彈性力學數(shù)值方法：數(shù)值積分：高斯積分法則

彈性力學數(shù)值方法：數(shù)值積分：高斯積分法則1彈性力學基礎(chǔ)1.1應(yīng)力與應(yīng)變的概念在彈性力學中，應(yīng)力（Stress）和應(yīng)變（Strain）是兩個核心概念，它們描述了材料在受力作用下的響應(yīng)。1.1.1應(yīng)力應(yīng)力定義為單位面積上的內(nèi)力，通常用符號σ表示。在三維空間中，應(yīng)力可以分為正應(yīng)力（σ）和剪應(yīng)力（τ）。正應(yīng)力是垂直于材料表面的應(yīng)力，而剪應(yīng)力則是平行于材料表面的應(yīng)力。應(yīng)力的單位是帕斯卡（Pa），在工程中常用兆帕（MPa）或千帕（kPa）表示。1.1.2應(yīng)變應(yīng)變是材料在應(yīng)力作用下發(fā)生的形變程度，通常用符號ε表示。應(yīng)變分為線應(yīng)變（ε）和剪應(yīng)變（γ）。線應(yīng)變描述了材料在某一方向上的伸長或縮短，而剪應(yīng)變描述了材料在某一平面上的剪切形變。應(yīng)變是一個無量綱的量。1.2彈性方程的建立彈性方程是描述彈性體在外力作用下變形和應(yīng)力分布的數(shù)學模型。在彈性力學中，最常用的彈性方程是胡克定律（Hooke’sLaw）。1.2.1胡克定律胡克定律表述為：在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，比例常數(shù)為材料的彈性模量。對于一維情況，胡克定律可以表示為：σ其中，σ是應(yīng)力，ε是應(yīng)變，E是彈性模量。在三維情況下，胡克定律可以擴展為：σ這里，σ_{ij}和ε_{kl}分別是應(yīng)力張量和應(yīng)變張量的分量，C_{ijkl}是彈性常數(shù)，描述了材料的彈性性質(zhì)。1.2.2平衡方程平衡方程描述了彈性體內(nèi)部力的平衡條件，即在任意體積內(nèi)，作用力的矢量和為零。在三維空間中，平衡方程可以表示為：?其中，f_i是體積力的分量，x_j是坐標分量。1.2.3幾何方程幾何方程描述了應(yīng)變與位移之間的關(guān)系。在小變形情況下，幾何方程可以簡化為：?這里，u_i是位移分量。1.3有限元法簡介有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一種數(shù)值方法，用于求解復(fù)雜的彈性力學問題。它將連續(xù)的彈性體離散為有限數(shù)量的單元，每個單元用一組節(jié)點來表示，然后在每個單元內(nèi)近似求解彈性方程。1.3.1單元與節(jié)點在有限元模型中，單元（Element）是彈性體的離散化部分，而節(jié)點（Node）是單元之間的連接點。單元可以是線性的、三角形的、四邊形的、六面體的等，具體取決于問題的幾何形狀。1.3.2形函數(shù)形函數(shù)（ShapeFunction）用于在單元內(nèi)部插值節(jié)點的位移。對于線性單元，形函數(shù)通常是線性的；對于高階單元，形函數(shù)可以是多項式的。形函數(shù)的選取直接影響了有限元解的精度。1.3.3虛功原理有限元法基于虛功原理（VirtualWorkPrinciple），即在彈性體的任何虛位移下，外力所做的虛功等于內(nèi)力所做的虛功。虛功原理是有限元法求解彈性力學問題的理論基礎(chǔ)。1.3.4矩陣方程有限元法最終將彈性力學問題轉(zhuǎn)化為一組矩陣方程，形式為：K這里，[K]是剛度矩陣，{u}是位移向量，{F}是外力向量。通過求解這個矩陣方程，可以得到彈性體的位移，進而計算出應(yīng)力和應(yīng)變。1.3.5示例代碼：使用Python實現(xiàn)簡單的一維彈性問題importnumpyasnp

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

A=0.01#截面積，單位：m^2

#定義單元屬性

L=1.0#單元長度，單位：m

n_elements=10#單元數(shù)量

#定義外力

F=1000#單位：N

#定義節(jié)點和單元

nodes=np.linspace(0,n_elements*L,n_elements+1)

elements=np.array([(i,i+1)foriinrange(n_elements)])

