彈性力學(xué)數(shù)值方法：數(shù)值積分：有限元法中的數(shù)值積分應(yīng)用

彈性力學(xué)數(shù)值方法：數(shù)值積分：有限元法中的數(shù)值積分應(yīng)用1彈性力學(xué)基礎(chǔ)理論1.1彈性力學(xué)基本方程在彈性力學(xué)中，基本方程描述了物體在受力作用下的變形和應(yīng)力分布。這些方程主要包括平衡方程、幾何方程和物理方程。1.1.1平衡方程平衡方程基于牛頓第二定律，描述了物體內(nèi)部應(yīng)力與外力之間的關(guān)系。在三維空間中，平衡方程可以表示為：???其中，σx,σy,σz是正應(yīng)力，τxy,τ1.1.2幾何方程幾何方程描述了物體變形與位移之間的關(guān)系。在小變形假設(shè)下，幾何方程可以簡(jiǎn)化為：???γγγ其中，?x,?y,1.1.3物理方程物理方程，也稱(chēng)為本構(gòu)方程，描述了應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。對(duì)于各向同性材料，物理方程可以表示為胡克定律：σσστττ其中，E是彈性模量，G是剪切模量。1.2應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是彈性力學(xué)中的核心概念，它描述了材料在受力作用下如何變形。對(duì)于線彈性材料，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以通過(guò)胡克定律來(lái)描述。胡克定律表明，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，比例常數(shù)為材料的彈性模量。1.2.1胡克定律示例假設(shè)一個(gè)立方體結(jié)構(gòu)，其彈性模量E=200×109Pa，剪切模量G=80×#定義材料參數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

G=80e9#剪切模量，單位：Pa

#定義應(yīng)變

epsilon_x=0.001#x方向的線應(yīng)變

#計(jì)算應(yīng)力

sigma_x=E*epsilon_x#x方向的正應(yīng)力

#輸出結(jié)果

print(f"x方向的正應(yīng)力σx為：{sigma_x}Pa")1.3邊界條件與載荷在彈性力學(xué)問(wèn)題中，邊界條件和載荷是確定結(jié)構(gòu)響應(yīng)的關(guān)鍵因素。邊界條件可以是位移邊界條件或應(yīng)力邊界條件，而載荷可以是體積力或表面力。1.3.1位移邊界條件示例假設(shè)一個(gè)長(zhǎng)方體結(jié)構(gòu)，其一端固定，另一端受到x方向的位移u=#定義位移邊界條件

u_fixed=0.0#固定端位移

u_applied=0.01#應(yīng)用端位移

#設(shè)置邊界條件

#假設(shè)使用Python的FEniCS庫(kù)進(jìn)行有限元分析

fromdolfinimport*

mesh=UnitSquareMesh(10,10)#創(chuàng)建網(wǎng)格

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)#創(chuàng)建位移函數(shù)空間

#定義邊界條件

bc_fixed=DirichletBC(V,Constant((u_fixed,u_fixed)),'on_boundary&&near(x[0],0)')

bc_applied=DirichletBC(V.sub(0),Constant(u_applied),'on_boundary&&near(x[0],1)')

#輸出邊界條件

print("位移邊界條件設(shè)置完成。")1.3.2應(yīng)力邊界條件示例假設(shè)一個(gè)圓盤(pán)結(jié)構(gòu)，其外表面受到均勻的正應(yīng)力σr#定義應(yīng)力邊界條件

sigma_r=-1e6#外表面正應(yīng)力

#設(shè)置邊界條件

#假設(shè)使用Python的FEniCS庫(kù)進(jìn)行有限元分析

fromdolfinimport*

mesh=UnitDiskMesh()#創(chuàng)建圓盤(pán)網(wǎng)格

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)#創(chuàng)建位移函數(shù)空間

#定義外表面

defouter_boundary(x,on_boundary):

returnon_boundaryandnear(x[0]**2+x[1]**2,1)

#定義應(yīng)力邊界條件

classStressBC(Expression):

defeval(self,values,x):

values[0]=sigma_r#r方向的應(yīng)力

values[1]=0.0#θ方向的應(yīng)力

#應(yīng)用應(yīng)力邊界條件

bc_stress=StressBC(V)

bc_stress=[bc_stress]

#輸出邊界條件

print("應(yīng)力邊界條件設(shè)置完成。")1.3.3載荷示例假設(shè)一個(gè)結(jié)構(gòu)受到x方向的體積力fx#定義體積力

f_x=1e4#x方向的體積力

#定義載荷

#假設(shè)使用Python的FEniCS庫(kù)進(jìn)行有限元分析

fromdolfinimport*

mesh=UnitSquareMesh(10,10)#創(chuàng)建網(wǎng)格

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)#創(chuàng)建位移函數(shù)空間

#定義體積力函數(shù)

f=Constant((f_x,0.0))

