直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【七大題型】（解析版）01

(1)了解直線與圓錐曲線(2)掌握直線被圓錐曲線(3)能利用方程及數(shù)形結(jié)圓錐曲線的位置關(guān)系是每年高考必考內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，本節(jié)內(nèi)容相交；直線與圓錐曲線相切=A=0；直線與圓錐曲線相離=A<0.過焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點(diǎn)在x軸上|AB|=|AB|==或+-②可得+=0，②在解決此類問題中，常用韋達(dá)定理及垂直直線的斜率關(guān)系.常用的解題技巧是如何應(yīng)用直線方程將化.拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)A(xo,y)與焦點(diǎn)F(,0)=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦，則焦點(diǎn)弦長為|MN|=++p(,分別為M,N的橫坐標(biāo)).2=2px(p>0)AB|=x1+x2+p2=-2px(p>0)|AB|=p-(x1+x2)x2=2py(p>0)AB|=y1+y2+px2=-2py(p>0)|AB|=p-(y1+y2)對參數(shù)的討論....(開口向下).(開口向下).A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件聯(lián)立有(4k2+1(x2+8kx=0，令Δ=(8k(2故選:C.所以過P(2,、5(且與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線只有兩條：>1”是“過M且與C僅有一個(gè)公共點(diǎn)的A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2-4km+4=0有兩個(gè)不同的解，所以Δ1>0即16m2-16>0，解得m<-1或m>1，,Fl，F(xiàn)2()A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要聯(lián)立得(2k2+1(x2+4ktx+2t2-2=0,FM|=|-k+t|,|F2N|=|k+t|，2+1k2+12+1k2+1k2+1，F(xiàn)2N|=|-k+t|?|k+t|=|t2-k2|=1時(shí)，|t2-k22+1k2+1k2+1，解得t2=2k2+1或t2=-1(舍去)，方程為y=x.(2)設(shè)直線y=x-與雙曲線E交于點(diǎn)P，Q，求線段PQ的長.2+b2=、2，=2所以雙曲線的離心率e==22-y2=1，x-1x-1不妨設(shè)yP=0,yQ=-55-y2|=2+y22+y2F2=b2+c2計(jì)算即可得；2+y42+y4(2)k=tanAB(2)k=tanLy=x+t+=1，消去y可得4x2+6tx+3t2-Ly=x+tΔ=36t2-16(3t2-12(=12(16-t2(>0，即-4<t<4，x1+x2==-，x1x2=，=2?-3t2+12=，雙 2=c2-a2=3a2=3,∴a2=1，故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.，N，N22=2-29+129Lx=my+nx2-2=1-1(y2+6mny+3(n2-1Lx=my+n2-12n2-12(3m2-1((n2-1(>0，∴3m2+n2-1>0，“k12=-2，:x11.x21=-2，:y1y2+2(x1+1((x2+1(=0，:y1y2+2(my1+n+1((my2+n+1(=0，:(2m2+1(y1y2+2m(n+1((y1+y2(+2(n+1(2=0，:3(n2-1((2m2+1(-12m2n(n+1(+2(n+1)2(3m2-1(=0，:n2-4n-5=0，:n=5或n=-1.當(dāng)n=-1時(shí)，y1y2=0，不符合題意，:n2-1-30m2-11y2=:y1+y2=:|MN|=、1+m21+m22-1-30m2-11y2=:y1+y2=:|MN|=、1+m2解得m=±1，故直線MN的方程為x=±y+5.綜上，直線MN的方程為x-y-5=0或x+y-5=0.設(shè)點(diǎn)P(xP,yP(，故P到準(zhǔn)線的距離為xP+a.