元一次不等式；一元一次不等式共2個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）下列不等式中，屬于一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元一次不等式的三個(gè)特點(diǎn)：不等式的兩邊都是整式；只含個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)為次，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：不含未知數(shù)，錯(cuò)誤；B.符合一元一次不等式的定義，正確；C.分母含未知數(shù)，錯(cuò)誤；D.含有兩個(gè)未知數(shù)，錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的定義，熟記一元一次不等式的三個(gè)特點(diǎn)是關(guān)鍵．2．（2023下·全國·七年級專題練習(xí)）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（

）個(gè)．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】類似于一元一次方程，含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，未知數(shù)的系數(shù)不為0，左右兩邊為整式的不等式，叫做一元一次不等式．根據(jù)一元一次不等式的定義分析判斷即可．【詳解】解：①，屬于不等式，但不是一元一次不等式，不合題意；②，屬于一元一次不等式，符合題意；③，屬于一元一次不等式，符合題意；④，屬于一元二次不等式，不合題意；⑤屬于方程，不合題意；⑥，屬于一元一次不等式，符合題意．綜上所述，一元一次不等式有3個(gè)．故本題選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的判別，熟練掌握一元一次不等式的定義是解題關(guān)鍵．【題型五求一元一次不等式的解集并在數(shù)軸上表示不等式的解集】例題：（2024上·廣西來賓·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）解不等式：，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】，數(shù)軸見解析【分析】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，解題的關(guān)鍵是嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號方向要改變．首先去分母，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，即可求得原不等式的解集，再將解集表示在數(shù)軸上即可．【詳解】解：去分母得：，去括號得：移項(xiàng)合并得：，解得：；在數(shù)軸上表示：．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）解不等式，并把它的解集表示在數(shù)軸上．【答案】，數(shù)軸見解析【詳解】解：去分母，得，去括號，得，移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得，兩邊都除以，得．該不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示．2．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）解下列不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來：(1)；(2)．【答案】(1)．(2)．【詳解】（1）去括號，得．移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得．系數(shù)化為1，得．這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示．（2）去分母，得．移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得．系數(shù)化為1，得．這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示．【題型六求一元一次不等式的整數(shù)解】例題：（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）不等式的正整數(shù)解是．【答案】1，2【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)及解不等式的步驟求出不等式的解集，再求出不等式的正整數(shù)解即可．【詳解】解：，，，，，又∵不等式的解為正整數(shù)，∴不等式的正整數(shù)解為：1，2故答案為：1，2【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式及不等式的特殊解，能正確求出不等式的解集是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·浙江寧波·八年級?？茧A段練習(xí)）關(guān)于x的不等式的正整數(shù)解是．【答案】1【分析】先解出不等式，然后求滿足條件的正整數(shù)解即可．【詳解】解：，，，，，不等式的正整數(shù)解是1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式及其正整數(shù)解，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題關(guān)鍵．2．（2023下·遼寧盤錦·七年級?？计谀┎坏仁降乃姓麛?shù)解的和為．【答案】3【分析】根據(jù)解不等式的步驟，先移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化成1即可求解．【詳解】解：移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化成1得．