彈性力學(xué)數(shù)值方法：變分法：彈性力學(xué)中的泛函與變分

彈性力學(xué)數(shù)值方法：變分法：彈性力學(xué)中的泛函與變分1彈性力學(xué)與變分法的聯(lián)系彈性力學(xué)研究的是物體在外力作用下變形和應(yīng)力分布的科學(xué)。變分法，作為數(shù)學(xué)分析的一個(gè)分支，提供了一種尋找函數(shù)極值的方法，這在解決彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)變得至關(guān)重要。在彈性力學(xué)中，系統(tǒng)的總能量（包括彈性勢(shì)能和外力做功）可以表示為一個(gè)泛函，而變分法則用于尋找使這個(gè)泛動(dòng)能達(dá)到極小值的位移場(chǎng)，從而得到物體的平衡狀態(tài)。1.1泛函與變分的基本概念1.1.1泛函(Functional)泛函是函數(shù)的函數(shù)，它將一個(gè)函數(shù)映射到一個(gè)實(shí)數(shù)。在彈性力學(xué)中，我們通常關(guān)心的泛函是能量泛函，它描述了系統(tǒng)在給定位移場(chǎng)下的總能量。1.1.2變分(VariationalCalculus)變分法是尋找泛函極值的數(shù)學(xué)工具。它類(lèi)似于微積分中的極值問(wèn)題，但處理的是函數(shù)的極值，而不是變量的極值。在彈性力學(xué)中，我們通過(guò)變分原理來(lái)尋找使能量泛功能性達(dá)到極小值的位移場(chǎng)。1.2彈性力學(xué)中的泛函與變分在彈性力學(xué)中，考慮一個(gè)物體在彈性變形下的能量泛函，可以表示為：E其中，Eu是能量泛函，u是位移場(chǎng)，ψ是應(yīng)變能密度，t是外力，V和S1.2.1應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度ψ描述了物體內(nèi)部由于變形而儲(chǔ)存的能量。對(duì)于線性彈性材料，它可以通過(guò)胡克定律表示為：ψ其中，σ是應(yīng)力張量，ε是應(yīng)變張量，冒號(hào)表示張量的內(nèi)積。1.2.2變分原理變分原理指出，當(dāng)物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，能量泛功能性達(dá)到極小值。這意味著對(duì)于任何微小的位移場(chǎng)變化δu，能量泛功能性變化δEδ1.2.3數(shù)值方法示例：有限元法有限元法是一種常用的數(shù)值方法，用于求解彈性力學(xué)中的變分問(wèn)題。它將物體分解為許多小的單元，然后在每個(gè)單元上近似位移場(chǎng)，通過(guò)求解單元的平衡方程來(lái)得到整個(gè)物體的解。代碼示例下面是一個(gè)使用Python和SciPy庫(kù)求解彈性力學(xué)問(wèn)題的簡(jiǎn)單示例。假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的二維梁，受到垂直向下的力作用，我們使用有限元法來(lái)求解其位移。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)

n=10#網(wǎng)格數(shù)量

nodes=np.linspace(0,1,n+1)#節(jié)點(diǎn)位置

elements=np.array([(i,i+1)foriinrange(n)])#元素連接

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

A=0.01#橫截面積

#定義外力

F=np.zeros(n+1)

F[n//2]=-1e3#在中間節(jié)點(diǎn)施加垂直向下的力

#創(chuàng)建剛度矩陣和力向量

K=lil_matrix((n+1,n+1))

foreinelements:

#計(jì)算元素的剛度矩陣

Ke=np.array([[E*A,-E*A],[-E*A,E*A]])

#更新全局剛度矩陣

K[e[0],e[0]]+=Ke[0,0]

K[e[0],e[1]]+=Ke[0,1]

K[e[1],e[0]]+=Ke[1,0]

K[e[1],e[1]]+=Ke[1,1]

#設(shè)置邊界條件

K[0,:]=0#固定左端點(diǎn)

K[0,0]=1

K[-1,:]=0#固定右端點(diǎn)

K[-1,-1]=1

#求解位移

u=spsolve(K.tocsr(),F)