=a=xP+a，:xp=√5√5所以橢圓C1方程為+=1.=6. -y2|=?、(y1+y2(2-4y1y2=2?、96m2+96=12m2+1=24 所以m2=3．所以|MN|=1+m2|y1-y2|=46(m2+1(=166.b=、3∴橢圓C的方程為+=11+y2=2y01+y2=2y0則kPQ==又P,Q兩點(diǎn)在橢圓+=1(a>b>0)上，可得， =-=-×=-==-2，①.y1-y =-=-×=-==-2，①.x1-x2a2(y1+y2(42y0y0×42,y0過點(diǎn)F(-,0(斜率為的直線為y=x+.聯(lián)立①②,解得x0=-1,y0=所以PQ中點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,.近線方程為y=±x.故雙曲線方程為：-y2=1.(2)設(shè)A(x1,y1(,B(x2,y2(，AB的中點(diǎn)為M，因?yàn)镸在直線l:y=x，故yM=xM，而-y=1，-y=1，故-(y1-y2((y1+y2(=0，故-(y1-y2(yM=0，此時(shí)AB:y=x-xM+xM=x-xM，-3(x-xM(2=3，整理得到：2x2-4xMx+x+3=0，當(dāng)Δ=16x-8x+3(=x-24>0即xM<-或xM>，即當(dāng)xM<-或xM>時(shí)，直線AB存在且斜率為1.11.(2024·陜西西安·三模)已知橢圓C:+=1(a>b>0(的長軸長是短軸長的、2倍，且右焦點(diǎn)為解.=b2+c2.=b2+1所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.y=k(x+2(2+y2=12+1(x2+8k2x+8k2y=k(x+2(2k+12k+1則x1+x2=-k2，x1x2k+12k+1因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-14x1+2=-4k2=-214x1+2解得k2=所以直線l的方程為y=±(x+2(.C所以sin∠AFO=sin∠AFB==，得sin∠OAF=25=2，解得p=8，2((x1積公式進(jìn)行求解即可.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1，解得x=0或x=，3+12=3+12=又點(diǎn)P到直線l的距離d=|1-3-1|=2+12點(diǎn)A.(2)過A且斜率非負(fù)的直線與T的左、右支分別交于N,M.過N做NP垂直于x軸交T于P(當(dāng)N位于左值.小值.因?yàn)锽在第一象限，不妨設(shè)y≥0，則-y2=1可變形為y=-1y≥0(，顯然直線PM的斜率存在且不為-，聯(lián)立方程整理得：(1-4k2(x2-8kmx-4m2-4=0，由M,A,N三點(diǎn)共線得，即x2y1+x1y2-(y1+y2(=0，整理得：2kx1x2+(m-k((x1+x2(-2m=0，-k(--2m=0，整理得m=-4k，令dP-BQ,dM-BQ,dC-PM分別表示P,M,C到BQ,PM的距離，P-BQ-dM-BQ|≥2a,|PM|≥2a，僅當(dāng)M為右頂點(diǎn)時(shí)兩式中等號成立，所以S=S△BPM+S△CPM=S△BPQ-S△BMQ+S△CPM=|BQ||dP-BQ-dM-BQ|+|PM|dC-PM【解題思路】(1)設(shè)AB:y=k(x-4(+4,(k>0(，則AD:y=-k(x-4(+4，令x=0可2=2p2=4y，所以AD,AB斜率互為相反數(shù)，不妨設(shè)AB:y=k(x-4(+4,(k>0(，則AD:y=-k(x-4(+4，設(shè)AB與y軸交于點(diǎn)F，而直線AD交y軸于點(diǎn)E，所以E(0,4+4k(,F(0,4-4k(，則S2=?、(x1+x2(2-4x1x22-64k+64=16k|k-2|=16k(2-k(≤162=16，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)k=1，2=4k-4，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x3,y3(，同理可得x3=4(-k(-4=-4k-4，所以y2=4(k-1(2,y3=4(k+1(2，2-b2=1①2=3，②當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)l：x=ty+1(t≠0)，M(x1,y1((y1>0(，N(x2,y2((y2<0((x=ty+1由+=1得(3t2+4(y2+6ty-9=0，顯然Δ=36t2+36(3t2+4(>0，所以y1+y2=-6ty1y2=-92+4，3t2+4，=?