彈性力學(xué)數(shù)值方法：積分法：彈性力學(xué)基礎(chǔ)理論

彈性力學(xué)數(shù)值方法：積分法：彈性力學(xué)基礎(chǔ)理論1彈性力學(xué)基礎(chǔ)1.1應(yīng)力與應(yīng)變的概念在彈性力學(xué)中，應(yīng)力（Stress）和應(yīng)變（Strain）是兩個核心概念，它們描述了材料在受力作用下的響應(yīng)。1.1.1應(yīng)力應(yīng)力定義為單位面積上的內(nèi)力，通常用符號σ表示。在三維空間中，應(yīng)力可以分為正應(yīng)力（σ）和剪應(yīng)力（τ）。正應(yīng)力是垂直于材料表面的應(yīng)力，而剪應(yīng)力則是平行于材料表面的應(yīng)力。應(yīng)力的單位是帕斯卡（Pa），即牛頓每平方米（N/m2）。1.1.2應(yīng)變應(yīng)變是材料在應(yīng)力作用下發(fā)生的形變程度，通常用符號ε表示。應(yīng)變分為線應(yīng)變（ε）和剪應(yīng)變（γ）。線應(yīng)變描述了材料在某一方向上的伸長或縮短，而剪應(yīng)變描述了材料在某一平面上的剪切形變。應(yīng)變是一個無量綱的量。1.2胡克定律與材料屬性1.2.1胡克定律胡克定律（Hooke’sLaw）是彈性力學(xué)中的基本定律，它描述了在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比關(guān)系。對于一維情況，胡克定律可以表示為：σ其中，σ是應(yīng)力，ε是應(yīng)變，E是材料的彈性模量，也稱為楊氏模量。1.2.2材料屬性材料的彈性模量E和泊松比ν是描述材料彈性行為的兩個重要屬性。彈性模量E反映了材料抵抗彈性形變的能力，泊松比ν描述了材料在受力時橫向收縮與縱向伸長的比例關(guān)系。1.3平衡方程與邊界條件1.3.1平衡方程平衡方程描述了在彈性體內(nèi)部，應(yīng)力與外力之間的平衡關(guān)系。在三維空間中，平衡方程可以表示為：???其中，σ_x,σ_y,σ_z是正應(yīng)力，τ_{xy},τ_{yz},τ_{xz}是剪應(yīng)力，f_x,f_y,f_z是單位體積上的外力。1.3.2邊界條件邊界條件是彈性力學(xué)問題中不可或缺的一部分，它指定了彈性體邊界上的應(yīng)力或位移。邊界條件可以分為兩種類型：-位移邊界條件：指定邊界上的位移。-應(yīng)力邊界條件：指定邊界上的應(yīng)力。1.4彈性力學(xué)的基本方程1.4.1線性彈性力學(xué)方程線性彈性力學(xué)的基本方程包括平衡方程、幾何方程和物理方程。這些方程共同描述了彈性體在受力作用下的行為。1.4.1.1平衡方程平衡方程已經(jīng)如上所述，它確保了彈性體內(nèi)部的力平衡。1.4.1.2幾何方程幾何方程描述了應(yīng)變與位移之間的關(guān)系。在三維空間中，幾何方程可以表示為：εεεγγγ其中，u,v,w是位移分量。1.4.1.3物理方程物理方程，即胡克定律的三維形式，描述了應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。在各向同性材料中，物理方程可以表示為：σσστττ其中，G是剪切模量，G=E/(2(1+ν))。1.4.2數(shù)值求解在實際應(yīng)用中，彈性力學(xué)問題往往需要通過數(shù)值方法求解。例如，有限元方法（FEM）是一種廣泛使用的數(shù)值求解方法，它將彈性體離散為有限數(shù)量的單元，然后在每個單元上應(yīng)用上述方程，通過求解得到整個彈性體的應(yīng)力和位移分布。1.4.2.1有限元方法示例下面是一個使用Python和SciPy庫的簡單有限元方法示例，用于求解一維彈性桿的應(yīng)力和位移。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

A=0.01#截面積，單位：m2

L=1.0#桿長，單位：m

P=1000#外力，單位：N

#離散化參數(shù)

n=100#單元數(shù)量

dx=L/n#單元長度

#應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

defstress_strain(e):

returnE*e

#幾何方程

defstrain_displacement(u):

returnnp.gradient(u)/dx

#平衡方程

defbalance_equation(u):

e=strain_displacement(u)

s=stress_strain(e)

returnnp.gradient(s)*A

#邊界條件

u_left=0.0#左端位移

u_right=0.0#右端位移

#構(gòu)建有限元方程

K=diags([1,-2,1],[-1,0,1],shape=(n,n))/dx**2

K[0,0]=1

K[-1,-1]=1

#應(yīng)用力

F=np.zeros(n)