#輸出位移

print(u)代碼解釋網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)定義：我們創(chuàng)建了一個(gè)從0到1的線性空間，表示梁的長(zhǎng)度，然后定義了元素連接，即梁被分為10個(gè)單元。材料屬性和外力：定義了梁的彈性模量、泊松比和橫截面積，以及在梁中間節(jié)點(diǎn)施加的垂直向下的力。剛度矩陣和力向量：通過(guò)循環(huán)遍歷每個(gè)元素，計(jì)算其剛度矩陣，并將其添加到全局剛度矩陣中。這里使用了SciPy的lil_matrix來(lái)創(chuàng)建稀疏矩陣，因?yàn)榇蠖鄶?shù)元素都是零。邊界條件：設(shè)置梁的兩端為固定邊界，這意味著在這些點(diǎn)上位移為零。求解位移：使用scipy.sparse.linalg.spsolve函數(shù)求解線性方程組，得到每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移。通過(guò)這個(gè)示例，我們可以看到如何將彈性力學(xué)的變分原理轉(zhuǎn)化為數(shù)值問(wèn)題，并使用有限元法求解。這種方法在處理更復(fù)雜、非線性或三維問(wèn)題時(shí)同樣有效，只是計(jì)算過(guò)程會(huì)更加復(fù)雜。2彈性力學(xué)基礎(chǔ)2.11彈性力學(xué)的基本假設(shè)在彈性力學(xué)中，為了簡(jiǎn)化分析和計(jì)算，我們通常做出以下基本假設(shè)：連續(xù)性假設(shè)：材料在所有點(diǎn)上都是連續(xù)的，沒(méi)有空隙或裂紋。完全彈性假設(shè)：材料在變形后能夠完全恢復(fù)到原始狀態(tài)，沒(méi)有塑性變形。均勻性假設(shè)：材料的物理性質(zhì)在所有位置上都是相同的。各向同性假設(shè)：材料的物理性質(zhì)在所有方向上都是相同的。小變形假設(shè)：變形相對(duì)于原始尺寸非常小，可以忽略不計(jì)。線性關(guān)系假設(shè)：應(yīng)力與應(yīng)變之間存在線性關(guān)系，遵循胡克定律。這些假設(shè)為彈性力學(xué)的分析提供了基礎(chǔ)，使得我們能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理原理來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。2.22應(yīng)力與應(yīng)變2.2.1應(yīng)力應(yīng)力（Stress）是單位面積上的內(nèi)力，可以分為正應(yīng)力（NormalStress）和切應(yīng)力（ShearStress）。正應(yīng)力：垂直于截面的應(yīng)力，用符號(hào)σ表示。切應(yīng)力：平行于截面的應(yīng)力，用符號(hào)τ表示。在三維空間中，應(yīng)力可以用一個(gè)3x3的對(duì)稱(chēng)矩陣表示，稱(chēng)為應(yīng)力張量。2.2.2應(yīng)變應(yīng)變（Strain）是材料變形的度量，可以分為線應(yīng)變（LinearStrain）和剪應(yīng)變（ShearStrain）。線應(yīng)變：長(zhǎng)度變化與原始長(zhǎng)度的比值，用符號(hào)ε表示。剪應(yīng)變：角度變化的度量，用符號(hào)γ表示。同樣，應(yīng)變也可以用一個(gè)3x3的對(duì)稱(chēng)矩陣表示，稱(chēng)為應(yīng)變張量。2.2.3胡克定律胡克定律描述了應(yīng)力與應(yīng)變之間的線性關(guān)系，對(duì)于各向同性材料，可以表示為：σ其中，σ是應(yīng)力，ε是應(yīng)變，E是彈性模量。在三維情況下，胡克定律可以擴(kuò)展為：σ其中，E是彈性模量，ν是泊松比，G是剪切模量。2.2.4示例：計(jì)算應(yīng)力假設(shè)一個(gè)材料的彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3，當(dāng)材料受到線應(yīng)變?chǔ)?0.001時(shí)，計(jì)算正應(yīng)力σ。#定義材料參數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

epsilon=0.001#線應(yīng)變

#計(jì)算正應(yīng)力

sigma=E*epsilon

#輸出結(jié)果

print(f"正應(yīng)力σ為：{sigma}Pa")2.33平衡方程與邊界條件2.3.1平衡方程平衡方程描述了在彈性體內(nèi)部，應(yīng)力與外力之間的關(guān)系，確保了彈性體在靜力平衡狀態(tài)下的力學(xué)一致性。在直角坐標(biāo)系中，平衡方程可以表示為：???其中，f_x,f_y,f_z是單位體積的外力。2.3.2邊界條件邊界條件是彈性力學(xué)問(wèn)題中不可或缺的一部分，它描述了彈性體與外界的相互作用。邊界條件可以分為位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件。位移邊界條件：在邊界上規(guī)定了位移的大小和方向。應(yīng)力邊界條件：在邊界上規(guī)定了應(yīng)力的大小和方向。2.3.3示例：應(yīng)用平衡方程假設(shè)一個(gè)彈性體在x方向受到均勻分布的外力f_x=100N/m^3，計(jì)算在x=0邊界上的應(yīng)力σ_x。importsympyassp

#定義變量

x,y,z=sp.symbols('xyz')

sigma_x,tau_xy,tau_xz=sp.symbols('sigma_xtau_xytau_xz')

f_x=100#外力，單位：N/m^3

#平衡方程

balance_eq=sp.diff(sigma_x,x)+sp.diff(tau_xy,y)+sp.diff(tau_xz,z)+f_x

#假設(shè)應(yīng)力和切應(yīng)力與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，簡(jiǎn)化方程

balance_eq_simplified=balance_eq.subs({sp.diff(sigma_x,x):0,sp.diff(tau_xy,y):0,sp.diff(tau_xz,z):0})

#解方程，得到σ_x

sigma_x_solution=sp.solve(balance_eq_simplified,sigma_x)

#輸出結(jié)果

print(f"在x=0邊界上的σ_x為：{sigma_x_solution}N/m^2")注意：上述示例中，我們假設(shè)應(yīng)力和切應(yīng)力與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，這在實(shí)際問(wèn)題中可能不成立，僅用于演示平衡方程的使用。以上內(nèi)容涵蓋了彈性力學(xué)的基礎(chǔ)，包括基本假設(shè)、應(yīng)力與應(yīng)變的定義以及胡克定律的應(yīng)用，同時(shí)也介紹了平衡方程和邊界條件的概念。這些是理解和解決彈性力學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵。3第二章：泛函與變分原理3.11泛函的定義與性質(zhì)3.1.1泛函的定義泛函是一種特殊的函數(shù)，它將函數(shù)作為輸入，并輸出一個(gè)實(shí)數(shù)。在彈性力學(xué)中，泛函通常用來(lái)描述系統(tǒng)的能量狀態(tài)，例如，總勢(shì)能泛函或總動(dòng)能泛函。泛函的定義域是函數(shù)空間，而值域是實(shí)數(shù)集。3.1.2泛函的性質(zhì)線性泛函：如果泛函F滿足Fαf+βg=αFf+β連續(xù)泛函：如果函數(shù)序列fn在函數(shù)空間中收斂于f，且Ffn收斂于F泛函的微分：泛動(dòng)能的微分描述了泛動(dòng)能對(duì)輸入函數(shù)的微小變化的敏感度。在彈性力學(xué)中，泛動(dòng)能的微分常用于求解極值問(wèn)題。3.22變分的定義與計(jì)算3.2.1變分的定義變分是泛動(dòng)能對(duì)函數(shù)的微小變化的響應(yīng)。在數(shù)學(xué)上，如果泛動(dòng)能Ff對(duì)函數(shù)f的微小變化δf的響應(yīng)可以表示為δFf=∫δ3.2.2變分的計(jì)算變分導(dǎo)數(shù)的計(jì)算通常涉及到泛動(dòng)能的微分和積分。例如，考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的泛動(dòng)能Ff定義泛動(dòng)能：Ff定義函數(shù)的微小變化：δf計(jì)算泛動(dòng)能的微小變化：δF識(shí)別變分導(dǎo)數(shù)：δF3.2.3示例代碼假設(shè)我們使用Python的sympy庫(kù)來(lái)計(jì)算上述泛動(dòng)能的變分導(dǎo)數(shù)：importsympyassp