則正整數(shù)解是1和2，有正整數(shù)解的和為．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的解法，解不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，需注意，在不等式兩邊都除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)只改變不等號的方向．【題型七用一元一次不等式的解決實(shí)際問題】例題：（2023下·陜西咸陽·八年級咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某景區(qū)為了吸引游客，現(xiàn)打算在一空地種植A，B兩種品種的牡丹，A、B兩種牡丹每棵的價(jià)格分別是55元和72元，若購買兩種牡丹共90棵，且總價(jià)格不超過5460元，求最少要購買A種牡丹多少棵？【答案】最少要購買A種牡丹60棵【分析】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用．設(shè)購買A種牡丹x棵，則購買B種牡丹棵，根據(jù)題意，列出不等式，即可求解．【詳解】解：設(shè)購買A種牡丹x棵，則購買B種牡丹棵，由題意得，，解得：，最少要購買A種牡丹60棵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習(xí)）某商店購進(jìn)甲、乙兩種品牌的文具，若購進(jìn)甲種文具20件，乙種文具30件，共需要400元；若購進(jìn)甲種文具10件，乙種文具5件，共需要100元．(1)求該商店購進(jìn)甲、乙兩種品牌的文具每件各需要多少元？(2)若該商店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種品牌的文具共100件，且總預(yù)算費(fèi)用不超過800元，那么該商店最多可購進(jìn)乙種品牌的文具多少件？【答案】(1)該商店購進(jìn)甲種品牌的文具每件需要5元，乙兩種品牌的文具每件需要10元；(2)該商店最多可購進(jìn)乙種品牌的文具60件．【分析】（1）根據(jù)題意列出二元一次方程，求解即可；（2）設(shè)該商店可購進(jìn)乙種品牌的文具件，列出一元一次不等式，求出解即可；本題主要考查二元一次方程，一元一次不等式，準(zhǔn)確列出式子是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)該商店購進(jìn)甲種品牌的文具每件需要元，乙兩種品牌的文具每件需要元，根據(jù)題意，得，解得，答：該商店購進(jìn)甲種品牌的文具每件需要5元，乙兩種品牌的文具每件需要10元．（2）設(shè)該商店可購進(jìn)乙種品牌的文具件，則購買件甲種品牌的文具，根據(jù)題意，得：，解得，答：該商店最多可購進(jìn)乙種品牌的文具60件．2．（2024上·浙江衢州·八年級統(tǒng)考期末）2024年，人工智能技術(shù)將迎來新的突破，智能駕駛、智能家居、智能醫(yī)療等領(lǐng)域的創(chuàng)新將改變?nèi)藗兊纳罘绞?，并帶來巨大的便利，某連鎖酒店計(jì)劃向機(jī)器人公司購買A型號和B型號送餐機(jī)器人共臺，其中B型號機(jī)器人不少于A型號機(jī)器人的倍．(1)該連鎖酒店最多購買幾臺A型號機(jī)器人？(2)機(jī)器人公司報(bào)價(jià)A型號機(jī)器人7萬元/臺，B型號機(jī)器人9萬元/臺，要使總費(fèi)用不超過萬元，則有哪幾種購買方案？【答案】(1)最多購買臺A型號機(jī)器人；(2)有兩種方案：A型號臺、B型號臺或A型號臺、B型號臺．【分析】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用，能根據(jù)題中不等關(guān)系列出不等式是解題的關(guān)鍵，（1）設(shè)該垃圾處理廠購買臺型號機(jī)器人，根據(jù)“B型號機(jī)器人不少于A型號機(jī)器人的倍”列出不等式求解即可；（2）根據(jù)“總費(fèi)用不超過萬元”列出不等式，結(jié)合（1）中不等式的解和為整數(shù)，即可得出共有兩種方案．【詳解】（1）解：設(shè)購買臺型號機(jī)器人，則購買臺型號機(jī)器人，則，∴，答：最多購買臺型號機(jī)器人．（2）解：設(shè)購買臺型號機(jī)器人，則購買臺型號機(jī)器人，則，∴，，又是整數(shù)，∴或，當(dāng)A型號為臺時(shí)、B型號為臺；當(dāng)A型號為臺時(shí)、B型號為臺，答：共有2種方案，A型號臺、B型號臺；A型號臺、B型號臺．【題型八一元一次不等式組的定義】例題：（2023下·七年級課時(shí)練習(xí)）下列選項(xiàng)中，是一元一次不等式組的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】略【變式訓(xùn)練】1．（2022下·七年級單元測試）下列各式中是一元一次不等式組的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)一元一次不等式組的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、第二個(gè)不等式不是整式不等式，故本選項(xiàng)不合題意；B、該不等式組中有2個(gè)未知數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；C、該不等式組中的第二個(gè)不等式中不含有未知數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；D、該不等式組符合一元一次不等式組的定義，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的定義．幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一元一次不等式組合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組．2．