#計算剛度矩陣

K=np.zeros((n_elements+1,n_elements+1))

fori,(n1,n2)inenumerate(elements):

k=E*A/L#單元剛度

K[n1,n1]+=k

K[n1,n2]-=k

K[n2,n1]-=k

K[n2,n2]+=k

#應(yīng)用邊界條件

K[0,:]=0

K[-1,:]=0

K[:,0]=0

K[:,-1]=0

K[0,0]=1

K[-1,-1]=1

#定義外力向量

F_vec=np.zeros(n_elements+1)

F_vec[-1]=F

#求解位移向量

u=np.linalg.solve(K,F_vec)

#計算應(yīng)力

stress=np.array([E*(u[i+1]-u[i])/Lforiinrange(n_elements)])

#輸出結(jié)果

print("位移向量：",u)

print("應(yīng)力：",stress)這段代碼演示了如何使用有限元法求解一維彈性問題。首先，定義了材料屬性、單元屬性和外力。然后，通過節(jié)點和單元的定義，構(gòu)建了剛度矩陣[K]。應(yīng)用邊界條件后，使用線性方程求解器求解位移向量{u}。最后，根據(jù)位移計算了應(yīng)力。通過這個簡單的例子，我們可以看到有限元法的基本流程：定義材料屬性、單元屬性、外力，構(gòu)建剛度矩陣，應(yīng)用邊界條件，求解位移向量，計算應(yīng)力。在實際應(yīng)用中，有限元法可以處理更復(fù)雜的三維問題，包括非線性材料、復(fù)雜的幾何形狀和邊界條件。2彈性力學數(shù)值方法：數(shù)值積分：高斯積分法則2.1數(shù)值積分的基本概念數(shù)值積分是數(shù)值分析中的一個重要分支，它主要研究如何通過數(shù)值方法近似計算定積分。在彈性力學的數(shù)值方法中，如有限元法，經(jīng)常需要計算復(fù)雜的積分，而這些積分往往無法通過解析方法求解。數(shù)值積分提供了一種有效的方法來處理這類問題，其中最常用和最有效的方法之一就是高斯積分法則。2.1.1定積分與數(shù)值近似定積分可以表示為函數(shù)fx在區(qū)間a,b2.2高斯積分的理論基礎(chǔ)高斯積分法則是一種基于多項式插值的數(shù)值積分方法，它通過選擇特定的積分點和相應(yīng)的權(quán)重，可以以極高的精度近似積分。高斯積分法則的核心在于，對于一個給定的積分區(qū)間和積分次數(shù)，存在一組特定的積分點和權(quán)重，使得對于所有次數(shù)不超過2n2.2.1高斯積分點的選擇高斯積分點的選擇是基于正交多項式理論的。對于一個給定的積分區(qū)間?1,1和一個權(quán)重函數(shù)w?高斯積分點就是這些正交多項式的根，而權(quán)重則可以通過求解特定的線性方程組得到。對于不同的權(quán)重函數(shù)wx，可以得到不同的高斯積分法則，如高斯-勒讓德積分（wx=2.2.2高斯積分的公式對于一個給定的函數(shù)fx和積分區(qū)間??其中，xi是高斯積分點，w2.2.3高斯積分的擴展高斯積分法則可以很容易地擴展到任意區(qū)間a,b，只需要通過變換x=2.3高斯積分點的選擇選擇高斯積分點和權(quán)重是高斯積分法則的關(guān)鍵。對于一個給定的積分次數(shù)n，高斯積分點xi和權(quán)重w2.3.1高斯-勒讓德積分點和權(quán)重以高斯-勒讓德積分法則為例，假設(shè)我們選擇n=2，即使用兩個積分點進行積分。高斯-勒讓德積分點和權(quán)重可以通過求解勒讓德多項式的根和相應(yīng)的線性方程組得到。對于xw2.3.2高斯積分的示例假設(shè)我們需要計算函數(shù)fx=x2在區(qū)間xf然后，我們使用高斯-勒讓德積分法則，選擇n=xw最后，我們計算高斯積分的近似值：0===2.3.3高斯積分的代碼示例下面是一個使用Python計算上述示例中高斯積分的代碼：importnumpyasnp

defgauss_legendre(f,a,b,n):