#定義變量和函數(shù)

x=sp.symbols('x')

f=sp.Function('f')(x)

#定義泛動(dòng)能

F=egrate(f**2,(x,'a','b'))

#定義函數(shù)的微小變化

delta_f=sp.Function('delta_f')(x)

#計(jì)算泛動(dòng)能的微小變化

delta_F=egrate(2*f*delta_f,(x,'a','b'))

#識(shí)別變分導(dǎo)數(shù)

variation_derivative=2*f

print("變分導(dǎo)數(shù)為:",variation_derivative)3.33泛函的極值問(wèn)題3.3.1極值問(wèn)題的定義在彈性力學(xué)中，尋找泛動(dòng)能的極值（最小值或最大值）是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。這通常涉及到求解變分方程，即變分導(dǎo)數(shù)等于零的方程。3.3.2極值問(wèn)題的求解求解泛動(dòng)能的極值問(wèn)題通常需要使用歐拉-拉格朗日方程。例如，對(duì)于泛動(dòng)能Ff=a3.3.3示例代碼假設(shè)我們使用Python的sympy庫(kù)來(lái)求解一個(gè)簡(jiǎn)單的泛動(dòng)能的極值問(wèn)題：importsympyassp

#定義變量和函數(shù)

x=sp.symbols('x')

f=sp.Function('f')(x)

#定義泛動(dòng)能中的拉格朗日函數(shù)

L=f**2+(sp.diff(f,x))**2

#計(jì)算歐拉-拉格朗日方程

EL_equation=sp.diff(L,f)-sp.diff(sp.diff(L,sp.diff(f,x)),x)

#解方程

solution=sp.dsolve(EL_equation,f)

print("極值問(wèn)題的解為:",solution)3.3.4結(jié)論通過(guò)理解和應(yīng)用泛動(dòng)能與變分原理，我們可以有效地解決彈性力學(xué)中的許多問(wèn)題，包括尋找能量的最小值，從而預(yù)測(cè)材料的變形和應(yīng)力分布。4第三章：彈性力學(xué)中的能量泛函4.11彈性能量的定義在彈性力學(xué)中，能量泛函是描述系統(tǒng)能量狀態(tài)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它與系統(tǒng)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力有關(guān)。彈性能量泛函通常由兩部分組成：彈性應(yīng)變能和外力做功。彈性應(yīng)變能反映了材料在變形過(guò)程中儲(chǔ)存的能量，而外力做功則是外力對(duì)系統(tǒng)所做的能量貢獻(xiàn)。4.1.1彈性應(yīng)變能彈性應(yīng)變能U可以表示為應(yīng)變能密度ψ與體積V的乘積，即U=V?ψdV。對(duì)于線性彈性材料，應(yīng)變能密度可以表示為應(yīng)力U其中，σij和4.1.2外力做功外力做功W可以表示為外力f與位移u的點(diǎn)積，即W=V?W4.1.3總能量泛函總能量泛函E是彈性應(yīng)變能U與外力做功W之和：E4.22能量泛函的變分表達(dá)變分法是求解能量泛函極值的一種數(shù)學(xué)工具。在彈性力學(xué)中，我們通常尋找使能量泛函E達(dá)到極小值的位移場(chǎng)u。這可以通過(guò)求解能量泛函關(guān)于位移的變分來(lái)實(shí)現(xiàn)，即求解δE4.2.1變分的定義變分δE是能量泛函E在位移場(chǎng)u上的微小變化δδ其中，δεij4.2.2變分原理變分原理指出，當(dāng)位移場(chǎng)u使能量泛函E達(dá)到極小值時(shí)，能量泛函的變分δEδ通過(guò)求解上述變分方程，我們可以得到位移場(chǎng)u滿足的微分方程，即彈性力學(xué)的基本方程。4.33能量泛函的極小化問(wèn)題在彈性力學(xué)中，尋找使能量泛函E達(dá)到極小值的位移場(chǎng)u是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)數(shù)值方法來(lái)求解，例如有限元法。4.3.1有限元法有限元法是一種數(shù)值求解偏微分方程的方法，它將連續(xù)的位移場(chǎng)u離散化為有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上的位移值。然后，通過(guò)求解節(jié)點(diǎn)上的位移值，可以得到整個(gè)位移場(chǎng)u。示例代碼以下是一個(gè)使用Python和SciPy庫(kù)求解彈性力學(xué)問(wèn)題的簡(jiǎn)單示例。在這個(gè)例子中，我們使用有限元法求解一個(gè)簡(jiǎn)單的平面應(yīng)力問(wèn)題。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#定義有限元網(wǎng)格

nodes=np.array([[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]])#節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

elements=np.array([[0,1,2],[0,2,3]])#元素節(jié)點(diǎn)

#定義外力

f=np.array([0,-1e6])#單位：N

#定義邊界條件

boundary_nodes=[0,3]#固定節(jié)點(diǎn)

boundary_dofs=np.concatenate([2*boundary_nodes,2*boundary_nodes+1])#固定自由度

#構(gòu)建剛度矩陣和載荷向量

K=lil_matrix((2*len(nodes),2*len(nodes)))

F=np.zeros(2*len(nodes))

#遍歷每個(gè)元素，計(jì)算局部剛度矩陣和載荷向量，然后組裝到全局剛度矩陣和載荷向量中

forelementinelements:

#計(jì)算局部剛度矩陣和載荷向量

#...

