2023–2024學年七年級數(shù)學下冊單元速記與巧練（人教版）第九章 不等式與不等式組知識突破（原卷版）

第九章不等式與不等式組（知識歸納+13題型突破）1.理解不等式的有關(guān)概念，掌握不等式的三條基本性質(zhì)；2.理解不等式的解（解集）的意義，掌握在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法；3.會利用不等式的三個基本性質(zhì)，熟練解一元一次不等式或不等式組；4.會根據(jù)題中的不等關(guān)系建立不等式（組），解決實際應用問題；5.通過對比方程與不等式、等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)等一系列教學活動，理解類比的方法是學習數(shù)學的一種重要途徑.知識點一不等式1.不等式：用符號“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠連接的式子叫做不等式.特別說明：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集．解集的表示方法一般有兩種：一種是用最簡的不等式表示，例如，等；另一種是用數(shù)軸表示，如下圖所示：（3）解不等式：求不等式的解集的過程叫做解不等式．2.不等式的性質(zhì)：不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．知識點二一元一次不等式1.定義：不等式的左右兩邊都是整式，經(jīng)過化簡后只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，這樣的不等式叫做一元一次不等式，特別說明：：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的標準形式．2.解法：解一元一次不等式步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1.

特別說明：不等式解集的表示：在數(shù)軸上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定邊界點，二是定方向，三是定空實.3.應用：列不等式解應用題的基本步驟與列方程解應用題的步驟相類似，即：（1）審：認真審題，分清已知量、未知量；（2）設(shè)：設(shè)出適當?shù)奈粗獢?shù)；（3）找：找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超過”“超過”等關(guān)鍵詞的含義；（4）列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：檢驗是否符合題意，寫出答案.特別說明：列一元一次不等式解應用題時，經(jīng)常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超過”、“不大于”、“不小于”等表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語，弄清它們的含義是列不等式解決問題的關(guān)鍵.知識點三一元一次不等式組

關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組.

特別說明：（1）不等式組的解集：不等式組中各個不等式的解集的公共部分叫做這個不等式組的解集.（2）解不等式組：求不等式組解集的過程，叫做解不等式組.

（3）一元一次不等式組的解法：分別解出各不等式，把解集表示在數(shù)軸上，取所有解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.

（4）一元一次不等式組的應用：①根據(jù)題意構(gòu)建不等式組，解這個不等式組；②由不等式組的解集及實際意義確定問題的答案．【題型一根據(jù)題意列不等式】例題：（2024上·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）用不等式表示減去大于：．【變式訓練】1．（2023上·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）根據(jù)數(shù)量關(guān)系“x的2倍與y的差大于3”，列不等式：．2．（2023下·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）某日我市最高氣溫是27℃，最低氣溫是22℃，則當天氣溫℃的變化范圍是．【題型二不等式的解集】例題：（2023下·湖南衡陽·七年級?？计谥校┫铝姓f法中，正確的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一個解C．不等式的整數(shù)解有無數(shù)個 D．不等式的正整數(shù)解有4個【變式訓練】1．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）下列的值中，是不等式的解的是（

）A．4 B．2 C．0 D．2．（2022·全國·七年級專題練習）下列說法錯誤的是（）A．是不等式的解 B．是不等式的解C．的解集是 D．的解集就是、、【題型三不等式的基本性質(zhì)】例題：（2024上·浙江寧波·八年級寧波市第十五中學?？计谀┤?，則下列不等式不一定成立的是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2024上·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）已知，則下列各式中一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2024上·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）已知，則下列各式中，正確的是（

）A． B．C． D．【題型四一元一次不等式的辨別】例題：（2023下·上海寶山·六年級統(tǒng)考期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．0個【變式訓練】1．（2023下·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）下列不等式中，屬于一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．2．（2023下·全國·七年級專題練習）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（

）個．A．3 B．4 C．5 D．6【題型五求一元一次不等式的解集并在數(shù)軸上表示不等式的解集】例題：（2024上·廣西來賓·八年級統(tǒng)考階段練習）解不等式：，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【變式訓練】1．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）解不等式，并把它的解集表示在數(shù)軸上．2．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）解下列不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來：(1)；(2)．【題型六求一元一次不等式的整數(shù)解】例題：（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）不等式的正整數(shù)解是．【變式訓練】1．（2023上·浙江寧波·八年級?？茧A段練習）關(guān)于x的不等式的正整數(shù)解是．2．（2023下·遼寧盤錦·七年級?？计谀┎坏仁降乃姓麛?shù)解的和為．【題型七用一元一次不等式的解決實際問題】例題：（2023下·陜西咸陽·八年級咸陽市實驗中學?？茧A段練習）某景區(qū)為了吸引游客，現(xiàn)打算在一空地種植A，B兩種品種的牡丹，A、B兩種牡丹每棵的價格分別是55元和72元，若購買兩種牡丹共90棵，且總價格不超過5460元，求最少要購買A種牡丹多少棵？【變式訓練】1．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習）某商店購進甲、乙兩種品牌的文具，若購進甲種文具20件，乙種文具30件，共需要400元；若購進甲種文具10件，乙種文具5件，共需要100元．(1)求該商店購進甲、乙兩種品牌的文具每件各需要多少元？(2)若該商店準備購進甲、乙兩種品牌的文具共100件，且總預算費用不超過800元，那么該商店最多可購進乙種品牌的文具多少件？2．（2024上·浙江衢州·八年級統(tǒng)考期末）2024年，人工智能技術(shù)將迎來新的突破，智能駕駛、智能家居、智能醫(yī)療等領(lǐng)域的創(chuàng)新將改變?nèi)藗兊纳罘绞?，并帶來巨大的便利，某連鎖酒店計劃向機器人公司購買A型號和B型號送餐機器人共臺，其中B型號機器人不少于A型號機器人的倍．(1)該連鎖酒店最多購買幾臺A型號機器人？(2)機器人公司報價A型號機器人7萬元/臺，B型號機器人9萬元/臺，要使總費用不超過萬元，則有哪幾種購買方案？【題型八一元一次不等式組的定義】例題：（2023下·七年級課時練習）下列選項中，是一元一次不等式組的是（