（2023上·浙江·八年級專題練習(xí)）下列不等式組：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式組的個(gè)數(shù)（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)一元一次不等式組的定義判斷即可．【詳解】解：①是一元一次不等式組；②是一元一次不等式組；③含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次不等式組；④是一元一次不等式組；⑤，未知數(shù)是2次，不是一元一次不等式組，其中是一元一次不等式組的有3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式組的定義，根據(jù)共含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1來判斷．【題型九求一元一次不等式組的解集】例題：（2024上·浙江·八年級統(tǒng)考期末）解一元一次不等式組．【答案】【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，熟知解一元一次不等式組的方法和步驟是解題的關(guān)鍵．分別求出兩個(gè)不等式的解集，然后根據(jù)“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則可得該不等式組的解集．【詳解】解：，解不等式①，可得，解不等式②，可得所以，該不等式組的解集為．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·湖南湘潭·八年級統(tǒng)考期末）解不等式組將解集在數(shù)軸上表示出來，并寫出它的所有整數(shù)解．【答案】不等式組的解集：，解集在數(shù)軸上表示見解析，整數(shù)解有：，，0，1，2，3【分析】本題考查解不等式組，用數(shù)軸表示出不等式組的解集，求不等式組的整理數(shù)解．先分別求出不等式組中每一個(gè)不等式解集，再確定出不等式組的解集，然后用數(shù)軸表示出不等式組的解集，并寫不等式組的整數(shù)解即可．【詳解】解：解不等式①，得：，解不等式②，得：，原不等式組的解集：，解集數(shù)軸表示：整數(shù)解有：，，0，1，2，3．2．（2023上·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）解不等式組，并將解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】不等式組的解集為，數(shù)軸表示見解析．【分析】本題主要考查了求不等式組的解集、不等式組的解集在數(shù)軸上的表示方法．先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數(shù)軸上．【詳解】解：解不等式得，解不等式得，所以不等式組的解集為，將解集在數(shù)軸上表示，如圖，．【題型十求一元一次不等式組的整數(shù)解】例題：（2024上·湖南永州·八年級統(tǒng)考期末）解不等式組，并求其整數(shù)解．【答案】，整數(shù)解為【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，求不等式組的整數(shù)解，先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集，再求出不等式組的整數(shù)解即可．【詳解】解：解不等式①得，解不等式②得，∴不等式組的解集是，∴不等式組的整數(shù)解為．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·湖南婁底·八年級統(tǒng)考期末）解不等式組，并把所有的整數(shù)解寫出來．【答案】原不等式組的解集為，不等式組的所有整數(shù)解為、0、1【分析】此題主要考查不等式組的解法，根據(jù)不等式的性質(zhì)，分別解出不等式，再求出其公共解集，再寫出整數(shù)解即可．【詳解】解：，解①得：，解②得：，把它們的解集在數(shù)軸上表示如下：∴原不等式組的解集為，∴不等式組的所有整數(shù)解為、0、1.2．（2023下·甘肅天水·七年級?？计谀┙獠坏仁浇M：．（注：必須通過畫數(shù)軸求解集）并寫出該不等式組的最小整數(shù)解．【答案】原不等式組的解集是：；該不等式組的最小整數(shù)解是：【分析】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握確定解集的規(guī)律：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小找不到是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)解一元一次不等式組的方法，分別解不等式，得到，，在數(shù)軸上將，表示出來，由此得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解①得：，解②得：，

原不等式組的解集是：．該不等式組的最小整數(shù)解是：．【題型十一解一元一次不等式組中錯(cuò)解復(fù)原問題】例題：（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）解不等式組下面是某同學(xué)的部分解答過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)：解：由①得：

第1步

第2步

第3步