F[-1]=-P/A

#求解位移

u=spsolve(K,F)

#計算應(yīng)力

e=strain_displacement(u)

s=stress_strain(e)

#輸出結(jié)果

print("位移分布：",u)

print("應(yīng)力分布：",s)在這個示例中，我們首先定義了材料的彈性模量E、截面積A、桿長L和外力P。然后，我們離散化了彈性桿，將其分為n個單元，每個單元的長度為dx。接下來，我們定義了應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系、幾何方程和平衡方程。我們還指定了邊界條件，即左端和右端的位移。最后，我們構(gòu)建了有限元方程，求解了位移u，并計算了應(yīng)力s。通過這個示例，我們可以看到，有限元方法通過將復(fù)雜問題離散化為一系列簡單問題，然后求解這些簡單問題，最終得到整個問題的解。這種方法在處理復(fù)雜幾何形狀和邊界條件時特別有效。以上內(nèi)容詳細介紹了彈性力學(xué)基礎(chǔ)理論中的關(guān)鍵概念和方程，以及如何使用有限元方法進行數(shù)值求解。這為理解和解決實際工程中的彈性力學(xué)問題提供了理論基礎(chǔ)和計算工具。2積分法簡介2.1數(shù)值積分的基本原理數(shù)值積分是計算積分值的一種近似方法，當(dāng)函數(shù)的解析積分難以求解或不存在時，數(shù)值積分提供了一種有效的替代方案。其基本思想是將積分區(qū)間分割成若干小段，然后在每段上用簡單的函數(shù)（如線性函數(shù)或多項式）近似原函數(shù)，最后將這些簡單函數(shù)在各段上的積分值相加得到原積分的近似值。2.1.1示例：梯形法則梯形法則是數(shù)值積分中最基本的方法之一，它假設(shè)在每個小段上函數(shù)是線性的。對于函數(shù)fx在區(qū)間aa當(dāng)區(qū)間被分割成n個等長的小段時，梯形法則的公式變?yōu)椋篴其中，xi#梯形法則的Python實現(xiàn)

deftrapezoidal_rule(f,a,b,n):

"""

使用梯形法則計算函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上的積分近似值。

參數(shù):

f:函數(shù)

a:積分區(qū)間的下限

b:積分區(qū)間的上限

n:將區(qū)間分割成的小段數(shù)

"""

h=(b-a)/n

x=[a+i*hforiinrange(n+1)]

integral=(f(x[0])+f(x[-1]))/2

foriinrange(1,n):

integral+=f(x[i])

integral*=h

returnintegral

#定義一個簡單的函數(shù)f(x)=x^2

deff(x):

returnx**2

#計算f(x)在區(qū)間[0,1]上的積分，分割成100個小段

result=trapezoidal_rule(f,0,1,100)

print("積分近似值:",result)2.2高斯積分法高斯積分法是一種更高級的數(shù)值積分方法，它基于正交多項式的性質(zhì)，通過在積分區(qū)間上選取特定的點（稱為高斯點）和相應(yīng)的權(quán)重，來近似積分值。高斯積分法在計算上比梯形法則和辛普森法則更有效，尤其是在處理高維積分時。2.2.1示例：一維高斯積分對于一維積分?1?其中，xi是高斯點，w#一維高斯積分的Python實現(xiàn)

importnumpyasnp

defgaussian_quadrature(f,a,b,n):

"""

使用高斯積分法計算函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上的積分近似值。

參數(shù):

f:函數(shù)

a:積分區(qū)間的下限

b:積分區(qū)間的上限

n:高斯點的數(shù)量

"""

#高斯點和權(quán)重，這里使用numpy的quad包來獲取

x,w=np.polynomial.legendre.leggauss(n)

#將積分區(qū)間從[-1,1]變換到[a,b]

x=0.5*(b-a)*x+0.5*(b+a)