#高斯-勒讓德積分點和權(quán)重

x,w=np.polynomial.legendre.leggauss(n)

#將積分區(qū)間轉(zhuǎn)換為[-1,1]

x=(b-a)/2*x+(a+b)/2

#計算高斯積分的近似值

integral=np.sum(w*f(x))

returnintegral

#定義被積函數(shù)

deff(x):

returnx**2

#計算積分

integral=gauss_legendre(f,0,2,2)

print("高斯積分的近似值為：",integral)在這個代碼示例中，我們使用了numpy庫中的leggauss函數(shù)來計算高斯-勒讓德積分點和權(quán)重，然后通過變換將積分區(qū)間從0,2轉(zhuǎn)換為2.4結(jié)論高斯積分法則是一種高效且精確的數(shù)值積分方法，它通過選擇特定的積分點和權(quán)重，可以以極高的精度近似積分。在彈性力學的數(shù)值方法中，高斯積分法則被廣泛應(yīng)用于有限元法的積分計算，極大地提高了計算效率和精度。通過上述原理和示例的介紹，我們對高斯積分法則有了更深入的理解。3彈性力學數(shù)值方法：數(shù)值積分：高斯積分法則應(yīng)用3.1維高斯積分3.1.1原理一維高斯積分是一種數(shù)值積分方法，用于近似計算函數(shù)在給定區(qū)間上的定積分。它基于選擇一組特定的積分點和對應(yīng)的權(quán)重，使得積分的近似值在多項式函數(shù)上達到最高精度。對于一個函數(shù)fx在區(qū)間??其中，wi是第i個積分點的權(quán)重，xi是第i個積分點的位置。對于更一般的區(qū)間3.1.2示例假設(shè)我們需要計算函數(shù)fx=x2在區(qū)間importnumpyasnp

#定義函數(shù)

deff(x):

returnx**2

#高斯積分點和權(quán)重，這里使用2點高斯積分

x_gauss=np.array([-0.57735027,0.57735027])

w_gauss=np.array([1,1])

#區(qū)間變換

a,b=0,2

x_transformed=0.5*(b-a)*x_gauss+0.5*(b+a)

w_transformed=0.5*(b-a)*w_gauss

#計算積分

integral=np.sum(w_transformed*f(x_transformed))

print("一維高斯積分結(jié)果：",integral)3.1.3描述上述代碼中，我們定義了函數(shù)fx=x2，并選擇了2點高斯積分的積分點和權(quán)重。通過區(qū)間變換，我們將3.2維高斯積分3.2.1原理二維高斯積分是將一維高斯積分擴展到二維空間，用于計算函數(shù)在二維區(qū)域上的積分。對于一個函數(shù)fx,yc其中，wi和wj分別是x和y方向上的積分點的權(quán)重，xi3.2.2示例假設(shè)我們需要計算函數(shù)fx,y#定義二維函數(shù)

deff(x,y):

returnx**2+y**2

#二維高斯積分點和權(quán)重，這里使用2點高斯積分

x_gauss=np.array([-0.57735027,0.57735027])

y_gauss=np.array([-0.57735027,0.57735027])

w_gauss=np.array([1,1])

#區(qū)間變換

a,b=0,2

c,d=1,3

x_transformed=0.5*(b-a)*x_gauss+0.5*(b+a)

y_transformed=0.5*(d-c)*y_gauss+0.5*(d+c)

w_x_transformed=0.5*(b-a)*w_gauss

w_y_transformed=0.5*(d-c)*w_gauss

#計算積分

integral=np.sum(w_x_transformed[:,None]*w_y_transformed*f(x_transformed[:,None],y_transformed))