第4步任務(wù)一：該同學(xué)的解答過程第_______步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，錯(cuò)誤原因是_______，不等式①的正確解集是_______；任務(wù)二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．【答案】任務(wù)一：4，不等號的方向沒有發(fā)生改變，；任務(wù)二：，【分析】任務(wù)一：系數(shù)化1時(shí)，系數(shù)小于0，不等號的方向要發(fā)生改變，即可得出結(jié)論；任務(wù)二：移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1，求出不等式②的解集，進(jìn)而得出不等式組的解集即可．【詳解】解：任務(wù)一：∵，∴；∴該同學(xué)的解答過程第4步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，錯(cuò)誤原因是不等號的方向沒有發(fā)生改變，不等式①的正確解集是；故答案為：4，不等號的方向沒有發(fā)生改變，；任務(wù)二：，，，；又，∴不等式組的解集為：．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式，求不等式組的解集．解題的關(guān)鍵是正確的求出每一個(gè)不等式的解集，注意系數(shù)化1時(shí)，系數(shù)是負(fù)數(shù)，不等號的方向要發(fā)生改變．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）下面是小東同學(xué)解不等式組的過程，請認(rèn)真閱讀，完成相應(yīng)的任務(wù)．解：由不等式①，得．…………第一步解得．………第二步由不等式②，得．……第三步移項(xiàng)，得．

………第四步解得．………第五步所以，原不等式組解集是．…………第六步(1)小東的解答過程中，第______；步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，他錯(cuò)誤的原因是_____________；(2)第三步的依據(jù)是_____________________；任務(wù)二：(3)直接寫出這個(gè)不等式組的解集：______．【答案】(1)五；不等式的兩邊都除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向沒改變(2)不等式兩邊同時(shí)乘以個(gè)正數(shù)，不等式不改變方向(3)【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)逐步分析即可；（2）第三步變形的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)2；（3）通過解一元一次不等式得到這個(gè)不等式組正確的解集．【詳解】（1）小東的解答過程中，第五步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤，產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是不等式的兩邊都除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向沒改變；故答案為：五；不等式的兩邊都除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向沒改變；（2）第三步變形的依據(jù)是不等式兩邊同時(shí)乘以個(gè)正數(shù)，不等式不改變方向；故答案為：不等式兩邊同時(shí)乘以個(gè)正數(shù)，不等式不改變方向；（3）由不等式①，得，解得．由不等式②，得，移項(xiàng)，得，解得．，所以，原不等式組解集是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，步驟：①去分母；②去括號；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤化系數(shù)為1；依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)．【題型十二列一元一次不等式組】例題：（2023下·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）一本書共98頁，張力讀了一周（7天）還沒讀完，而李永不到一周就已讀完．李永平均每天比張力多讀3頁．若設(shè)張力平均每天讀x頁，則由題意列出不等式組為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由“張力讀了一周（7天）還沒讀完，而李永不到一周就已讀完”可建立不等式組．【詳解】解：設(shè)張力平均每天讀x頁，則李永平均每天讀頁由“張力讀了一周（7天）還沒讀完”可得：由“李永不到一周就已讀完”可得：故：故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查列一元一次不等式組．正確理解題意是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022上·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期中）將一箱蘋果分給若干個(gè)小朋友，若每位小朋友分5個(gè)蘋果，則還剩個(gè)蘋果；若每位小朋友分8個(gè)蘋果，則有一個(gè)小朋友所分蘋果不到8個(gè)，若小朋友的人數(shù)為x，則下列正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由“每位小朋友分5個(gè)蘋果，則還剩個(gè)蘋果，且小朋友的人數(shù)為”，可得出這箱蘋果共個(gè)，結(jié)合“若每位小朋友分8個(gè)蘋果，則有一個(gè)小朋友所分蘋果不到8個(gè)”，即可列出關(guān)于的一元一次不等式組，此題得解．【詳解】解：每位小朋友分5個(gè)蘋果，則還剩個(gè)蘋果，且小朋友的人數(shù)為，這箱蘋果共個(gè)，每位小朋友分8個(gè)蘋果，則有一個(gè)小朋友所分蘋果不到8個(gè)，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式組，根據(jù)各數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題關(guān)鍵．2．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）一本書共98頁，張力讀了一周(7天)還沒讀完，而李永不到一周就已讀完．李永平均每天比張力多讀3頁．若設(shè)張力平均每天讀x頁，則由題意列出不等式組為()A． B．C． D．【答案】A【分析】張力平均每天讀x頁，則李永每天讀頁，根據(jù)張力讀了一周(7天)還沒讀完可得不等式，根據(jù)李永不到一周就已讀完可得不等式，再聯(lián)立兩個(gè)不等式即可．