#將局部剛度矩陣和載荷向量組裝到全局剛度矩陣和載荷向量中

#...

#應(yīng)用邊界條件

K=K.tocsr()

K=K[boundary_dofs,:][:,boundary_dofs]

F=F[boundary_dofs]

#求解位移

U=spsolve(K,F)

#輸出位移結(jié)果

print("位移結(jié)果：",U)在這個(gè)例子中，我們首先定義了材料屬性、有限元網(wǎng)格、外力和邊界條件。然后，我們構(gòu)建了剛度矩陣和載荷向量，并遍歷每個(gè)元素，計(jì)算局部剛度矩陣和載荷向量，然后組裝到全局剛度矩陣和載荷向量中。最后，我們應(yīng)用了邊界條件，并使用SciPy庫(kù)的spsolve函數(shù)求解位移。4.3.2極小化問(wèn)題的求解能量泛函的極小化問(wèn)題可以通過(guò)求解上述有限元法得到的線性方程組來(lái)實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際應(yīng)用中，我們通常使用迭代算法，如共軛梯度法或牛頓法，來(lái)求解非線性問(wèn)題。示例代碼以下是一個(gè)使用Python和SciPy庫(kù)求解非線性彈性力學(xué)問(wèn)題的簡(jiǎn)單示例。在這個(gè)例子中，我們使用共軛梯度法求解一個(gè)簡(jiǎn)單的平面應(yīng)力問(wèn)題。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportcg

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#定義有限元網(wǎng)格

nodes=np.array([[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]])#節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

elements=np.array([[0,1,2],[0,2,3]])#元素節(jié)點(diǎn)

#定義外力

f=np.array([0,-1e6])#單位：N

#定義邊界條件

boundary_nodes=[0,3]#固定節(jié)點(diǎn)

boundary_dofs=np.concatenate([2*boundary_nodes,2*boundary_nodes+1])#固定自由度

#構(gòu)建剛度矩陣和載荷向量

K=lil_matrix((2*len(nodes),2*len(nodes)))

F=np.zeros(2*len(nodes))

#遍歷每個(gè)元素，計(jì)算局部剛度矩陣和載荷向量，然后組裝到全局剛度矩陣和載荷向量中

forelementinelements:

#計(jì)算局部剛度矩陣和載荷向量

#...

#將局部剛度矩陣和載荷向量組裝到全局剛度矩陣和載荷向量中

#...

#應(yīng)用邊界條件

K=K.tocsr()

K=K[boundary_dofs,:][:,boundary_dofs]

F=F[boundary_dofs]

#定義非線性方程組的殘差函數(shù)

defresidual(u):

#計(jì)算殘差

#...

returnr

#定義非線性方程組的雅可比矩陣函數(shù)

defjacobian(u):

#計(jì)算雅可比矩陣

#...

returnJ

#初始猜測(cè)

U0=np.zeros(len(F))

#求解位移

U,info=cg(lambdau:jacobian(u)@u,U0,f=residual(U0),tol=1e-10)

#輸出位移結(jié)果

print("位移結(jié)果：",U)在這個(gè)例子中，我們首先定義了材料屬性、有限元網(wǎng)格、外力和邊界條件。然后，我們構(gòu)建了剛度矩陣和載荷向量，并遍歷每個(gè)元素，計(jì)算局部剛度矩陣和載荷向量，然后組裝到全局剛度矩陣和載荷向量中。最后，我們應(yīng)用了邊界條件，并使用SciPy庫(kù)的cg函數(shù)求解非線性方程組得到的位移。在這個(gè)過(guò)程中，我們定義了非線性方程組的殘差函數(shù)和雅可比矩陣函數(shù)，并使用共軛梯度法求解。5第四章：變分法在彈性力學(xué)中的應(yīng)用5.11虛功原理虛功原理是彈性力學(xué)中一個(gè)基本的變分原理，它描述了在平衡狀態(tài)下的彈性體，任意虛位移所作的虛功等于零。虛位移是指在約束條件下，彈性體可能發(fā)生的、與實(shí)際位移無(wú)關(guān)的位移變化。虛功原理可以表示為：δ其中，σij是應(yīng)力張量，δε5.1.1示例考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的彈性桿件，兩端固定，受到均勻分布的橫向力q的作用。桿件的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，截面積為A，彈性模量為E。使用虛功原理求解桿件的位移。假設(shè)桿件的位移函數(shù)為ux，則虛位移可以表示為δσ其中，σ是軸向應(yīng)力，ε是軸向應(yīng)變。虛功原理可以表示為：δ將應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系代入，得到：δ由于ε=δ通過(guò)積分分部，可以得到：0這是一個(gè)變分方程，通過(guò)求解該方程，可以得到桿件的位移函數(shù)ux5.22Rayleigh-Ritz方法Rayleigh-Ritz方法是一種基于能量原理的近似求解方法，用于求解彈性力學(xué)中的變分問(wèn)題。該方法通過(guò)選擇一組適當(dāng)?shù)脑嚭瘮?shù)，將變分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組，從而簡(jiǎn)化了求解過(guò)程。Rayleigh-Ritz方法的基本步驟如下：選擇一組試函數(shù)，這些函數(shù)必須滿足邊界條件。將試函數(shù)代入能量泛函中，得到一組代數(shù)方程。求解代數(shù)方程組，得到未知參數(shù)的最優(yōu)解。將最優(yōu)解代入試函數(shù)中，得到位移函數(shù)的近似解。5.2.1示例考慮一個(gè)兩端固定的梁，受到均勻分布的橫向力q的作用。梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，截面積為A，彈性模量為E，慣性矩為I。使用Rayleigh-Ritz方法求解梁的位移。假設(shè)梁的位移函數(shù)為ux=a1sinπ將試函數(shù)代入能量泛函中，得到：π通過(guò)求解?π?a1=0和5.33有限元方法簡(jiǎn)介有限元方法是一種數(shù)值求解彈性力學(xué)問(wèn)題的常用方法。該方法將連續(xù)的彈性體離散為有限個(gè)單元，每個(gè)單元用一組節(jié)點(diǎn)表示。在每個(gè)單元內(nèi)，位移函數(shù)用節(jié)點(diǎn)位移的線性組合表示。通過(guò)在每個(gè)單元內(nèi)應(yīng)用虛功原理，可以得到一組代數(shù)方程，從而求解節(jié)點(diǎn)位移。有限元方法的基本步驟如下：將彈性體離散為有限個(gè)單元。在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一組試函數(shù)，將位移函數(shù)表示為節(jié)點(diǎn)位移的線性組合。應(yīng)用虛功原理，得到一組代數(shù)方程。求解代數(shù)方程組，得到節(jié)點(diǎn)位移。將節(jié)點(diǎn)位移代入位移函數(shù)中，得到彈性體的位移場(chǎng)。5.3.1示例考慮一個(gè)兩端固定的梁，受到均勻分布的橫向力q的作用。梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，截面積為A，彈性模量為E，慣性矩為I。使用有限元方法求解梁的位移。假設(shè)梁被離散為n個(gè)單元，每個(gè)單元用兩個(gè)節(jié)點(diǎn)表示。在每個(gè)單元內(nèi)，位移函數(shù)可以表示為：u其中，N1x和N2x是形狀函數(shù)，K其中，Kij是剛度矩陣的元素，5.3.2代碼示例以下是一個(gè)使用Python和SciPy庫(kù)求解梁的位移的簡(jiǎn)單代碼示例：importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義參數(shù)