print("二維高斯積分結(jié)果：",integral)3.2.3描述在二維高斯積分中，我們首先定義了函數(shù)fx,y=x3.3高斯積分在有限元分析中的應(yīng)用在有限元分析中，高斯積分用于計算單元的剛度矩陣和載荷向量。由于有限元分析中的積分通常涉及復(fù)雜的幾何形狀和高維空間，高斯積分提供了一種高效且精確的數(shù)值積分方法。3.3.1描述在有限元分析中，每個單元的剛度矩陣和載荷向量通常需要通過積分來計算。這些積分可能涉及單元的幾何形狀、材料屬性以及外力分布。高斯積分通過選擇有限數(shù)量的積分點和權(quán)重，能夠在保證計算精度的同時，顯著減少計算量，特別是在處理高維空間的積分時。例如，對于一個四邊形單元，其剛度矩陣的計算可能涉及在單元內(nèi)部進行的雙積分。使用二維高斯積分，我們可以選擇適當?shù)姆e分點和權(quán)重，將這個雙積分轉(zhuǎn)化為一系列點上的函數(shù)值的加權(quán)求和，從而簡化計算過程。在實際應(yīng)用中，高斯積分點和權(quán)重的選擇取決于單元的形狀和積分的精度要求。通常，對于簡單的單元形狀，如矩形或三角形，2點或3點高斯積分就足夠了。而對于更復(fù)雜的單元形狀，可能需要更多的積分點來保證計算精度?？傊?，高斯積分在有限元分析中是一種非常重要的數(shù)值積分方法，它能夠有效地處理復(fù)雜的積分問題，提高計算效率，同時保持計算精度。4高斯積分的優(yōu)化與挑戰(zhàn)4.1積分精度與誤差分析高斯積分是一種數(shù)值積分方法，它通過在積分區(qū)間內(nèi)選取特定的點（稱為高斯點）和相應(yīng)的權(quán)重，來近似計算定積分。這種方法在處理多項式函數(shù)時特別有效，因為它可以精確地計算多項式的積分，只要積分函數(shù)的階數(shù)不超過高斯點的階數(shù)。4.1.1精度提升高斯積分的精度可以通過增加高斯點的數(shù)量來提升。例如，對于一個一維積分，使用兩個高斯點可以精確計算至三次多項式的積分，而使用三個高斯點則可以精確計算至五次多項式的積分。這種精度的提升是基于高斯積分的構(gòu)造原理，即選取的高斯點和權(quán)重可以使得積分公式對于一定階數(shù)的多項式函數(shù)是精確的。4.1.2誤差來源盡管高斯積分在多項式函數(shù)上具有高精度，但在處理非多項式函數(shù)時，誤差主要來源于兩個方面：一是函數(shù)在高斯點處的近似，二是積分區(qū)間的劃分。對于非多項式函數(shù)，高斯積分只能提供一個近似值，其精度取決于高斯點的數(shù)量和函數(shù)在這些點上的行為。此外，如果積分區(qū)間非常大或函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有劇烈變化，可能需要更多的高斯點來保證積分的精度。4.1.3誤差分析誤差分析是評估高斯積分近似精度的關(guān)鍵步驟。一種常見的方法是使用余項公式，該公式可以給出積分近似值與真實值之間的差值。例如，對于一維高斯積分，余項公式通常涉及積分函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。通過分析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以估計積分的誤差，并據(jù)此選擇合適的高斯點數(shù)量。4.2高階高斯積分高階高斯積分是指在積分公式中使用更多高斯點的方法，以提高積分的精度。在實際應(yīng)用中，特別是在彈性力學的有限元分析中，高階高斯積分對于處理復(fù)雜的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和非線性材料行為至關(guān)重要。4.2.1高斯點的選擇高斯點的選擇是基于正交多項式理論。對于一維積分，高斯點是勒讓德多項式的根。在二維和三維積分中，高斯點的選擇更加復(fù)雜，通常需要使用雅可比多項式或其他正交多項式的根。高斯點的數(shù)量和位置決定了積分公式的精度和適用范圍。4.2.2權(quán)重計算每個高斯點都對應(yīng)一個權(quán)重，權(quán)重的計算基于正交多項式的性質(zhì)。在一維情況下，權(quán)重可以通過求解勒讓德多項式的積分來獲得。在多維情況下，權(quán)重的計算通常需要數(shù)值方法，如迭代算法或直接求解線性方程組。4.2.3示例代碼以下是一個使用Python實現(xiàn)的一維高斯積分的示例代碼，計算函數(shù)fx=ximportnumpyasnp

deff(x):