#定義弱形式

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

a=inner(sigma(u),grad(v))*dx

L=inner(f,v)*dx

#輸出載荷設(shè)置

print("體積力載荷設(shè)置完成。")通過(guò)以上示例，我們可以看到如何在有限元分析中設(shè)置位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和體積力載荷。這些是解決彈性力學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是有限元法中的重要組成部分。2有限元法原理2.1有限元法概述有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一種廣泛應(yīng)用于工程分析和科學(xué)計(jì)算的數(shù)值方法，主要用于求解偏微分方程。在彈性力學(xué)中，F(xiàn)EM被用來(lái)分析結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，通過(guò)將連續(xù)的結(jié)構(gòu)離散化為有限數(shù)量的單元，每個(gè)單元用簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似描述，從而將復(fù)雜的連續(xù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列的代數(shù)方程，便于計(jì)算機(jī)求解。2.1.1有限元法的起源與應(yīng)用有限元法起源于20世紀(jì)40年代，最初用于航空結(jié)構(gòu)的分析。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，F(xiàn)EM的應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大，現(xiàn)在不僅在結(jié)構(gòu)工程中，還在熱力學(xué)、流體力學(xué)、電磁學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。2.2離散化過(guò)程離散化是有限元法的核心步驟，它將連續(xù)的結(jié)構(gòu)或區(qū)域分解為有限數(shù)量的單元，每個(gè)單元用節(jié)點(diǎn)來(lái)表示邊界。單元內(nèi)部的物理量（如位移、應(yīng)力、應(yīng)變）通過(guò)節(jié)點(diǎn)上的物理量來(lái)插值。2.2.1單元與節(jié)點(diǎn)單元：可以是線性的、二次的或更高階的，形狀可以是三角形、四邊形、六面體等。節(jié)點(diǎn)：?jiǎn)卧倪吔琰c(diǎn)，用于定義單元的形狀和位置。2.2.2插值函數(shù)插值函數(shù)用于描述單元內(nèi)部物理量與節(jié)點(diǎn)物理量之間的關(guān)系。對(duì)于線性單元，插值函數(shù)通常為線性函數(shù)；對(duì)于高階單元，插值函數(shù)可能包含多項(xiàng)式。2.2.3離散化示例假設(shè)有一個(gè)簡(jiǎn)單的梁結(jié)構(gòu)，我們可以將其離散化為多個(gè)線性單元，每個(gè)單元有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別表示梁的兩端。節(jié)點(diǎn)上的位移將用于描述整個(gè)梁的變形。示例：梁的離散化2.3剛度矩陣與載荷向量在有限元分析中，剛度矩陣和載荷向量是求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的關(guān)鍵。2.3.1剛度矩陣剛度矩陣描述了結(jié)構(gòu)的剛度特性，反映了結(jié)構(gòu)在受力時(shí)的變形行為。它是通過(guò)對(duì)每個(gè)單元的剛度矩陣進(jìn)行組裝得到的，每個(gè)單元的剛度矩陣由單元的幾何形狀、材料屬性和插值函數(shù)決定。2.3.2載荷向量載荷向量包含了作用在結(jié)構(gòu)上的外力和邊界條件。在有限元分析中，載荷向量通常表示為節(jié)點(diǎn)上的力或力矩。2.3.3組裝過(guò)程組裝過(guò)程是將所有單元的剛度矩陣和載荷向量合并成全局剛度矩陣和全局載荷向量。這個(gè)過(guò)程涉及到將局部坐標(biāo)系下的矩陣和向量轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系下，然后進(jìn)行疊加。2.3.4求解過(guò)程一旦全局剛度矩陣和全局載荷向量被建立，就可以通過(guò)求解線性方程組來(lái)得到節(jié)點(diǎn)位移。節(jié)點(diǎn)位移可以進(jìn)一步用于計(jì)算單元內(nèi)部的應(yīng)力和應(yīng)變。示例：剛度矩陣的組裝與求解2.3.5代碼示例：剛度矩陣的組裝以下是一個(gè)簡(jiǎn)單的Python代碼示例，展示如何組裝一個(gè)由兩個(gè)線性單元組成的梁的剛度矩陣。假設(shè)每個(gè)單元的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，彈性模量為E，截面慣性矩為I。#定義單元的長(zhǎng)度、彈性模量和截面慣性矩

L=1.0

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=0.001#截面慣性矩，單位：m^4

#定義單元的剛度矩陣

k1=E*I/L*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L*L,-6*L,2*L*L],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L*L,-6*L,4*L*L]])

k2=E*I/L*np.array([[12,-6*L,-12,6*L],

[-6*L,4*L*L,6*L,-2*L*L],

[-12,6*L,12,-6*L],

[6*L,-2*L*L,-6*L,4*L*L]])

#定義全局剛度矩陣

K=np.zeros((4,4))

#組裝剛度矩陣

K[:2,:2]+=k1[:2,:2]

K[:2,2:4]+=k1[:2,2:4]

K[2:4,:2]+=k1[2:4,:2]

K[2:4,2:4]+=k1[2:4,2:4]

K[1:3,1:3]+=k2[:2,:2]

K[1:3,3:4]+=k2[:2,2:4]

K[3:4,1:3]+=k2[2:4,:2]

K[3:4,3:4]+=k2[2:4,2:4]