#計算積分

integral=np.sum(w*f(x))*0.5*(b-a)

returnintegral

#定義一個簡單的函數(shù)f(x)=x^3

deff(x):

returnx**3

#計算f(x)在區(qū)間[0,1]上的積分，使用3個高斯點

result=gaussian_quadrature(f,0,1,3)

print("積分近似值:",result)2.3牛頓-柯特斯公式牛頓-柯特斯公式是基于插值多項式的數(shù)值積分方法，它使用函數(shù)在積分區(qū)間上的多個點的值來構(gòu)造一個多項式，然后計算這個多項式的積分。牛頓-柯特斯公式包括梯形法則、辛普森法則等，其中辛普森法則使用二次插值多項式，而更高級的牛頓-柯特斯公式可以使用更高階的多項式。2.3.1示例：辛普森法則辛普森法則是牛頓-柯特斯公式的一種，它假設(shè)在每兩個小段上函數(shù)是二次的。對于函數(shù)fx在區(qū)間aa當(dāng)區(qū)間被分割成偶數(shù)個小段時，辛普森法則的公式可以擴展到多個小段。#辛普森法則的Python實現(xiàn)

defsimpsons_rule(f,a,b,n):

"""

使用辛普森法則計算函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上的積分近似值。

參數(shù):

f:函數(shù)

a:積分區(qū)間的下限

b:積分區(qū)間的上限

n:將區(qū)間分割成的小段數(shù)，必須是偶數(shù)

"""

ifn%2!=0:

raiseValueError("nmustbeeven")

h=(b-a)/n

x=[a+i*hforiinrange(n+1)]

integral=f(x[0])+f(x[-1])

foriinrange(1,n,2):

integral+=4*f(x[i])

foriinrange(2,n,2):

integral+=2*f(x[i])

integral*=h/3

returnintegral

#定義一個簡單的函數(shù)f(x)=x^4

deff(x):

returnx**4

#計算f(x)在區(qū)間[0,1]上的積分，分割成100個小段

result=simpsons_rule(f,0,1,100)

print("積分近似值:",result)以上示例展示了如何使用Python實現(xiàn)梯形法則、一維高斯積分和辛普森法則來近似計算函數(shù)在給定區(qū)間上的積分值。這些方法在工程和科學(xué)計算中非常有用，特別是在處理復(fù)雜的函數(shù)或高維積分問題時。3彈性問題的積分法求解3.1直接積分法的應(yīng)用直接積分法是解決彈性力學(xué)問題的一種數(shù)值方法，它直接基于彈性方程的微分形式，通過數(shù)值積分技術(shù)求解應(yīng)力、應(yīng)變和位移。這種方法適用于邊界條件和載荷分布明確的問題，尤其是當(dāng)問題的幾何形狀和材料屬性較為簡單時。3.1.1原理考慮一個簡單的彈性問題，如一維桿件的軸向拉伸。桿件的長度為L，截面積為A，彈性模量為E。假設(shè)桿件受到均勻分布的軸向力F的作用，我們可以寫出軸向應(yīng)力σ和軸向應(yīng)變?的關(guān)系：σ以及軸向力F和軸向應(yīng)變?的關(guān)系：F直接積分法就是將上述積分方程離散化，通過數(shù)值積分求解?，進而得到σ和F。3.1.2示例假設(shè)我們有一根長度為1m，截面積為10?4m2，彈性模量為importnumpyasnp

#材料和幾何參數(shù)

L=1.0#桿件長度，單位：m

A=1e-4#截面積，單位：m^2

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

F=1000#軸向力，單位：N

#數(shù)值積分參數(shù)

dx=0.01#積分步長，單位：m

x=np.arange(0,L,dx)#積分區(qū)間

#計算軸向應(yīng)變

sigma=F/(A*len(x))#均勻分布的應(yīng)力

epsilon=sigma/E#軸向應(yīng)變

#計算軸向力

F_calculated=np.sum(sigma*A*dx)

print("軸向應(yīng)變：",epsilon)

print("計算得到的軸向力：",F_calculated)3.2變分原理與能量方法變分原理和能量方法是彈性力學(xué)中求解問題的另一種途徑，它們基于能量守恒和最小勢能原理，通過求解能量泛函的極值來找到系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。3.2.1原理在彈性力學(xué)中，系統(tǒng)的總勢能Π由內(nèi)部能量U和外部勢能V組成：Π內(nèi)部能量U是由于材料變形而儲存的能量，而外部勢能V是由于外力作用而消耗的能量。在平衡狀態(tài)下，總勢能Π達到極小值，即：δ通過求解上述變分方程，可以得到系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。3.2.2示例考慮一個受軸向力作用的桿件，我們使用能量方法求解軸向應(yīng)變。importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