L=1.0

E=1.0

I=1.0

q=1.0

n=10

#定義節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

x=np.linspace(0,L,n+1)

#定義剛度矩陣和節(jié)點(diǎn)力向量

K=lil_matrix((n+1,n+1))

F=np.zeros(n+1)

#定義形狀函數(shù)和其導(dǎo)數(shù)

defN1(x,xi):

return(1-x/xi)/2

defN2(x,xi):

return(1+x/xi)/2

defdN1dx(x,xi):

return-1/(2*xi)

defdN2dx(x,xi):

return1/(2*xi)

#計(jì)算每個(gè)單元的剛度矩陣和節(jié)點(diǎn)力

foriinrange(n):

xi=x[i+1]-x[i]

K[i,i]+=E*I/xi*(dN1dx(x[i],xi)**2+dN1dx(x[i],xi)*dN2dx(x[i],xi))

K[i,i+1]+=E*I/xi*(dN1dx(x[i],xi)*dN2dx(x[i],xi)+dN2dx(x[i],xi)**2)

K[i+1,i]+=E*I/xi*(dN1dx(x[i],xi)*dN2dx(x[i],xi)+dN2dx(x[i],xi)**2)

K[i+1,i+1]+=E*I/xi*(dN1dx(x[i],xi)**2+dN1dx(x[i],xi)*dN2dx(x[i],xi))

F[i]+=q*xi/2*(N1(x[i],xi)+N2(x[i],xi))

F[i+1]+=q*xi/2*(N1(x[i+1],xi)+N2(x[i+1],xi))

#應(yīng)用邊界條件

K[0,:]=0

K[-1,:]=0

K[0,0]=1

K[-1,-1]=1

#求解節(jié)點(diǎn)位移

U=spsolve(K.tocsr(),F)