#輸出全局剛度矩陣

print(K)在這個(gè)示例中，我們首先定義了單元的物理屬性，然后計(jì)算了每個(gè)單元的剛度矩陣。接著，我們創(chuàng)建了一個(gè)零矩陣作為全局剛度矩陣，并通過(guò)疊加局部剛度矩陣來(lái)完成組裝。最后，我們輸出了組裝后的全局剛度矩陣。2.3.6結(jié)論有限元法通過(guò)離散化過(guò)程和剛度矩陣與載荷向量的建立，為解決復(fù)雜的彈性力學(xué)問(wèn)題提供了一種有效的數(shù)值方法。通過(guò)上述示例，我們可以看到，即使是簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，F(xiàn)EM的實(shí)施也需要對(duì)單元的物理屬性、插值函數(shù)和組裝過(guò)程有深入的理解。3數(shù)值積分在有限元法中的應(yīng)用3.1高斯積分規(guī)則3.1.1原理高斯積分是一種數(shù)值積分方法，特別適用于有限元分析中的積分計(jì)算。它基于選擇一組特定的積分點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的權(quán)重，以近似計(jì)算積分。對(duì)于一維積分，高斯積分公式可以表示為：?其中，xi是積分點(diǎn)，wΩ其中，Ω表示積分區(qū)域。3.1.2內(nèi)容在有限元法中，高斯積分常用于計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚭唾|(zhì)量矩陣。例如，對(duì)于一個(gè)線性單元，我們可能只需要一個(gè)積分點(diǎn)；而對(duì)于一個(gè)二次單元，可能需要兩個(gè)或更多的積分點(diǎn)。高斯積分點(diǎn)和權(quán)重的選擇取決于單元的形狀函數(shù)和積分區(qū)域的幾何形狀。示例假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的線性單元，其形狀函數(shù)為N1x=1?x2和N2x=?代碼示例importnumpyasnp

#定義形狀函數(shù)

defN1(x):

return(1-x)/2

defN2(x):

return(1+x)/2

#高斯積分點(diǎn)和權(quán)重

x_gauss=[0]

w_gauss=[2]

#計(jì)算剛度矩陣的元素

K11=w_gauss[0]*N1(x_gauss[0])*N1(x_gauss[0])

K12=w_gauss[0]*N1(x_gauss[0])*N2(x_gauss[0])

K21=w_gauss[0]*N2(x_gauss[0])*N1(x_gauss[0])

K22=w_gauss[0]*N2(x_gauss[0])*N2(x_gauss[0])

#輸出結(jié)果

K=np.array([[K11,K12],[K21,K22]])

print("剛度矩陣K:")

print(K)3.1.3講解描述上述代碼示例中，我們定義了兩個(gè)形狀函數(shù)N1x和N2x，并選擇了高斯積分點(diǎn)x1=0和權(quán)重3.2數(shù)值積分的精度與穩(wěn)定性3.2.1原理數(shù)值積分的精度和穩(wěn)定性是有限元分析中非常重要的考慮因素。精度指的是積分結(jié)果與真實(shí)值的接近程度，而穩(wěn)定性則涉及到積分過(guò)程是否會(huì)產(chǎn)生數(shù)值上的不穩(wěn)定現(xiàn)象，如振蕩或發(fā)散。高斯積分的精度通常與積分點(diǎn)的數(shù)量成正比，但過(guò)多的積分點(diǎn)可能會(huì)增加計(jì)算成本。3.2.2內(nèi)容為了保證數(shù)值積分的精度和穩(wěn)定性，通常需要進(jìn)行以下步驟：選擇適當(dāng)?shù)姆e分點(diǎn)和權(quán)重：根據(jù)單元的類(lèi)型和積分區(qū)域的幾何形狀，選擇合適的高斯積分點(diǎn)和權(quán)重。檢查積分點(diǎn)的分布：確保積分點(diǎn)在積分區(qū)域中均勻分布，以避免局部積分誤差過(guò)大。評(píng)估積分的穩(wěn)定性：通過(guò)檢查積分結(jié)果是否隨積分點(diǎn)數(shù)量的增加而收斂，來(lái)評(píng)估積分的穩(wěn)定性。示例考慮一個(gè)二次單元，其形狀函數(shù)為N1x=12x代碼示例importnumpyasnp

#定義形狀函數(shù)

defN1(x):

return0.5*x**2-0.5*x+0.5

defN2(x):

return1-x**2

defN3(x):

return0.5*x**2+0.5*x+0.5

#高斯積分點(diǎn)和權(quán)重

x_gauss=[-np.sqrt(1/3),np.sqrt(1/3)]

w_gauss=[1,1]

#計(jì)算剛度矩陣的元素

K11=w_gauss[0]*N1(x_gauss[0])*N1(x_gauss[0])+w_gauss[1]*N1(x_gauss[1])*N1(x_gauss[1])

K12=w_gauss[0]*N1(x_gauss[0])*N2(x_gauss[0])+w_gauss[1]*N1(x_gauss[1])*N2(x_gauss[1])

K13=w_gauss[0]*N1(x_gauss[0])*N3(x_gauss[0])+w_gauss[1]*N1(x_gauss[1])*N3(x_gauss[1])

K21=w_gauss[0]*N2(x_gauss[0])*N1(x_gauss[0])+w_gauss[1]*N2(x_gauss[1])*N1(x_gauss[1])

K22=w_gauss[0]*N2(x_gauss[0])*N2(x_gauss[0])+w_gauss[1]*N2(x_gauss[1])*N2(x_gauss[1])

K23=w_gauss[0]*N2(x_gauss[0])*N3(x_gauss[0])+w_gauss[1]*N2(x_gauss[1])*N3(x_gauss[1])

K31=w_gauss[0]*N3(x_gauss[0])*N1(x_gauss[0])+w_gauss[1]*N3(x_gauss[1])*N1(x_gauss[1])

K32=w_gauss[0]*N3(x_gauss[0])*N2(x_gauss[0])+w_gauss[1]*N3(x_gauss[1])*N2(x_gauss[1])

K33=w_gauss[0]*N3(x_gauss[0])*N3(x_gauss[0])+w_gauss[1]*N3(x_gauss[1])*N3(x_gauss[1])

