蘇科版2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊2.25圓中輔助線幾種常見方法(全章方法梳理與題型分類講解)(學(xué)生版+解析)（含答案解析）

專題2.25圓中輔助線幾種常見方法（全章方法梳理與題型分類講解）第一部分【方法梳理】【方法1】作半徑,通過勾股定理求值【方法2】作弦心距、連半徑，通過勾股定理求值【方法3】作半徑，通過圓周角定理或四點(diǎn)共圓求值【方法4】遇到直徑或半圓時(shí)，構(gòu)造直角三角形求值【方法5】遇到切線時(shí)，過切點(diǎn)作半徑構(gòu)造直角三角形【方法6】遇到圓上四點(diǎn)時(shí)，構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】作半徑,通過勾股定理求線段長【例1】（22-23九年級上·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖，已知，經(jīng)過圓心，且分別垂直弦，于點(diǎn)，點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求圓的半徑長．【變式1】（22-23九年級上·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果C是中弦的中點(diǎn)，經(jīng)過圓心O交于點(diǎn)D，并且，，則的半徑長為（）A． B． C． D．【變式2】（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，的半徑為5，為弦，半徑，垂足為點(diǎn)，若，則的長是（）

A．4 B．6 C．8 D．10【變式3】（22-23九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，為的弦，半徑于點(diǎn)C．若，，則的半徑長為．【變式4】（22-23九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，為的一條弦，于點(diǎn)E，已知，，則的半徑為．【題型2】作弦心距、連半徑，通過勾股定理求線段長【例2】（22-23九年級上·廣東廣州·期中）如圖，在中，，，，弦，垂足為點(diǎn)，求的長度．【變式1】（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，將半徑為2的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕的長為（

）A． B． C．3 D．【變式2】（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為15和12，大圓的一條弦有一半在小圓內(nèi)，則這條弦落在小圓內(nèi)部分的弦長等于（

）A． B． C． D．【變式3】（22-23九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若弦，是的兩條平行弦，的半徑為13，，，則，之間的距離為【變式4】（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上，則弦的長為．【題型3】作半徑，通過圓周角定理或四點(diǎn)共圓求角度【例2】（23-24九年級上·天津·期中）已知是的內(nèi)接三角形，的平分線交于點(diǎn)．

（1）如圖①，若是的直徑，，求的長；（2）如圖②，連接，求證：．【變式1】（22-23九年級上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖，在中，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·浙江湖州·模擬預(yù)測）如圖，是的一條弦，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)D，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式3】（22-23九年級上·浙江寧波·開學(xué)考試）如圖，是的直徑，，點(diǎn)A在上，，B為弧的中點(diǎn)，P是直徑上一動(dòng)點(diǎn)．則的最小值為．【變式4】（22-23九年級上·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）已知點(diǎn)O是的外心，，則的度數(shù)是．【題型4】遇到直徑或半圓時(shí)，構(gòu)造直角三角形求值【例2】（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）已知中，，以為直徑的交于D，交于E．（1）如圖①，當(dāng)為銳角時(shí)，連接，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）將圖①中的邊不動(dòng)，邊繞點(diǎn)A按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，如圖②，的延長線與相交于E．請問：與的數(shù)量關(guān)系是否與（1）中得出的關(guān)系相同？若相同，請加以證明；若不同，請說明理由．【變式1】（22-23九年級上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·階段練習(xí)）如圖，的直徑垂直于弦，垂足是，，若點(diǎn)平分，則的長為（）A． B． C． D．【變式2】（2024·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，，是上的兩點(diǎn)，連接，，，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式3】（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，平分，交于D，若，則的長為．【變式4】（2024·河南周口·模擬預(yù)測）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，于點(diǎn)P，于點(diǎn)E．若，則．【題型5】遇到切線時(shí)，過切點(diǎn)作半徑構(gòu)造直角三角形【例2】（23-24九年級上·湖北襄陽·期末）如圖，在中，，以為直徑的與AB邊交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，試判斷的形狀，并說明理由．【變式1】（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，，的半徑為2（為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條切線，為切點(diǎn)，則切線長的最小值為（）