#材料和幾何參數(shù)

L=1.0#桿件長度，單位：m

A=1e-4#截面積，單位：m^2

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

F=1000#軸向力，單位：N

#定義能量泛函

defenergy_functional(epsilon):

U=0.5*E*A*L*epsilon**2#內(nèi)部能量

V=F*L*epsilon#外部勢能

returnU-V

#求解能量泛函的極值

result=minimize(energy_functional,x0=0.0,method='BFGS')

epsilon=result.x[0]

#計算軸向應(yīng)力

sigma=E*epsilon

print("軸向應(yīng)變：",epsilon)

print("軸向應(yīng)力：",sigma)3.3有限元法的積分基礎(chǔ)有限元法是一種廣泛應(yīng)用于工程分析的數(shù)值方法，它將連續(xù)體離散為有限數(shù)量的單元，通過在每個單元上求解微分方程的積分形式，來近似求解整個系統(tǒng)的響應(yīng)。3.3.1原理有限元法的核心是將連續(xù)體離散化，然后在每個單元上應(yīng)用變分原理。對于一個彈性問題，有限元法的基本步驟包括：離散化：將連續(xù)體劃分為有限數(shù)量的單元。單元分析：在每個單元上，將微分方程轉(zhuǎn)換為積分形式，通過數(shù)值積分求解單元的響應(yīng)。系統(tǒng)組裝：將所有單元的響應(yīng)組合成整個系統(tǒng)的響應(yīng)。求解：通過求解系統(tǒng)方程，得到系統(tǒng)的位移、應(yīng)力和應(yīng)變。3.3.2示例考慮一個受軸向力作用的桿件，我們使用有限元法求解軸向應(yīng)變。importnumpyasnp

#材料和幾何參數(shù)

L=1.0#桿件長度，單位：m

A=1e-4#截面積，單位：m^2

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

F=1000#軸向力，單位：N

#離散化參數(shù)

n_elements=10#單元數(shù)量

element_length=L/n_elements#單元長度

#單元剛度矩陣

k=E*A/element_length

#系統(tǒng)剛度矩陣

K=np.zeros((n_elements+1,n_elements+1))

foriinrange(n_elements):

K[i:i+2,i:i+2]+=np.array([[k,-k],[-k,k]])

#邊界條件

K[0,0]=1e10#固定端

K[-1,-1]=1e10#固定端

#載荷向量

F_vector=np.zeros(n_elements+1)

F_vector[-1]=F

#求解位移

U=np.linalg.solve(K,F_vector)

#計算軸向應(yīng)變

epsilon=(U[1:]-U[:-1])/element_length

#計算軸向應(yīng)力

sigma=E*epsilon

print("軸向應(yīng)變：",epsilon)

print("軸向應(yīng)力：",sigma)以上示例展示了如何使用直接積分法、能量方法和有限元法求解彈性力學(xué)問題。每種方法都有其適用范圍和特點，選擇合適的方法取決于問題的具體情況。4彈性力學(xué)數(shù)值方法：積分法：有限元法詳解4.1有限元法的基本步驟有限元法(FiniteElementMethod,FEM)是一種廣泛應(yīng)用于工程分析的數(shù)值方法，主要用于求解復(fù)雜的彈性力學(xué)問題。其基本步驟包括：問題離散化：將連續(xù)的結(jié)構(gòu)體劃分為有限數(shù)量的單元，每個單元用節(jié)點來表示。選擇單元類型：根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何形狀和問題的性質(zhì)，選擇合適的單元類型。網(wǎng)格劃分：對結(jié)構(gòu)進行網(wǎng)格劃分，確保網(wǎng)格的合理性和計算的準(zhǔn)確性。建立單元方程：基于彈性力學(xué)的基本原理，如胡克定律和虛功原理，建立每個單元的方程。組裝總體方程：將所有單元方程組裝成一個總體方程，形成結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。施加邊界條件：根據(jù)問題的邊界條件，修改總體方程。求解方程：使用數(shù)值方法求解總體方程，得到結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)力和應(yīng)變。后處理：分析和可視化求解結(jié)果，如繪制位移圖、應(yīng)力圖等。4.2單元類型與選擇4.2.1單元類型有限元法中常見的單元類型包括：線單元：用于一維問題，如桿和梁。面單元：用于二維問題，如板和殼。體單元：用于三維問題，如實體結(jié)構(gòu)。4.2.2選擇原則選擇單元類型時，應(yīng)考慮以下因素：幾何適應(yīng)性：單元應(yīng)能適應(yīng)結(jié)構(gòu)的幾何形狀。問題復(fù)雜性：對于復(fù)雜問題，可能需要更高階的單元。計算資源：高階單元和三維單元通常需要更多的計算資源。4.3網(wǎng)格劃分與優(yōu)化網(wǎng)格劃分是有限元分析中的關(guān)鍵步驟，合理的網(wǎng)格劃分可以提高計算精度和效率。網(wǎng)格優(yōu)化通常包括：網(wǎng)格細化：在結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵區(qū)域，如應(yīng)力集中處，進行網(wǎng)格細化。網(wǎng)格適應(yīng)性：根據(jù)計算結(jié)果動態(tài)調(diào)整網(wǎng)格，以提高計算效率。網(wǎng)格質(zhì)量：確保網(wǎng)格的形狀和大小滿足一定的標(biāo)準(zhǔn)，避免出現(xiàn)畸變單元。4.4有限元方程的建立4.4.1胡克定律胡克定律描述了材料的彈性行為，即應(yīng)力與應(yīng)變成正比。在有限元分析中，胡克定律用于建立單元的剛度矩陣。4.4.2虛功原理虛功原理是有限元法中建立方程的理論基礎(chǔ)。它指出，結(jié)構(gòu)在任意虛位移下所做的虛功等于外力在相同虛位移下所做的虛功。4.4.3示例：一維桿的有限元分析假設(shè)我們有一根長度為1m，截面積為0.01m^2，彈性模量為200GPa的桿，兩端分別受到10kN的拉力。我們使用線單元進行分析。#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