#輸出結(jié)果

K=np.array([[K11,K12,K13],[K21,K22,K23],[K31,K32,K33]])

print("剛度矩陣K:")

print(K)3.2.3講解描述在二次單元的剛度矩陣計(jì)算中，我們使用了兩個(gè)高斯積分點(diǎn)±1/3和權(quán)重3.3特殊單元的數(shù)值積分處理3.3.1原理在有限元分析中，特殊單元如高階單元、曲面單元或不規(guī)則單元，可能需要更復(fù)雜的數(shù)值積分策略。這是因?yàn)檫@些單元的形狀函數(shù)可能更復(fù)雜，積分區(qū)域的幾何形狀也可能不規(guī)則。3.3.2內(nèi)容處理特殊單元的數(shù)值積分，通常需要：選擇更密集的積分點(diǎn)：對(duì)于高階單元，可能需要更多的積分點(diǎn)來(lái)保證積分的精度。使用自適應(yīng)積分：對(duì)于不規(guī)則單元，可能需要根據(jù)單元的幾何形狀動(dòng)態(tài)調(diào)整積分點(diǎn)的位置和數(shù)量?？紤]單元的變形：在計(jì)算曲面單元的剛度矩陣時(shí)，需要考慮單元的變形對(duì)積分點(diǎn)位置的影響。示例考慮一個(gè)六節(jié)點(diǎn)三角形單元，其形狀函數(shù)和積分點(diǎn)的選擇將比四節(jié)點(diǎn)三角形單元更復(fù)雜。代碼示例對(duì)于六節(jié)點(diǎn)三角形單元的數(shù)值積分處理，代碼示例將涉及更復(fù)雜的形狀函數(shù)定義和積分點(diǎn)選擇，這超出了本教程的范圍。然而，可以使用現(xiàn)有的有限元軟件包或庫(kù)，如FEniCS或deal.II，來(lái)處理這類(lèi)特殊單元的數(shù)值積分。3.3.3講解描述處理特殊單元如六節(jié)點(diǎn)三角形單元的數(shù)值積分，需要更深入的數(shù)學(xué)和編程知識(shí)。通常，這涉及到定義更復(fù)雜的形狀函數(shù)，以及選擇更密集的積分點(diǎn)。在實(shí)際應(yīng)用中，可以利用現(xiàn)有的有限元軟件包來(lái)簡(jiǎn)化這一過(guò)程，這些軟件包已經(jīng)內(nèi)置了處理各種單元類(lèi)型和積分策略的算法。4有限元法中的數(shù)值積分技巧4.1積分點(diǎn)的選擇在有限元分析中，數(shù)值積分用于計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚭唾|(zhì)量矩陣中的積分。選擇合適的積分點(diǎn)數(shù)量和位置對(duì)于確保計(jì)算的準(zhǔn)確性和效率至關(guān)重要。積分點(diǎn)的選擇通?；诟咚狗e分規(guī)則，這是一種高效的數(shù)值積分方法，能夠以較少的積分點(diǎn)達(dá)到較高的積分精度。4.1.1高斯積分規(guī)則高斯積分規(guī)則基于多項(xiàng)式函數(shù)的積分，通過(guò)在積分區(qū)間內(nèi)選擇特定的點(diǎn)（高斯點(diǎn)）和相應(yīng)的權(quán)重，可以精確地計(jì)算多項(xiàng)式的積分。對(duì)于一個(gè)一維的高斯積分，其形式如下：?其中，fx是被積函數(shù)，xi是第i個(gè)高斯點(diǎn)，wi4.1.2選擇積分點(diǎn)的策略對(duì)于線性單元，使用一個(gè)積分點(diǎn)（即中點(diǎn)積分）就足夠了，因?yàn)榫€性單元的應(yīng)變和應(yīng)力是常數(shù)，不需要更復(fù)雜的積分規(guī)則。對(duì)于二次單元，至少需要兩個(gè)積分點(diǎn)，以確保二次函數(shù)的準(zhǔn)確積分。更復(fù)雜的單元可能需要更多的積分點(diǎn)。避免過(guò)度積分，過(guò)度積分會(huì)增加計(jì)算成本，而不會(huì)顯著提高精度。例如，對(duì)于一個(gè)線性單元，使用兩個(gè)或更多的積分點(diǎn)是過(guò)度積分。4.2避免數(shù)值積分引起的鎖合效應(yīng)鎖合效應(yīng)（Locking）是有限元分析中一個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題，特別是在薄板和殼體結(jié)構(gòu)的分析中。它通常發(fā)生在數(shù)值積分不充分或單元選擇不當(dāng)?shù)那闆r下，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)異常的剛性或軟性。4.2.1鎖合效應(yīng)的類(lèi)型剪切鎖合：在薄板單元中，由于單元的厚度遠(yuǎn)小于其平面尺寸，剪切應(yīng)變的計(jì)算可能不準(zhǔn)確，導(dǎo)致單元表現(xiàn)出異常的剛性。體積鎖合：在使用不可壓縮材料的分析中，如果數(shù)值積分不充分，單元可能表現(xiàn)出異常的體積剛性，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果失真。4.2.2避免鎖合效應(yīng)的策略使用減縮積分：對(duì)于二次單元，使用比完全積分少的積分點(diǎn)可以避免鎖合效應(yīng)。例如，對(duì)于一個(gè)8節(jié)點(diǎn)的二次四邊形單元，使用4點(diǎn)高斯積分（即減縮積分）而不是完全的9點(diǎn)積分。選擇合適的單元類(lèi)型：使用專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)來(lái)避免鎖合效應(yīng)的單元，如混合單元或增強(qiáng)應(yīng)變單元。4.3提高數(shù)值積分效率的方法數(shù)值積分的效率直接影響有限元分析的整體性能。提高效率的方法包括減少積分點(diǎn)數(shù)量、使用并行計(jì)算和優(yōu)化積分算法。4.3.1減少積分點(diǎn)數(shù)量通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)姆e分點(diǎn)數(shù)量，可以顯著減少計(jì)算時(shí)間。例如，對(duì)于線性單元，使用中點(diǎn)積分就足夠了，而對(duì)于二次單元，使用減縮積分可以平衡精度和效率。4.3.2使用并行計(jì)算并行計(jì)算可以將積分任務(wù)分配給多個(gè)處理器，從而顯著減少計(jì)算時(shí)間。在現(xiàn)代有限元軟件中，這通常是通過(guò)多線程或分布式計(jì)算實(shí)現(xiàn)的。4.3.3優(yōu)化積分算法自適應(yīng)積分：根據(jù)被積函數(shù)的復(fù)雜性動(dòng)態(tài)調(diào)整積分點(diǎn)的數(shù)量，以在保證精度的同時(shí)提高效率。預(yù)積分：對(duì)于一些常見(jiàn)的單元類(lèi)型和材料模型，可以預(yù)先計(jì)算積分結(jié)果，然后在實(shí)際分析中使用，避免重復(fù)計(jì)算。4.3.4示例：使用Python進(jìn)行數(shù)值積分下面是一個(gè)使用Python和SciPy庫(kù)進(jìn)行一維高斯積分的簡(jiǎn)單示例：importnumpyasnp