【詳解】解：設(shè)張力平均每天讀x頁，由題意得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是找到關(guān)鍵性的描述語言，列出不等式組．在求解時(shí)不要忽略x為整數(shù)這一關(guān)鍵性條件．【題型十三用一元一次不等組的解決實(shí)際問題】例題：（2024上·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）隨著夢天實(shí)驗(yàn)艙的順利發(fā)射，我國空間站完成了在軌組裝，為了慶祝這令人激動的時(shí)刻，某校開展了關(guān)于空間站的科學(xué)知識問答競賽．為了獎(jiǎng)勵(lì)在競賽中表現(xiàn)優(yōu)異的學(xué)生，學(xué)校準(zhǔn)備一次性購買A，B兩種航天器模型作為獎(jiǎng)品．已知購買1個(gè)A模型和1個(gè)B模型共需159元；購買3個(gè)A模型和2個(gè)B模型共需374元．(1)求A模型和B模型的單價(jià)．(2)根據(jù)學(xué)校的實(shí)際情況，需一次性購買A模型和B模型共20個(gè)，但要求購買A模型的數(shù)量多于12個(gè)，且不超過B模型的3倍．請你給出一種費(fèi)用最少的方案，并求出該方案所需的費(fèi)用．【答案】(1)56元，103元；(2)購買A模型15個(gè)，B模型5個(gè)，費(fèi)用最少，該方案所需的費(fèi)用為元．【分析】（1）設(shè)1個(gè)A模型的價(jià)格為x元，1個(gè)B模型的價(jià)格為y元，根據(jù)“購買1個(gè)A模型和1個(gè)B模型共需159元；購買3個(gè)A模型和2個(gè)B模型共需374元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買A模型m個(gè)，則購買B模型（20-m）個(gè)，根據(jù)“購買A模型的數(shù)量多于12個(gè)，且不超過B模型的3倍”，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為整數(shù)，即可得出各購買方案，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量可求出各方案所需費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論．本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．【詳解】（1）解：設(shè)1個(gè)A模型的價(jià)格為x元，1個(gè)B模型的價(jià)格為y元，依題意得：，解得：．答：1個(gè)A模型的價(jià)格為56元，1個(gè)B模型的價(jià)格為103元．（2）設(shè)購買A模型m個(gè)，則購買B模型個(gè)，依題意得：，解得：．又∵m為整數(shù)，∴m可以為，∴共有3種購買方案，方案1：購買A模型13個(gè)，B模型7個(gè)，所需費(fèi)用為（元）；方案2：購買A模型14個(gè)，B模型6個(gè)，所需費(fèi)用為（元）；方案3：購買A模型15個(gè)，B模型5個(gè)，所需費(fèi)用為（元）．∵，∴方案3購買A模型15個(gè)，B模型5個(gè)費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為元．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·浙江·八年級統(tǒng)考期末）學(xué)校準(zhǔn)備安裝校園人臉識別系統(tǒng)，計(jì)劃購買人臉識別通道閘機(jī)和門禁機(jī)．已知通道閘機(jī)的單價(jià)是門禁機(jī)單價(jià)的3倍，購買2臺通道閘機(jī)和4臺門禁機(jī)共需7500元．(1)求通道閘機(jī)和門禁機(jī)的單價(jià)．(2)已知該校園內(nèi)至少需要安裝10臺通道閘機(jī)，若購買通道閘機(jī)和門禁機(jī)共40臺，且費(fèi)用不超過48000元，請列出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少資金多少元？【答案】(1)通道閘機(jī)的單價(jià)為2250元，門禁機(jī)的單價(jià)為750元(2)方案1：購買道閘機(jī)10臺，購買門禁機(jī)30臺；方案2：購買道閘機(jī)11臺，購買門禁機(jī)29臺；方案3：購買道閘機(jī)12臺，購買門禁機(jī)28臺．其中方案1所需資金最少，為45000元【分析】（1）設(shè)門禁機(jī)的單價(jià)為元，則通道閘機(jī)的單價(jià)為元，根據(jù)題意列方程并求解，即可獲得答案；（2）設(shè)購買道閘機(jī)臺，則購買門禁機(jī)臺，根據(jù)題意列出關(guān)于的一元一次不等式組并求解，結(jié)合實(shí)際確定的值，即可列出可能方案，并分別計(jì)算每一種方案的費(fèi)用，比較即可獲得答案．【詳解】（1）解：設(shè)門禁機(jī)的單價(jià)為元，則通道閘機(jī)的單價(jià)為元，根據(jù)題意，可得，解得元，則元．答：通道閘機(jī)的單價(jià)為2250元，門禁機(jī)的單價(jià)為750元；（2）解：設(shè)購買道閘機(jī)臺，則購買門禁機(jī)臺，根據(jù)題意，可得，解得，∵為正整數(shù)，∴可以為10，11，12，∴共有3種購買方案：方案1：購買道閘機(jī)10臺，購買門禁機(jī)30臺，費(fèi)用為元；方案2：購買道閘機(jī)11臺，購買門禁機(jī)29臺，費(fèi)用為元；方案3：購買道閘機(jī)12臺，購買門禁機(jī)28臺，費(fèi)用為元，∵，∴方案1所需資金最少，為45000元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用、有理數(shù)混合運(yùn)算以及有理數(shù)比較大小等知識，理解題意，弄清數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．（22·23七年級下·內(nèi)蒙古通