A=0.01#截面積，單位：m^2

L=1#桿的長度，單位：m

F=10e3#外力，單位：N

#定義單元的剛度矩陣

k=(E*A)/L*np.array([[1,-1],[-1,1]])

#定義總體剛度矩陣

#假設(shè)桿被劃分為兩個單元

K=np.zeros((4,4))

K[0:2,0:2]=k

K[2:4,2:4]=k

#連接兩個單元

K[1,2]=-k[1,1]

K[2,1]=-k[1,1]

#定義邊界條件

#假設(shè)左端固定，右端受力

bc=np.array([1,0,0,1])#1表示固定，0表示自由

force=np.array([0,0,0,F])

#應(yīng)用邊界條件

K=K[np.ix_(bc==0,bc==0)]

force=force[bc==0]

#求解位移

u=np.linalg.solve(K,force)

#計算應(yīng)力

stress=(E/L)*(u[1]-u[0])

#輸出結(jié)果

print("位移：",u)

print("應(yīng)力：",stress)在這個例子中，我們首先定義了材料屬性和外力，然后建立了單元的剛度矩陣，并組裝成總體剛度矩陣。接著，我們施加了邊界條件，并求解了位移。最后，我們計算了應(yīng)力，并輸出了結(jié)果。5高級積分技術(shù)5.1自適應(yīng)積分策略自適應(yīng)積分策略是一種用于提高數(shù)值積分精度的方法，它通過動態(tài)調(diào)整積分區(qū)間或積分點的分布來實現(xiàn)。在彈性力學(xué)數(shù)值方法中，自適應(yīng)積分特別適用于處理非均勻分布的應(yīng)力或應(yīng)變，以及在材料屬性或幾何形狀有突變的區(qū)域。5.1.1原理自適應(yīng)積分策略基于誤差估計和區(qū)間細分。首先，使用較粗的積分區(qū)間進行積分，然后通過細分區(qū)間并重新計算積分值來估計誤差。如果誤差超過預(yù)設(shè)的閾值，進一步細分區(qū)間，直到滿足精度要求。5.1.2內(nèi)容誤差估計：通過比較不同步長下的積分結(jié)果來估計誤差。區(qū)間細分：將積分區(qū)間分割成更小的子區(qū)間，以提高局部精度。積分點選擇：在子區(qū)間內(nèi)選擇適當(dāng)?shù)姆e分點，如高斯積分點。5.1.3示例假設(shè)我們需要計算函數(shù)fx=xdefadaptive_simpson(f,a,b,tol=1e-6):

"""

使用自適應(yīng)辛普森法則計算函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上的積分。

tol:容忍的誤差閾值

"""

defsimpson(f,a,b):

"""

辛普森法則計算積分。

"""

h=b-a

returnh/6*(f(a)+4*f((a+b)/2)+f(b))

defadaptive_simpson_rec(f,a,b,tol):