(-y2(因?yàn)?y1+y2(2==-4t2=-4>-4y1y2-3t2+43+3，又==++2，設(shè)=k，則k<0，-<k++2<0，解得-3<k<-且k≠-1，則|EF|=、(x+c)2+y2=(x+c)2+(1-b2=x+a(2=x+a.又橢圓的離心率e==，所以c=a，則a2-c2=a2-a2=a2=1，解得a2=3P—=λ，若λ=-1，則P—=-M—，即P與R重合，與P—=N矛盾，+y2=1，化簡得-5λ2+(6x0+6y0-18(λ+3x+9y-9=0，同理可得，-5λ2-(6x0+6y0-18(λ+3x+9y-9=0，故λ,-λ為方程-5x2+(6x0+6y0-18(x+3x+9y-9=0的兩根，于是6x0+6y0-18=0，即x0+y0-3=0，動點(diǎn)P在定直線l1:x+y-聯(lián)立+y2=1可得4x2-6mx+3m2-3=0，聯(lián)立+y2=1可得4x2-6mx+3m2-3=0，2-16(3m2-3(=0，解得m=±2，又m>0，2的距離為d==，2=2px(p>0(上的一點(diǎn)，直線x=my+n交C入即可得到n=m-，則m(n-=m(m-，再利用二次函數(shù)性質(zhì)即可得到最值.2=2px(p>0(上，所以C的準(zhǔn)線方程為x=-1.聯(lián)立{2+n得y2-4my-4n=0，由Δ=16m2+16n>0得m2+n>0.(*)，y1+y2=4m，y1y2=-4n，所以(y1+1((y2+1(=y1y2+(y1+y2(+1=-4n+4m+1=8，整理得n=m-.所以m(n-=m(m-=m2-m=(m-2-≥-，F(xiàn)y=x.最小值.求|AB|+4|PQ|的最小值.即雙曲線E的方程為(1+3k(x2+12kx+12k-6=0，+x2=,x1x2=,則|AB|=、1+k|x1-x2|=、1+k2-4=，(1+3k(x2-12kx+12k-6=0，+x4=,x3x4=,則|PQ|=1+k|x3-x4|=1+k2-4=，再由直線HF1的方程為：y=k1(x+2(與直線HF2的方程為：y=k2(x-2(聯(lián)立解得：由于這兩直線交點(diǎn)就是點(diǎn)H，則把點(diǎn)H的坐標(biāo)代入雙曲線E的方程得：42--1(=0，=26、≥2、1+3kk+3152.1+3kk+3152.kAMkAN1+k2-x2|-x2| 其中Δ=12+24a2>0且x1+x2=1,x1x2=-，則O?O=x1x2+y1y2=2x1x2+x1+x2+1=1-3a2=-2，2=3=k2+1.-k2(x2-2kmx-(m2+3(=0，≠0,Δ=(-2km(2+4(3-k2((m2+3(=48>0，3-k2,k2-3，且x1+x2=2kmx3-k2,k2-3，2-3，2-3，又因?yàn)? 1+k2、kAMkAN==kAMkAN==-x2|=(x1+x2(2-4x1x2=-，-x2|=x2-x1=≥,MkA2N==-=3-21-12336+213=-3-21-12336+213=-≥3即的最小值為-.λO=4O.【解答過程】(1)設(shè)橢圓的方程為+=1=c=，、、又由O+λO=4O得O=O+O，+x2=-，x1x2=又由O+3O=4O得x1+3x2=0，即x1=-3x2，因此x1+x2=-2x2，從而x1=解得-1<m<-或<m<1．經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)Δ>0，F(xiàn)—→—→雙曲線的方程為-y2=1.—→—→設(shè)直線l的方程為：y=k(x-4(，-4(-k2((-16k2-1(=12k2+1>0，--AP?AQ=(x1+2,y1(·(x2+2,y2(=(x1+2((x2+2(+y1y2=(1+k2(x1x2+(2-4k2((x1+x2(+4+16k2—→—→k12=-的軌跡為曲線Γ.—→—→2=-，2=-，直線PB:y=k2(x-2(，同理求得D(t,k2(t-2((，又直線CH的方程為y-k1(t+2(=-(x-t(，令y=0，得xH=t+k1k2(t+2(=t-，即H,0(，t+2(,k2(t-2((=+k1k2(t2-4(=-=-+12，—→—→—→—→2=-2.,F2=(-c,-b(?