#輸出節(jié)點(diǎn)位移

print(U)該代碼首先定義了梁的參數(shù)和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，然后計(jì)算了每個(gè)單元的剛度矩陣和節(jié)點(diǎn)力，最后求解了節(jié)點(diǎn)位移。注意，該代碼僅用于演示，實(shí)際應(yīng)用中需要更復(fù)雜的形狀函數(shù)和更精確的數(shù)值積分方法。6第五章：有限元方法的變分基礎(chǔ)6.11有限元方法的變分形式在彈性力學(xué)中，有限元方法（FEM）是一種廣泛使用的數(shù)值技術(shù)，用于求解復(fù)雜的結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題。變分原理是FEM的核心，它基于能量最小化原理，將連續(xù)的力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散的數(shù)學(xué)問(wèn)題。在這一節(jié)中，我們將探討如何將彈性力學(xué)問(wèn)題表述為變分形式，以便于使用有限元方法求解。6.1.1原理考慮一個(gè)彈性體在給定的外力作用下的平衡狀態(tài)。根據(jù)最小勢(shì)能原理，系統(tǒng)的總勢(shì)能（包括內(nèi)部應(yīng)變能和外部勢(shì)能）在平衡狀態(tài)下達(dá)到最小值。設(shè)系統(tǒng)的總勢(shì)能為Π，則有Π其中，U是內(nèi)部應(yīng)變能，W是外部勢(shì)能。對(duì)于一個(gè)給定的位移場(chǎng)ux，內(nèi)部應(yīng)變能UU其中，σ是應(yīng)力張量，ε是應(yīng)變張量，V是彈性體的體積。外部勢(shì)能W則可以表示為W其中，b是體積力，t是表面力，S是彈性體的表面。6.1.2變分形式為了將上述能量表達(dá)式轉(zhuǎn)化為變分形式，我們對(duì)位移場(chǎng)ux進(jìn)行微小的變分δuxδ通過(guò)計(jì)算δU和δ6.22形函數(shù)與位移模式在有限元方法中，彈性體被劃分為多個(gè)小的單元，每個(gè)單元內(nèi)的位移場(chǎng)通過(guò)形函數(shù)（ShapeFunction）來(lái)近似表示。形函數(shù)是定義在單元內(nèi)的函數(shù)，用于插值單元節(jié)點(diǎn)的位移值，從而構(gòu)建整個(gè)單元的位移場(chǎng)。6.2.1形函數(shù)形函數(shù)Nix表示單元內(nèi)任意點(diǎn)x的位移ux與節(jié)點(diǎn)iN其中，ai和b6.2.2位移模式位移模式是形函數(shù)的集合，用于描述整個(gè)單元的位移場(chǎng)。在二維或三維情況下，形函數(shù)可以是多項(xiàng)式，例如，對(duì)于一個(gè)四節(jié)點(diǎn)四邊形單元，位移模式可以表示為u其中，Nix,y是定義在單元內(nèi)的形函數(shù)，6.33剛度矩陣與載荷向量的推導(dǎo)在有限元方法中，剛度矩陣和載荷向量是求解位移場(chǎng)的關(guān)鍵。剛度矩陣描述了位移與力之間的關(guān)系，而載荷向量則包含了外力對(duì)系統(tǒng)的影響。6.3.1剛度矩陣剛度矩陣K可以通過(guò)對(duì)變分形式的平衡方程進(jìn)行離散化得到。對(duì)于一個(gè)單元，剛度矩陣的元素可以表示為K其中，Ve是單元的體積，C是彈性系數(shù)矩陣，?Ni6.3.2載荷向量載荷向量F包含了外力對(duì)系統(tǒng)的影響。對(duì)于一個(gè)單元，載荷向量的元素可以表示為F其中，Se是單元的表面，b和t6.3.3示例代碼以下是一個(gè)使用Python和NumPy庫(kù)計(jì)算一維線性單元?jiǎng)偠染仃嚨氖纠a：importnumpyasnp

#定義彈性系數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#定義單元長(zhǎng)度

L=1.0#單元長(zhǎng)度，單位：m

#定義形函數(shù)導(dǎo)數(shù)

dN1_dx=-1.0/L

dN2_dx=1.0/L

#定義彈性系數(shù)矩陣（一維情況下為標(biāo)量）

C=E/(1-nu**2)

#計(jì)算剛度矩陣

K=np.array([[dN1_dx,0],

[0,dN2_dx]])*C*L

print("剛度矩陣K:")

print(K)在這個(gè)例子中，我們假設(shè)了一維線性單元，其形函數(shù)導(dǎo)數(shù)分別為?1/L和1/L6.3.4解釋上述代碼首先定義了彈性體的材料屬性，包括彈性模量E和泊松比ν。然后，定義了單元的長(zhǎng)度L。接下來(lái)，我們計(jì)算了形函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這些導(dǎo)數(shù)用于計(jì)算剛度矩陣的元素。在計(jì)算剛度矩陣時(shí)，我們使用了彈性系數(shù)矩陣C和單元長(zhǎng)度L。最后，我們打印了計(jì)算得到的剛度矩陣K。通過(guò)這個(gè)例子，我們可以看到如何將彈性力學(xué)中的變分原理轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)計(jì)算，進(jìn)而使用有限元方法求解。在實(shí)際應(yīng)用中，剛度矩陣和載荷向量的計(jì)算會(huì)更加復(fù)雜，需要考慮多維形函數(shù)、更復(fù)雜的單元形狀以及非線性材料行為等因素。7第六章：彈性問(wèn)題的有限元分析7.11彈性問(wèn)題的離散化在彈性力學(xué)中，有限元分析（FiniteElementAnalysis,FEA）是一種廣泛使用的數(shù)值方法，用于求解復(fù)雜的彈性問(wèn)題。這一方法的核心在于將連續(xù)的結(jié)構(gòu)體離散化為有限數(shù)量的單元，每個(gè)單元用一組節(jié)點(diǎn)來(lái)表示。通過(guò)在這些節(jié)點(diǎn)上應(yīng)用適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件和載荷，可以將彈性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一組線性或非線性代數(shù)方程，進(jìn)而求解結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。7.1.1離散化過(guò)程幾何離散化：將結(jié)構(gòu)體劃分為多個(gè)小的幾何單元，如三角形、四邊形、六面體等。選擇位移模式：為每個(gè)單元選擇一個(gè)位移函數(shù)，通常為多項(xiàng)式函數(shù)，以描述單元內(nèi)部的位移變化。建立單元方程：利用變分原理或能量原理，建立每個(gè)單元的平衡方程。組裝整體方程：將所有單元的方程組裝成一個(gè)整體的方程組，考慮相鄰單元之間的連續(xù)性條件。施加邊界條件：在整體方程中施加邊界條件，如固定邊界、自由邊界或施加載荷的邊界。求解方程組：使用數(shù)值方法求解整體方程組，得到節(jié)點(diǎn)位移，進(jìn)而計(jì)算應(yīng)力和應(yīng)變。7.22線性彈性問(wèn)題的有限元解線性彈性問(wèn)題是指在小變形和小應(yīng)變條件下，材料的應(yīng)力與應(yīng)變之間存在線性關(guān)系的彈性問(wèn)題。在有限元分析中，線性彈性問(wèn)題的求解通常遵循以下步驟：7.2.1線性彈性方程對(duì)于一個(gè)三維線性彈性問(wèn)題，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以表示為：σ其中，σ是應(yīng)力張量，ε是應(yīng)變張量，E是彈性矩陣，對(duì)于各向同性材料，彈性矩陣可以簡(jiǎn)化為楊氏模量和泊松比的函數(shù)。7.2.2求解過(guò)程單元分析：在每個(gè)單元內(nèi)，利用位移模式和彈性方程，建立單元的剛度矩陣和載荷向量。整體分析：將所有單元的剛度矩陣和載荷向量組裝成整體剛度矩陣和整體載荷向量。邊界條件：施加邊界條件，修改整體剛度矩陣和載荷向量。求解：使用線性代數(shù)求解器求解整體方程組，得到節(jié)點(diǎn)位移。7.2.3代碼示例以下是一個(gè)使用Python和SciPy庫(kù)求解線性彈性問(wèn)題的簡(jiǎn)單示例：importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義單元?jiǎng)偠染仃?/p>

defelement_stiffness_matrix(E,nu,L,A):