"""

遞歸實現(xiàn)自適應(yīng)辛普森法則。

"""

m=(a+b)/2

left=simpson(f,a,m)

right=simpson(f,m,b)

total=left+right

ifabs(total-simpson(f,a,b))<tol:

returntotal

else:

returnadaptive_simpson_rec(f,a,m,tol/2)+adaptive_simpson_rec(f,m,b,tol/2)

returnadaptive_simpson_rec(f,a,b,tol)

#定義被積函數(shù)

deff(x):

returnx**2

#調(diào)用自適應(yīng)辛普森法則計算積分

result=adaptive_simpson(f,0,1)

print("積分結(jié)果:",result)5.2奇異積分處理在彈性力學(xué)中，當(dāng)遇到尖角、裂紋尖端或接觸問題時，積分可能會遇到奇異點，導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定或精度下降。奇異積分處理技術(shù)旨在通過變換積分變量或使用特殊積分規(guī)則來克服這些困難。5.2.1原理積分變量變換：通過變換積分變量，將奇異點從積分區(qū)間中移除。特殊積分規(guī)則：設(shè)計適用于奇異函數(shù)的積分規(guī)則，如高斯積分的特殊權(quán)重。5.2.2內(nèi)容坐標(biāo)變換：使用坐標(biāo)變換將奇異點映射到積分區(qū)間之外。權(quán)重函數(shù)：在積分計算中引入權(quán)重函數(shù)，以平滑奇異點的影響。5.2.3示例考慮在裂紋尖端附近的應(yīng)力強度因子計算，其中積分函數(shù)可能包含奇異項。使用坐標(biāo)變換和特殊權(quán)重函數(shù)來處理。importnumpyasnp

defsingular_integral(f,a,b,r,theta):

"""

處理包含奇異點的積分。

f:被積函數(shù)

a,b:積分區(qū)間

r,theta:裂紋尖端的極坐標(biāo)

"""

deftransformed_f(x):

"""

坐標(biāo)變換后的被積函數(shù)。

"""

y=r*np.exp(1j*theta)+r*np.exp(1j*x)

returnf(y)*np.abs(r*1j*np.exp(1j*x))

#使用高斯積分計算變換后的積分

x,w=np.polynomial.legendre.leggauss(10)

x=(b-a)/2*x+(b+a)/2

integral=np.sum(transformed_f(x)*w)

returnintegral

#定義被積函數(shù)，假設(shè)為1/sqrt(x)

deff(x):

return1/np.sqrt(x)

#裂紋尖端的極坐標(biāo)

r=1

theta=np.pi/4

#積分區(qū)間

a=0

b=np.pi/2

#計算奇異積分

result=singular_integral(f,a,b,r,theta)

print("奇異積分結(jié)果:",result)5.3高階積分方法高階積分方法通過增加積分點的數(shù)量或使用更復(fù)雜的積分規(guī)則來提高積分精度，適用于需要高精度計算的彈性力學(xué)問題。5.3.1原理高斯積分：使用高斯點和相應(yīng)的權(quán)重進行積分，可以達到高精度。復(fù)合積分：將積分區(qū)間分割成多個子區(qū)間，然后在每個子區(qū)間上應(yīng)用積分規(guī)則。5.3.2內(nèi)容高斯點選擇：根據(jù)積分函數(shù)的性質(zhì)選擇適當(dāng)?shù)母咚裹c。權(quán)重計算：計算與高斯點對應(yīng)的權(quán)重。5.3.3示例使用高斯積分計算函數(shù)fx=eimportnumpyasnp

defgaussian_quadrature(f,a,b,n=10):

"""

使用高斯積分計算函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上的積分。

n:高斯點的數(shù)量

"""

x,w=np.polynomial.legendre.leggauss(n)

x=(b-a)/2*x+(b+a)/2

integral=np.sum(f(x)*w)

returnintegral

#定義被積函數(shù)

deff(x):

returnnp.exp(-x**2)