A． B．3 C． D．【變式2】（23-24九年級上·四川綿陽·期中）如圖，AB是圓的弦，，AB，相交于點(diǎn)，且．連接，當(dāng)，時(shí)，則線段BD的長為（）

A．3 B．4 C．5 D．6【變式3】（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，正方形的邊長為4，以為直徑作半圓E，過點(diǎn)D作切半圓E于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，則的長為．【變式4】（23-24九年級上·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，是的弦，是的切線．若，則．【題型6】遇到圓上四點(diǎn)時(shí)，構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形【例2】（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，點(diǎn)，，，在以為直徑的上，且．

（1）求證：；（2）若，，求的長．【變式1】（23-24九年級上·河北石家莊·期中）如圖，等腰三角形的頂點(diǎn)是圓的等分點(diǎn)，且腰，所對的劣?。ú话?，，）上分別有個(gè)等分點(diǎn)，若等腰三角形是鈍角三角形．則至少是（

）A．15 B．16 C．17 D．18【變式2】（2023·福建莆田·二模）如圖，在中，，點(diǎn)在上，連接，，過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過程中，的度數(shù)（

）

A．先增大后減小 B．先減小后增大 C．保持不變 D．一直減小【變式3】（22-23九年級上·湖北十堰·期中）如圖，線段上一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，上一點(diǎn)A，連接交于B點(diǎn)，連接，若，且，則【變式4】（22-23九年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，P為半徑OD上一動(dòng)點(diǎn)，∠ACB=140°，若∠APB=β，則β的取值范圍是.專題2.25圓中輔助線幾種常見方法（全章方法梳理與題型分類講解）第一部分【方法梳理】【方法1】作半徑,通過勾股定理求值【方法2】作弦心距、連半徑，通過勾股定理求值【方法3】作半徑，通過圓周角定理或四點(diǎn)共圓求值【方法4】遇到直徑或半圓時(shí)，構(gòu)造直角三角形求值【方法5】遇到切線時(shí)，過切點(diǎn)作半徑構(gòu)造直角三角形【方法6】遇到圓上四點(diǎn)時(shí)，構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】作半徑,通過勾股定理求線段長【例1】（22-23九年級上·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖，已知，經(jīng)過圓心，且分別垂直弦，于點(diǎn)，點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求圓的半徑長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題考查了圓的基本性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等；（1）與交于，連接，由等腰三角形的性質(zhì)得，由線段垂直平分線的性質(zhì)得，同理可證，即可得證；（2）可判定是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得，，由余弦函數(shù)得，即可求解；掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，判定出是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．（1）解：與交于，連接，，，是的垂直平分線，，同理可證：，；（2）解：由（1）得，是等邊三角形，，，，，，，，解得：，；圓的半徑為．【變式1】（22-23九年級上·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果C是中弦的中點(diǎn)，經(jīng)過圓心O交于點(diǎn)D，并且，，則的半徑長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理，連接，設(shè)的半徑為，先根據(jù)垂徑定理得到，，再在中，由勾股定理求得即可．解：如圖，連接，設(shè)的半徑為，則，∵C是中弦的中點(diǎn)，經(jīng)過圓心O交于點(diǎn)D，∴，，∵，，∴，，在中，由勾股定理得，解得，即的半徑為，故選：A．【變式2】（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，的半徑為5，為弦，半徑，垂足為點(diǎn)，若，則的長是（）