）A．B．C．D．【變式訓練】1．（2022下·七年級單元測試）下列各式中是一元一次不等式組的是（）A．B．C．D．2．（2023上·浙江·八年級專題練習）下列不等式組：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式組的個數(shù)（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【題型九求一元一次不等式組的解集】例題：（2024上·浙江·八年級統(tǒng)考期末）解一元一次不等式組．【變式訓練】1．（2024上·湖南湘潭·八年級統(tǒng)考期末）解不等式組將解集在數(shù)軸上表示出來，并寫出它的所有整數(shù)解．2．（2023上·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）解不等式組，并將解集在數(shù)軸上表示出來．【題型十求一元一次不等式組的整數(shù)解】例題：（2024上·湖南永州·八年級統(tǒng)考期末）解不等式組，并求其整數(shù)解．【變式訓練】1．（2023上·湖南婁底·八年級統(tǒng)考期末）解不等式組，并把所有的整數(shù)解寫出來．2．（2023下·甘肅天水·七年級?？计谀┙獠坏仁浇M：．（注：必須通過畫數(shù)軸求解集）并寫出該不等式組的最小整數(shù)解．【題型十一解一元一次不等式組中錯解復原問題】例題：（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）解不等式組下面是某同學的部分解答過程，請認真閱讀并完成任務：解：由①得：

第1步

第2步

第3步

第4步任務一：該同學的解答過程第_______步出現(xiàn)了錯誤，錯誤原因是_______，不等式①的正確解集是_______；任務二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．【變式訓練】1．（2023下·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）下面是小東同學解不等式組的過程，請認真閱讀，完成相應的任務．解：由不等式①，得．…………第一步解得．………第二步由不等式②，得．……第三步移項，得．

………第四步解得．………第五步所以，原不等式組解集是．…………第六步(1)小東的解答過程中，第______；步開始出現(xiàn)錯誤，他錯誤的原因是_____________；(2)第三步的依據(jù)是_____________________；任務二：(3)直接寫出這個不等式組的解集：______．【題型十二列一元一次不等式組】例題：（2023下·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）一本書共98頁，張力讀了一周（7天）還沒讀完，而李永不到一周就已讀完．李永平均每天比張力多讀3頁．若設(shè)張力平均每天讀x頁，則由題意列出不等式組為（）A． B．C． D．【變式訓練】1．（2022上·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期中）將一箱蘋果分給若干個小朋友，若每位小朋友分5個蘋果，則還剩個蘋果；若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友所分蘋果不到8個，若小朋友的人數(shù)為x，則下列正確的是（）A． B．C． D．2．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）一本書共98頁，張力讀了一周(7天)還沒讀完，而李永不到一周就已讀完．李永平均每天比張力多讀3頁．若設(shè)張力平均每天讀x頁，則由題意列出不等式組為()A． B．C． D．【題型十三用一元一次不等組的解決實際問題】例題：（2024上·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）隨著夢天實驗艙的順利發(fā)射，我國空間站完成了在軌組裝，為了慶祝這令人激動的時刻，某校開展了關(guān)于空間站的科學知識問答競賽．為了獎勵在競賽中表現(xiàn)優(yōu)異的學生，學校準備一次性購買A，B兩種航天器模型作為獎品．已知購買1個A模型和1個B模型共需159元；購買3個A模型和2個B模型共需374元．(1)求A模型和B模型的單價．(2)根據(jù)學校的實際情況，需一次性購買A模型和B模型共20個，但要求購買A模型的數(shù)量多于12個，且不超過B模型的3倍．請你給出一種費用最少的方案，并求出該方案所需的費用．【變式訓練】1．（2024上·浙江·八年級統(tǒng)考期末）學校準備安裝校園人臉識別系統(tǒng)，計劃購買人臉識別通道閘機和門禁機．已知通道閘機的單價是門禁機單價的3倍，購買2臺通道閘機和4臺門禁機共需7500元．(1)求通道閘機和門禁機的單價．(2)已知該校園內(nèi)至少需要安裝10臺通道閘機，若購買通道閘機和門禁機共40臺，且費用不超過48000元，請列出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少資金多少元？2．（22·23七年級下·內(nèi)蒙古通遼·期末）在疫情期間，重慶某醫(yī)藥公司往武漢運送醫(yī)藥物資，若用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸；用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)通過列方程組求出：輛型車輛和輛型車輛都裝滿物資一次分別運多少噸？(2)該醫(yī)藥公司準備將一批醫(yī)藥物資一次性運輸至武漢，于是從租車公司租用了和兩種型號車輛共輛，其中型車輛每輛要付費元，型車輛每輛要付費元，若付費總金額不超過元，且物資不少于噸，請問怎么安排車輛總費用最少？3．（23·24八年級上·浙江