"""被積函數(shù)"""

returnx**2

defgauss_quadrature(f,a,b,n):

"""一維高斯積分"""

x,w=np.polynomial.legendre.leggauss(n)#獲取高斯點和權(quán)重

x=(b-a)/2*x+(b+a)/2#將高斯點映射到積分區(qū)間

w=(b-a)/2*w#調(diào)整權(quán)重

returnnp.sum(w*f(x))#計算積分

#計算f(x)=x^2在[-1,1]上的積分，使用3個高斯點

integral=gauss_quadrature(f,-1,1,3)

print("積分結(jié)果:",integral)4.2.4解釋在這個示例中，我們首先定義了被積函數(shù)fx=x2。然后，我們使用4.3特殊幾何形狀下的高斯積分在處理特殊幾何形狀，如三角形、四邊形、球體等，高斯積分需要進行適當?shù)恼{(diào)整。這是因為標準的高斯積分公式通常適用于矩形或立方體形狀的積分區(qū)間。4.3.1角形積分對于三角形積分，可以使用基于雅可比多項式的高斯積分公式。三角形通常被參數(shù)化為兩個變量的函數(shù)，積分公式需要在兩個變量上進行雙重積分。4.3.2邊形積分四邊形積分可以通過將四邊形分割成兩個三角形，然后分別對每個三角形應(yīng)用高斯積分來實現(xiàn)。另一種方法是使用專門針對四邊形的高斯積分公式，這些公式通?；陔p變量的正交多項式。4.3.3球體積分球體積分通常在球坐標系中進行，使用基于勒讓德多項式的高斯積分公式來處理徑向積分，以及基于勒讓德多項式和切比雪夫多項式的高斯積分公式來處理角度積分。4.3.4示例代碼以下是一個使用Python實現(xiàn)的二維高斯積分的示例代碼，計算函數(shù)fx,yimportnumpyasnp

deff(x,y):

"""被積函數(shù)"""

returnx**2+y**2

defgauss_quadrature_2d(f,a,b,c,d,n):

"""二維高斯積分"""

x,w_x=np.polynomial.legendre.leggauss(n)#獲取x方向的高斯點和權(quán)重

y,w_y=np.polynomial.legendre.leggauss(n)#獲取y方向的高斯點和權(quán)重

x=(b-a)/2*x+(b+a)/2#將x方向的高斯點映射到積分區(qū)間

y=(d-c)/2*y+(d+c)/2#將y方向的高斯點映射到積分區(qū)間

w_x=(b-a)/2*w_x#調(diào)整x方向的權(quán)重

w_y=(d-c)/2*w_y#調(diào)整y方向的權(quán)重

integral=0

foriinrange(n):

forjinrange(n):

integral+=w_x[i]*w_y[j]*f(x[i],y[j])#計算積分

returnintegral

#計算f(x,y)=x^2+y^2在單位正方形[0,1]x[0,1]上的積分，使用3個高斯點

integral=gauss_quadrature_2d(f,0,1,0,1,3)

print("積分結(jié)果:",integral)4.3.5解釋在這個二維高斯積分的示例中，我們首先定義了被積函數(shù)fx,y通過上述討論和示例，我們可以看到高斯積分在處理不同幾何形狀和高階積分時的靈活性和強大能力。然而，選擇合適的高斯點和權(quán)重，以及對積分精度和誤差的分析，仍然是應(yīng)用高斯積分時需要仔細考慮的問題。5實例分析與實踐5.1高斯積分在實際問題中的應(yīng)用案例在彈性力學的數(shù)值方法中，高斯積分法則被廣泛應(yīng)用于有限元分析中，特別是在處理復(fù)雜的幾何形狀和材料特性時。高斯積分通過在積分區(qū)間內(nèi)選取特定的積分點和權(quán)重，能夠以較少的計算量獲得較高的積分精度。下面，我們通過一個具體的彈性力學問題來探討高斯積分的應(yīng)用。假設(shè)我們有一個簡單的梁，其長度為L，寬度為b，厚度為h，材料的彈性模量為E，泊松比為ν。梁受到均勻分布的載荷q作用，我們需要計算梁的撓度。在有限元分析中，梁的撓度可以通過求解微分方程得到，而微分方程的求解往往涉及到對梁截面的應(yīng)力和應(yīng)變進行積分。這里，我們使用高斯積分來簡化這一過程。5.1.1代碼示例importnumpyasnp