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】本題考查的是垂徑定理．連接，根據(jù)勾股定理求出的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．解：連接，，，，，．故選：C．【變式3】（22-23九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，為的弦，半徑于點(diǎn)C．若，，則的半徑長為．【答案】5【分析】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．先根據(jù)垂徑定理求出的長，設(shè)的半徑為，再連接，在中利用勾股定理求出的值即可．解：如圖，連接，的弦，半徑，，設(shè)的半徑為，則，在中，，即，解得．故答案為：5【變式4】（22-23九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，為的一條弦，于點(diǎn)E，已知，，則的半徑為．【答案】5【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．連結(jié)，根據(jù)垂徑定理求得，再根據(jù)勾股定理即可求得答案．解：如圖，連結(jié)，是的直徑，，，，即的半徑為5．故答案為：5．【題型2】作弦心距、連半徑，通過勾股定理求線段長【例2】（22-23九年級上·廣東廣州·期中）如圖，在中，，，，弦，垂足為點(diǎn)，求的長度．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理等知識，添加合適輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．過O作于點(diǎn)E，過O作于點(diǎn)F，連接，，先證明四邊形是矩形，得出，，然后根據(jù)垂徑定理求出，，在和根據(jù)勾股定理得出，然后求解即可．解∶過O作于點(diǎn)E，過O作于點(diǎn)F，連接，，又，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，，在中，，在中，，又，∴，即，解得，在中，．【變式1】（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，將半徑為2的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕的長為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，連接，由題可得，，再根據(jù)勾股定理可得，從而求得的長．解：如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，連接．根據(jù)題意，得，．在中，由勾股定理，得，．故選：D．【變式2】（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為15和12，大圓的一條弦有一半在小圓內(nèi)，則這條弦落在小圓內(nèi)部分的弦長等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，先畫出圖形，再利用垂徑定理與勾股定理計(jì)算即可．解：如圖，記弦與圓的交點(diǎn)分別為，連接，過作于，∴，，∵大圓的一條弦有一半在小圓內(nèi)，∴，∴，∴，∴，∴，解得：BC=33∴．故選：D【變式3】（22-23九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若弦，是的兩條平行弦，的半徑為13，，，則，之間的距離為【答案】7或17【分析】本題考查了垂徑定理與勾股定理，解題的關(guān)鍵是分情況畫出圖形并作出正確的輔助線．首先根據(jù)題意分情況進(jìn)行討論分析，然后分別畫出相應(yīng)的圖形，再根據(jù)垂徑定理和勾股定理，計(jì)算出圓心到兩條弦的距離，最后根據(jù)圖形即可推出間的距離．解：連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，∵，∴直線，設(shè)垂足為點(diǎn)，，，，，∴在中，，在中，，①如下圖：當(dāng)，在圓心的兩側(cè)，則它們之間的距離為，②如下圖，如果、在圓心的同側(cè)，則它們之間的距離為，．綜上所述，，之間的距離為7或17．故答案為：7或17．【變式4】（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上，則弦的長為．【答案】【分析】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，垂徑定理，勾股定理，過點(diǎn)作，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理求出的長，等積法求出的長，再利用勾股定理求出的長，進(jìn)而求出的長即可．解：設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，則，∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【題型3】作半徑，通過圓周角定理或四點(diǎn)共圓求角度【例2】（23-24九年級上·天津·期中）已知是的內(nèi)接三角形，的平分線交于點(diǎn)．

（1）如圖①，若是的直徑，，求的長；（2）如圖②，連接，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】（）連接，由圓周角定理可得，進(jìn)而由角平分線的定義得，即得到，再根據(jù)勾股定理即可求解；（）由圓周角定理可得，即得，得到，又由圓周角定理得，，等量代換即可求證；本題考查了圓周角定理，角平分線的定義，勾股定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵（1）解：連接，∵是的直徑，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴∴；