fromegrateimportfixed_quad

#定義被積函數(shù)

deff(x):

returnx**2

#使用固定數(shù)量的高斯點(diǎn)進(jìn)行積分

result,error=fixed_quad(f,-1,1,n=3)

print("積分結(jié)果：",result)

print("估計(jì)誤差：",error)在這個(gè)例子中，我們定義了一個(gè)簡(jiǎn)單的被積函數(shù)fx=x2，并使用SciPy庫(kù)中的通過(guò)調(diào)整n參數(shù)，我們可以控制積分點(diǎn)的數(shù)量，從而平衡計(jì)算的精度和效率。例如，對(duì)于更復(fù)雜的被積函數(shù)，我們可能需要增加積分點(diǎn)的數(shù)量以提高精度，但這也會(huì)增加計(jì)算時(shí)間。5數(shù)值積分實(shí)例分析5.1平面應(yīng)力問(wèn)題的數(shù)值積分5.1.1原理在平面應(yīng)力問(wèn)題中，結(jié)構(gòu)的厚度方向應(yīng)力可以忽略，因此問(wèn)題簡(jiǎn)化為二維。有限元法中，平面應(yīng)力問(wèn)題的應(yīng)變能可以表示為：U其中，σ是應(yīng)力矩陣，ε是應(yīng)變矩陣，Ω是結(jié)構(gòu)的二維區(qū)域。在實(shí)際計(jì)算中，這個(gè)積分通常通過(guò)數(shù)值積分方法來(lái)近似，如高斯積分。5.1.2內(nèi)容高斯積分是一種常用的數(shù)值積分方法，它通過(guò)在積分區(qū)間內(nèi)選取若干個(gè)積分點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的權(quán)重來(lái)近似積分。對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，我們通常在每個(gè)單元內(nèi)使用高斯積分點(diǎn)來(lái)計(jì)算應(yīng)變能。示例假設(shè)我們有一個(gè)四邊形平面應(yīng)力單元，其應(yīng)變能為：U其中，J是雅可比行列式，ξ和η是局部坐標(biāo)。使用2x2高斯積分點(diǎn)，積分可以近似為：U其中，wi和wj代碼示例#Python示例代碼

importnumpyasnp

#定義高斯積分點(diǎn)和權(quán)重

gauss_points=np.array([[-1/np.sqrt(3),-1/np.sqrt(3)],[1/np.sqrt(3),-1/np.sqrt(3)],

[-1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3)],[1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3)]])

weights=np.array([1,1,1,1])

#定義應(yīng)變能計(jì)算函數(shù)

defstrain_energy(stress,strain,jacobian):

return0.5*np.sum(weights*weights[:,None]*stress.T@strain*jacobian)

#假設(shè)的應(yīng)力和應(yīng)變矩陣

stress=np.array([[100,0],[0,50]])

strain=np.array([[0.001,0],[0,0.0005]])

jacobian=1.0#假設(shè)雅可比行列式為1

#計(jì)算應(yīng)變能

U=strain_energy(stress,strain,jacobian)