"""

E:楊氏模量

nu:泊松比

L:單元長(zhǎng)度

A:單元截面積

"""

k=E*A/L*np.array([[1,-1],[-1,1]])

returnk

#定義整體剛度矩陣和載荷向量

defassemble_system(elements,nodes,E,nu,A):

"""

elements:單元節(jié)點(diǎn)列表

nodes:節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)列表

E:楊氏模量

nu:泊松比

A:單元截面積

"""

n_nodes=len(nodes)

n_dofs=2*n_nodes

K=lil_matrix((n_dofs,n_dofs))

F=np.zeros(n_dofs)

forelinelements:

#獲取單元節(jié)點(diǎn)

n1,n2=el

#計(jì)算單元長(zhǎng)度

L=np.sqrt((nodes[n2][0]-nodes[n1][0])**2+(nodes[n2][1]-nodes[n1][1])**2)

#計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃?/p>

k=element_stiffness_matrix(E,nu,L,A)

#組裝整體剛度矩陣

K[2*n1:2*n1+2,2*n1:2*n1+2]+=k[0:2,0:2]

K[2*n1:2*n1+2,2*n2:2*n2+2]+=k[0:2,2:4]

K[2*n2:2*n2+2,2*n1:2*n1+2]+=k[2:4,0:2]

K[2*n2:2*n2+2,2*n2:2*n2+2]+=k[2:4,2:4]

#計(jì)算單元載荷向量（假設(shè)為均布載荷）

f=np.array([0,-10])*L/2

F[2*n1:2*n1+2]+=f

F[2*n2:2*n2+2]+=f

#轉(zhuǎn)換為CSR格式，以便求解

K=K.tocsr()

returnK,F

#定義節(jié)點(diǎn)和單元

nodes=np.array([[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]])

elements=np.array([[0,1],[1,2],[2,3],[3,0]])

#材料屬性

E=200e9#楊氏模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

A=0.01#單元截面積，單位：m^2

#組裝系統(tǒng)

K,F=assemble_system(elements,nodes,E,nu,A)

#施加邊界條件（假設(shè)節(jié)點(diǎn)0固定）

F[0]=0

F[1]=0

K[0,:]=0

K[1,:]=0

K[0,0]=1

K[1,1]=1

#求解

U=spsolve(K,F)

#輸出節(jié)點(diǎn)位移

print("節(jié)點(diǎn)位移：",U)7.33非線性彈性問(wèn)題的有限元解非線性彈性問(wèn)題涉及材料的非線性行為，如大變形、大應(yīng)變或非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。求解這類(lèi)問(wèn)題通常需要迭代方法，因?yàn)樵诜蔷€性條件下，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系不再是簡(jiǎn)單的線性比例。7.3.1求解策略增量迭代：將載荷或位移分解為多個(gè)小的增量，逐步施加并迭代求解。線性化：在每次迭代中，將非線性方程線性化，求解線性化后的方程組。收斂檢查：檢查迭代結(jié)果是否收斂，如果不收斂，則調(diào)整增量大小或迭代參數(shù)，重新迭代。7.3.2代碼示例以下是一個(gè)使用Python求解非線性彈性問(wèn)題的示例，這里使用了Newton-Raphson迭代法：importnumpyasnp

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

defnonlinear_stress_strain(E,nu,epsilon):

"""

E:楊氏模量

nu:泊松比

epsilon:應(yīng)變

"""

#假設(shè)材料在大應(yīng)變下表現(xiàn)出非線性行為

sigma=E*epsilon/(1+epsilon)

returnsigma

#定義單元?jiǎng)偠染仃?/p>

defelement_stiffness_matrix(E,nu,L,A,epsilon):

"""

E:楊氏模量

nu:泊松比

L:單元長(zhǎng)度

A:單元截面積

epsilon:單元應(yīng)變

"""

sigma=nonlinear_stress_strain(E,nu,epsilon)

k=sigma*A/L*np.array([[1,-1],[-1,1]])

returnk

#定義整體剛度矩陣和載荷向量

defassemble_system(elements,nodes,E,nu,A,epsilon):

"""

elements:單元節(jié)點(diǎn)列表

nodes:節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)列表

E:楊氏模量

nu:泊松比

A:單元截面積

epsilon:單元應(yīng)變

"""

n_nodes=len(nodes)

n_dofs=2*n_nodes

K=np.zeros((n_dofs,n_dofs))

F=np.zeros(n_dofs)

forelinelements:

#獲取單元節(jié)點(diǎn)

n1,n2=el

#計(jì)算單元長(zhǎng)度

L=np.sqrt((nodes[n2][0]-nodes[n1][0])**2+(nodes[n2][1]-nodes[n1][1])**2)

#計(jì)算單元應(yīng)變

epsilon_el=(nodes[n2][0]-nodes[n1][0])/L

#計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃?/p>

k=element_stiffness_matrix(E,nu,L,A,epsilon_el)

#組裝整體剛度矩陣

K[2*n1:2*n1+2,2*n1:2*n1+2]+=k[0:2,0:2]