（2）證明：∵是的直徑，∴，∴，∵，，∴，又∵，，∴，即．【變式1】（22-23九年級上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖，在中，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系和圓周角定理，能熟記圓周角定理是解此題的關(guān)鍵，在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．連接，根據(jù)圓周角定理求出，，求出和，再求出答案即可．解：連接，，，，，，，，故選：B．【變式2】（2024·浙江湖州·模擬預(yù)測）如圖，是的一條弦，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)D，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求得，由平行線的性質(zhì)得，即可求解．解：連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式3】（22-23九年級上·浙江寧波·開學(xué)考試）如圖，是的直徑，，點(diǎn)A在上，，B為弧的中點(diǎn)，P是直徑上一動(dòng)點(diǎn)．則的最小值為．【答案】2【分析】本題考查了圓周角定理，勾股定理，最短路徑問題，熟練掌握圓周角定理，即一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，是解答本題的關(guān)鍵．作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)，然后根據(jù)垂徑定理得到，然后利用勾股定理解題即可．解：作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)．此時(shí)最小，且等于的長.連接,，∴，∴弧的度數(shù)是60°，則弧的度數(shù)是30°，根據(jù)垂徑定理得弧的度數(shù)是：30°，則又，則故答案為：2．【變式4】（22-23九年級上·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）已知點(diǎn)O是的外心，，則的度數(shù)是．【答案】或【分析】本題考查三角形的外心性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，分類討論是解答的關(guān)鍵．分A在優(yōu)弧上和A在劣弧上兩種情況，根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解即可．解：由點(diǎn)O是的外心得點(diǎn)O是的外接圓的圓心，如圖，當(dāng)A在優(yōu)弧上時(shí)，∵，∴；當(dāng)A在劣弧上時(shí)，，綜上，的度數(shù)是或．故答案為：或．【題型4】遇到直徑或半圓時(shí)，構(gòu)造直角三角形求值【例2】（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）已知中，，以為直徑的交于D，交于E．（1）如圖①，當(dāng)為銳角時(shí)，連接，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）將圖①中的邊不動(dòng)，邊繞點(diǎn)A按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，如圖②，的延長線與相交于E．請問：與的數(shù)量關(guān)系是否與（1）中得出的關(guān)系相同？若相同，請加以證明；若不同，請說明理由．【答案】(1)．理由見解析(2)相同．理由見解析【分析】本題考查了圓周角定理的推論、三線合一的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得出，再根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得出，再根據(jù)同圓或等圓所對的圓周角相等，得出，再根據(jù)等量代換，即可得出結(jié)論；（2）連接，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得出，再根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等量代換，即可得出結(jié)論．（1）證明：如圖，連接，∵為直徑，∴，又∵，∴，∵，∴；（2）解：相同，證明如下：如圖，連接，∵為直徑，∴，又∵，∴，∵是圓內(nèi)接四邊形的外角，∴，∴．【變式1】（22-23九年級上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·階段練習(xí)）如圖，的直徑垂直于弦，垂足是，，若點(diǎn)平分，則的長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)推出，得到是等邊三角形，得到，求出，因此，由圓周角定理推出，求出，得到．解：如圖，連接，的直徑垂直于弦，點(diǎn)平分，，，是等邊三角形，，，，是中點(diǎn)，，，，是圓的直徑，，，．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形，圓周角定理，關(guān)鍵是由含角的直角三角形的性質(zhì)求出的長，即可得到的長．【變式2】（2024·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，，是上的兩點(diǎn)，連接，，，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了直徑所對圓周角性質(zhì)，同弧所對圓周角性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，解題關(guān)鍵是能夠靈活運(yùn)用圓周角定理及其推論．連結(jié)，根據(jù)直徑所對圓周角可得，由同弧所對圓周可求出的度數(shù)，利用直角三角形兩銳角互余求出的度數(shù)即可．解：連結(jié)，∵是的直徑，，∵∵，．故選：A．【變式3】（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，平分，交于D，若，則的長為．【答案】【分析】本題主要考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)．連接，根據(jù)是的直徑，可得，再由平分，可得，即可求解．解：連接．∵是的直徑，∴．∵平分，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，故答案為．【變式4】（2024·河南周口·模擬預(yù)測）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，于點(diǎn)P，于點(diǎn)E．若，則．【答案】3【分析】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，以及三角形中位線的判定以及性質(zhì)，連接并延長交⊙O于點(diǎn)G，連接．由直徑所對的圓周角等于可得出，由垂徑定理得出是的中位線，由中位線定理可得出，再證明，進(jìn)一步得出，等量代換可得出，進(jìn)一步即可得出答案．如圖，連接并延長交⊙O于點(diǎn)G，連接．∵過點(diǎn)O為的直徑，∴．∵于點(diǎn)E，∴E為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴．∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∴．故答案為：3．【題型5】遇到切線時(shí)，過切點(diǎn)作半徑構(gòu)造直角三角形【例2】（23-24九年級上·湖北襄陽·期末）如圖，在中，，以為直徑的與AB邊交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，試判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)詳見解析(2)是等腰直角三角形，理由見解析【分析】(）連接，根據(jù)切線的判定及切線的性質(zhì)可知，，再根據(jù)切線長的定理及余角的定義，最后利用等腰三角形的判定及等量代換解答即可．（）根據(jù)正方形的性質(zhì)可知是等腰直角三角形。再利用等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)即可解答．（1）證明：連接，∵是直徑，，∴是的切線，∵DE是的切線，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等腰三角形，∴，∴．（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：∵當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，，∴是直角三角形，由（1）可知：，∴是等腰直角三角形，∴，∵△ABC是直角三角形，，∴，∴△ABC是等腰直角三角形．【點(diǎn)撥】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，切線長定理、圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)及判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，余角的定義及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，連接得垂直，構(gòu)造出等腰三角形，利用“等角的余角相等”是解題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，，的半徑為2（為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條切線，為切點(diǎn)，則切線長的最小值為（）