(c,-b(=-c2+b2=-2，c2-b2=2a2-b2=c2c2-b2=2a2-b2=c2所以橢圓C的方程為+y2=1.2(，則依據(jù)A=λQ得(-x1,2-y1(=整理得x1=-λx2,y1=2-λ(y2-2(，+y=1++y=1+y=12+λ2y=λ2得+(y1-λy2((y1+λy2(=1-λ2，即(y1-λy2((2+2λ(=1-λ2，所以=1-λ,即y1-λy2=，又y1+λy2=2(1+λ(，得y1=，又y1故實(shí)數(shù)λ的取值范圍為[-3,-1(∪(-1,-.MF=-1，進(jìn)而得x+y=y13y13 3x-Lx-的方程.=1=1則E的方程為x2-=1.x-=1①x-x-=1①x-=1②OM-3x0-2=0，(x0-2((2x0+1(=0，2則|MN|=(x-1)2+y2=(x-1)2+3-=x2-2x+4=)2+2，易得kOT=，則直線l為y-(3-a(=(x-a(，即y=x+3-a，2=(a-2(2+(3-a-1(2=2(a-2)2，-a,y1-3+a(=(x1-a,x1+3-a-3+a(=(x1-a,x1-，P=(x2-a,y2-3+a(=(x2-a,x2+3-a-3+a(=(x2-a,x2-，+22-4=0(2-a)2-4[=-8(a2-4a+2(>0，得2-2<a<2+、2，所以x1+x2=-2(2-a),x1x2=3(2-a)2-4，(x1-a((x2-a(+(x1-a((x2-a(|=|(x1-a((x2-a(|=|x1x2-a(x1+x2(+a2|=|3(2-a)2-4+2a(2-a(+a2|=|2(2-a)2|，2，2恒成立.l的斜率為1時(shí)，直線方程為x-y-3=0.+b2(x2-6a2x+9a2-a2b2=0.顯然Δ>0，則x1+x2=,x1x2=.2+b2-9=27(a2+b2(.=2+b2-9=2+b2-9=27(9b2+b2(,2=81.則AP的方程為y=-(x+9)，t-9,-Q=(6,-22)，y=k(x-3),+=1,消去y，得(1+9k2(x2-54k2x+81(ky=k(x-3),-(x2-9(=====x1+9x1+9=-18k?=0.x1+9—→—→C上.x2-y224x2-y2242-a2=3t，所以雙曲線C的方程可化為x2-y2=19t2因?yàn)辄c(diǎn)(-42,3(在雙曲線C上，所以(-42(2-32=1，解得t9t2所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y2=1(2)設(shè)A(x1,y1(,B(x2,y2(，假設(shè)存在點(diǎn)Q(0,m(，設(shè)直線l的方程為y=kx+1(-<k<(，(y=kx+1-2=1，整理得(9-16k2(x2-32kx-160=0，9-16k9-16k則Δ=(-32k(2-4(9-16k2(×(-160(=(32k(2+640(9-16k2(>0，且x1+x2=32k2,x1x29-16k9-16k因?yàn)閗AQ+kBQ=y1xm+y2xm=x2(y1-m1(y2-m(==x2(kx1+1-m(+x1(kx2+1-m(2kx1x2+(1-m((x1+x2===2k+(1--m0k2=(m+9(k，9-16k2所以當(dāng)m+9=0，即m=-9時(shí)，kAQ+kBQ=0(定值)，故存在定點(diǎn)Q(0,-9(，使直線AQ與BQ的斜率之和為定值0.A.2B.C.±2D.±kx+y+2k=0kx+y+2k=0因?yàn)橹本€kx+y+2k=0與橢圓+=1相切，2-422-12)=0，A.y=B.y=-2xC.y=-D.y=2x可得x1+x2=2x,y1+y2=2y.+1212x+y=1(+12124+=143即這些直線被橢圓截得的段的中點(diǎn)所在的直線方程為y=-x.=、5a.-所以|MF|=xM+1=6，故xM=5，A.1B.2C.3D.421=-3x1，y2=3x2，y0+0=y1+y2=3(x2-x1)Ly2-y1=3x0，y0+0=y1+y2=3(x2-x1)Ly2-y1=3x0，即|MN|=(x1-x2(2+(y1-y2(2=+9x=9x+(1-x(=8x+1，而-1≤x0≤1，即0≤x≤1，所以當(dāng)x=1時(shí)，|MN|max=8×1+1=3.A.B.C.D.NF2=3c22=a2=2a+x，NF=16x2+(5x-2a(2-(2a+x(2=1解得x=，F(xiàn)=2c，NF++2x-a2y=a2b2，2=a2代入得x-a2=y，顯然直線BD的斜率不為0，設(shè)D(x2,y2(，直線B4=λy3，2=2px(p>0(的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M(p,0(的直線l1，l2與EA.p=4B.y1y2=-61=2k2yk1+2化簡可得y2-4ty-8=0，方程y2-4ty-8=0的判別式Δ=16t2+32>0，2為方程y2=4ty-8=0的兩根，2+2；化簡可得y2-4ny-8=0，方程y2-4ny-8=0的判別式Δ=16n2+32>0，y4-y1(=4(y1-y4(，=-4，所以k2==-×,-(-2(|=，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.9.