print("平面應(yīng)力問(wèn)題的應(yīng)變能近似值為:",U)5.1.3解釋上述代碼示例中，我們定義了高斯積分點(diǎn)和權(quán)重，然后通過(guò)strain_energy函數(shù)計(jì)算了平面應(yīng)力問(wèn)題的應(yīng)變能。這里，我們假設(shè)了應(yīng)力和應(yīng)變矩陣以及雅可比行列式的值，實(shí)際應(yīng)用中這些值需要根據(jù)單元的幾何和材料屬性計(jì)算得出。5.2維彈性問(wèn)題的數(shù)值積分5.2.1原理三維彈性問(wèn)題的應(yīng)變能可以表示為：U其中，Ω是三維結(jié)構(gòu)的體積。數(shù)值積分方法，如高斯積分，同樣可以應(yīng)用于三維問(wèn)題，通過(guò)在每個(gè)單元內(nèi)選取積分點(diǎn)和權(quán)重來(lái)近似積分。5.2.2內(nèi)容在三維問(wèn)題中，我們通常使用3x3x3的高斯積分點(diǎn)來(lái)計(jì)算應(yīng)變能。每個(gè)積分點(diǎn)的坐標(biāo)和權(quán)重需要根據(jù)單元的形狀和積分規(guī)則來(lái)確定。示例假設(shè)我們有一個(gè)六面體單元，其應(yīng)變能為：U使用3x3x3高斯積分點(diǎn)，積分可以近似為：U代碼示例#Python示例代碼

importnumpyasnp

#定義3x3x3高斯積分點(diǎn)和權(quán)重

gauss_points=np.array([[-np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5)],

[np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5)],

[-np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5)],

[np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5)],

[-np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5)],

[np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5)],

[-np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5)],

[np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5)]])

weights=np.array([5/9,8/9,5/9,8/9,5/9,8/9,5/9,8/9])

#定義應(yīng)變能計(jì)算函數(shù)

defstrain_energy_3d(stress,strain,jacobian):

return0.5*np.sum(weights*weights[:,None]*weights[:,None,None]*stress.T@strain*jacobian)

#假設(shè)的應(yīng)力和應(yīng)變矩陣

stress=np.array([[100,0,0],[0,50,0],[0,0,25]])

strain=np.array([[0.001,0,0],[0,0.0005,0],[0,0,0.00025]])

jacobian=1.0#假設(shè)雅可比行列式為1

#計(jì)算應(yīng)變能

U=strain_energy_3d(stress,strain,jacobian)

print("三維彈性問(wèn)題的應(yīng)變能近似值為:",U)5.2.3解釋在三維彈性問(wèn)題的數(shù)值積分示例中，我們使用了3x3x3的高斯積分點(diǎn)和權(quán)重來(lái)近似計(jì)算應(yīng)變能。strain_energy_3d函數(shù)實(shí)現(xiàn)了應(yīng)變能的計(jì)算，其中應(yīng)力和應(yīng)變矩陣以及雅可比行列式的值是假設(shè)的，實(shí)際應(yīng)用中需要根據(jù)單元的具體情況計(jì)算。5.3接觸問(wèn)題的數(shù)值積分處理5.3.1原理接觸問(wèn)題在有限元分析中是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，涉及到兩個(gè)或多個(gè)物體之間的相互作用。在接觸面上，應(yīng)力和應(yīng)變的分布可能非常不均勻，因此需要使用更密集的積分點(diǎn)來(lái)準(zhǔn)確計(jì)算接觸力和應(yīng)變能。5.3.2內(nèi)容接觸問(wèn)題的數(shù)值積分通常需要在接觸面上使用更密集的積分點(diǎn)，以捕捉接觸區(qū)域的細(xì)節(jié)。此外，接觸問(wèn)題的數(shù)值積分還需要考慮接觸條件，如摩擦和間隙。示例假設(shè)我們有兩個(gè)物體接觸，接觸面上的應(yīng)變能可以表示為：U其中，σn是接觸面上的法向應(yīng)力，δ是接觸間隙，Γc代碼示例#Python示例代碼

importnumpyasnp

#定義接觸面上的高斯積分點(diǎn)和權(quán)重

gauss_points_contact=np.array([[-1,-1],[1,-1],[-1,1],[1,1]])

weights_contact=np.array([1,1,1,1])

#定義接觸應(yīng)變能計(jì)算函數(shù)

defcontact_strain_energy(normal_stress,gap,jacobian_contact):

returnnp.sum(weights_contact*normal_stress*gap*jacobian_contact)

#假設(shè)的法向應(yīng)力和接觸間隙

normal_stress=np.array([100,50,25,10])

gap=np.array([0.001,0.0005,0.00025,0.0001])

jacobian_contact=1.0#假設(shè)雅可比行列式為1

#計(jì)算接觸應(yīng)變能

U_contact=contact_strain_energy(normal_stress,gap,jacobian_contact)