A． B．3 C． D．【答案】D【分析】本題考查切線的判定和性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)題意連結(jié)、OQ，當(dāng)時(shí)，線段最短，即線段最短，再根據(jù)勾股定理求解即可．如答圖，連結(jié)、OQ．

是的切線，，，當(dāng)時(shí)，，線段最短，即線段最短．，，，，，，．故選：D．【變式2】（23-24九年級上·四川綿陽·期中）如圖，AB是圓的弦，，AB，相交于點(diǎn)，且．連接，當(dāng)，時(shí)，則線段BD的長為（）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，勾股定理；連接，由，利用等邊對等角得到，再由垂直于，得到三角形為直角三角形，得到兩銳角互余，等量代換得到垂直于BD，即可證得BD為圓的切線；設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得出，通過解方程即可求得．解：連接，

，，，，，，即，，，即，則BD為圓的切線；解：設(shè)，則，而，在中，，即，解得，線段BD的長是．故選：B．【變式3】（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，正方形的邊長為4，以為直徑作半圓E，過點(diǎn)D作切半圓E于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，則的長為．【答案】1【分析】本題考查的是正方形的性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，切線長定理的應(yīng)用，先證明，．設(shè)，再表示，，再利用勾股定理建立方程求解即可．解：∵，，∴，為半圓E的切線，又∵為半圓E的切線，∴，．設(shè)，則有，，在中，由勾股定理得，即，解得．故答案為：．【變式4】（23-24九年級上·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，是的弦，是的切線．若，則．【答案】【分析】此題重點(diǎn)考查圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理、多邊形的內(nèi)角和等知識，接、，由切線的性質(zhì)得，再由圓周角定理求得，則，于是得到問題的答案．解：連接、，與相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，，，∴∠OAP=∠OBP=90°，，，，故答案為：．【題型6】遇到圓上四點(diǎn)時(shí)，構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形【例2】（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，點(diǎn)，，，在以為直徑的上，且．

（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)10【分析】此題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的對角性質(zhì)、三角形中位線定理、垂徑定理、勾股定理、解一元二次方程等知識，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．（1）連接，由是的直徑得到，由圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)得到，進(jìn)一步證明，即可得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)C作交于點(diǎn)F，連接，與相交于點(diǎn)H，證明，由垂徑定理得到，，則，證明是的中位線，則，設(shè)的半徑為r，則在中，，在中，，則，在中，，得到，解方程即可得到答案．（1）證明：連接，

∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：過點(diǎn)C作交于點(diǎn)F，連接，與相交于點(diǎn)H，∵，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵．∴，∴，∴，∴，∴是的中位線，∴，設(shè)的半徑為r，則∴，在中，，在中，，∴，在中，，∴，整理得，，解得（不合題意，舍去），∴

【變式1】（23-24九年級上·河北石家莊·期中）如圖，等腰三角形的頂點(diǎn)是圓的等分點(diǎn)，且腰，所對的劣?。ú话?，，）上分別有個(gè)等分點(diǎn)，若等腰三角形是鈍角三角形．則至少是（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【分析】本題主要考查了不等式的應(yīng)用，弧、圓心角之間的關(guān)系，圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，在優(yōu)弧AB上取