#積分區(qū)間

a=-1

b=1

#計算高斯積分

result=gaussian_quadrature(f,a,b)

print("高斯積分結(jié)果:",result)以上示例展示了如何使用自適應(yīng)積分策略、奇異積分處理和高階積分方法來解決彈性力學(xué)中遇到的數(shù)值積分問題。通過這些技術(shù)，可以提高計算的精度和穩(wěn)定性，尤其是在處理復(fù)雜幾何和材料屬性時。6實例分析與應(yīng)用6.1平面應(yīng)力問題的積分法求解6.1.1原理平面應(yīng)力問題通常出現(xiàn)在薄板結(jié)構(gòu)中，其中厚度方向的應(yīng)力可以忽略。在彈性力學(xué)中，這類問題可以通過積分法求解，即利用虛功原理和最小勢能原理，將彈性力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為求解變分問題。對于平面應(yīng)力問題，應(yīng)力分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系可以通過胡克定律表示，而應(yīng)變分量則可以通過位移分量的偏導(dǎo)數(shù)來計算。6.1.2內(nèi)容在平面應(yīng)力問題中，我們主要關(guān)注的是x和y方向的應(yīng)力和應(yīng)變。假設(shè)材料是各向同性的，胡克定律可以表示為：σ其中，E是彈性模量，ν是泊松比，G是剪切模量，σx和σy是正應(yīng)力，τxy是剪應(yīng)力，εx6.1.3示例假設(shè)我們有一個矩形薄板，其尺寸為Lx×Limportnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

t=0.001#厚度，單位：m

#幾何尺寸

Lx=1.0#x方向長度，單位：m

Ly=1.0#y方向長度，單位：m

#網(wǎng)格劃分

nx=10#x方向網(wǎng)格數(shù)

ny=10#y方向網(wǎng)格數(shù)

dx=Lx/nx

dy=Ly/ny

#應(yīng)力邊界條件

px=1e6#x方向面力，單位：Pa/m

#創(chuàng)建位移向量和剛度矩陣

u=np.zeros((nx+1,ny+1,2))#位移向量，(nx+1)*(ny+1)個節(jié)點，每個節(jié)點有x和y兩個方向的位移

K=lil_matrix((2*(nx+1)*(ny+1),2*(nx+1)*(ny+1)),dtype=np.float64)#剛度矩陣

#構(gòu)建剛度矩陣

foriinrange(nx):

forjinrange(ny):

#計算每個單元的剛度矩陣

#這里簡化處理，實際應(yīng)用中需要根據(jù)單元形狀和材料屬性詳細計算

Ke=np.array([[1,0,-1,0],

[0,1,0,-1],

[-1,0,1,0],

[0,-1,0,1]])*E*dx*dy/(1-nu**2)

#將單元剛度矩陣添加到全局剛度矩陣中

idx=i*(ny+1)+j

K[2*idx:2*idx+2,2*idx:2*idx+2]+=Ke[:2,:2]

K[2*idx:2*idx+2,2*idx+2:2*idx+4]+=Ke[:2,2:]

K[2*idx+2:2*idx+4,2*idx:2*idx+2]+=Ke[2:,:2]

K[2*idx+2:2*idx+4,2*idx+2:2*idx+4]+=Ke[2:,2:]

#應(yīng)用邊界條件

#假設(shè)左邊界固定，右邊界受到面力作用

forjinrange(ny+1):

K[2*j,:]=0

K[2*j,2*j]=1

K[2*j+2*(nx+1),:]=0

K[2*j+2*(nx+1),2*j+2*(nx+1)]=1

#右邊界面力

F=np.zeros(2*(nx+1)*(ny+1))

F[2*(nx+1):2*(nx+1)*(ny+1):2*(nx+1)]=px*dx*t

#求解位移

u=spsolve(K.tocsr(),F).reshape((nx+1,ny+1,2))

#計算應(yīng)力

#這里簡化處理，實際應(yīng)用中需要根據(jù)位移計算應(yīng)變，再根據(jù)應(yīng)變計算應(yīng)力

sigma_x=np.zeros((nx,ny))

sigma_y=np.zeros((nx,ny))

tau_xy=np.zeros((nx,ny))

foriinrange(nx):

forjinrange(ny):

#計算應(yīng)變

epsilon_x=(u[i+1,j,0]-u[i,j,0])/dx

epsilon_y=(u[i,j+1,1]-u[i,j,1])/dy

gamma_xy=(u[i+1,j,1]-u[i,j,1])/dx+(u[i,j+1,0]-u[i,j,0])/dy

#計算應(yīng)力

sigma_x[i,j]=E*(epsilon_x-nu*epsilon_y)

sigma_y[i,j]=E*(epsilon_y-nu*epsilon_x)

tau_xy[i,j]=E/(1+nu)*gamma_xy

#輸出結(jié)果

print("位移向量：")

print(u)

print("x方向應(yīng)力：")

print(sigma_x)