(2024·廣東茂名·二模)已知雙曲線C:4x2-y2=1，直線l:y=kx+1(k>0(，則下列說法正確的是()-k2(x2-2kx-2=0，2Δ=(2k(2+8(4-k2(>0，解得：2<k<2、2或0<k<2，故選C錯(cuò)誤；(k>0Δ=(2k(2+8(4-k2(<0，k>2、2，D正確.(k>0A.M的軌跡方程為+=1=-，化簡得+y2=,y1y2=，Δ=36m2+36(3m2+4(>0，所以S△OPQ=|OC||y1-y2|=(y1+y2(2-4y1y2=2+=6、m2+1令g(t(=3t+(t≥1(，則S△OPQ=，(t≥1(,gl(t(=3-=>0，g(t(在[1,+∞對于選項(xiàng)D，因?yàn)镽,，=+1=+1=，= -3m 所以=3m+4=4，則R點(diǎn)的橫坐標(biāo)是D點(diǎn)的橫坐標(biāo)的4倍，故D正確.3m2+42=A.直線AB過定點(diǎn)B.(k1+k4(?(k2+k3(為定值C.x0-y0的最大值為2D.5x2=得到方程， 所以直線AB方程斜率一定存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，聯(lián)立+y2=1得，(1+2k2(x2+4ktx+2t2-2=0，+x2=-,x1x2=故y1y2=(kx1+t((kx2+t(=k2x1x2+kt(x1+x2(+t2其中k1=,k2=，=x1x2，=4k2-1，代入橢圓方程得：(a2n2+b2(x2+2a2nmx+a2m2-a2b2=0，所以x3=-2a2nm±、Δ=把x3=代入y=nx+m，得：y3==，于是n=-=-?=-，則橢圓的切線斜率為-，切線方程為y-y3=-(x-x3(，+=1，當(dāng)y3=03=a或-a，3=a3x+y3當(dāng)x3=-a時(shí)，切線方程為x=-a，滿足+=1，在點(diǎn)B(x2,y2(的切線方程為+y2y=1，由于點(diǎn)P(x0,y0(為+y1y=1與+y2y=1的交點(diǎn)，故+y1y0=1，+y2y0=1，所以直線AB為x+y0y=1，因?yàn)橹本€AB的方程為y=kx+t，對照系數(shù)可得k==4-2-1，整理得x-y=1，又P(x0,y0(在第一象限，故點(diǎn)P(x0,y0(的軌跡為雙曲線x2-y2=1位于第一象限的部分，則k3k4=--==1，(k1+k4(?(k2+k3(=k1k2+k1k3+k2k4+k3k4=--+1=為定值，故B正確；0-3y0=h，則h>0，則兩式聯(lián)立得-16y+6hy0+h2-25=0，0-3y0=4故5x2(，利用弦長公式x1+x2+p=54求解.-(3k2+6(x+k2=0，+x2=，+x2+p=54，因?yàn)橹本€FA的斜率為，所以直線AP的方程為y=(x-1(，所以直線FB的斜率為-2，直線BQ的方程為y=-2(x-1)，與拋物線C的方程聯(lián)立，得x2-3x+1=0．所以Δ=(-3)2-4>0.3+x4=3，x3x4=1，=1+(-2)2?(x3+x4(2-4x3x4=5×5=5.1-②直線AP與直線BP的斜率之差的最小值為1-,得y2=1-(y≥0)，則C表示橢圓+y2=1的上半部分，=-==-，PB=-，所以直線AP與直線BP的斜率之差為k+≥2=，直線BP的方程為y=-(x-3(，則N的坐標(biāo)為(6,-，所以|MN|=12+(8k+2≥1+(28k?2=、=，所以f(k(>f==，因?yàn)?lt;=，故④錯(cuò)誤.C上.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：-=1x2-y2=1(y=26x-36x2-y2=1(y=26x-36所以x1+x2=，x1x2=，F(xiàn)2=9所以橢圓E的方程為+=1.由(1)得F1(-2,0(，依題意設(shè)l:x=my-2(m≠0(，x=my-2由+=1,消去x，得(5m2+9(y2-20my-x=my-2y1+y2=設(shè)M(xo,yo(，則yo=，===+1|，y1y2=5m2+9y1y25m+9y1+y2=-y