print("接觸問(wèn)題的應(yīng)變能近似值為:",U_contact)5.3.3解釋在接觸問(wèn)題的數(shù)值積分處理示例中，我們定義了接觸面上的高斯積分點(diǎn)和權(quán)重，并通過(guò)contact_strain_energy函數(shù)計(jì)算了接觸應(yīng)變能。這里，我們假設(shè)了法向應(yīng)力和接觸間隙的值，實(shí)際應(yīng)用中這些值需要根據(jù)接觸條件和單元的幾何來(lái)確定。接觸問(wèn)題的數(shù)值積分處理通常比平面應(yīng)力和三維彈性問(wèn)題更復(fù)雜，因?yàn)樗婕暗浇佑|條件的判斷和處理。6有限元軟件中的數(shù)值積分6.1商業(yè)有限元軟件中的數(shù)值積分實(shí)現(xiàn)在商業(yè)有限元軟件中，數(shù)值積分是實(shí)現(xiàn)高精度求解的關(guān)鍵技術(shù)之一。軟件通常采用高斯積分規(guī)則，這是一種高效的數(shù)值積分方法，能夠以較少的積分點(diǎn)準(zhǔn)確地近似積分值。高斯積分的原理基于正交多項(xiàng)式，通過(guò)選取適當(dāng)?shù)姆e分點(diǎn)和權(quán)重，可以精確地計(jì)算多項(xiàng)式的積分。6.1.1高斯積分規(guī)則高斯積分規(guī)則在有限元分析中廣泛應(yīng)用于計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚭蛻?yīng)力應(yīng)變矩陣。例如，在二維四節(jié)點(diǎn)矩形單元中，高斯積分可以表示為：?其中，fξ,η是被積函數(shù)，ξ和η是自然坐標(biāo)，wi和6.1.2實(shí)現(xiàn)示例在商業(yè)軟件如ANSYS或ABAQUS中，用戶通常不需要直接編寫(xiě)數(shù)值積分的代碼，但可以通過(guò)設(shè)置積分點(diǎn)的數(shù)量來(lái)控制數(shù)值積分的精度。例如，在ABAQUS中，可以通過(guò)element對(duì)象的integration屬性來(lái)指定積分點(diǎn)的數(shù)量。6.2開(kāi)源軟件中的數(shù)值積分應(yīng)用開(kāi)源有限元軟件，如FEniCS和deal.II，提供了更靈活的數(shù)值積分實(shí)現(xiàn)方式，允許用戶自定義積分規(guī)則和被積函數(shù)。6.2.1FEniCS中的數(shù)值積分在FEniCS中，數(shù)值積分是通過(guò)assemble函數(shù)實(shí)現(xiàn)的，該函數(shù)可以計(jì)算基于有限元空間的函數(shù)的積分。例如，計(jì)算一個(gè)函數(shù)fxfromfenicsimport*

#創(chuàng)建網(wǎng)格和有限元空間

mesh=UnitSquareMesh(8,8)

V=FunctionSpace(mesh,'P',1)

#定義被積函數(shù)

f=Expression('x[0]*x[1]',degree=2)

#創(chuàng)建測(cè)試函數(shù)

v=TestFunction(V)

#計(jì)算積分

integral=assemble(f*v*dx)

print("Integralvalue:",integral)6.2.2deal.II中的數(shù)值積分在deal.II中，數(shù)值積分是通過(guò)QGauss類(lèi)實(shí)現(xiàn)的，該類(lèi)定義了高斯積分規(guī)則。例如，計(jì)算一個(gè)單元上的函數(shù)fx#include<deal.II/base/function.h>

#include<deal.II/fe/fe_q.h>

#include<deal.II/numerics/vector_tools.h>

#include<deal.II/lac/full_matrix.h>

#include<deal.II/lac/vector.h>

#include<deal.II/lac/sparse_matrix.h>

#include<deal.II/lac/dynamic_sparsity_pattern.h>

#include<deal.II/lac/solver_cg.h>

#include<deal.II/lac/precondition.h>

#include<deal.II/lac/constraint_matrix.h>

#include<deal.II/grid/tria.h>

#include<deal.II/grid/grid_generator.h>

#include<deal.II/dofs/dof_handler.h>

#include<deal.II/dofs/dof_tools.h>

#include<deal.II/fe/fe_values.h>

#include<deal.II/numerics/data_out.h>

#include<deal.II/numerics/vector_tools.h>

#include<deal.II/lac/full_matrix.h>

#include<deal.II/lac/vector.h>

#include<deal.II/lac/sparse_matrix.h>

#include<deal.II/lac/dynamic_sparsity_pattern.h>

#include<deal.II/lac/solver_cg.h>

#include<deal.II/lac/precondition.h>

#include<deal.II/lac/constraint_matrix.h>

#include<deal.II/grid/tria.h>

#include<deal.II/grid/grid_generator.h>

#include<deal.II/dofs/dof_handler.h>

#include<deal.II/dofs/dof_tools.h>

#include<deal.II/fe/fe_values.h>

#include<deal.II/numerics/data_out.h>

usingnamespacedealii;

//定義被積函數(shù)

classMyFunction:publicFunction<2>

{

public:

virtualdoublevalue(constPoint<2>&p,constunsignedintcomponent=0)constoverride

{

returnp[0]*p[1];

}

};

intmain()

{

//創(chuàng)建網(wǎng)格

Triangulation<2>triangulation;

GridGenerator::hyper_cube(triangulation,0.,1.);

triangulation.refine_global(4);

//定義有限元和DoF處理器

FE_Q<2>fe(1);

DoFHandler<2>dof_handler(triangulation);

dof_handler.distribute_dofs(fe);

//創(chuàng)建被積函數(shù)

MyFunctionfunction;

//創(chuàng)建積分器

QGauss<2>quadrature(2);

//計(jì)算積分

Vector<double>integral(dof_handler.n_dofs());

VectorTools::create_right_hand_side(dof_handler,quadrature,function,integral);

//輸出積分結(jié)果

std::cout<<"Integralvalue:"<<integral.l2_norm()<<std::endl;

return0;

}6.3自定義數(shù)值積分方案的編程指導(dǎo)在某些情況下，標(biāo)準(zhǔn)的高斯積分規(guī)則可能不滿足特定問(wèn)題的需求，這時(shí)需要自定義數(shù)值積分方案。6.3.1自定義高斯積分點(diǎn)自定義高斯積分點(diǎn)通常涉及選擇積分點(diǎn)的位置和對(duì)應(yīng)的權(quán)重。例如，在一維空間中，可以定義一個(gè)包含兩個(gè)積分點(diǎn)的自定義高斯積分規(guī)則：#自定義高斯積分點(diǎn)和權(quán)重

xi_points=[-0.5773502691896257,0.5773502691896257]

weights=[1.0,1.0]