print("y方向應(yīng)力：")

print(sigma_y)

print("xy剪應(yīng)力：")

print(tau_xy)這個例子展示了如何使用積分法求解平面應(yīng)力問題，包括構(gòu)建剛度矩陣、應(yīng)用邊界條件、求解位移以及計算應(yīng)力。6.2維彈性問題的數(shù)值模擬6.2.1原理三維彈性問題涉及到x、y和z三個方向的應(yīng)力和應(yīng)變。在數(shù)值模擬中，我們通常使用有限元方法來離散化問題，將連續(xù)的彈性體分解為多個小的單元，每個單元的應(yīng)力和應(yīng)變可以通過單元內(nèi)的位移來計算。6.2.2內(nèi)容三維彈性問題的胡克定律可以表示為：σ其中，σij是應(yīng)力張量，εkσ6.2.3示例假設(shè)我們有一個立方體結(jié)構(gòu)，其尺寸為Lxfromfenicsimport*

#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#幾何尺寸

Lx=1.0#x方向長度，單位：m

Ly=1.0#y方向長度，單位：m

Lz=1.0#z方向長度，單位：m

#體力

b=Constant((0.0,0.0,-1e6))#體力，單位：N/m^3

#創(chuàng)建網(wǎng)格

mesh=BoxMesh(Point(0,0,0),Point(Lx,Ly,Lz),10,10,10)

#定義函數(shù)空間

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',degree=1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0.0,0.0,0.0)),boundary)

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0.0,0.0,0.0))

T=Constant((0.0,0.0,0.0))

defepsilon(u):

returnsym(nabla_grad(u))

defsigma(u):

returnlmbda*tr(epsilon(u))*Identity(3)+2*mu*epsilon(u)

a=inner(sigma(u),epsilon(v))*dx

L=dot(b,v)*dx

#求解位移

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#輸出結(jié)果

print("位移向量：")

print(u.vector().get_local())這個例子展示了如何使用FEniCS庫求解三維彈性問題，包括定義函數(shù)空間、邊界條件、變分問題以及求解位移。6.3復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的積分法分析6.3.1原理復(fù)合材料結(jié)構(gòu)通常由不同材料的層組成，每層的材料屬性可能不同。在積分法分析中，我們需要考慮每層的材料屬性和層間效應(yīng)，通過構(gòu)建全局剛度矩陣和應(yīng)用邊界條件來求解復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力。6.3.2內(nèi)容復(fù)合材料的胡克定律可以表示為：σ其中，Qij是復(fù)合材料的彈性常數(shù)，σx和σy是正應(yīng)力，τxy是剪應(yīng)力，6.3.3示例假設(shè)我們有一個由兩層不同材料組成的復(fù)合材料板，其尺寸為Lx×Ly，每層的厚度分別為importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#材料屬性

Q11_1=100e9#第一層Q11彈性常數(shù)，單位：Pa

Q12_1=30e9#第一層Q12彈性常數(shù)，單位：Pa

Q66_1=50e9#第一層Q66彈性常數(shù)，單位：Pa

t1=0.001#第一層厚度，單位：m

Q11_2=150e9#第二層Q11彈性常數(shù)，單位：Pa

Q12_2=40e9#第二層Q12彈性常數(shù)，單位：Pa

Q66_2=60e9#第二層Q66彈性常數(shù)，單位：Pa

t2=0.002#第二層厚度，單位：m

#幾何尺寸

Lx=1.0#x方向長度，單位：m

Ly=1.0#y方向長度，單位：m

#網(wǎng)格劃分

nx=10#x方向網(wǎng)格數(shù)

ny=10#y方向網(wǎng)格數(shù)

dx=Lx/nx

dy=Ly/ny

#創(chuàng)建位移向量和剛度矩陣

u=np.zeros((nx+1,ny+1,2))#位移向量，(nx+1)*(ny+1)個節(jié)點，每個節(jié)點有x和y兩個方向的位移

K=lil_matrix((2*(nx+1)*(ny+1),2*(nx+1)*(ny+1)),dtype=np.float64)#剛度矩陣

#構(gòu)建剛度矩陣

foriinrange(nx):

forjinrange(ny):

#計算每個單元的剛度矩陣

#這里簡化處理，實際應(yīng)用中需要根據(jù)單元形狀和材料屬性詳細計算

Ke=np.array([[Q11_1,Q12_1,-Q11_1,-Q12_1],

[Q12_1,Q11_1,-Q12_1,