K[2*n1:2*n1+2,2*n2:2*n2+2]+=k[0:2,2:4]

K[2*n2:2*n2+2,2*n1:2*n1+2]+=k[2:4,0:2]

K[2*n2:2*n2+2,2*n2:2*n2+2]+=k[2:4,2:4]

#計(jì)算單元載荷向量（假設(shè)為均布載荷）

f=np.array([0,-10])*L/2

F[2*n1:2*n1+2]+=f

F[2*n2:2*n2+2]+=f

returnK,F

#定義節(jié)點(diǎn)和單元

nodes=np.array([[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]])

elements=np.array([[0,1],[1,2],[2,3],[3,0]])

#材料屬性

E=200e9#楊氏模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

A=0.01#單元截面積，單位：m^2

#初始應(yīng)變

epsilon=0

#迭代求解

U=np.zeros(2*len(nodes))

K,F=assemble_system(elements,nodes,E,nu,A,epsilon)

#施加邊界條件（假設(shè)節(jié)點(diǎn)0固定）

F[0]=0

F[1]=0

K[0,:]=0

K[1,:]=0

K[0,0]=1

K[1,1]=1

#Newton-Raphson迭代

tol=1e-6

max_iter=100

foriinrange(max_iter):

#求解位移增量

delta_U=spsolve(K,F)

#更新位移

U+=delta_U

#更新節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

nodes+=delta_U.reshape(-1,2)

#重新計(jì)算剛度矩陣和載荷向量

K,F=assemble_system(elements,nodes,E,nu,A,epsilon)

#檢查收斂

ifnp.linalg.norm(delta_U)<tol:

break

#輸出節(jié)點(diǎn)位移

print("節(jié)點(diǎn)位移：",U)請(qǐng)注意，上述代碼示例中的非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和迭代求解過(guò)程是簡(jiǎn)化的，實(shí)際應(yīng)用中可能需要更復(fù)雜的非線性模型和更精細(xì)的迭代控制策略。8第七章：高級(jí)主題與應(yīng)用8.11復(fù)雜邊界條件的處理在彈性力學(xué)的變分法中，處理復(fù)雜邊界條件是一項(xiàng)關(guān)鍵技能。邊界條件可以是位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件或混合邊界條件。對(duì)于復(fù)雜的幾何形狀或非線性材料特性，邊界條件的處理往往需要數(shù)值方法，如有限元法(FEM)或邊界元法(BEM)。8.1.1位移邊界條件位移邊界條件直接規(guī)定了結(jié)構(gòu)在邊界上的位移或位移的導(dǎo)數(shù)。例如，在一個(gè)固定端的梁中，固定端的位移為零。在有限元分析中，這通常通過(guò)在相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上施加約束來(lái)實(shí)現(xiàn)。8.1.2應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件則規(guī)定了邊界上的外力或力的分布。在有限元分析中，這可以通過(guò)在邊界上施加面力或線力來(lái)實(shí)現(xiàn)。例如，對(duì)于承受均勻壓力的平板，邊界上的應(yīng)力分布是已知的。8.1.3混合邊界條件混合邊界條件結(jié)合了位移和應(yīng)力邊界條件。在某些情況下，邊界的一部分可能被固定，而另一部分則承受外力。這種情況下，需要在有限元模型中同時(shí)施加位移和應(yīng)力邊界條件。8.22接觸問(wèn)題的變分法接觸問(wèn)題在彈性力學(xué)中是一個(gè)復(fù)雜但常見(jiàn)的問(wèn)題，尤其是在工程設(shè)計(jì)和分析中。接觸問(wèn)題涉及到兩個(gè)或多個(gè)物體之間的相互作用，其中物體可能接觸也可能分離。變分法提供了一種處理接觸問(wèn)題的有效途徑，通過(guò)引入接觸力和接觸不等式，可以將接觸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)變分不等式問(wèn)題。8.2.1接觸力的引入在接觸面上，接觸力可以是法向力或切向力。法向力通常遵循庫(kù)侖摩擦定律，而切向力則遵循庫(kù)侖摩擦定律或更復(fù)雜的摩擦模型。在有限元分析中，接觸力的計(jì)算通常基于間隙和重疊的概念，以及接觸面的法向和切向剛度。8.2.2接觸不等式接觸不等式確保了兩個(gè)接觸物體之間不會(huì)穿透。在數(shù)學(xué)上，這通常表示為間隙變量必須大于或等于零。在有限元分析中，這可以通過(guò)在接觸面上施加非線性約束來(lái)實(shí)現(xiàn)。8.2.3數(shù)值方法處理接觸問(wèn)題的數(shù)值方法包括拉格朗日乘子法、罰函數(shù)法和增廣拉格朗日法。這些方法通過(guò)不同的數(shù)學(xué)技巧將接觸不等式轉(zhuǎn)化為可解的方程組。8.2.4示例：罰函數(shù)法處理接觸問(wèn)題罰函數(shù)法是一種常見(jiàn)的處理接觸問(wèn)題的方法，它通過(guò)引入一個(gè)大的罰因子來(lái)模擬接觸不等式。下面是一個(gè)使用罰函數(shù)法處理接觸問(wèn)題的有限元分析示例。#導(dǎo)入必要的庫(kù)

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義罰因子

penalty_factor=1e6

#建立有限元模型

#假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的1D模型，包含兩個(gè)節(jié)點(diǎn)和一個(gè)單元

#節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

nodes=np.array([0.0,1.0])

#單元連接

elements=np.array([[0,1]])

#材料屬性

E=200e9#彈性模量

A=0.01#截面積

#建立剛度矩陣

K=lil_matrix((2,2))

foreinelements:

ke=np.array([[E*A,-E*A],[-E*A,E*A]])

K[e[0],e[0]]+=ke[0,0]

K[e[0],e[1]]+=ke[0,