#定義高斯積分點和權(quán)重

gauss_points=np.array([-np.sqrt(1/3),np.sqrt(1/3)])

gauss_weights=np.array([1,1])

#定義梁的參數(shù)

L=1.0

b=0.1

h=0.05

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

q=1000#均勻分布載荷，單位：N/m

#定義積分函數(shù)

defintegrate(f,a,b):

total=0

fori,xiinenumerate(gauss_points):

x=(b-a)/2*xi+(b+a)/2

total+=(b-a)/2*gauss_weights[i]*f(x)

returntotal

#定義應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系函數(shù)

defstress_strain(y):

I=b*h**3/12#截面慣性矩

returnq*y**2/(2*I*E)

#計算梁的撓度

defdeflection():

#撓度公式中的積分部分

integral=integrate(stress_strain,-h/2,h/2)

#撓度公式

returnintegral*L**3/(6*E*b*h**3)

#輸出結(jié)果

print("梁的撓度為：",deflection())5.1.2例子描述上述代碼中，我們首先定義了高斯積分點和權(quán)重，然后定義了梁的幾何和材料參數(shù)。integrate函數(shù)實現(xiàn)了高斯積分，其中f是被積函數(shù)，a和b是積分區(qū)間的端點。stress_strain函數(shù)根據(jù)梁的幾何和材料參數(shù)計算應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。最后，deflection函數(shù)通過調(diào)用integrate函數(shù)計算梁的撓度。5.2使用高斯積分解決復(fù)雜彈性問題在處理更復(fù)雜的彈性力學問題時，如三維結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分析，高斯積分的優(yōu)越性更加明顯。三維問題中的積分往往涉及到三維空間中的積分，高斯積分法則可以擴展到多維空間，通過在每個維度上選取高斯積分點和權(quán)重，可以有效地簡化積分過程。5.2.1代碼示例importnumpyasnp

#定義三維高斯積分點和權(quán)重

gauss_points_3d=np.array([[-np.sqrt(3/5),0,np.sqrt(3/5)],

[np.sqrt(3/5),0,np.sqrt(3/5)],

[-np.sqrt(3/5),0,-np.sqrt(3/5)],

[np.sqrt(3/5),0,-np.sqrt(3/5)],

[-np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5),0],

[np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5),0],

[-np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5),0],

[np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5),0],

[0,np.sqrt(3/5),0],

[0,-np.sqrt(3/5),0],

[0,0,np.sqrt(3/5)],

[0,0,-np.sqrt(3/5)]])

gauss_weights_3d=np.array([5/9,8/9,5/9,8/9,5/9,8/9,5/9,8/9,5/9,5/9,5/9,5/9])

#定義三維彈性問題的積分函數(shù)

defintegrate_3d(f,a,b,c,d,e,f):

total=0

fori,(xi,yi,zi)inenumerate(gauss_points_3d):

x=(b-a)/2*xi+(b+a)/2

y=(d-c)/2*yi+(d+c)/2

z=(f-e)/2*zi+(f+e)/2

total+=(b-a)/2*(d-c)/2*(f-e)/2*gauss_weights_3d[i]*f(x,y,z)

returntotal

#定義三維應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系函數(shù)

defstress_strain_3d(x,y,z):

#假設(shè)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為線性，這里僅作示例

returnx**2+y**2+z**2

#計算三維結(jié)構(gòu)的應(yīng)力

defcalculate_stress():

#假設(shè)積分區(qū)間為[-1,1]x[-1,1]x[-1,1]

returnintegrate_3d(stress_strain_3d,-1,1,-1,1,-1,1)

#輸出結(jié)果

print("三維結(jié)構(gòu)的應(yīng)力為：",calculate_stress())5.2.2例子描述在三維彈性問題中，我們定義了12個高斯積分點和對應(yīng)的權(quán)重。integrate_3d函數(shù)實現(xiàn)了三維高斯積分，其中f是被積函數(shù)，a到f是積