#計(jì)算積分

integral=0.0

fori,xiinenumerate(xi_points):

integral+=weights[i]*f(xi)

print("Customintegralvalue:",integral)6.3.2自定義積分規(guī)則在更高維度或更復(fù)雜形狀的單元中，可能需要自定義積分規(guī)則。例如，在一個(gè)三角形單元中，可以使用自定義的積分點(diǎn)和權(quán)重來(lái)近似積分：//自定義積分點(diǎn)和權(quán)重

conststd::vector<Point<2>>quadrature_points={Point<2>(0.16666666666666666,0.16666666666666666),

Point<2>(0.6666666666666666,0.16666666666666666),

Point<2>(0.16666666666666666,0.6666666666666666)};

conststd::vector<double>quadrature_weights={0.3333333333333333,0.3333333333333333,0.3333333333333333};

//計(jì)算積分

doubleintegral=0.0;

for(unsignedintq=0;q<quadrature_points.size();++q)

integral+=quadrature_weights[q]*f(quadrature_points[q]);

std::cout<<"Customintegralvalue:"<<integral<<std::endl;自定義數(shù)值積分方案時(shí)，需要確保積分點(diǎn)和權(quán)重的選擇能夠保證積分的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。通常，這需要對(duì)積分規(guī)則的理論有深入的理解，并可能需要通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證自定義方案的有效性。在編寫(xiě)自定義數(shù)值積分代碼時(shí)，應(yīng)遵循以下原則：準(zhǔn)確性：確保積分點(diǎn)和權(quán)重的選擇能夠準(zhǔn)確地近似積分值。穩(wěn)定性：避免使用可能導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定的積分規(guī)則。效率：選擇能夠以最少的積分點(diǎn)達(dá)到所需精度的積分規(guī)則?？勺x性：代碼應(yīng)清晰、簡(jiǎn)潔，易于理解和維護(hù)。通過(guò)遵循這些原則，可以有效地實(shí)現(xiàn)自定義數(shù)值積分方案，從而解決有限元分析中的復(fù)雜問(wèn)題。7數(shù)值積分的高級(jí)主題7.1自適應(yīng)數(shù)值積分7.1.1原理自適應(yīng)數(shù)值積分是一種動(dòng)態(tài)調(diào)整積分區(qū)間或積分點(diǎn)數(shù)量的方法，以提高積分的精度。這種方法基于對(duì)積分結(jié)果的誤差估計(jì)，當(dāng)估計(jì)的誤差超過(guò)預(yù)設(shè)的閾值時(shí)，自適應(yīng)算法會(huì)自動(dòng)細(xì)化積分區(qū)間，直到滿足精度要求。自適應(yīng)數(shù)值積分特別適用于函數(shù)在某些區(qū)間內(nèi)變化劇烈的情況，能夠有效地分配計(jì)算資源，避免在變化平緩的區(qū)域浪費(fèi)計(jì)算力。7.1.2內(nèi)容自適應(yīng)數(shù)值積分通常包括以下步驟：1.初始積分：使用簡(jiǎn)單的數(shù)值積分方法（如辛普森法則或矩形法則）對(duì)整個(gè)區(qū)間進(jìn)行積分。2.誤差估計(jì)：計(jì)算積分的誤差，這通常通過(guò)比較不同步長(zhǎng)下的積分結(jié)果來(lái)實(shí)現(xiàn)。3.區(qū)間細(xì)分：如果誤差超過(guò)閾值，將區(qū)間細(xì)分，對(duì)每個(gè)子區(qū)間重復(fù)上述步驟。4.結(jié)果合并：將所有子區(qū)間的積分結(jié)果合并，得到最終的積分值。7.1.3示例以下是一個(gè)使用Python實(shí)現(xiàn)的自適應(yīng)辛普森積分的例子：defadaptive_simpson(f,a,b,tol=1e-6):

"""

自適應(yīng)辛普森積分算法

:paramf:被積函數(shù)

:parama:積分區(qū)間的左端點(diǎn)

:paramb:積分區(qū)間的右端點(diǎn)

:paramtol:容忍誤差

:return:積分結(jié)果

"""

defsimpson(f,a,b):

"""

辛普森積分公式

"""

h=(b-a)/2

return(h/3)*(f(a)+4*f((a+b)/2)+f(b))

defrecursive_simpson(f,a,b,tol):

"""

遞歸實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)辛普森積分

"""

c=(a+b)/2

left=simpson(f,a,c)

right=simpson(f,c,b)

total=left+right

ifabs(total-simpson(f,a,b))<3*tol:

returntotal

else:

returnrecursive_simpson(f,a,c,tol/2)+recursive_simpson(f,c,b,tol/2)

returnrecursive_simpson(f,a,b,tol)

#定義被積函數(shù)

deff(x):

returnx**2

#調(diào)用自適應(yīng)辛普森積分函數(shù)

result=adaptive_simpson(f,0,1)

print("積分結(jié)果:",result)7.2高階單元的數(shù)值積分7.2.1原理在有限元法中，高階單元指的是具有更多節(jié)點(diǎn)和更復(fù)雜形狀函數(shù)的單元，如二次、三次或更高次的單元。高階單元能夠更準(zhǔn)確地表示結(jié)構(gòu)的幾何形狀和應(yīng)力分布，但同時(shí)也增加了數(shù)